Bài giảng bài phương pháp quy nạp toán học đại số 11

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC GV: PHAN HỒNG HUỆ BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ LỚP 11:... PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng với mọi n mà không t

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

TOÁN HỌC

GV: PHAN HỒNG HUỆ BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ LỚP 11:

Xét hai mệnh đề chứa biến : P(n): “3n < n +100” và

Q(n): “2n >n” với n  *

sánh

n + 100 P(n)

Đ/S ?

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

sánh

n Q(n)

Đ/S ?

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

31=3 < 1+100=101 Đ 21=2 > 1 Đ

>

9

27

81

243

<

<

<

>

102

103

104

105

Đ

Đ

Đ

S

4

8

16

32

>

>

>

Đ

Đ

Đ

Đ

2

3

4

5

I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên

đúng với mọi n mà không thử trực tiếp được ta tiến hành như sau:

- B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

-B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ

n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp)

- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

*

n 

II VÍ DỤ ÁP DỤNG:

1 Ví dụ 1:

Chứng minh rằng với

 1   

2

n n

    

*

n 

Giải:

Đặt S n = 1+2+3+…+n

B1: n=1 VT= 1, VP = 1 Khi đó mệnh đề (1) đúng

B2: Giả sử mệnh đề (1) đúng với n= k ≥ 1 , nghĩa là:

 1 

1 2 3

2

k

k k

     

B3: Ta cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với n= k+1, tức là chứng minh :

1

2

k

      

Thật vậy: S k+1 = S k + (k+1)  1  

1 2

k k

k



 1 2

2

k  k 



Vậy (1) đúng với mọi *

n

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng mà không thử

trực tiếp được ta tiến hành như sau:

- B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

- B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ

n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp)

- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

*

n

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng với mọi n mà không thử

trực tiếp được ta tiến hành như sau:

- B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

- B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ

n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp)

- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

II VÍ DỤ ÁP DỤNG:

2 Ví dụ 2:

Chứng minh với thì

chia hết cho 3

*

nN

3

n n

Giải:

Đặt A n = n3 n

B1: Với n = 1, ta có A 1 = 0 3

B2: Giả sử với n = k ≥ 1 ta có : A k = (k 3 – k) 3 (GT quy nạp)

B3: Ta cần chứng minh A k+1 3 Thật vậy, ta có : A k+1 = (k+1) 3 – (k+1)

3 2

3

3

k

Theo giả thiết quy nạp ta có A k 3 Mặt khác:3( k 2 + k) 3

Do đó: A k+1 3 Vậy thì chia hết cho 3 *

nN 3

n n

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự

nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:

 Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

 Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự

nhiên bất kì n = k ≥ p

 Ở bước 3, ta phải chứng minh nó đúng với n = k+1

n 3n ? 8n

1

2

3

4

5

Cho hai số 3n và 8n với n là số tự nhiên khác 0 a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5

b) Dự đoán kết quả tổng quát ?

3 < 8

9 < 16

27 > 24

81 > 32

243 > 40

b) Kết quả: 3n > 8n với mọi n  3

Hướng dẫn:

Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi n  3

B3:Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1

0 0

3 8( 1) 3 3 8 8 (3 8 ) 2.3 8 0

k







Vậy: 3n > 8n với mọi n  3