Bài giảng Kỹ thuật thông tin quang Chương 5

NỘI DUNG „ Cơ sở toán học „ Hệ phương trình Maxwell „ Truyền ánh sáng trong ống dẫn sóng phẳng „ Truyền ánh sáng trong sợi quang... HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL „ Quan hệ giữa tần số f, tần s

KỸ THUẬT THÔNG TIN QUANG

MODE SÓNG

NỘI DUNG

„ Cơ sở toán học

„ Hệ phương trình Maxwell

„ Truyền ánh sáng trong ống dẫn sóng phẳng

„ Truyền ánh sáng trong sợi quang

CƠ SỞ TOÁN HỌC

CƠ SỞ TOÁN HỌC

„ Hệ toạ độ trụ (r,φ,z)

CƠ SỞ TOÁN HỌC

„ Biến đổi giữa hệ toạ độ vuông góc và hệ toạ độ trụ:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

Trong đó:

− E: vectơ cường độ điện trường (V/m); H: vectơ cường độ từ trường (A/m)

− D: vectơ cảm ứng điện (C/m 2); D = εE = εr ε0 E

− B: vectơ cảm ứng từ (H/m 2); B = µH = µr µ0 H

− ε0: hằng số điện môi của chân không; ε0 = (1/36π).10 -9 (F/m)

− εr: hằng số điện môi tương đối của môi trường so với chân không

− µ0: độ từ thẩm của chân không; µ0 = 4π.10 -7 (H/m)

− µr: độ từ thẩm tuơng đối của môi trường so với chân không

− ρ: mật đô điện tích của môi trường (C/m 3 )

− J: mật độ dòng điện (A/m 2), J=σE với σ(A/V.m) là dộ dẫn điện của môi trường

0

B E

t D

t D

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

„ Quan hệ giữa tần số f, tần số góc ω và bước sóng λm:

trong đó, λ và λm là bước sóng của ánh sáng trong chân

c v

„ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như trên hình vẽ, trong đó z là hướng

truyền sóng, mặt dẫn sóng nằm trong mặt phẳng y-z, ta có:

∂ =

∂

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG

trong ống dẫn sóng (theo hướng z) thay đổi theo thời

gian và không gian, có thể được biểu diễn bởi phương

trình toán học sau:

AE: hằng số của điện trường

ω = 2πf : tần số góc

γ = α+jβ là hệ số truyền dẫn; α là hệ số suy hao; β = 2π/ λ m là hệ số truyền dẫn pha của sóng điện từ trong môi trường đang xét.

Trong môi trường truyền dẫn lý tưởng α =0 Ỉ γ = β

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG

có thể được viết lại như sau:

∇2E + ω2εµ E = 0 (6)

( 1 ) ( 2 )

2 2

t

D

t D

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG

ống dẫn sóng phẳng cho trước

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG

và PT sóng cho thấy:

− Sóng điện từ thay đổi đồng thời theo thời gian (t) và không gian (z)

− Các sóng điện từ khác nhau được đặc trưng bởi tần số f (hay tần sốgóc ω=2πf) và bước sóng λm trong một môi trường xác định (hay hệ số truyền pha β=2π/ λm)

− Chỉ những sóng điện từ E(z,t) nào thoả PT sóng mới có thể truyềnđược trong ống dẫn sóng Ỉ sóng truyền dẫn

− Với một ống dẫn sóng cho trước, nghiệm của PT sóng tương ứngvới các giá trị (ω, β) khác nhau được gọi là mode sóng

− Số lượng mode sóng truyền được trong ống dẫn sóng phụ thuộcvào điều kiện cho trước của môi trường và ống dẫn sóng

− Phân bố trường của các mode sóng trong ống dẫn sóng có thể xácđịnh từ nghiệm của PT sóng

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG

của sóng điện từ trong ống dẫn sóng

− Trong ống dẫn sóng (-d≤x ≤ d), nghiệm của PT (8) có dạng:

Ey = Acos(ux) hoặc Ey = Asin(ux) với A: hằng số cường độ diện trường;

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG

của sóng điện từ trong ống dẫn sóng

− Trong ống dẫn sóng (-d≤x ≤ d), nghiệm của PT (8) có dạng:

Ey = Acos(ux) hoặc Ey = Asin(ux) với A: hằng số cường độ diện trường;

với V = (u 2 + w 2 ) 1/2 d = (2πd/ λ)(n12 – n22 ) 1/2 : tần số chuẩn hóa

− Tương tự cho trường hợp nghiệm là hàm lẽ Ey = Asin(ux), ta có:

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG

− Vẽ đồ thị hai hàm số f(ud) và g(ud) ở hai vế của PT (12) và

(13), giao điểm của hai hàm f(ud) và g(ud) là nghiệm cần tìm

− Số nghiệm và giá trị của các nghiệm phụ thuộc vào giá trị củatần số chuẩn hóa V (phụ thuộc vào đặc tính của ống dẫn sóng)

− Với V=6, ta thấy PT sóng có 4 nghiệm gồm hai nghiệm lẻ o1, o2và hai nghiệm chẵn e1, e2

+ 4 mode sóng có thể truyền được trong ống dẫn sóng cho

trước (tương ứng với V=6)

+ e1 được gọi là mode sóng cơ bản

Ỉ Điều kiện để truyền đơn mode: V ≤ π/2

0

x d

Ey

0

x d

0

x d

Ey

0

x d

-d

Ey

0 x

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG SỢI QUANG

đường kính 2a, chiết suất n1, lý tưởng (đẳng hướng, tuyến tính, không suy hao):

n2 < n1

r

Hướng truyền n1a

y

x

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG SỢI QUANG

tuởng được thực hiện qua các buớc sau:

− Giải hệ PT Maxwell cho ống dẫn sóng hình trụ, hệ toạ độ (r,φ,z)

− PT sóng:

− Nghiệm của PT sóng có dạng:

với A1, A2: hằng số điện trường J(x) có dạng hàm Bessel K(x) có dạng hàm Hankel (hàm Bessel cải tiến loại hai)

TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG SỢI QUANG

„ Một số kết quả rút ra từ việc giải PT sóng:

− Tần số chuẩn hóa: V = (2πa/ λ).(n12 – n22)1/2 = (2π/ λ).a.NA

− Các mode sóng được gọi là các mode phân cực tuyến tính: LPlm(linearly polarized mode) với l = 0,1,2,…; m= 1,2,3,…

− Mode LP01 được gọi là mode cơ bản

− Số lượng mode sóng phụ thuộc vào giá trị của V:

+ Đối với sợi SI, tổng số mode M ≈V 2 /2 (đúng với M>20) + Mode LPlm tồn tại khi V > Vclm (tần số cắt của LPlm)

ỈĐiều kiện để sợi quang truyền đơn mode: V≤ 2,405

CÂU HỎI

truyền trong một ống dẫn sóng?

„ Điều kiện để sóng điện từ có thể truyền trong sợi

quang?

„ Từ công thức tính tần số chuẩn hoá V, có thể rút ra được

sư khác biệt giữa sợi quang đơn mode và sợi quang đa mode không?

„ Từ công thức tính tần số chuẩn hoá V, có thể rút ra được đặc điểm của sợi quang đơn mode SMF không?