Phương trình sóng một chiều với hệ số biến thiên liên kết với điều kiện biên chứa tích phân

Hồ CHÍ MINH Lê Trường Giang PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LIÊN KÉT VỚI ĐIÊU KIỆN BIEN CHỨA TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008... Hồ Chí M

ộ sgc — Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

a^[aaJ TRƯỜNG ĐẠI HỌC sú PHẠM TP Hồ CHÍ MINH

Lê Trường Giang

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LIÊN KÉT VỚI ĐIÊU KIỆN BIEN

CHỨA TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Trần MinhThuyết, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Thầy đã rất ân cần và tận tìnhhướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu và giải đáp những thắcmắc khi tôi gặp phải Sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tôi hoàn thànhluận văn này

Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán - Tin họctrường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức vàkinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin học, quý Thầy Cô

thuộc phòng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại

học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trìnhhọc cũng như trong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp

Tôi vô cùng biết ơn Thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng Trường THPT TrầnHưng Đạo đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi được hoàn thành khóa học

Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, chỗ dựa tinh thầnvững chắc nhất của tôi

Sau cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏinhững thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy Cô và sự góp

ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2008

Lê Trường Giang

trong đó K(x,t), ^(t), F(x,t), u0, Uj là các hàm cho trước thỏa các điều kiện

mà ta sẽ chỉ ra sau Hàm chưa biết u(x,t) và các giá trị biên chưa biết P(t) thỏaphưong trình tích phân phi tuyến sau đây

P(t) = g0(t) + A.0ut(0,t) + Ko |u(0,t)|a_2 u(0,t)

mà (7) được xét như một trường hợp riêng Chẳng hạn bài toán (1), (3), (4) và(8) đã được nghiên cứu ứng với các trường hợp k = 0, H(s) = hs, với h > 0[10]; k = 0 [11]; H(s) = hs, vớih>0[5]

Trong trường hợp H(s) = h.s, với h > 0, bài toán (1), (2), (3), (4), (8), ẩnhàm u(x,t) và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa bài toán Cauchy cho phươngtrình vi phân thường như sau

p "(t) + co2P(t) = hutt, 0 < t < T, (9)

trong đó co > 0, h > 0, P0, Pj là các hằng số cho trước ([1], [11])

Trong [1], N.T An và N.D Triều đã nghiên cún một trường hợp đặcbiệt của bài toán (l)-(4), (7), (9), (10) với uo=u1=Po=0 và K(x,t)-K,

^(t) = X trong đó K, X, là các hằng số dương cho trước Trong trường hợp

này bài toán (1) - (4), (9), (10) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của mộtvật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng

Trong trường họp (7), bài toán (1) - (4), (9), (10) mô tả sự va chạmgiữa một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồiphi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt

Từ (9), (10) ta biểu diễn P(t) theo p0, Pi, co, h, utt(0,t) và sau khi tíchphân từng phần, ta được

tP(t) = g0(t) + hu(0,t) -1 k0(t - s)u(0,s)ds, (11)

0

trong đó

g0 (t) = (P0 - hu0 (0)) cos cot + — (Pj - hu1 (0)) sin (Ot, (12)

cok0(t) = hcosincot

Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (2) bởi (13)

t

ux (0, t) = g0 (t) + hu(0, t) - j k0 (t - s)u(0, s)ds (14)

0Khi đó ta đưa bài toán (1) - (4), (9), (10) về bài toán (1) - (4), (11) -(13) hay (IX (3), (4), (12) - (14)

Các tác giả Bergounioux, Long, Alain [3], và Long, Alain, Diễm [8] đãnghiên cúư bài toán (1), (2), (4), (8) và

trong đó K, X, Kp X1 là các hằng số không âm cho trước Bài toán (1), (2),

(4), (8), (3’), (15) mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồinhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyếntính ở bề mặt, các ràng buộc liên kết vói lực cản ma sát nhớt

Luận văn được trình bày theo các chuông mục sau:

Phần mở đầu tống quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm quacác kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 1, chúng tôi trình bày một số công cụ chuẩn bị, bao gồm việcnhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compactgiữa các không gian hàm

Chương 2, chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu củabài toán (1) - (6) trong hai trường hợp (U 0, U 1) EH1(0,1)XL2(0,1),U 0(1) = 0 và(U 0, U,)EH2(0,1)XH1(0,1), U 0(1) = 0, U J(1) = 0 Chứng minh được dựa vàophương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm và phưong phápcompact yếu Trong phần này, định lý Schauder được sử dụng trong việcchứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin

Chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định và tính trơn của nghiệm bàitoán (1) - (6) trong trường hợp a = 2

u x (l,t)+KjU(l,t) + AqU t (1, t) = 0,

f(u,ut) = Ku + )ait,

(3’)(15)

Chương 1 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm thông dụng

Chúng ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng và kí hiệugọn lại như sau:

Ta dùng các ký hiệu (v) và ||.|| để chỉ tích vô hưóng và chuẩn sinh bởitích vô hướng tưong ứng trên L2 Kí hiệu (v) cũng dùng để chỉ cặp tích đốingẫu giữa một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một khônggian hàm Ký hiệu III để chỉ chuẩn trong không gian Banach X Ta gọi X’ làkhông gian đối ngẫu của X

Các ký hiệu ư(0,T;X), 1 < p < co, là không gian Banach của các hàm

đo được U:(0,T)H>X, sao cho

Ta kí hiệu u(t), u'(t) = ut(t) = u(t), u"(t) = utt(t) = u(t), ux(t), để lần

Trang bị trên w một chuẩn như sau:

(ii) gm -» g hầu hết trong Q

Khi đó: gm ->g trong Lq(Q) yếu

Sau cùng, chúng tôi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được ápdụng trong nhiều bài toán biên

Trước hết ta làm một số giả thiết sau:

Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa các điều kiện (1.3)(i) Phép nhúng VQH là compact

(ii) V trù mật trong H

j-»oo

7

Cho a:VxV^R là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trênVxV và cưỡng bức trên V

Chính xác hon, ta gọi a là một dạng song tuyến tính:

(j) Nếu u^ău,v) tuyến tính từ V vào R với mọi veV và

V —» ău, v) tuyến tính từ V vào R với mọi ueV

(jj) Đối xứng nếu ău,v) = ăv,u), Vu, V e V

(jjj) Liên tục nếu 3M >0:|ău,v)| <M||u|| ||v|| , Vu,veV

(4j) Cưỡng bức nếu 3a > 0: ăv, v) > a||v||ị, Vv e V

Khi đó ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.3 ([12], Định lý 6.2.1, p.137) Dưới giả thiết (1.3), (1.4) Khi

đó, tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert {Wj} của H gồm các hàm riêng Wj

tương ứng với giá trị riêng X- sao cho

0 < X 1 < Ả 2 < < Ả < , limX = +GO

ăwj, v) = Ả^Wj,vj, Vv E V, Vj = 1,2

Wi

Hơn nữa, dãy {——} cũng là một cơ sở trự’c chuân Hilbert của V đôi

với tích vô hướng ặ,.)

Chứng minh bổ đề 1.3 có thể tìm thấy trong [12, Định lý 6.2.1, p 127]

trong đó K(x,t), ^(t), F(x,t), u0, Uj là các hàm cho trước thỏa các điều kiện

mà ta sẽ chỉ ra sau Hàm chưa biết u(x,t) và các giá trị biên chưa biết P(t) thỏaphương trình tích phân phi tuyến sau đây

P(t) = g0(t) + Kut(0,ì) + Ko |u(0,t)|a_2 u(0,t)

Trước hết chúng ta đặt:

V = {v e H1 (0,1): v(l) =0}

(2.1.1)

hML'-IMI-IMIV-IMIH1’ VveV- (2.1.3)

Bổ đề 2.1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng ặ,.) được xác định bởi(7), liên tục trên VxV và cưỡng bức trên V

Các bổ đề 2.1.1 và 2.1.2 là kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó

có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gianSobolev, chẳng hạn [6]

Chú thích 2.1.1 Ta suy ra từ (2.1.3) rằng, trên V cả ba chuẩn IIvịị J, IIv’|| và

||v|| = yỊạ(v, v) là tương đương.

2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Ta thiết lập các giả thiết sau

Hon nữa, nếu a = 2 hoặc a> 3 thì nghiệm (u,p) là duy nhất.

Chứng minh Việc chứng minh được chia làm nhiều bước

Đặt

mUm(t) = SCmj(t)Wj’

;=1

j=l

(2.2.4)trong đó cmj(t) thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến

+ (u^, wjx) + Pm(t)Wj(0)

(2.2.5)+ {K(x, t)um (t) + A,(t)um (t), w ị} = (F(x, t), w j},

pm (t) = g0(t) + ^oum (0 + K0 |um (0, t)|a"2 um (0, t)

ồvới

Bổ đề 2.2.1 Giả sử các giả thiết (F), (g0), (K), (A,), (k0), (T), (2’)

thỏa Khi đó với mỗi T> 0 cố định, hệ phưoĩig trình (2.2.11) - (2.2.13) có nghiệm c m =(c mi , ,c mm ) trên[0, Tm] c [0, T~\.

Chứng minh Ta bỏ qua chỉ số m, hệ (2.2.11) - (2.2.13) đuợc viết lạiduới dạng

trong đó

c = (c1, ,cB), Uc = ((Uc)1, ,(Uc)J,(Uc)j(t) = Gj(t) + jNj(t - x)(Vc)j (x)dx,

a) Trước hết, ta chứng minh Ư là ánh xạ từ s vào chính nóTrước hết, ta chứng minh Ư: Y —» Y Lấy c e Y, để chứng minh

— í - -— -F(x)dx—> fcos^j(t-x)F(x)dx

khi h —» 0Tương tự, ta cũng có:

sinẦ(t + h - x) -V" -FW <2F(T)

f -— -F(x)dx —>0 khi h —» 0, h

Sử dụng bổ đề 2.2.3 và các giả thiết (F), (g0), (K), (Ấ), (k0), (T), (2’),chúng ta suy ra Gj e ỡdT^T^R) và (Vc)j e C°([0,Tm];R) với mọi

c 6 c1([0,Tm];RmỊ, hơn nữa từ (2.2.15) suy ra

|Vc||0<m|[N1(f1J,M) + TN2(f2j,M,T)] (2224)

= Ị3(M,T) VceS

trong đó

N1(f1j,M) = sup||flj(y,z)|:||y||R„ <M,||z||Rm <M|

N2(f2j,M,T) = sup j|f2j(t,y)|: 0 < t < T,||y||Rm < M

Do vậy từ (2.2.22) - (2.2.25) ta thu được

0

Khỉ đó toán tử Wj : C^O^lỉR'" ) —> C°([0,7^];R) ỉà liên tục trên s.

Chứng minh Bổ đề được suy ra một cách dễ dàng nhờ vào tính liêntục đều của hàm f2j trên [0,Tm] X

Từ (1.2.34), (1.2.35), (1.2.36) ta suy ra

|Vc—Vd|0 = sup skvc)j (x) - (Vd)j (x)

0<T<T m j =1

<KM(||c-d||0 + ||c'-d|0)+ sup X|(Wjc)(t)-(Wjd)(t))

0<t<T m j =11Vc,de s

(2.2.36)

Sử dụng bổ đề 2.2.2 và bất đẳng thức (2.2.36) chứng tỏ rằngV: Y —» c° Ị[0,Tm];Rm) là liên tục trên s

Do bất đắng thức

và từ (2.2.24), (2.2.37), ta thu được

us là compact trong Y Do định lý điểm bất động Schauder nên Ư có điểmbất động ceS, cũng chính là nghiệm của hệ (2.2.11) Bổ đề 2.2.1 được chứngminh hoàn tất.

Dùng bổ đề 2.2.1, hệ phương trình (2.2.5) - (2.2.7) có nghiệm(um(t),pm(t)) trong một khoảng [0,Tm] Các đánh giá tiên nghiệm tiếp theocho phép chúng ta lấy Tm = T với mọi m

Bước 2: Đảnh giá tiên nghiệm.

Thế (2.2.6) vào (2.2.5), sau đó nhân phương trình thứ j của hệ (2.2.5)cho cmj ’(t) và cộng các phương trình theo chỉ số j, ta có

~ 2 ẽo (t)um (0, t) < - gổ (t) + s|um (0, t)| 2 < - g2 (t) + sSm (t)

(2.2.43)

(2.2.44)

(2.2.45)(2.2.46)

(2.2.47)

-2jum(0,r) Jko(r-s)um(0,s)ds dr-2k0(0)Ju* (0,r)dr

< eSm(t) + ỉ}kị(0)de|Sm(s)ds + 2 tj|ko(0)|

a

um(0) 2+||uim(0)||2+^K0||u0m(0)||a + 2g0(0)u0m(0) (2.2.53)

<C1? Vmtrong đó: Ci là hằng số chỉ phụ thuộc vào u^u^g^k^a

Sử dụng bổ đề Gronwall, chúng ta rút ra từ (2.2.55), (2.2.56) làSm(t)<Mị1)exp(tN®)<Mị1)exp(TNị1)) = CT, Vte[0,T] (2.2.57)Mặt khác từ (2.2.6), (2.2.43), (2.2.57) ta rút ra:

Bước 3: Qua giới hạn

Từ (2.2.43), (2.2.58) - (2.2.60) ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con củadãy {um, pm}, vẫn kí hiệu là {um, pm}, sao cho:

Áp dụng bổ đề về tính compact của Lions (xem [6], p.57), kết hợp với

H1(0,T)QC°([0,T]), ta có thể suy từ (2.2.6la) - (2.2.6ld) rằng tồn tại mộtdãy con vẫn kỷ hiệu là {um}, sao cho:

Um —> u trong L2 (QT) mạnh và a.e trong Qx (2.2.62a)

um(0,t) -> u(0,t) trong C°([0,T]) (2.2.62b)

P(t) = g0(t) + K0 |u(0,t)|“~2 u(0,t) -}k0(t - s)u(0,s)ds (2.2.64)

0

Kết hợp với (2.2.6ld), ta đuợc

pm(t) = ĩm (t) + v*m(0,t) -> P(t) + A,0uf(0,t) = P(t) (2.2.65)

trong L2(0,r) yếuQua giới hạn trong (2.2.5) - (2.2.7) nhờ vào (2.2.6la), (2.2.6lb),(2.2.61e), (2.2.65) ta có

r

-|(u'(t),v) + {ux,vx) + P(t) v(0)

+ (K(x,t)u(t) + Ằ.(t)u'(t),v)=(F(x,t),v), VveV

vtt - + K(x, t)v+X(t)v, = 0

24

Bước 4: Sự duy nhất nghiệm.

Giả sử (u, P),(u,P) là hai nghiệm yếu của bài toán (1) - (5) thỏau,u € L"(0,T; V); u„í € L"(0,T;L2)

P,PeL2(0,T)thì (v, Q) với V = u - u, Q = p - p là nghiệm yếu của bài toán sau:

25

Chứng minh của bổ đề có thể tìm thấy trong [3]

Sử dụng bổ đề 2.2.3 với ỘỊ =K(x,t)v + À,(t)vt, Pj(t) = Q(t),u0 = Uj = 0 chúng ta có

Chúng ta xét hai trường hợp của a

Trường hợp 1\ a = 2, H1(t) = H(u(0,t))-H(u(0,t)) = u(0,t)-u(0,t)

u'm(0) = ulm = ^pmjwj->u0 manh trong H'

28

u s r(0,T;H 2 ), u, € L"(0,T;H'), u„ e ư(ữ,T;ứ) u(0,.)eH\0,T), P e H ' ( 0 , T)

H OTI nữa, nếu a =2 hoặc a> 3 thì nghiệm (u,p) /ứ

W j (x) = ^2/(l + Ả 2 )c os(X j x), = (2j-l)-|, j = 1,2,

Đặt

mUm(t)=XCmj(t)Wj>

i=lHtrong đó cmj(t) thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến

(2.2.78)

pm (t) = g0(t) + 5t0«m(t) + Ko |um (0, t)|“"2 um(0, t)

ồvới

m

(2.2.81)

cho phép chúng ta lấy Tm = T với mọi m.

Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm.

Đánh giả tiên nghiêm 1:

Trong chứng minh của định lý 2.2.1, chúng ta có được đánh giá sau với

Đảnh giá tiên nghiệm 2:

Lấy đạo hàm (2.2.78) theo biến thời gian t, ta có:

( Wm (t) Wj) + (um (t), wjx ) + pm (t)w j(0)+ (K ’( X , t)um (t) + X '(t)um (t) + K(x, t)um (t) + X(t)u'm (t), W j )

Nhân phưcmg trình thứ j của hệ (2.2.84) cho cmj(t) và cộng các phươngtrình theo chỉ số j, sau đó tích phân từng phần theo biến thời gian từ 0 đến t,chúng ta có được phương trình sau với vài sự sắp xếp lại

t

0 t

-2K0(a-l)j]um(0,s)

0

+ K0(a-2) , aCx1+ T

2K

1 |ko(0)| ,-l+

(2.2.96)

(2.2.97)

(2.2.98)Mặt khác, từ giả thiết (go’)? (2.2.79), (2.2.82), (2.2.86), (2.2.98), chúng

ta rút ra

Bước 3: Qua giới hạn

um trong ư(0,T;V) yếu* (2.2.100a)

P(t) = go (t) + ^out (°>t) + K0 |u(0, t)|a“2 u(0, t)

(2.2.105)

t-jk0(t -s)u(0,s)ds, (2.2.106)Mặt khác, từ (2.2.101a), (2.2.101Ồ), (2.2.10le), (2.2.104) và giả thiết(F’)> (K’),(A.’), ta suy ra

uxx = u"+ K(x,t)u + X(t)uF(x,t) e L°° (0,T;L2)

Vì thế u e L°°(0, T;V n H2) Sự tồn tại nghiệm yếu đuợc chứng minh.Nghiệm yếu của bài toán (1) - (5) là duy nhất, điều này đuợc chỉ ratương tự như trong chứng minh của định lý 2.2.1

Định lý 2.2.2 được chứng minh hoàn toàn

Chương 3 TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM

Trong chương này, luận văn muốn đề cập đến tính ổn định và tính trơncủa nghiệm yếu của bài toán (1) - (5) theo điều kiện đầu

3.1 Tính ổn định của nghiệm

Trong phần này, ta giả sử a = 2 trong (5) và các hàm F, k,2, go, ko thỏa(F),(g0),(K),(À.),(k0),(l'),(2') Chúng ta cố định hàm F(x,t), do định lý 2.2.1bài toán (1) - (5) có duy nhất nghiệm (u, P) phụ thuộc vào k, 2, go, ko

u = u(k, 2, go, ko) p = P(k, 2, go, ko)

trong đó k,2, go, kothỏa các giả thiết (g0),(K),(X),(k0) và các hàm F, u0, Ui cốđịnh thỏa (F),(2')

các đánh giá tiên nghiệm (3.1.2), (3.1.3).

Bây giờ do (3.1.1) ta có thể giả sử rằng, tồn tại các hằng số dưong k0,

Xo, goo, koo sao cho:

kj||L=o — koo? |^j L cc-^0’ ||goj||H — ểoo?||^oj||Hi —^00' (3.1.4)Khi đó, do chú ý ở trên, ta có các nghiệm Uj, Pj của bài toán (1) - (5)tưong ứng với (k, X, go, ko) = ( kj, Xj, goj, kọj) thỏa mãn các đánh giá:

g^=g oj -| k o J ( t - s ) u

j (0,s)ds 0

t-2jgojVj(0,s)ds

êoj

8

F = 2 ( 1 + 7lMUo.T, + 2 ^

L (3.1.19)39

Một lần nữa sử dụng phép nhúng H1 (0,T)QC°([0,T]) Khi đó ta suy

Định lý 3.1 được chứng minh đầy đủ

3.2 Tính trơn của nghiệm

Trong phần này, chúng tôi xem xét tính tron của nghiệm bài toán (1) (5) khi a = 2, K(x,t) = K(x) Chúng ta đưa ra các giả thiết mạnh hơn

-(Fm): F,F„F„EL2(0,T;L2) và^(.,0)eH'

ỡt(go[11): g0eH3([0,T])

(K[l1): KsL"(0,l)(X[11): Xe L"(0,T),X, e L“(0,T),X„ e L"(0,T)

(k0[l]): koEH2(0,T)

(2 [1] ): u 0 E H 3 nV,Uj E H 2 nV