Khái niệm số thập phân đối với học sinh trung học phổ thông (THPT)

Thể chế dạy học trung học cở sở vàtrung học phổ thông không xem số thập phân là đối tượng nghiên cứu.Tuynhiên chúng vẫn xuất hiện trong định nghĩa số thực và tính toán gần đúng,nhất là t

?s'p-r Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 601410 LUẬN VĂN THẠC sĩ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - Tháng 12 năm 2009

LỜI CẢM ƠN

Với tình cảm chân thành, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán- Tin của truờng Đạihọc sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, người đã mang lại cho chúng tôinhững tri thức, những kinh nghiệm quí báu về tư duy, kiến thức DidacticToán và lịch sử Toán, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoànthành Luận văn đúng thời hạn

Xin chân thành cám ơn trường Đại học sư phạm thành phố Hồ ChíMinh, Khoa Toán- Tin, Phòng Khoa học công nghệ- sau đại học trường Đạihọc sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi chochúng tôi trong thời gian học tập, nghiên cúư và làm Luận văn

Xin trân trọng biết ơn các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy,hướng dẫn giúp đỡ lớp Cao học khoá 17 chuyên ngành “Lý luận và phươngpháp dạy học môn Toán”

Xin chân thành cám ơn các cấp lãnh đạo, giáo viên, công nhân viêntrường Trung học phổ thông Buôn Ma Thuột tỉnh Đắk Lắk đã tạo mọi điềukiện thuận lợi cho chúng tôi tham gia khoá học và hoàn thành Luận văn này

Do điều kiện thời gian và năng lực, chắc chắn Luận văn còn nhiềukhiếm khuyết, chúng tôi kính mong các thầy giáo, cô giáo và các đồngnghiệp góp ý để Luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn

TÁC GIẢ

HOÀNG ĐỨC HUY

PHẦN MỞ ĐÀU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Ở Pháp, kể từ sau cuộc chống cải cách Toán học Hiện đại (1968/1978)

số thập phân đóng vai trò cơ sở trong việc nghiên cứu hệ thống số (theoBronner, 1997) Sự chọn lựa didactic này chịu ảnh huởng từ ý kiến SU' phạmcủa những nhà toán học lớn của Pháp, chẳng hạn theo Lebesgue :

Neu ta chọn hệ đếm thập phân cho giảng dạy ở phổ thông là vì những lý do

sư phạm : để tiết kiệm thời gian, và bởi vì số được biểu diễn trong hệ thậpphân sẽ cụ thể và phù họp với tư duy của trẻ (Lebesgue,1931, tr 8)

Trong đời sống và trong các ngành khoa học, nhất là các ngành khoahọc thực nghiệm như vật lý, hóa học , người ta thường sử dụng số thập phânkhi tính toán và chấp nhận các kết quả thập phân gần đúng

Trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí họp nhất, theo Luận ántiến sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) khái niệm số thập phân chỉ chínhthức được nghiên cứu ở tiểu học Đến trung học cở sở, số thập phân đượcnhận dạng như những số hữu tỷ đặc biệt Thể chế dạy học trung học cở sở vàtrung học phổ thông không xem số thập phân là đối tượng nghiên cứu.Tuynhiên chúng vẫn xuất hiện trong định nghĩa số thực và tính toán gần đúng,nhất là trong tính toán với máy tính bỏ túi hiện rất được khuyến khích tại ViệtNam

Vì vậy, chúng tôi cho rằng vai trò và vị trí của đối tượng số thập phântrong dạy học toán bậc phổ thông Việt Nam không được xem trọng như trongthể chế dạy học của Pháp

Mặt khác, các nghiên cứu về việc giảng dạy số thập phân trong thế chế

dạy học Việt Nam cũng rất hiếm Điều này giải thích cho tính thích đáng của

nghiên cứu mà chúng tôi dự định thực hiện

Chúng tôi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi sau:

4- Khái niệm số thập phân đã đuợc đưa vào chuông trình hiện hành vàsách giáo khoa phố thông Việt Nam như thế nào? Có sự tiến triểnnào về chương trình và sách giáo khoa đối với việc dạy học kháiniệm số thập phân qua hai chương trình hiện hành và trước năm

4- Những khó khăn nào mà học sinh Việt Nam gặp phải khi học kháiniệm này? Lý do của những khó khăn trên là gì ? Trong những khókhăn này, cái nào giống và khác với những gì mà các nhà DidacticToán của Pháp đã phát hiện khi nghiên cứu thể chế dạy học củaPháp ?

4- Quan niệm về khái niệm số thập phân của học sinh có được sau khihọc khái niệm này là gì?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu của chúng tôi sử dụng chủ yếu các công cụ của lý thuyếtnhân chủng học của Chevallard (1991) Đặc biệt hai định đề mà chúngtôi tích lại dưới đây của Chevallard đóng vai trò giả thuyết công việccho nghiên cứu của chúng tôi

+ Mọi thực tế thể chế đều có thế phân tích được, theo những quanđiểm khác nhau và bằng những cách khác nhau, thành một hệ thốngcác nhiệm vụ xác định

+ Việc thực hiện mỗi kiểu nhiệm vụ là kết quả của việc áp dụng một

kĩ thuật

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

việc từ việc nghiên cứu sai lầm đã được Brousseau nhận định:

“Sai lầm không chỉ đon giản do thiếu hiếu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra ( ), mà còn là hậu quả một kiến thức trước đầy đã từng tỏ ra có ích, đem lại

thành công, nhưng bẫy giờ lại tỏ ra sai hoặc đon giản là không còn thích hợp nũa Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán được Chủng tạo thành chướng ngại Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ củng góp phần xây dụng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được.”(G.Brousseau, 1976)

“Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thế, thường liên hệ với nhau trong một nguồn chung : một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng, nhất quán

- nếu không muốn nói là đủng đắn, một “kiến thức ” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt động nào đó ” (G.Brousseau, 1976).

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúngtôi giới hạn đề tài của mình vào các câu hỏi nghiên cứu sau:

Ql: Những đặc trưng khoa học luận của khái niệm số thập phân là gì?Đâu là những chướng ngại khoa học luận gắn với khái niệm này?

Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng số thập phân trong chươngtrình hiện hành? Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặpnhững khó khăn gì khi học khái niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốckhoa học luận? Những khó khăn nào gây ra do sự lựa chọn Didactic của thểchế dạy học?

3 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng họp lại một số kết quả của những nghiên cứu trước đó (Pháp:Brousseau 1987, Margolinas 1985, Neyret 1995; Việt Nam: Lê Thái BảoThiên Trung (2007) để trả lời cho câu hỏi Ql

- Phân tích chương trình và sách SGK hiện hành từ tiểu học đến trunghọc phổ thông để tìm một số yếu tổ trả lời câu hỏi Q2

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, 3 chuơng và phần kết luận

+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đếnviệc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phuơngpháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

+ Trong chương 1, chúng tôi tóm tắt một số đặc trưng khoa học luận vàtoán học của số thập phân từ công trình của Brousseau (1998), cấu trúc đại số

và thứ tự của số thập phân từ quan điểm của toán học cao cấp Đặc biệt chúngtôi sẽ nhấn mạnh sự phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân

+ Trong chưong 2, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế dạy học ởtrường tiểu học, trung học cơ sở, trung học phổ thông ở Việt Nam liên quanđến đối tương số thập phân

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng khái niệm số thập phân Chúng phân biệt với nhau thông qua sự lựa chọn các đối tượng được xem như đã biết và phương pháp chứng minh Tuy nhiên tập hợp số thập phân là

Chương 1

1.1 Một số kết quả khoa học luận của Brousseau (1998)

Từ các nghiên cứu khoa học luận và việc trình bày số thập phânBrousseau (1998) đã kết luận rằng:

Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng số thập phân Những định nghĩa vàcách xây dựng này khác nhau do sự lựa chọn những kiến thức khởi đầu khác nhau

Ngoài ra việc xây dựng khái niệm số thập phân bằng tiên đề là kiểu định nghĩa cuốicùng của khái niệm số thập phân nói riêng và của những khái niệm toán học khácnói chung Brousseau cũng nhấn mạnh rằng cách xây dựng bằng phương pháp tiên

đề cần phải được bổ sung thêm các lý thuyết để có thể hiểu được định nghĩa

II existe bien des mainières de déhnir mathématiquement ou de truire les décimaux Elles diffèrent par le choix de ce que 1’on considèreconnu comme objets mathématiques et comme méthode de démonstration,mais leur résultat est le même, en ce sens qu’il existe un moyen de montrer1’équivalence, 1’isomorphisme des structures obtenues Chacune de cesconstructions axiomatiques est dans le champ des mathématiques ; parcontre, Tétude de ce qui fait leurs différences, les raisons des choix, de ce quiest admis ou non, de ce qui est important ou non, facile ou non ne relèvepas des mathématiques Une constructions axiomatique est chargéeimplicitement d’option épistémologiques, de présupposés didactiques qu’ilfaut se garder de croire nécessaires au même titre que les conclusionsmathématiques, mais par lesquels il faut bien passer pour obtenir un discours

cons-( Brousseau 1998, trang 201)

Brousseau tóm tắt một số cách xây dựng số thập phân theo hai cách mởrộng hay thu hẹp một tập số cho trước

- Xây dựng số thập phân bằng cách mở rộng z hay N.

Prenons, par exemple, une construction directe des décimaux D : Considéron, dans ZxN, la relation d’équivalence ~

(£>,+,.*,<), la classe de (a,n) étant notée —

D = z X N/ est muni d’opérations stables par pasage au quotient:

(ữ, n)+{b,p)<^>{a 10^ +b.\0 p ,n + p) (a, n) X (b,p) = (ab,n + p)

Qui prolongent les opérations dans N, identiíĩé à (N,0)czD

Dest ordonné par (a,n)<(b, p)oa 10" ^Ồ.IO^

Alors (D,+,*,<) est un anneau commutatií unitaire intègre ettotalement ordonné

( Brousseau, 1998, trang 203)

- Xây dựng số thập phân từ việc thu hẹp tập số hữu tỉ

duy nhất theo nghĩa sai phạm khác một đẳng cấu Mỗi sự tiên đề hóa trong cách xây dựng số thập phân đều nằm trong phạm vi toán học Tuy nhiên việc nghiên cứu sự khác nhau giữa các cách xây dựng này, các lý do lựa chọn những gì đã biết hay chưa biết, cái gì quan trọng hay không quan trọng, cái gì dẽ hiểu hay khó hiểu thì không dựa vào toán học Sự xây dựng bằng tiên đề ngầm ẩn dựa trên quan điểm tri thức luận và dựa vào việc chọn lựa những kết luận toán học cần thiết mà chúng ta chấp nhận rằng đúng, nhưng thông qua các kết luận này cần phải lĩnh hội được lý thuyết cho phép vận dụng khái niệm [ ] (Được chúng tôi dịch)

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

Theo Comu (1983): Là những chướng ngại gây ra bởi phương pháp giảng dạy Đó là những chướng ngại hoặc do giáo viên gây ra hoặc do hệ thống dạy học (bao gồm chương trình, chỉ dẫn của chương trình, thói quen, lựa chọn các ví dụ , ) gây ra.

• Chướng ngại khoa học luận liên quan đến số thập phân: Bằng cách

tổng hợp các nghiên cứu khoa học và nghiên cứu thể chế dạy học Toán của

Pháp mà nhất là Brousseau (1998), Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) đã nhấnmạnh về một chướng ngại khoa học luận liên quan đến việc lĩnh hội số thậpphân :

- Tập hợp các số tự nhiên với cấu trúc cộng và cấu trúc thứ tự rời rạc củachúng là một chướng ngại khi lĩnh hội cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự củatập hợp số thập phân Đặc biệt, thứ tự rời rạc của tập hợp số tự nhiên sẽ ngăncản việc lĩnh hội thứ tự không rời rạc của tập hợp số thập phân

- Những lựa chọn Didactic liên quan đến việc xây dựng số thập phântrong thể chế dạy học Pháp càng làm gia tăng chướng ngại này Nghĩa làchướng ngại khoa học luận kể trên cũng là chướng ngại có nguồn gốcdidactic2 (đối với thể chế dạy học của Pháp)

1.2 Cấu trúc đại số của số thập phân.

1.2.1 Số thập phân có cấu trúc vành

Trong lý thuyết toán học: Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với haiphép toán hai ngôi đã cho trong X kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và vàgọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

1 X cùng với phép cộng là một nhóm aben

2 X cùng với phép nhân là nửa nhóm

Từ đó, khi gọi D là tập các số thập phân, có thể thấy tập số thập phân D

có cấu trúc vành và có các đặc trưng sau :

1.2.2 Số thập phân là một vành giao hoán có đơn vi.

2 D cùng với phép nhân là nửa nhóm

\/a,b,c e D: (ab)c = a(bc)

3 Phép nhân trong D phân phối đối với phép cộng:

với các phần tử a,b,c eD ta CÓ:

a(b + c)-ab + ac (b + c)a -ba + bc

4 Phép nhân trong D có phần tử đơn vị:

Vữ G D : Ta có a 1 = a

1.2.3 Số thập phân không có cấu trúc trường

Thật vậy, vì mọi số thập phân không có phần tử nghịch đảo nên số thập

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

1.3.Sự phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân

1.3.1 Số thập phân có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng viết

Các dạng viết này có thể xuất hiện như là nghiệm của phương trình hay kếtquả khai căn bậc của một số thực, kết quả của tính xấp xỉ giá trị của hàm sốtại một điểm Vậy mỗi dạng viết khác nhau của số thập phân liên hệ vớinhững vấn đề toán học sinh ra số thập phân này

Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng viết như sau:

- Dạng viết thập phân là 2,5

- Dạng viết phân số là - (ví dụ khi giải phương trình 2x = 5)

- Dạng viết Vã là V6,25 (Ví dụ khi giải phương trình X2 = 6,25)

- Dạng viết 2 + sin30° (Dạng viết này có thể xuất hiện khi giải phương trình

1.3.2 Tất cả các số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân Nhưvậy, người ta có thể phân biệt các kiểu số dựa vào dạng viết thập phân củachúng

- Số thập phân có dạng viết thập phân hữu hạn hoặc vô hạn với chu kỳ 0

- Số hữu tỉ có thể viết dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn (kể cả sốthập phân) Khi đó ta xem số thập phân là số có dạng viết thập phân vô hạntuần hoàn chu kỳ 0 hoặc chu kỳ 9

Xét các số hữu tỉ -, — ta có thể viết các số đó dưới dạng thập phân

- = 0,333

Và ta nói rằng số hữu tỉ — được biểu diễn dưới dạng thập phân hữu

Nói rằng — là thâp phân hữu han vì khi biểu diễn — = 0,25 ta có thể kết

thúc ngay ở số 5; trong khi - là một số thập phân vô hạn tuần hoàn vì khibiểu diễn — = 0,333 ta có thể viết thể viết thêm bao nhiêu chữ số 3 nữavẫn chưa biểu diễn đúng hẳn được số -, nhưng nếu muốn kéo dài con số

3 đến bao nhiêu cũng viết được Cũng như thế, có thể viết

4= 0,1428571

7

Ở đây, con số 1 (số sau dấu phẩy thứ 7) ta viết dấu” ” vì nếu muốn

Và như thế trong biểu diễn dạng thập phân của

được lặp lại theo thứ tự đó bao nhiêu lần tùy ý và ta muốn dừng lại ở

số mấy cũng được miễn là đã biểu diễn đầy đủ 6 con số này tức là quy tắc

tuần hoàn của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,1428571 = —

(Toán học cao cấp tập 2, Nguyền Đình Trí, 2007, trang 9).

Như vậy chúng ta cần chú ý rằng, chẳng hạn dạng viết 0,333 khôngphải là số thập phân Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một số thập

phân vô hạn tuần hoàn”, điều này có thể gây hiểu lầm rằng đây là số thập

phân Trong khi đó chỉ là dạng viết thập phân của số hữu tỉ

- Số vô tỷ được chúng minh là có dạng viết thập phân vô hạn khôngtuần hoàn (cách chúng minh dựa vào tính đếm được và không đếm được trongtập hợp các số)

Người ta chứng minh rằng bất kì một số hữu tỉ nào cũng có thểbiểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn

Nhưng, với số vô tỉ thì không như thế, người ta cũng chứngminh được rằng bất kì một số vô tỉ nào cũng biểu diễn dưới dạng thậpphân vô hạn không tuần hoàn Chẳng hạn khi viết:

Tương tự như trên, ta chỉ có thể biễu diễn xấp xỉ V2 với 5 con

số sau dấu phẩy và từ năm con số đó không thể suy diễn để viết tiếpnhững con số thập phân khác vì V2 là số vô tỉ, có biểu diễn thập phân

vô hạn không tuần hoàn

Ngoài ra như định nghĩa trên tập các số hữu tỉ và số vô tỉ, ta cóbao hàm thức:

Tóm lại, ta cần phân biệt giữa dạng viết thập phân của một số thực với

số thực này Tương tự như vậy, chúng ta cũng có thể biểu diễn số thực dướidạng liên phân số thông qua số hữu tỉ (nghĩa là có thể nói liên phân số là dạngviết hữu tỉ của số thực)

1.4 Thử tự không rời rạc của tập số thập phân và tính trù mật của nó trong Q và R

- Quan hệ thứ tự:

Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, s là một bộ phận của XxX.

Thế thì s được gọi là một quan hệ thứ tự trong X, nếu và chỉ nếu các điềukiện sau đây thỏa mãn:

1 (Phản xạ); Với mọi aeX :aSa

2 (Phản đối xứng): Với mọi a,beX nếu aSa và bSathì a = b

3 (Bắc cầu): Với mọi a,b,ceXnếu aSb và w?cthì aSc

Ta nói một tập X sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự

Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là một tập được sắp Neu với

mọi a,beX đều cỏ a < b hoặc b < a thì X gọi là được sắp tuyến tính (hay sắptoàn phần) Trong trường hợp khác thì X gọi là được sắp bộ phận

Tập con A của một không gian Mêtric X gọi là trù mật trong X nếu

à = x.

Từ các định nghĩa và các cách xây dựng tập số thập phân (D) hoặcbằng cách mở rộng tập N hoặc bằng cách thu hẹp Q hay tập R (Brossseau1987) đã chỉ rõ các tính chất đặc trưng liên quan đến thứ tự của tập D so với

D trù mật trong Q và trù mật trong R vì với một sai sô mong muôn cho

trước, luôn tồn tại một số thập phân mà khoảng cách từ số thập phân này đến

số thực nhỏ hơn sai số đã chọn (Brousseau, 1987, trang 450) Nghĩa là Z)=9?

1.5 Kết luân

• Các tính chất đặc trưng của số thập phân :

- Tập hợp số thập phân là một vành giao hoán có đơn vị với hai phéptoán cộng và nhân Tập họp số thập phân không phải là trường vì tồntại những số thập phân không có phần tử khả nghịch là số thập phân

- Thứ tự trên tập họp số thập phân là thứ tự không rời rạc (nghĩa làkhông có khái niệm hai số thập phân kề nhau)

- Tập hợp số thập phân là trù mật trong Q và trù mật trong R : với mọi sốthực cho trước, luôn tồn tại 1 dãy các số thập phân hội tụ về số thựcnày Cần phân biệt giữa dạng viết thập phân với số thực

• Số thập phân có thể viết dưới nhiều dạng viết Chẳng hạn số thập phân 2,5

có các dạng viết như sau:

- Dạng viết thập phân là 2,5

- Dạng viết phân số là - (ví dụ khi giải phương trình 2x = 5)

— = 0,333 Đây là dạng viết thập phân của số hữu tỉ

• Chướng ngại liên quan đến việc lĩnh hội số thập phân :

Cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự rời rạc của tập hợp các số tự nhiên tạo nên

một chướng ngại khoa học luận và chướng ngại Didactic đối với việc lĩnh hộitập hợp số thập phân

Từ các nghiên cứu trên, làm cơ sở cho chúng tôi nghiên cứu câu hỏi:

Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng số thập phân trong chươngtrình hiện hành? Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặpnhũng khó khăn gì khi học khái niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốctri thức luận? Những khó khăn nào gây ra do sự lựa chọn Didactic của thế chếdạy học?

Chương 2

Để làm rõ trong thế chế dạy học Toán trung học phổ thông, chúng tôi

buộc phải phân tích mối quan hệ thể chế đối với đối tuợng này trong thể chế

dạy học Toán tiểu học và trung học cơ sở Bởi vì theo nghiên cứu sơ luợc của

Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) về chương trình hiện hành thì đối tượng sốthập phân cũng chỉ được tập trung nghiên cứu trong hai thể chế tiểu học vàtrung học cơ sở Như trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí họp nhấtchúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình trên các vấn đề về cấu trúc đại số, thứ

tự trong tập họp số thập phân và sự phân biệt giữa số thập phân với dạng viếtthập phân

Phân tích chương này chúng tôi dựa vào các sách giáo khoa và chươngtrình sau đây:

1 Chương trình toán tiểu học hiện hành (2000), Bộ Giáo dục và Đàotạo

2 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2007), sách giáo khoa Toán 5, NXBGD

3 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 5, NXBGD

4 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách giáo khoa Toán 4, NXBGD

5 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 4, NXBGD

6 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2007), sách giáo viên Toán 5, NXBGD

7 Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo khoa Toán 7,NXBGD

8 Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo viên Toán 7,NXBGD

10 Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2006), sách giáo viên đại số 10 nângcao, NXBGD.

2.1 Thể chế ở trường tiểu học

2.1.1 Ở cấp độ chương trình

phân được chính thức giảng dạy ở lóp 5

Liên quan đến số thập phân, chúng tôi tìm thấy những yêu cầu sau:

Đối với số thập phân chương trình tiểu học yêu cầu nắm:

a) Khái niệm ban đầu về số thập phân Đọc, viết, so sánh các số thập phân.Viết và chuyển đổi các số đo đại lượng dưới dạng số thập phân

b) Phép cộng và phép trừ các số thập phân có đến ba chữ số ở phần thậpphân, có nhớ không quá ba lần

c) Phép nhân các số thập phân có tới ba tích riêng và phần thập phân của tích

có không quá ba chữ số

d) Phép chia các số thập phân, trong đó số chia có không quá ba chữ số (cảphần nguyên và phần thập phân), thương có không quá bốn chữ số, với phầnthập phân của thương có không quá ba chữ số

2.1.2 Phân tích sách giáo khoa

A Phần bài học:

- Ở sách giáo khoa lớp 5 người ta không định nghĩa chính thức số thập phâna) Từ bảng:

• 1 dm hay — m còn được viết thành 0,lm

• 1 cm hay — m còn được viết thành 0,01 m

• lmm hay —— m còn được viết thành 0,00 lm

• 7 cm hay —— m còn được viêt thành 0,07m

• 8m56cm hay được viết thành 8,56m.

8,56 đọc là : tám phẩy năm mươi sáu

(Toán 5, Đỗ Đình Hoan chủ biên, NXBGD, 2007)

Nhận xét: Như Brousseau (1998) đã đề cập việc dạy học số thập phâncùng với việc đọc số thập phân như sách giáo khoa đã lựa chọn nhấn mạnhtrên sự tương đồng giữa số thập phân và số tự nhiên, gây ra hậu quả là họcsinh có khuynh hướng hiểu số thập phân chỉ là số tự nhiên có thêm dấu phẩy

Thứ tự trên số thập phân là một mục tiêu chính của chuông trình toán 5liên quan đến dạy học toán 5

Muc tiêu: Theo sách giáo vien lóp 5 thì mục tiêu của phần này là giúphọc sinh biết cách so sánh hai số thập phân và biết sắp xếp các số thậpphân theo thứ tự từ bé đến lớn (hoặc ngược lại)

(Toán 5, Sách giáo viên, trang 88)

B Phần bài tập

• Liên quan đến cấu trúc đại số : có các phép toán : cộng, trừ, nhân, chia.

Kĩ thuật để giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cộng, trừ, nhân, chia

số thập phân đuợc quy về cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên rồi sau đó thựchiện việc đổi đơn vị hay thực hiện quy tắc đặt dấu phẩy Điều này càng nhấnmạnh trên sự tương đồng giữa số thập phân và số tự nhiên

Kĩ thuật cộng hai số thập phân cuối cùng được mô tả như sau :

Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

- Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một

Ví dụ (ví dụ 1 trang 49 sách giáo khoa Toán 5): Đường gâp khúcABC có đoạn thẳng AB dài l,84m và đoạn thẳng BC dài 2,45m Hỏiđường gấp khúc đó dài bao nhiêu mét?

Ta phải thực hiện phép cộng

Thông thường ta đặt tính rồi làm như sau:

2,45 Viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các dấu phẩy của các

số hạng

Kiểu nhiệm vụ T2: Phép trừ

Tương tự như phép cộng 2 số thập phân

Kĩ thuật phép trừ 2 số thập phân được mô tả :

Muốn trừ một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:

- Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặtthẳng cột với nhau

- Trừ như trừ các số tự nhiên

- Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và sốtrừ

Chủ ỷ\ Neu số chữ số ở phần thập phân của số bị trừ ít hơn số chữ số

ở phần thập phân của số trừ, thì ta có thể viết thêm một số thích họpchữ số 0 vào bên phải phần thập phân của số bị trừ, rồi trừ như trừ các

số tự nhiên

(Sách giáo khoa Toán 5, Đồ Đình Hoan chủ biên , 2007 , NXBGD)

Kiểu nhiệm vụ T3: Nhân các số thập phân: Như đã nói các kĩ thuậtnày dựa trên các kĩ thuật nhân các số tự nhiên

a) Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

c) Nhân một số thập phân với một số thập phân

Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên

- Đem xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ

số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiẽu chữ số kể từ phải sangtrái

Chủ ỷ: Khi nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001, ta chỉ việc

chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba, chữsố

Kiểu nhiệm vụ T4: Chia số thập phân

Tương tự như kiểu nhiệm vụ T3, kĩ thuật chia các số thập phân được

mô tả kĩ và cũng dựa vào kĩ thuật chia 2 số tự nhiên

Kết luận: Việc nghiên cứu cấu trúc đại số của tập hợp số thập phâncàng làm tăng thêm sự tương đồng của số thập phân và số tự nhiên Sự khácbiệt trong các kĩ thuật nhân, chia, cộng, trù’ số thập phân so với nhân, chia,cộng, trừ số tự nhiên chỉ được phân biệt qua đặt dấu phẩy vào kết quả tìmđược

• Liên quan đến thứ tự :

Theo sách giáo viên Toán lóp 5, trang 87, 88 thì mục tiêu của phần này là :Giúp học sinh nhận biết: Viết thẽm chữ số 0 vào bên phải phần thậpphân hoặc bỏ chữ số 0 (nếu có) ở tận cùng bên phải của số thập phânthì giá trị của số thập phân không đổi

Bài 3/40.Khi viết số thập phân 0,100 dưới dạng phân số thập phân,

bạn Lan viết: 0,100 =JÍ2_ • Bạn Mỹ viết: 0,100=-^-; bạn Hùng viết:

Vậy : 8,1 > 7,9 (phần nguyên có 8 > 7)

(Toán 5, trang 41)

Như vậy, việc so sánh các số thập phân có thể thực hiện được thông quaviệc so sánh các số tự nhiên sau khi đã đổi đơn vị độ dài

Một kỹ thuật khác để so sánh hai số thập phân tiếp tục được giới thiệu thông

qua ví dụ 2 trang 41 sách giáo khoa toán lớp 5 như sau

Trong hai so thập phân có phần nguyên bằng nhau, so thập phân nào

có hàng phần mười ỉón hơn thì sổ đó lớn hon.

(Toán 5, trang 41)

Neu phần nguyên và phần thập phân của hai số đó bằng nhauthì hai số đó bằng nhau.

bằng nhau được quy về việc so sánh 2 phần thập phân của chúng Trong ví dụ

2 ở trên, kĩ thuật chuyển 2 phần thập phân thành 2 số tự nhiên tưong ứng(bằng cách đổi đon vị độ dài từ m ra mm) đã được vận dụng

Ở sách giáo khoa Toán lóp 5 chúng tôi thấy xuất hiện kiểu bài tập sosánh 2 hoặc nhiều số thập phân có độ dài bằng nhau và khác nhau

Tuy rằng kỹ thuật cuối cùng được rút ra là thứ tự từ điển nhưng một

kỹ thuật khác có thể được hình thành trong ví dụ 2 (trang 41 sách giáo khoaToán 5) đó là chuyển 2 số thập phân cần so sánh về phân số thập phân rồi sosánh hai phân số đó

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

• vấn đề so sánh các số thập phân không cùng độ dài.

Vấn đề này được tìm thấy trong bài tập sắp xếp số thập phân, chẳng hạn

Bài 2 trang 42 Viết các số theo thứ tự từ bé đến lớn

Quan sát cặp số thập phân có cùng phần nguyên 6,375 và 6,735 chúng ta thấy

chúng có cùng độ dài và phần nguyên 735 > 375 Như vậy, nếu học sinh hiểu

số thập phân là một cặp các số nguyên và so sánh chúng dựa trên cặp sốnguyên này (kiến thức sai) thì câu trả lời của học sinh vẫn đúng

• Vấn đề chặn các số thập phân :

Trong chuông trình tiểu học, chúng tôi thấy vấn đề chặn các số thậpphân được đặt ra Tuy nhiên trong các kiểu nhiệm vụ này, số chữ số thập phânsau dấu phẩy luôn bằng nhau Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện ngay trong bài sosánh số thập phân Nó xuất hiện dưới dạng bị chặn trên và chặn dưới Ví dụ :

Bài 3 trang 43: Tìm chữ số X, biết 9,7x8 < 9,718Bài giải:

Theo sách giáo viên Toán 5: Cho học sinh tự làm rồi chữa bài