Bài giảng bài quy tắc tính đạo hàm giải tích 11 (3)

Các qui tắc tính đạo hàm 4.. Đạo hàm của hàm số hợp: a.. Khỏi niệm hàm số hợp: Cho hai hàm số y=fu và u=ux.. Thay thế biến u trong biểu thức fu bởi biểu thức ux, ta được biểu thức f[ux]

KIỂM TRA BÀI CỦ CÂU HỎI

Cho hàm số f(x)= x2+2x+1 Khẳng định nào sau đây là sai?

A f(2) = 9 C f(a+1)= (a+2)2

B f(-m) = (m-1)2 D f(3) = 5

Cho hàm số f(x) = x5 - + 1 Khi đó f ’(1) bằng:

Đ 2 Các qui tắc tính đạo hàm

4 Đạo hàm của hàm số hợp:

a Khỏi niệm hàm số hợp:

Cho hai hàm số y=f(u) và u=u(x) Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x Khi đú, hàm số y= g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian Cho f(u) = và u(x) = x-3 Hóy tỡm hàm số hợp y= f[u(x)] và tập xỏc định của

nú

Giải: Hàm số y= f[u(x)] = , xỏc định trờn nửa khoảng [3; + )

Cho f(u) = và u(x) = Hóy tỡm hàm số hợp y= f[u(x)] và tập xỏc

định của nú

Giải: Hàm số y= f[u(x)] = , xỏc định trờn khoảng (1; + )

b Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

Định lý 4:

a Nếu hàm số u =u(x) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại

u0=u(x0) thì hàm số hợp g(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0, và

g’(x0) = f’(u0).u’(x0)

b Nếu trong giả thiết phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp y = g(x) có đạo hàm trên J , và g’(x) = f’[u(x)].u’(x)

Công thức thứ hai được viết gọn lại là g’x = f’u.u’x

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x2-3x và hàm số g(x) = 2x+1 Tìm hàm số hợp y = g[f(x)] và tính đạo hàm của nó

Chứng minh:

áp dụng công thức tính đạo hàm ở định lý 4 Hãy tính đạo hàm của hàm số sau: g(x) = f[u(x)] = (x3+4x+5)4

Giải: Ta có f’(u) = (u4)’=4u3 Do u(x) = x3+4x+5 nên u’(x)= 3x2 +4

Vậy g’(x) = f’[u(x)].u’(x) = 4(x3 +4x+5)3(3x2 +4)

Từ ví dụ trên hãy tổng quát hóa cho trường hợp đạo hàm của hàm số y = (u(x)n) ( với n N và n 2)

Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = un(x) ( với n tự nhiên và n>1) có đạo hàm trên J, và

[ un(x)]’= n.un-1(x).u’(x)

Nếu hàm u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x)>0 với mọi x

thuộc J thì hàm số Có đạo hàm trên J, và

Tìm hàm số f sao cho hàm số là hàm số hợp của hàm số f và hàm số trung gian u = u(x)

Chứng minh rằng nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x)>0 với mọi x thuộc

J thì hàm số cũng có đạo hàm trên J và

Hệ quả 1:

Hệ quả 2:

Giải : là hàm số hợp của hàm số và hàm số trung gian u= u(x)

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau:

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau:

Bài tập : Tính đạo hàm các hàm số sau: y = (x7+x)2

GHI NHỚ

a) Đạo hàm của một số hàm số thường gặp ( ở đây u = u(x) )

b) Các qui tắc tính đạo hàm ( ở đây u = u(x), v = v(x) )

c) Đạo hàm của hàm hợp ( ở đây g(x) = f[u(x)] )

Cho hàm số khẳng định nào sau đây là đúng

(A) Vì 2 là hằng số nên f’(2) = 0

(B) Với x 2 thì f’(x) = (x2-3x)’= 2x-3 nên f’( 2) = 2.2 - 3 = 1

(C) Với x> 2 thì f’(x) =( x+1)’=1 nên f’( 2) =1

(D) Hàm số không có đạo hàm tại điểm x0= 2

(C) Vì nên f’(0) = +

(A) Vì f’(0)=0 nên f’(0) = 0

(B) Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0 nên không tồn tại f’(0)

(D) Vì nên f’(0)= +

Cho hàm số

Củng cố bài học

Qua bài học hôm nay các em cần nắm vững: +) Nắm được định nghĩa của hàm số hợp ( chỉ xét hàm số hợp của các hàm số cho bởi

công thức)

+) Quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp,

đặc biệt là hai công thức tính đạo hàm của hàm

số hợp y= u n (x) và

Cách 1: (Sử dụng phương pháp xấp xỉ tiếp tuyến)

Giả sử cho hai hàm số f(u) và u= g(x) Cần tính (f[g(x)])’ Xét một giá trị x0 tùy ý (

thuộc miền xác định của g), u0= g(x0) Tiếp tuyến tại điểm (u0;f(u0)) của f có phương trình

y1= f’(u0)(u-u0)+f(u0) Tiếp tuyến tại điểm (x0;g(x0)) của g có phương trình

y2= g’(x0)(x-x0)+ g(x0) Tiếp tuyến tại điểm ( x0; f[g(x0)] )của f[g(x)] có phương trình

y= (f[g(x)] )’(x0)(x-x0)+ f[g(x0)]

Suy ra y1 = f’(g(x0))[g’(x0) (x-x0)+ g(x0)-g(x0)] +f(g(x0)

= f’(g(x0)) g’(x0) (x-x0) +f(g(x0)

Do y1=ynên (f[g(x)])’= f’[g(x0)].g’(x0) Điều này xảy ra với mọi giá trị của x0 nên ta có quy tắc (f(g))’= f’g.g’x

Cách 2: Dùng định nghĩa ( SGK Đại số & giải tích 12 - Chỉnh lý 200 )

Revew

Chân thành cảm ơn sự chú ý

theo dõi của các thầy cô giáo và

các em học sinh ! Chúc sức khoẻ các thầy cô

giáo và các em !

Thao Giang GVG dot 2