Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (6)

Nguyên hàm Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R.. Cho hàm số fx xác định trên K... Lí thuyết Các phương pháp tính nguyên hàm 1... Lí thuyết Các phương pháp tính nguy

GV:Trần Trọng Tiến

Định nghĩa

1 Nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R

Cho hàm số f(x) xác định trên K

f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K

ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên K

Hàm số F(x) được gọi là nguyên

hàm của hàm số f(x) trên K nếu

F’(x) = f(x) với mọi x  K

Định lí 1:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì hàm số G(x)

= F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K(với C là hằng số)

Định lí 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng

F(x) + C

( với C là hằng số)

2 Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1

'

 f x dx = f x + C Suy ra từ định nghĩa

nguyên hàm

Ví dụ 3

Tính chất 2

 f x dx =  f x dx

 (cos x)' dx   (  sin x) dx  cos x  c

Tính chất 3:

         

 f x g x dx = f x dx   g x dx

Tự chứng minh t/c này.

I Lí thuyết

Các phương pháp tính nguyên

hàm

1 Đổi biến số

2 Công thức nguyên hàm từng

phần

f ( u ( x )) u ' ( x ) dx  F ( u ( x ))  C

II Bài tập 3 SGK tr 101 Tính

 1 x dx )

 x 1  x dx )

3 2

đặt u=1-x => du =





 C 10

u 10

C 10

) x 1 (  10 



đặt u=1+x 2 => du =

-dx => dx = -du

2xdx

2

du xdx 



 x 1 x 2 dx

3

2 u 2 du 2 

3



u du 2

1 2 3



 C

u 5

2 2

1 2 5

C )

x 1

( 5

1 2 2 5





I Lí thuyết

Các phương pháp tính nguyên

hàm

1 Đổi biến số

2 Công thức nguyên hàm từng

phần

f ( u ( x )) u ' ( x ) dx  F ( u ( x ))  C

II Bài tập 3 SGK tr 101 Tính

 cos x sin xdx )

c 3

   

2 e

e

dx )

d x x

đặt u=cos x => -du =







 C 4

u 4

C 4

x cos 4 



đặt u=1+e x => du =

sin x dx

e x dx



 2

u

du   C 

u 1







1 e

1

x

 

 x x 2

) 1 e

(

dx e





 x 2

x ) 1 e

(

dx e

II Bài tập 4 SGK tr 101 Tính

( x  2 x  1 ) e dx )

 x ln( 1 x ) dx

)

a

a) Đặt













xdx dv

) x 1 ln(

u





















2

x v

x 1

dx du

2





 x ln( 1 x ) dx    

) x 1 ( 2

dx x )

x 1

ln(

2





















x 1

1 1

x 2

1 ) x 1

ln(

2

x 2

C

| x 1

| ln

x 2

x 2

1 ) x 1

ln(

2



























 x sin( 2 x  1 ) dx

)

c d )( 1 x ) cos xdx

Giải

II Bài tập 4 SGK tr 101 Tính

( x  2 x  1 ) e dx )

 x ln( 1 x ) dx

)

a

b) Đặt















dx e dv

1 x 2 x

u

x

2















x

e v

dx ) 2 x 2 ( du





 2 x 1 ) e ( 2 x 2 ) e dx x

 x sin( 2 x  1 ) dx

)

c d )( 1 x ) cos xdx

Giải







 ( x 2 2 x 1 ) e x dx













dx e ' dv

2 x 2 ' u

x













x

e ' v

dx 2 ' du







 ( x 2 2 x 1 ) e x dx ( x 2  2 x 1 ) e x  ( 2 x 2 ) e x   2 e x dx







 ( x 2 3 ) e x 2 e x dx  ( x 2  3 ) e x  2 e x  C  ( x 2 1 ) e x  C

II Bài tập 4 SGK tr 101 Tính

( x  2 x  1 ) e dx )

 x ln( 1 x ) dx

)

a





 x sin( 2 x 1 ) dx

( 1 x ) cos xdx )

d

Giải

c) Đặt













dx ) 1 x 2 sin(

dv

x u



















) 1 x 2

cos(

2

1 v

dx du









 





 cos( 2 x 1 ) dx

2

1 ))

1 x 2

cos(

2

1 ( x







 cos( 2 x 1 ) dx

2

1 ) 1 x 2 cos(

x 2 1

C 2

) 1 x 2 sin(

2

1 ) 1 x 2 cos(

x 2





C 4

) 1 x 2 sin(

) 1 x 2 cos(

x 2





 x sin( 2 x  1 ) dx

)

c

II Bài tập 4 SGK tr 101 Tính

( x  2 x  1 ) e dx )

 x ln( 1 x ) dx

)

a

( 1 x ) cos xdx )

d

Giải

d) Đặt













xdx cos

dv

x 1 u















x sin v

dx du



 x ) sin x sin x ( dx ) 1

(

 x sin( 2 x  1 ) dx

)

c





 ( 1 x ) cos xdx







 ( 1 x ) sin x sin x dx  ( 1 x ) sin x cos x  C

Bài tập khác Tính

 sin x cos xdx )

b 4 3

 x x  1 dx

)

a 2 3

 x ln( x  1 ) dx )

d 2

Giải

 x sin xdx

)

c 2

 x x  1 dx

)

a 2 3

Đặt u  x 3 1  u 3  x 3 1

dx x 3 du

u

3 2  2

  x 2 dx  u 2 du





 x 2 x 3 1 dx  uu 2 du 



 u 3 du  C 

4

u 4

C 4

1

x 3 4





 sin x cos xdx )

b 4 3

Đặt u  sin x  du  cos xdx





u 4 ( 1 4 2 ) du  u 4  u 6du 





 C 7

u 5

u 5 7

 

 sin 4 x ( 1 sin 2 x ) cos xdx





sin 4 x ( 1 sin 2 x ) cos xdx

C 7

x sin 5

x sin 5 7





Bài làm thêm Tính

 sin x cos xdx )

b 4 3

 x x  1 dx

)

a 2 3

 x ln( x  1 ) dx )

d 2

Giải

 x sin xdx

)

c 2

 x sin xdx

)

c 2 Đặt











xdx sin

dv

x

u 2















x cos v

xdx 2

du



 x 2 sin xdx x 2 (cos x )  (cos x ) 2 xdx  x 2 cos x  2 x cos xdx

Đặt











xdx cos

' dv

x ' u













x sin '

v

dx '

du



 x 2 sin xdx  x 2 cos x 2 ( x sin x  sin xdx )









 x 2 cos x 2 x sin x 2 sin xdx

C x

cos 2 x sin x 2 x cos





Bài làm thêm Tính

 sin x cos xdx )

b 4 3

 x x  1 dx

)

a 2 3

 x ln( x  1 ) dx )

d 2

Giải

 x sin xdx

)

c 2

Đặt













dx x dv

) 1 x ln(

u

2





















3

x v

1 x

dx du

3





1 x

dx 3

x )

1 x

ln(

3

 x ln( x  1 ) dx

)

d 2





 x 2 ln( x 1 ) dx

dx 1 x

1 1

x

x 3

1 ) 1 x

ln(

3

























C

| 1 x

| ln x

x 2

1 x

3

1 3

1 ) 1 x

ln(

3









    







CỦNG CỐ

Qua bài học học sinh cần nắm được

+ Phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến số

+ Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần