Bài giảng bài phương pháp quy nạp toán học đại số 11 (3)

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.

Trang 2

HÃY XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÚNG, SAI CỦA MỆNH

ĐỀ:

VÀ VỚI P n ( ) :"3n   n 100" n  1, 2,3, 4,5

Trả lời:

( ) :"2n "

•n = 1: P(1): “ 31 < 1+100”

Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai? n N  *

?

•n = 2: P(2): “ 32 < 2+100” (Đ) và Q(2): “ 22> 2” (Đ)

và Q(1): “ 21> 1”

•n = 3: P(3): “ 33 < 3+100” (Đ) và Q(3): “ 23> 3” (Đ)

•n = 4: P(4): “ 34 < 4+100” (Đ) và Q(4): “ 24> 4” (Đ)

•n = 5: P(1): “ 35 < 5+100” (S) và Q(5): “ 25> 5” (Đ)

?

Trang 3

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

n  N

• Bước 2: Giả sử P(n) đúng với

(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)

CM: P(n) đúng với

Phương pháp qui nạp

• Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1

1

n   k

1

n k  

I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Trang 4

nN

1

n  k

I PHƯƠNG PHÁP QUY

NẠP TOÁN HỌC:

CM: P(n) đúng với

Bước 1: Kiểm tra P(n)

đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử P(n) đúng

với

(P(k) gọi là giả thuyết quy

nạp)

II VÍ DỤ:

Vd1:CMR với thì

1 + 3 + 5 + ….+ (2n-1) = n 2 (1)

1

n k  

*

n = 1: 1 = 12

n = 2: 1+3 = 22

n = 3: 1+3 +5 = 32

………

n = k: 1+3+5+…+(2k-1) = k2

n = k+1: 1+3+5+…+(2k-1) +[2(k+1)-1]= (k+1)2

Hoạt động nhóm

CMR: với mọi thì

*

( 1)

1 2 3

2

n n

Nhóm 1,2: Bước 1

Nhóm 3, 4: Bước 2 ( đến gt qui nạp)

Nhóm 5, 6: Bước 2 (nêu ta phải CM?)

(1)

Trang 5

nN

1

n  k

Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng

với n = 1

Bước 2: Giả sử P(n) đúng với

nạp)

II VÍ DỤ:

1

n k  

Hoạt động nhóm

CMR: với mọi thì *

( 1)

1 2 3

2

n n

Giải: Đặt S n VT

Bước 1: Với n = 1 thì: 1=1 nên (1) Đ

Bước 2: G/s (1) đúng với

(1)

1

n k  Nghĩa là:

( 1)

1 2 3

2

k

k k

S      k 

(gt qui nạp)

Ta phải CM: (1) đúng với n  k 1

Tức là: 1

( 1)( 2)

1 2 3 ( 1)

2

k

        Thật vậy: 1

( 1) ( 1) ( 1)

2

k k

 1 1  1 2

k k k

k    

    

 

Trang 6

nN

1

n  k

Bước 1: Kiểm tra P(n)

đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử P(n) đúng

với

nạp)

II VÍ DỤ:

Vd1: CMR với thì

1 + 3 + 5 + ….+ (2n-1) = n 2 (1)

1

n k  

*

n N

Vd2: CMR với thì

chia hết cho 3

*

n  n

Giải: Đặt 3

n

A  n  n

Bước 1: Với n = 1 ta có A1  0 3

Bước 2: G/s với n = k ta có:

3

k

A  k  k (gt qui nạp)

Ta phải CM Ak 1 3

k

3 3 1 1

     

( k k ) 3( k k )

Vậy: chia hết cho 3 với 3

nN

Trang 7

Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng

với n = 1

Bước 2: Giả sử P(n) đúng với

nạp)

*

n  N

1

n   k

* Chú ý:

( p là một số tự nhiên) Phương pháp qui nạp

• Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với

• Bước 2: Giả sử P(n) đúng với

(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)

n  p

1

n k  

1

n k  

n   k p

n = p

n   k p

Trang 8

* Chú ý:

( p là một số tự nhiên)

• Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng

với

• Bước 2: Giả sử P(n) đúng

với

(P(k) gọi là giả thuyết quy

nạp)

n  p

1

n k  

n = p

n   k p

Hoạt động nhóm

Cho hai số 3 n và 8n với a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

n 3 n ? 8n

1

2

3

4

5 Giải: a)

b) Kết quả: 3 n > 8n với mọi n  3

3 < 8

9 < 16

27 > 24

81 > 32

243 > 40

*

n  N

Trang 9

* Chú ý:

( p là một số tự nhiên)

• Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng

với

• Bước 2: Giả sử P(n) đúng

với

(P(k) gọi là giả thuyết quy

nạp)

n  p

1

n k  

n = p

n   k p

Hoạt động nhóm

Cho hai số 3 n và 8n với a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Giải: b) Kết quả: 3 n > 8n với mọi

3

n 

Bước 1: Với n = 3 thì 3 3 > 8.3 nên P(1) đúng

Đặt P(n): “ 3 n > 8n” với mọi

Bước 2: G/s mđề đúng với

3

n  k

Ta phải CM mđề đúng với n = k+1

Nghĩa là: 3 k > 8k (gt qui nạp)

Tức là 3 k+1 > 8(k+1)

Vậy: 3n > 8n với mọi

1

0 0

3 8( 1) 3 3 8 8 (3 8 ) 2.3 8 0

k





3

n 

3

n 

Thậy vậy :

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	543,7 KB