Một số giải pháp toán học cho việc phân phối tài nguyên trong độ tin cậy phần mềm

Một số giải pháp toán học cho việc phân phối tài nguyên trong độ tin cậy phần mềm

Trường Đại Học Bách Khoa

PHAN THỊ NGỌC MAI

MỘT GIẢI PHÁP TOÁN HỌC CHO VIỆC PHÂN PHỐI

TÀI NGUYÊN TRONG ĐỘ TIN CẬY PHẦN MỀM

Chuyên ngành: Khoa học Máy tính

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM

- -oOo -

Tp HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2008

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên học viên : Phan Thị Ngọc Mai Giới tính : Nam… / Nữ ; Ngày, tháng, năm sinh : 1978 Nơi sinh : Bến Tre

Chuyên ngành : Khoa học Máy tính

Khoá : 15

1- TÊN ĐỀ TÀI :

MỘT GIẢI PHÁP TOÁN HỌC CHO VIỆC PHÂN PHỐI TÀI NGUYÊN TRONG ĐỘ TIN CẬY PHẦN MỀM

2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN :

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ :

4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ :

5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS Nguyễn Văn Minh Mẫn

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

(Họ tên và chữ ký)

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS Nguyễn Văn Minh Mẫn

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm 2008

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như

đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi

thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp để lấy một bằng

cấp ở trường này hoặc trường khác

Ngày 30 tháng 06 năm 2008

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành nhất đến TS Nguyễn Văn Minh Mẫn, người

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn và tạo điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Xin gởi lời cảm ơn đến các Thầy Cô đã dạy tôi trong thời gian qua Tôi xin cảm

ơn các bạn đồng môn và đồng nghiệp đã quan tâm, chia sẽ trong suốt quá trình học và làm luận văn

Xin cảm ơn gia đình đã dành cho tôi tình thương yêu và sự hỗ trợ tốt nhất

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Đánh giá độ tin cậy phần mềm là một vấn đề quan trọng trong việc đánh giá chất lượng của một phần mềm Quá trình này thường được thực hiện trong các giai đoạn thiết kế phần mềm, kiểm tra lỗi phần mềm

Công việc kiểm tra lỗi phần mềm được triển khai xuyên suốt các giai đoạn phát triển phần mềm, công việc này giúp giảm chi phí và nâng cao chất lượng phần mềm khi triển khai cho khách hàng Trong thời gian hệ thống kiểm tra, việc đo lường độ tin cậy phần mềm là tiêu chuẩn quan trọng có tác dụng quyết định có nên công bố phần mềm phần này hay không

Ngoài ra, một vấn đề rất quan trọng quyết định sự thành bại của phần mềm và đang làm đau đầu các nhà quản lý dự án Đó là làm thế nào để phân phối chi phí một cách hiệu quả nhằm tạo ra một phần mềm có tính tin cậy cao Đã có một số phương pháp giải quyết bài toán được hiện thực theo một số mô hình toán học Phương pháp kết hợp quy hoạch nguyên và quy hoạch phi tuyến là một giải pháp hữu hiệu để giải quyết vấn đề này

Đề tài này trình bày một giải pháp toán học đa bước để phân phối tài nguyên cho

độ tin cậy phần mềm Sử dụng quy hoạch nguyên nhị phân để thực hiện việc phân phối chi phí cho các module mua Sử dụng quy hoạch phi tuyến để thực hiệc việc phân phối chi phí cho các module phát triển trong công ty Thông qua việc kết hợp này, luận văn

đã xây dựng được giải pháp cho phép giải quyết bài toán theo hai hướng: tìm độ tin cậy lớn nhất có thể có của phần mềm mà không vượt quá giới hạn chi phí đã cho và ngược lại tìm chi phí nhỏ nhất để phần mềm có độ tin cậy là một giá trị xác định trước Chương trình hiện thực đã cung cấp được một lời giải với độ chính xác tương đối cho một số minh họa cụ thể

Từ khoá: Algorithm, Binary Integer Programming, Branch and Bound,

Developed module, In-house Integration module, Nonlinear programming, Resource allocation, Programming modules, Purchased module, Software reliability

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

TÓM TẮT LUẬN VĂN iii

DANH MỤC HÌNH vi

DANH MỤC BẢNG vii

Chương 1 GIỚI THIỆU 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Sơ lược về việc phân phối độ tin cậy phần mềm 2

1.3 Kết cấu của luận văn 4

Chương 2 Các Mô Hình Phân Phối Chi Phí Cho Độ Tin Cậy Phần Mềm 6

2.1 Giới thiệu 6

2.2 Phân loại các module trong phần mềm 6

2.3 Mô hình quyết định trước 7

2.3.1 Độ tin cậy của một module đơn phát triển trong công ty 7

2.3.2 Độ tin cậy của một module mua 8

2.3.3 Độ tin cậy của một module tích hợp 9

2.4 Mô hình tổng quát 14

Chương 3 Phương Pháp Giải Bài Toán Quy Hoạch Nguyên 15

3.1 Giới thiệu 15

3.2 Sự cần thiết của bài toán quy hoạch nguyên 15

3.3 Phương pháp giải quyết bài toán quy hoạch nguyên 16

3.4 Phương pháp giải quyết bài toán quy hoạch nguyên nhị phân 19

Chương 4 Phương Pháp Giải Bài Toán Quy Hoạch Phi Tuyến 23

4.1 Giới thiệu 23

4.2 Những điều kiện tối ưu 25

4.3 Tính lồi của hàm nhiều biến 26

4.3.1 Tập lồi 26

4.3.2 Định nghĩa hàm lồi 26

4.3.3 Đặc trưng của hàm lồi 26

4.4 Các phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến 27

4.4.1 Giải bài toán tối ưu không có điều kiện ràng buộc 27

4.4.2 Giải bài toán tối ưu với điều kiện ràng buộc các biến lớn hơn 0 28

4.4.3 Giải bài toán tối ưu với điều kiện ràng buộc là các phương trình tuyến tính 30

4.4.4 Giải bài toán tối ưu với điều kiện ràng buộc là các phương trình phi tuyến 34

5.4 Sự kết hợp module mua và module phát triển trong công ty 40

5.4.1 Bài toán A 41

5.4.2 Bài toán B 46

Chương 6 Một số kết quả, kết luận 51

6.1 Sơ lược về chương trình 51

6.2 Một số kết quả chạy chương trình 51

6.2.1 Bài toán trong ví dụ 3.4 51

6.2.2 Bài toán trong ví dụ 4.1.1 51

6.2.3 Bài toán trong ví dụ 4.3.1 52

6.2.4 Bài toán trong ví dụ 4.3.4 52

6.2.5 Bài toán cho một phần mềm gồm có 6 module 54

6.2.6 Bài toán cho một phần mềm gồm có 11 module 56

6.2.7 Bài toán cho một phần mềm gồm có 22 module 61

6.2.8 Bài toán cho một phần mềm gồm có 37 module 67

6.3 Kết luận 74

Tài Liệu Tham Khảo 76

Phụ lục 1 Bảng đối chiếu Thuật ngữ Anh - Việt 77

Phụ lục 2 Bảng tóm tắt các mô hình đánh giá độ tin cậy phần mềm 78

Phụ lục 3 Sơ lược về MATLAB 80

Tham khảo Chỉ Mục 84

DANH MỤC HÌNH

Hình 2.1: Độ tin cậy của một module phần mềm 8

Hình 2.2: Một hệ thống databate-indexing 11

Hình 3.1: Giá trị tối ưu LP khi làm tròn xa với giá trị tối ưu của IP problem 16

Hình 3.2: Một cây liệt kê đầy đủ 17

Hình 3.3 : Cây tìm kiếm cho ví dụ 3.2 22

Hình 4.1: Một giải pháp hình học cho ví dụ 4.1.1 24

Hình 4.2: Một giải pháp hình học cho ví dụ 4.1.2 25

Hình 5.1: Sự phân hoạch bài toán 36

Hình 6.1: Mô hình một phần mềm có 11 module 56

Hình 6.2: Mô hình một phần mềm có 22 module 61

Hình 6.3: Mô hình một phần mềm có 37 module 67

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1: Giải pháp cho những nguồn ngân sách khác nhau 13

Bảng 6.1: Kết quả chạy phần mềm có 6 module cho bài toán A 54

Bảng 6.2: Kết quả chạy phần mềm có 6 module cho bài toán B 55

Bảng 6.3: Kết quả chạy phần mềm có 11 module cho bài toán A 59

Bảng 6.4: Kết quả chạy phần mềm có 11 module cho bài toán B 60

Bảng 6.5: Kết quả chạy phần mềm có 22 module cho bài toán A 65

Bảng 6.6: Kết quả chạy phần mềm có 22 module cho bài toán B 66

Bảng 6.7: Kết quả chạy phần mềm có 37 module cho bài toán A 72

Bảng 6.8: Kết quả chạy phần mềm có 37 module cho bài toán B 73

Chương 1 GIỚI THIỆU

1.1 Giới thiệu

Trong vài thập niên gần đây, cùng với sự xuất hiện của máy tính, các phần mềm

hỗ trợ xử lý công việc cho người sử dụng cũng gia tăng theo cả về số lượng cũng như chất lượng Trong công việc hàng ngày, hầu như ai cũng dựa vào máy tính để gia tăng hiệu suất công việc Nhu cầu người sử dụng ngày càng tăng cao, đòi hỏi công nghệ và các phần mềm phục vụ cho con người cũng phát triển không ngừng

Ngày nay, máy tính đã được con người sử dụng trong mọi thiết bị từ đồng hồ đeo tay, điện thoại, các thiết bị trong nhà, xe mô tô v.v Khoa học kỹ thuật đòi hỏi tốc độ tính toán cũng như độ chính xác, vấn đề đó đồng nghĩa với việc phát triển khả năng xử

lý của phần cứng và chất lượng của phần mềm Một vấn đề đang làm đau đầu các nhà quản lý đó là bằng cách nào đó họ có thể phân bổ tài nguyên một cách hợp lý để tạo ra phần mềm với lợi nhuận và chất lượng cao

Đề tài nghiên cứu việc phân phối tài nguyên cho độ tin cậy phần mềm này giúp chúng ta có thể quản lý và phân bổ tài nguyên cho việc xây dựng phần mềm có chất lượng cao Dựa vào các yếu tố hiện có của công ty, chúng ta có thể chủ động xây dựng

kế hoạch phân bổ tài nguyên để có thể giảm thiểu được các nguy cơ rủi ro đến mức thấp nhất, nhằm tạo ra phần mềm có tính tin cậy nhất

Để tiếp cận và tìm ra giải pháp để giải quyết bài toán nhằm tạo ra được một phần mềm chắc chắn đáng tin cậy theo yêu cầu, đề tài này cố gắng tập trung vào giải quyết một số vấn đề sau:

ƒ Xác định các mudule phần mềm: phần module nào sẽ được phát triển tại công ty và phần module nào sẽ được mua, phần module nào sẽ dùng lại

ƒ Dự đoán tài nguyên (chi phí) cần thiết cho từng module và tính toán độ tin cậy mong đợi với tài nguyên đó

ƒ Tìm chi phí nhỏ nhất để phần mềm có độ tin cậy là một hằng số xác định trước

Với những mục tiêu này đề tài đã thu được một số kết quả:

ƒ Xây dựng được mô hình tổng quát cho bài toán quy hoạch nguyên dạng nhị phân, trên cơ sở đó áp dụng cho bài toán tối ưu hóa các module mua

ƒ Xây dựng được mô hình tổng quát cho bài toán quy hoạch phi tuyến, trên

cơ sở đó áp dụng cho bài toán tối ưu hóa các module phát triển trong công

ty

ƒ Xây dựng được một mô hình phân phối chi phí để phần mềm có độ tin cậy lớn nhất

ƒ Xây dựng được một mô hình phân phối chi phí nhỏ nhất để phần mềm có

độ tin cậy là một hằng số cho trước

Quá trình phân phối chi phí cho độ tin cậy phần mềm được thực hiện như sau: Đầu tiên, xác định các module trong phần mềm module nào là module đơn và module nào là module tích hợp Module đơn nào được phát triển trong công ty và module đơn nào sẽ được mua bên ngoài thị trường

Tiếp theo, xác định công thức tính độ tin cậy cho từng loại module:

ƒ Đối với module mua, mỗi module mua có nhiều version trên thị trường, ứng với mỗi version đều có độ tin cậy và chi phí khác nhau Độ tin cậy và chi phí của một module bằng độ tin cậy và chi phí của version mà chúng ta lựa chọn mua Với lý do tiết kiệm chi phí, do đó chúng ta phải lựa chọn duy nhất một trong số các version đã cho Do đó để thực hiện được vấn đề này, chúng ta đưa một biến thực hiện công việc lựa chọn mua hay không mua một version nào đó Đó là các biến nguyên nhị phân

ƒ Đối với các module phát triển trong công ty, độ tin cậy củamột module sẽ phụ thuộc vào chi phí Khi chi phí tăng thì độ tin cậy cũng tăng theo Tuy nhiên, độ tin cậy sẽ tăng đến một mức độ nào đó thì sẽ tăng chậm lại, cho

dù ta có tăng chi phí nhiều thì độ tin cậy cũng tăng chậm Qua việc khảo

sát hàm số mũ âm, ta nhận thấy cách đo độ tin cậy phần mềm rất giống với hàm số mũ âm Do đó ta chọn hàm số mũ âm để mô tả độ tin cậy của các module phát triển trong công ty và các biến trong các module phát triển trong công ty là các biến thực

Việc giải quyết bài toán tối ưu hoá phân phối chi phí cho độ tin cậy phần mềm tồn tại cả hai loại biến nguyên nhị phân và biến thực rất khó giải quyết Một phương

án đề xuất phân hoạch bài toán thành hai phần: phần module mua và phần module phát triển trong công ty, chi phí để phát triển phần mềm cũng được phân hoạch thành hai phần ứng với hai sự phân hoạch đó

ƒ Đối với bài toán module mua, cấu trúc bài toán giống như một bài toán quy hoạch tuyến tính, tuy nhiên các biến trong bài toán đều là các biến nguyên nhị phân, nếu chúng ta giải quyết bài toán theo phương pháp quy hoạch tuyến tính để tìm ra nghiệm, sau đó làm tròn các nghiệm để được giá trị nguyên, phương pháp làm tròn tìm ra lời giải rất xa so với lời giải thực tế, còn dùng phương pháp liệt kê tất cả các lời giải sau đó tìm ra lời giải tối ưu nhất thì dẫn đến việc bùng nổ tổ hợp Một giải pháp được đề xuất là sử dụng giải thuật Branch and Bound để giải quyết bài toán, bước đầu đã đạt được những kết quả Do module mua cũng là một module đơn trong phần mềm, và các module tích hợp được tích hợp từ các module đơn Do đó, với việc giải quyết bài toán tối ưu hoá các module mua, chúng

ta đã tìm được độ tin cậy và chi phí cho các module mua Kết quả sẽ được đưa vào để giải quyết bài toán tối ưu hoá các module phát triển trong công

ty

ƒ Đối với bài toán các module phát triển trong công ty, do cấu trúc bài toán hàm mục tiêu là một hàm nhiều biến, lại liên quan đến hàm số mũ Cho nên để thực hiện được bài toán ta sử dụng phương pháp quy hoạch phi tuyến để giải quyết, thông qua đây ta cũng tìm được độ tin cậy và chi phí cho từng module trong phần mềm cũng như độ tin cậy của phần mềm Tuy

trong công ty có hợp lý chưa, và các thông số nhập vào có đảm bảo phần mềm có độ tin cậy thoả mãn không Đây là các vấn đề bài toán A trong chương 5 sẽ giải quyết

Một vấn đề khác nhà quản lý đặc ra, với độ tin cậy độ đã định trước, tìm chi phí nhỏ nhất ứng với độ tin cậy đã cho Đây là một bài toán ngược với bài toán A Để thực hiện được vấn đề này, các công việc sau đây cần giải quyết:

ƒ Đối với các module mua các verion của các module mua có độ tin cậy và chi phí là một hằng số xác định trước Vì vậy, công việc tìm độ tin cậy của các module này cũng được thực hiện giống như bài toán A Nghĩa là ta sẽ cho trước chi phí để mua các module và từ đó tìm ra độ tin cậy ứng với chi phí đó Tương tự như trên kết quả độ tin cậy của các module mua sẽ được đưa vào để giải quyết bài toán tối ưu hoá các module phát triển trong công

ty

ƒ Đối với các module phát triển trong công ty, qua việc tìm chi phí nhỏ nhất

để phần mềm có độ tin cậy là một hằng số cho trước ta cũng dùng phương pháp quy hoạch phi tuyến để giải quyết Trong trường hợp này hàm mục tiêu là hàm chi phí và điều kiện ràng buộc là hàm độ tin cậy của phần mềm phải bằng một hằng số cho trước Qua đây, chúng ta có thể tìm ra được chi phí nhỏ nhất của phần mềm, cũng như độ tin cậy và chi phí của từng module trong phần mềm Tuy nhiên, công việc này nhiều lúc không dễ dàng thực hiện, do khi chúng ta phân phối chi phí cho các module mua quá

ít, làm cho độ tin cậy của các module này cũng nhỏ theo, kết quả làm ảnh hưởng đến độ tin cậy phần mềm, hoặc các thông số đầu vào của các module phần mềm cũng gây ảnh hưởng không nhỏ đến quá trình xác định này Đây là một vấn đề cũng không kém phần quan trọng, và sẽ được giải quyết trong bài toán B của chương 5

Luận văn bao gồm 6 chương

Chương 1 Giới thiệu

Chương này trình bày bối cảnh, mục tiêu và kết quả thu được của luận văn

Chương 2 Các mô hình phân phối chi phí cho độ tin cậy phần mềm

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về độ tin cậy phần mềm, cách tính

độ tin của từng loại module trong phần mềm dựa vào chi phí, các phương pháp giải quyết bài toán phân phối chi phí cho độ tin cậy phần mềm

Chương 3 Phương pháp giải bài toán quy hoạch nguyên

Chương này giới thiệu việc dùng giải thuật Branch and Bound để giải quyết bài toán quy hoạch nguyên

Chương 4 Phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến

Chương này trình bày các định lý và giải thuật cho bài toán quy hoạch phi tuyến của hàm nhiều biến

Chương 5 Giải quyết bài toán

Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày về các phương pháp giải quyết bài toán quy hoạch nguyên và quy hoạch phi tuyến Trong chương này sẽ trình giải pháp tiếp cận cũng như cách thực hiện bài toán phân phối chi phí cho độ tin cậy phần mềm Thông qua việc giải quyết bài toán tìm độ tin cậy lớn nhất mà không vượt quá giới hạn ngân sách đã cho, và ngược lại, tìm chi phí nhỏ nhất để phần mềm có độ tin cậy là một hằng

số cho trước

Chương 6 Kết quả, kết luận

Chương này trình bày các kết quả đạt được của bài toán, đề cập lại những việc đã thực hiện được của đề tài Nêu lên hướng mở rộng và phát triển tiếp theo cho đề tài

Chương 2 Các Mô Hình Phân Phối Chi Phí Cho Độ

Tin Cậy Phần Mềm

Chương này trình bày định nghĩa về độ tin cậy phần mềm, cách tính độ tin cậy của các module trong phần mềm, các mô hình phân phối chi phí cho độ tin cậy phần mềm [7]

2.1 Giới thiệu

Độ tin cậy [3] của một hệ thống phần mềm được định nghĩa là xác suất của sự thành công Được thực hiện bằng cách đo hoạt động phần mềm trong một đơn vị thời gian, trong một môi trường nhất định Đây là một thuộc tính của chất lượng phần mềm, bao gồm các nhân tố như: sự toại nguyện của khách hàng, tính tiện lợi, sự thực thi phần mềm, tính có ích, khả năng công việc

2.2 Phân loại các module trong phần mềm

Trong nghiên cứu này, chúng ta xem cấu trúc của một phần mềm được tổ chức các module theo cấu trúc cây phân cấp và chúng ta sẽ tính toán độ tin cậy của phần mềm theo cấu trúc cây phân cấp

Chúng ta giả định các module trong phần mềm được tồn tại dưới hai dạng: module đơn và module tích hợp

ƒ Module đơn là module được tạo ra từ chính nó Module này có thể được module mua từ bên ngoài thị trường và cũng có thể module được phát triển trong công ty

ƒ Module tích hợp là một module được phát triển trong công ty Module tích hợp được tạo thành từ nhiều module đơn, hoặc có thể từ các module đơn

và module tích hợp khác

Với lý do phân bổ nguồn tài nguyên hợp lý để tạo ra phần mềm có tính tin cậy cao mà tiết kiệm được chi phí Dựa vào nguồn lực hiện có của công ty, nhà quản lý quyết định phần module nào sẽ được phát triển trong công ty, phần nào sẽ mua, và phần nào sẽ dùng lại

ƒ Một module được xem thích hợp để phát triển trong công ty khi trong công ty có đầy đủ điều kiện để phát triển và việc triển trong công ty có thể

sẽ tiết kiện hơn so với việc mua từ bên ngoài Loại module này bao gồm module đơn và module tích hợp

ƒ Một module được xem thích hợp để mua khi có nhiều version trên thị trường và trong công ty có thể không có đầy đủ điều kiện để phát triển hoặc chi phí để mua có thể tiết kiệm hơn so với việc phát triển trong công

ty Loại module này là module đơn

ƒ Một module được xem thích hợp dùng lại khi trong công ty đã có sẳn (do trong công ty phát triển hoặc đã mua trước đó) và việc dùng lại này rõ ràng không tốn chi phí nào

Vấn đề chính trong bài toán này là phân phối chi phí cho độ tin cậy phần mềm

Do đó, chúng ta chỉ xem xét các mô hình phát triển phần mềm chỉ bao gồm các module mua và các module phát triển trong công ty, còn phần module dùng lại do không có sự tham gia của nhân tố chi phí cho nên chúng ta sẽ không được xét đến

2.3 Mô hình quyết định trước

Nhiệm vụ của mô hình quyết định trước là xác định trước một module sẽ được mua hoặc được phát triển trong công ty

Giả sử trong phần mềm có n module chúng ta có thể phân theo các dạng sau:

ƒ Các module từ 1, 2, m1 là các module đơn và các module từ m 1+1, ,

x là chi phí khởi tạo cho việc phát triển module i trong công ty, và ứng

với chi phí này ta có độ tin cậy khởi tạo ( 0 )

i

r Nếu chúng ta cung cấp chi phí nhỏ hơn chi phí khởi tạo thì độ tin cậy của module được xem bằng không Độ tin cậy của một module sẽ tăng dần và tỷ lệ thuận với việc phân phối chi phí Độ tin cậy tối đa có thể

đạt được cho module i là (max)

i

r Thường chúng ta cho rằng độ tin cậy r i(max) =1 Nhưng

Dựa vào các nhận định trên, chúng ta chọn cách mô tả độ tin cậy của một module

đơn được phát triển trong công ty với hàm số mũ âm, vì với hàm này phù hợp với mô

hình tăng tưởng độ tin cậy dựa vào việc phân phối chi phí (xem hình 2.1) Mô hình độ

tin cậy của một module đơn như sau:

Độ tin cậy của một module i là r i:

(2.1)

trong đó là một thông số phản ảnh độ nhạy của độ tin cậy của module mỗi khi

có sự thay đổi chi phí Giá trị lớn sẽ tác động đến việc thay đổi chi phí Do đó khi

Hình 2.1 dưới đây biểu diễn hàm độ tin cậy của công thức (2.1) Cho , , và Trong trường hợp này, độ tin cậy là 0 khi chi phí nhỏ hơn 100, và 0.3 khi chi phí bằng 100 Độ tin cậy khi đó tăng lên cho đến khi đạt giá trị lớn nhất là 0.9 khi x i→∞

Hình 2.1: Độ tin cậy của một module phần mềm 2.3.2 Độ tin cậy của một module mua

Mỗi module i trong tập hợp các module mua được giả định có n i version trên thị

100

Cho y ij là một biến nhị phân biểu thị cho việc mua hay không mua version thứ j

của module i Nếu y ij =1thì version j của module i được mua, ngược lại y ij =0thì

version j của module i không được mua Với mục tiêu của mô hình là cực đại hóa độ

tin cậy của phần mềm được ràng buộc trên tổng ngân sách đã cho (B) Do đó, để tiết

kiệm chi phí mỗi module mua chỉ mua duy nhất một version trên thị trường, chúng ta

cần điều kiện sau 1

y , với bất kỳ mudule mua Khi đó ta có độ tin cậy của

i c y c

1

2.3.3 Độ tin cậy của một module tích hợp

Cho các module i1, i2, , is là các module tạo thành module T i Ta gọi module T i

là một module tích hợp Độ tin cậy của một module tích hợp Ti phụ thuộc vào độ tin

cậy của các module con của T i

Cho (m)

T i

r là độ tin cậy lớn nhất có thể đạt được của module tích hợp T i Giả sử

việc thực thi chương trình của các module con là theo một trình tự và không có sự phụ

thuộc lẫn nhau Do đó độ tin cậy tối đa có thể đạt được của module T i được tính theo

(max) Tuy nhiên, trong quá trình tích hợp các module con có thể

xẩy ra những lỗi do có sự không tương thích giữa các module với nhau Do đó, gọi ( 0 )

)

0

(

i i i

i i x

x T

T T

T

x x

x x e

r r

r

R i i i i i i i

α

(2.3)

trong đó α , i x ivà ( 0 )

i

x đã được định nghĩa trong phần trước

Công thức độ tin cậy phần mềm ( ) phụ thuộc vào cấu trúc của phần mềm:

ƒ Nếu phần mềm chỉ là một module đơn thì là bằng độ tin cậy của module đó

ƒ Nếu phần mềm chỉ là một module được phát triển trong công ty thì công thức độ tin cậy là công thức (2.1)

ƒ Nếu phần mềm chỉ là một mudule mua thì công thức độ tin cậy là công thức (2.2)

ƒ Nếu phần mềm là một hệ thống có nhiều hơn một module thì module gốc phải là một module tích hợp và độ tin cậy phần mềm phụ thuộc vào độ tin cậy của các module con Công thức tính độ tin cậy phần mềm là công thức (2.3) Khi một số module con là các module tích hợp, công thức độ tin cậy của các con phải được tính trước Một thủ tục đệ quy có thể sử dụng để tính toán

Hình 2.2 biểu diễn một hệ thống phần mềm chứa 6 module Index-generator(3)

và Analyzer(4) là 2 module được phát triển trong công ty và công thức độ tin cậy là công thức (2.1) (xem r3 và r4 trong phần 5) Parse(1) và Stemmer(2) là 2 module mua

và công thức độ tin cậy là công thức (2.2) (xem r1 và r2 trong phần 5) Công thức độ tin

cậy của module tích hợp (công thức (2.3)) được sử dụng cho Keyword(5) (xem r5 trong

phần 5) Một công thức cho mọi module con của module gốc Database-index(6) được

xác định trước thông qua công thức (2.3) và đây cũng là công thức tính độ tin cậy phần

mềm ( ) (xem r6 trong phần ví dụ 2.1)

c n

m i i ij

m i

n j ij

i

i x

x ≥ với i=m +1, ,n và

y ij =0,1 với i=1, ,m và j=1, ,ni (P4)

ƒ Mục tiêu (P1) là cực đại hoá độ tin cậy của hệ thống

ƒ (P2) đảm bảo tổng chi phí sử dụng không vượt quá ngân sách cho phép

ƒ P(3) chắc chắn sẽ có duy nhất một version được module i mua, với

., ,2,

i=

ƒ (P4) bảo đảm các module phát triển trong công ty đều có độ tin cậy lớn

hơn không và toàn bộ y ij là nhị phân

Module tích hợp Module mua Module phát triển

được phát triển trong công ty sẽ lớn hơn không nếu ( 0 )

Ví dụ 2.1: Trong ví dụ này, chúng ta sẽ làm sáng tỏ những vấn đề được nêu ở

trên Sự thực hiện đầy đủ của một database-indexing bao gồm các module (xem hình 2.2):

ƒ Parser(1) và Stemmer(2) là các module mua Mỗi module mua có 2

version

ƒ Index-generator (3) và Analyzer(4) là hai module đơn

ƒ Keyword(5) là module tích hợp từ hai module Analyzer(4) và Stemmer(2)

ƒ Database-indexing task(6) là module tích hợp từ ba module Keywork(5)

với Index-generator(3) và Parter(1)

Các số ngẫu nhiên được chọn cho ví dụ:

3 ,

3 0 , 8 0

4 ,

25 0 , 7 0

5 3 ,

4 0 , 5 0 ,

9 0

2 ,

3 0 , 53 0 ,

83 0

8 , 95 0

7 , 87 0

6 , 9 0

5 , 7 0

) 0 ( 6 6

6

) 0 ( 5 5

5

) 0 ( 4 4

) 0 ( 4 )

( 0

) 0 ( 3 3

) 0 ( 3 )

( 3

22 22

21 21

12 12

11 11

x q

x r

r

x r

r

c r

c r

c r

c r

m m

αα

αα

Để tính toán độ tin cậy của hệ thống, đầu tiên chúng ta tính độ tin cậy của các module mua (1) và (2) và các module đơn (3) và (4)

Otherwise

x e

r

x e

r

y r y r r

y r y r r

x

x

5.30

)5.09.0(9.0

Otherwise

20

)53.083.0(83.0

4 )

5 3 ( 4 0 4

3 )

2 ( 3 0 3

22 22 21 21 2

12 12 11 11 1

x e

r r r r

x m

m

0

) ( ( 0 ) 0 25 ( 3 ) 5

5 ) ( 5 ) ( 5 5

0 (

r r r r

x m

m

0

) ( ( 0 ) 0 3 ( 3 ) 6

6 ) ( 6 ) ( 6 6

0 (

6 0.8r m

r =Bài toán là:

max S.T

B x x x x y c y c y c y

c11 11+ 12 12 + 21 21+ 22 22 + 3+ 4+ 5+ 6 ≤

1

1

22 21

12 11

=+

=+

y y

y y

6,5,4,3,

) 0 ( =

≥x i

x i i , y11,y12,y21,y22 = 0 , 1Thông qua việc sử dụng hàm Solver của phần mềm Microsoft Excel Sau khi giải bài toán ta thu được các kết quả sau:

2.4 Mô hình tổng quát

Giả sử trong phần mềm tồn tại n module và các module này có thể được mua ở

bên ngoài thị trường hoặc được phát triển trong công ty Cho z i là một biến nhị phân,

khi z i = 1 thì module i là được phát triển trong công ty, ngược lại nếu z i = 0 thì module

i được mua từ bên ngoài Số version của những module i được mua bên ngoài thị

trường là n i và mỗi module mua chỉ mua một version trong số các version của module

đó Từ một module có thể được phát triển trong công ty hoặc được mua từ bên ngoài

i

i r z r y R

1

Tương tự, gọi C i là chi phí để thực hiện một module module i:

i

i x z c y C

c n

i i i ij

n i

n j ij

i y

1,0, ij =

i y

trong đó:

ƒ (GP1) cực đại hoá độ tin cậy

ƒ (GP2) đảm bảo tổng các khoảng chi tiêu là không vượt ngân sách

ƒ (GP3) đảm bảo có đúng một module i được phát triển trong công ty hoặc

có duy nhất một version được mua trên thị trường cho module i

ƒ (GP4) đảm bảo các biến y ij,z ilà các biến nhị phân

Chương 3 Phương Pháp Giải Bài Toán Quy Hoạch Nguyên

Chương này giới thiệu các lý do để thực hiện bài toán quy hoạch nguyên, các phương pháp để giải quyết bài toán quy hoạch nguyên, giải thuật để thực hiện cho bài toán nguyên nhị phân

3.1 Giới thiệu

Bài toán quy hoạch nguyên [2] là một bài toán quy hoạch tuyến tính mà ràng buộc thêm điều kiện các biến có giá trị nguyên Biến nhị phân cũng là một tập con của biến nguyên Trong đó, biến nhị phân chỉ nhận giá trị nguyên: 0 hoặc 1 Biến nhị phân thường được sử dụng trong các bài toán ra quyết định, dùng để quyết định thực hiện hay không thực hiện một công việc nào đó Bài toán quy hoạch nguyên chứa các biến

nhị phân được gọi là Binary integer programming (BIP)

3.2 Sự cần thiết của bài toán quy hoạch nguyên

Giả sử có một bài toán phân công công việc của các nhân viên trong một tổ dự

án Lời giải có nghiệm tối ưu nhất là 7.3 người Tuy nhiên, bạn không thể phân công

xé lẻ số người trong một dự án được Bạn chỉ có thể phân công 6 hoặc 7 hoặc 8 người

Có một sự ràng buộc mà bạn không thể giải quyết bài toán theo phương pháp quy hoạch tuyến tính là làm tròn bất kỳ giá trị nào để nó tiến đến giá trị nguyên Ví dụ sau trình bày lý do tại sao bạn không thể làm tròn các biến:

Ví dụ 3.1: Xét bài toán sau:

Hàm mục tiêu:

2

1 5x

x Z

với các điều kiện ràng buộc:

2

2010

1

2 1

≤

≤+

x

x x

0 , 2

1 x ≥

x và x1, x2là các biến nhị phân

Hình 3.1: Giá trị tối ưu LP khi làm tròn xa với giá trị tối ưu của IP problem

Nếu giải bài toán bằng phương pháp quy hoạch tuyến tính, bạn sẽ nhận được giá

trị tối ưu Z=11 với x1= x2 , 2 = 1 8 Theo huynh hướng tự nhiên bạn sẽ làm tròn x2 để

nó tiến về giá trị nguyên Trong trường hợp này ta có thể làm trònx2 = 2 Tuy nhiên, khi ta làm tròn như vậy ta thu được cặp nghiệm x1 = x2 , 2 = 2 không thoả mãn điều kiện ràng buộc đầu tiên Tất nhiên khi đó nếu chúng là làm tròn x2 theo chiều ngược lại 1

2 =

x ta được: Z = 7, và x1= x2 , 2 = 1 thoả các điều kiện ràng buộc, nhưng không là nghiệm tối ưu Nghiệm tối ưu khi x1= x0 , 2 = 2và hàm mục tiêu Z = 10 Hình 3.1 trình bày bản tóm tắt của bài toán Các dấu chấm trong hình 3.1 trình bày các điểm mà

2

1, x

x có giá trị nguyên

3.3 Phương pháp giải quyết bài toán quy hoạch nguyên

Đầu tiên bạn nghĩ ngay một cách đơn giải để giải bài toán này là liệt kê toàn bộ các lời giải và sau đó là lựa chọn lời giải có nghiệm tối ưu nhất Công việc này chỉ được thực hiện cho những bài toán nhỏ, nhưng điều đó rất nhanh chóng không thực hiện được cho những bài toán có kích thước từ trung bình hoặc lớn

Ví dụ 3.2: xét liệt kê đầy đủ của một mô hình tổng quát có một biến nguyên x1và hai biến nhị phân x2và x3với các ràng buộc:

10

10

31

3 2 1

Cấu trúc trong hình 3.2 là một cây với nút gốc bên trái, được gán nhãn “all

solution” và các nút lá nằm bên phải Các nút lá mô tả các giải pháp có được, vì vậy

chúng ta có 12 giải pháp trong đó có: (3 giá trị có thể thực hiện được cho x1)*(2 giá trị

có thể thực hiện được cho x2)*(2 giá trị có thể thực hiện được cho x3)

Tương tự, nếu xét bài toán nhị phân có 20 biến Điều đó có nghĩa là sẽ có 576

phương pháp liệt kê Do do, nếu ta đưa ra bài toán có n biến theo lý thuyết sẽ có 2n

phương pháp có thể được xét đến Vấn đề là khi n chỉ cần tăng 1 thì số phương pháp

tăng lên gấp đôi, như vậy độ phức tạp là tăng tưởng theo hàm số mũ, vấn đề này là bất khả thi đối với máy tính Sự bùng nổ tổ hợp sẽ xấu hơn cho các biến nguyên có thể nhận nhiều giá trị hơn biến nhị phân (chỉ có 2 giá trị 0/1) Điều này xét về mặt tính

toán là bất khả thi với máy tính Trong thực tế, số biến của một bài toán có thể là rất

lớn Do đó, phương pháp liệt kê sẽ không được thực hiện cho các bài toán có kích thước đủ lớn Vì vậy, chúng ta cần một phương pháp tối ưu nhất giải quyết việc bùng

nổ tổ hợp này

Chúng ta nhận thấy, khác với bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán IP có thể chỉ có vài đáp án khả thi khi các biến buộc phải có giá trị nguyên, do đó độ phức tạp khi giải quyết bài toán này có khả năng rất lớn khi mà số đáp án là hữu hạn trong một vùng khả thi nào đó

Điểm khác biệt quan trọng giữa bài toán quy hoạch tuyến tính và bài toán quy hoạch nguyên:

ƒ Bài toán quy hoạch tuyến tính số lượng hàm ràng buộc là chính yếu quyết định độ phức tạp của bài toán

ƒ Bài toán quy hoạch nguyên số lượng biến và các cấu trúc đặc biệt

(special structure) Chính các cấu trúc đặc biệt này có thể là chìa khóa để đơn giản hóa vấn đề

Bài toán IP thường có kích thước rất lớn và phương pháp đã được đề nghị để giải

quyết là giải thuật branch and bound (B&B) Điều này đã được chứng minh là rất

hiệu quả với các bài toán lớn dù không phải lúc nào thuật toán này cũng cho ra lời giải tối ưu

Ý tưởng cơ bản trong phương pháp B&B là ngăn ngừa khả năng tăng tưởng trên toàn bộ cây Bởi vì, việc tăng tưởng trên toàn bộ cây là quá lớn so với bài toán thực tế Thay vì vậy, B&B sẽ giải quyết bài toán tăng tưởng theo từng giai đoạn và sự tăng tưởng này chỉ được quan tâm đến những nút nào có đầy hứa hẹn ở bất kỳ giai đoạn nào Nó được xác định bởi nút có nhiều hứa hẹn bằng cách đánh giá một bound trên giá trị tốt nhất của hàm mục tiêu mà có thể đạt được bằng việc tăng tưởng các nút ở

giai đoạn sau đó Tên phương pháp bắt nguồn từ việc phân nhánh (branching) xẩy ra,

khi một nút được lựa chọn để phát triển xa hơn và sự phát sinh các con của nút đó Sự

giới hạn (bounding) căn cứ vào giá trị tốt nhất đạt được bằng cách tăng tưởng một nút

đã được đánh giá Chúng ta hi vọng rằng cuối cùng sẽ có một sự tăng tưởng nhỏ nhất trên toàn bộ cây liệt kê

Thêm một điều quan trọng nữa là hướng của phương pháp là pruning, trong đó

bạn sẽ loại bỏ và thường xuyên loại bỏ các nút sẽ không bao giờ thoả mãn hoặc cho nghiệm tối ưu Quan điểm này xuất phát từ nghề làm vườn, trong đó pruning nghĩa là cắt bỏ nhánh trên một cây Pruning là một vấn đề quan trọng của B&B từ đó nó cẩn thận ngăn ngừa sự tăng tưởng của cây trong vấn đề tìm kiếm

3.4 Phương pháp giải quyết bài toán quy hoạch nguyên nhị phân

Trong bài toán nhị phân, mỗi biến chỉ có thể nhận giá trị 0 hoặc 1 Điều đó có thể

mô tả sự chọn lọc hay loại bỏ một vật nào đó, bật hoặc tắc một công tắc điện, quyết

định thực hiện hay không thực hiện một công việc nào đó v.v Chúng ta sẽ nghiên cứu

một giải thuật B&B để giải quyết bài toán này [1] Yêu cầu bài toán cụ thể như sau:

Hàm mục tiêu có dạng:

cx x f

với các điều kiện ràng buộc có dạng:

b x

x

S0 ={ : ≤ và x là biến nhị phân Ta cho một đường P kđi từ v0đến v k Tại v kđược

xác định bằng việc lựa chọn một biến tự do x j sao cho:

{ { : = 0 }, k { : j = }}

j

k x x S x x

Mỗi đường P k tương ứng với một sự ấn định của những giá trị nhị phân đến một

tập con của những biến Sự ấn định này được gọi là một nghiệm riêng Chúng ta biểu

thị sự ràng buộc các chỉ số của những biến được gán bởi W k ⊆N và giả sử

biến tự do được chỉ rõ bởi chỉ số được đặt trong 0

S

j j S

j j

j x c c

x f

điều kiện ràng buộc:

Giả sử T k ={x:x j = 0or1 , j∈S k0 } Vì c j ≥0, giải pháp nới lỏng x kđạt được

bằng việc thiết lập x j = 0 , j∈S k0 Như vậy =∑ ∈ +

k

c f

Trong trường hợp không có sự hoàn thành của W k có thể thỏa mãn ràng buộc i, vì

−

=

0

113

24

k

S j

i j

ij x x x x x s a

Tính toán cho t i =−8>s i =−11vì vậy node k được thăm dò

Partitioning and Branching: chúng ta muốn xác định tập con của những biến tự

do tại v kcủa nó ít nhất phải bằng 1 trong một sự khả thi của W k Cho Q k ={i:s i < }

Nếu Q k =φ, thì v kđược thăm dò vì x k khả thi Nếu Q k ≠φ, cho

R k ={j: j∈S k0và a ij <0với i∈Q k}

Có ít nhất một biến có chỉ số là một phần tử của R k bằng 1 trong bất kỳ sự khả

thi của W k Vì vậy, chúng ta có thể phân chia trên một số x j,j∈R k, và sau đó phân

nhánh nút kế tiếp tương ứng x j =1 Quy tắc sau đây lựa chọn một j∈R k trong một sự

nỗ lực để di chuyển về phía khả thi Định nghĩa ∑ ∑

k

k

s s

I

1

},0

khả thi cho bài (3.3) Việc chọn x j node kế thừa không khả thi

I

1

},

0max{

)

(

và x pđược lựa chọn như sau:

) ( min ) (p I j

R j k

24

3

32

26

3 2 1

3 2 1

3 2 1

≤

−+

−

≤+

−

−

−

≤+

−

−

x x x

x x x

x x x

thì R k = 1,2},I k(1)=3,I k(2)=2vì vậy x2được chọn là biến được phân chia

Giải thuật:

0

0 ,S 1 , n},f , f

Bước 2: (Tính toán bounds) Tại v kcho =∑ ∈ +

f = = và cho f0 =min{f0,f k} Di chuyển sang bước 3

Bước 3: (Thăm dò) Nếu t i >s ifor mọi ihoặc nếu f k = f khoặc nếu f k ≥ f0thăm

dò v kvà di chuyển sang bước 4 Nếu cóv k thì di chuyển sang bước 5

Bước 4: (Backtracking) nếu không có node nào tồn tại thì di chuyển sang bước 6

Ngược lại chọn nhánh gần nhất và di chuyển sang bước 2

Bước 5: (Phân chia và phân nhánh) Phân chia trên x pnhư trong công thức (3.2), trong đó I k(p) minj R I k(j)

k

∈

= Phân nhánh về phía x p Di chuyển sang bước 2

Bước 6: (Kết thúc) Nếu f0 =∞ thì không có giải pháp khả thi Nếu f0 <∞ thì có một giải pháp khả thì và f0là giá trị tối ưu

Ví dụ 3.4: Xét bài toán sau:

Hàm mục tiêu:

5 4 3 2

1 7 10 3 5

với điều kiện ràng buộc:

10,,

13

2

022362

24

53

5 4 3 2

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

or x

x

x x x x

x x x x x

x x x x x

=

−

≤++

−

≤

−++

−

−

≤+

−

−+

−

…

giá I0(1)=4,I0(3)=3,I0(4)=5 Cực tiểu được tìm thấy liên quan đến p=3vì vậy chúng tôi lựa chọn x3 cho vùng phân chia con và nhánh trong phương hướng của x3 =1 Cây được trình bày trong hình 3.3

Chương 4 Phương Pháp Giải Bài Toán Quy Hoạch

Phi Tuyến

Chương này giới thiệu các lý thuyết cho các bài toán tối ưu hóa hàm nhiều biến

với các dạng: không có điều kiện ràng buộc, các biến trong chương trình đều không

âm, các điều kiện ràng buộc là các ràng buộc tuyến tính và phi tuyến [1][4]

4.1 Giới thiệu

Chúng ta sẽ nguyên cứu lý thuyết cho các chương trình toán học có dạng sau:

Hàm mục tiêu:

) ( min f x

với các điều kiện ràng buộc:

D x

q j x g

m i

x h j i

, ,1,0)(

ƒ x∈D : thỏa mãn tất cả các ràng buộc gọi là nghiệm chấp nhận được

Nhiệm vụ của bài toán tìm một cực tiểu x để hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất

thỏa mãn điều kiện ràng buộc

Ví dụ 4.1.1: Những khái niệm cơ bản trên được minh họa bởi bài toán sao cho

2 1 2

1, ) ( 3) ( 2)(

với các điều kiện ràng buộc:

Vùng khả thi được mô tả trong hình 4.1 Bài toán tìm một điểm trong vùng khả thi sao chof(x1,x2)đạt giá trị nhỏ nhất Chú ý rằng điểm(x1,x2)thỏa mãn

2 2

2

1 3) ( 2)

(x − + x − =c đại diện cho một đường tròn với bán kính cvà tâm là điểm (3,2)

Vì chúng ta kỳ vọng giá trị nhỏ nhất là c, ta thấy đường tròn bán kính lớn cắt ngang vùng khả thi Đường tròn thỏa mãn điều kiện có c= 2, chúng giao với vùng khả thi tại

điểm (2,1) và đây là điểm cho lời giải tối ưu Giá trị f(2,1)=2 là giá trị tương ứng của hàm mục tiêu

Hình 4.1: Một giải pháp hình học cho ví dụ 4.1.1

Ví dụ 4.1.2: Xét bài toán:

Hàm mục tiêu:

| 2

|

| 2

| ) , ( min f x1 x2 = x1− + x2− với các điều kiện ràng buộc:

0 )

, (

0 1 )

, (

2 2 1 2 1 1

2 2

2 1 2 1 1

=

x x x x g

x x x x h

Vùng khả thi là một cung của đường tròn nằm bên trong parabola Bài toán tìm một điểm trong vùng khả thi sao cho f(x1,x2)đạt giá trị nhỏ nhất Trong trường hợp này, không có điểm nào để cho hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất

Hình 4.2: Một giải pháp hình học cho ví dụ 4.1.2 4.2 Những điều kiện tối ưu

Một tập hợp D⊂R n là tập lồi nếu tập D chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ

của tập đó Vậy tập lồi được định nghĩa [4]:

D là tập lồi ⇔X1,X2∈D, ∀α∈ ( 0 , 1 ), ( 1 −α)X1+αX2∈D

Tập lồi nhỏ nhất chứa 3 điểm, A, B, C là tam giác đặc ABC Trong không gian, tập lồi nhỏ nhất chứa 4 điểm A, B, C, D là tứ diện đặc ABCD Các đa giác lồi, trong mặt phẳng, các đa diện trong không gian là các ví dụ về tập lồi Các nửa mặt phẳng, các nửa không gian cũng là các tập lồi

4.3.2 Định nghĩa hàm lồi

Đối với hàm nhiều biến, lưu ý rằng ta chỉ có khái niệm lồi của hàm khi hàm xác định trên một tập lồi Hàm nhiều biến f (x)xác định trên tập lồi D được gọi là một hàm lồi nếu với mọi M, N thuộc D và M≠N, với mọi α∈(0,1)thì ta đều có:

))

1((

)()()1( −α f M +αf N ≥ f −α M −αN

4.3.3 Đặc trưng của hàm lồi

Hàm nhiều biến f (x) xác định trên một tập lồi D Giả sử f (x) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục

Nếu tại mọi điểm (x1,x2,…,x n)thuộc D, với mọi d x1,dx2,…,dx nkhông đồng thời bằng 0:

ƒ d2f(x1,x2,…,x n)≥0thì f (x)là hàm lồi trên D

ƒ d2f(x1,x2,…,x n)>0thì f (x)là hàm lồi ngặt D

Việc phân tích trực tiếp trên biểu thức vi phân cấp 2 để chứng minh d2f không đổi dấu là khó khả thi Do đó phải dùng đến công cụ của đại số tuyến tính mà ta sẽ đề cập đến trong định lý sau

Định lý 4.3.1: Xét hàm n biến f (x) xác định trên miền lồi D Giả sử hàm

)

(x

f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục x*∈ Dlà một điểm dừng

Với mỗi x*∈ D, gọi ma trận Hessian tại x*, ký hiệu F (x*)là ma trận vuông cấp

n có thành phần dòng icột jlà

j

i x x

H bằng các lấy các phần tử ở k dòng đầu và k cột đầu Ta có điểm x*là cực tiểu

của hàm f(x) trên X nếu f(x)là hàm lồi trên D Điều kiện để f(x) lồi trên D là với

mọi x* ∈D, ma trận F(x*)xác định dương Tức là với mọi x* ∈ D, với mọi k từ 1 đến

n, ta đều có F k(x*)>0

Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số trường hợp cho bài toán tối ưu:

4.4 Các phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến

4.4.1 Giải bài toán tối ưu không có điều kiện ràng buộc

Đây là trường hợp đơn giản nhất của bài toán tối ưu là không có điều kiện ràng

buộc, có dạng sau:

Hàm mục tiêu:

}:

)(min{f x x∈R n

trong đó f :R n →R1 Cho x*được xem như một điểm và giả sử f hai lần đạo

hàm liên tục trong lân cận Nε(x*)của x*, trong đó x∈Nε(x*)với f(x)≥ f(x*) Giả sử

tồn tại một vectơ v, sao cho v = 1, ta có:

t

x f tv x f x

f D

t

v ( *) lim ( * ) ( *) ( *)0

Gọi ma trận Hessian, ký hiệu F là ma trận vuông cấp n của f và α∈[0,1] Nhưng

Định lý 4.4.1 Cho f :R n →R1hai lần đạo hàm liên tục xung quanh một lân cận

của x* Nếu f có một cực tiểu tại x*thì:

(i) ∇ x f( *)=0(ii) F (x*)là một đại lượng xác định dương

Định lý 4.4.2 Cho f :R n →R1hai lần đạo hàm liên tục xung quanh một lân cận

của x* Khi đó một điều kiện đủ để cho f (x) có một cực tiểu tại x*, là∇ x f( *)=0và

*)

(x

F là một đại lượng xác định dương

2

3

1 9 43

Giải hệ phương trình trên thu được x1= ± 1 và x2 = − 2

Bước 2: Thực hiện kiểm tra từng trường hợp:

182

00

18)2,1

182

00

18)

2,1

2 1

18)

2,1

Vậy điểm (1,-2) là một cực tiểu cần tìm

4.4.2 Giải bài toán tối ưu với điều kiện ràng buộc các biến lớn hơn 0

Xét bài toán có dạng sau:

} : ) ( {

t v x

f T ( * )

2

*)(

Các điều kiện cần để f có một cực tiểu tại x*:

0

*) ( =

nếu x*j = 0Chúng được tổng kết trong mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 4.4.1: Những điều kiện cần để hàm f có một cực tiểu tại điểm x*

trong bài toán (4.9) bao gồm:

0

*) (

x f

(4.10)

Ví dụ 4.4.2: Xét bài toán

Hàm mục tiêu:

1 3 1 2 1

2 3

2 2

2

3)

f Minimize = + + − − − với các điều kiện ràng buộc:

3,2,1,

(2) 0=x1 ∂f =x1(6x1−2x2 −2x3−2)

(4) 0 2(2 2 2 1)

2

2 x x x x

Ta tìm được 1 điểm dừng x1=x2 =x3 =1 Ma trận Hessian ở x*=(1,1,1):

0 2 2

2 2 6 ) 1 , 1

,

1

(

F là một đại lượng xác định dương Do đó ta có một cực

tiểu tại điểmx*

4.4.3 Giải bài toán tối ưu với điều kiện ràng buộc là các phương trình tuyến tính

Cho f :R n →R1và xét bài toán sau:

Hàm mục tiêu:

)

(x

f Minimize

với các điều kiện ràng buộc:

0 ) (x =

Trong đó h(x)=(h1(x), ,h m(x)), mỗi h :R n R1

i → , và m<n Để bài toán (4.11) có một cực tiểu tại x* Khi đó phải tồn tại một ε > 0sao cho f(x)≥ f(x*)với mỗi

*)

(x

N

x∈ ε và h(x)=0 Giả sử f ∈C2tại mọi Nε(x*), và giả sử rằng mỗi ∂h i(x)/∂x i đạo

hàm liên tục trong lân cận của x* Tiếp theo, xây dựng một ma trận Jacobi có m hàng:

n

x

x h x

x h

x

x h x

x h x

x h

*)(

*)(

*)(

*)(

*)(

1

1 1

1

(4.12)

Điều này tương ứng với việc cho rằng x*là điểm dừng

Định nghĩa 4.4.3: Cho một điểm x*thỏa mãn các điều kiện ràng buộc