định lý về sự biến điệu-cáchàm tuần hoàn Bởi: phạm văn tấn Định lý về sự biến điệu Định lý này kết hợp chặt chẻ với định lý về sự dời tần.. Hàm st nhân với một sóng cosin: Trong đó, f0là
Trang 1định lý về sự biến điệu-các
hàm tuần hoàn
Bởi:
phạm văn tấn
Định lý về sự biến điệu
Định lý này kết hợp chặt chẻ với định lý về sự dời tần
Cho một hàm s(t) và biến đổi Fourrier của nó Hàm s(t) nhân với một sóng cosin:
Trong đó, f0là tần số của cosin
Biến đổi Fourrier của dạng sóng này cho bởi:
(2.52)
Kết quả của sự nhân một hàm theo t với một hàm sin thuần túy là làm dời biến đổi gốc,
cả chiều lên và chiều xuống, bởi tần số của hàm sin ( Và cắt biên độ còn phân nữa)
Ta có thể chứng minh trực tiếp từ định lý dời tần Phân cos2πf0t thành 2 thành phần expo và áp định lý dời tần cho ta thấy rằng biến đổi F của một hàm tuần hoàn theo t là một đoàn xung lực cách đều nhau Mỗi xung lực có độ lớn ( Strength ) bằng với hệ số
Cntương ứng
Ví dụ 12: Tìm biến đổi F của hàm tuần hoàn tạo bởi các xung lực đơn vị như hình vẽ
Trang 2Hình 2.21 Hàm tuần hoàn s(t).
Giải:
Biến đổi F cho bởi phương trình (2.53)
Trong đó:
Trong khoảng của tích phân, sự phân bố của s(t) chỉ do xung lực tại gốc Vậy:
Cuối cùng, biến đổi F của đoàn xung lực là:
Trong đó
Trang 3Mỗi thành phần:
Các hàm tuần hoàn
Ở ví dụ 6, ta đã thấy biến đổi F của 1 hàm cosin (f0) và tại trị âm của tần số này (-f0)
Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng biến đổi Fcủa một hàm bất kỳ là một hàm rời rạc của tần số Đó là biến đổi thì khác zero chỉ tại những điểm rời rạc dọc theo trục f.
Cách chứng minh dựa vào sự khai triển chuỗi F và sự tuyến tính của phép biến đổi F
Giả sử ta phải tìm biến đổi F của một hàm tuần hoàn s(t), với chu kỳ T Ta có thể viết hàm s(t) theo cách biểu diễn chuỗi F phức
Trong đó
Ta lập một cặp biến đổi:
Từ cặp này và tính tuyến tính của phép biến đổi F, ta có:
(2.53)
Biến đổi này được vẽ như hình dưới đây Nhớ là Cnlà số phức, vậy hình vẽ chỉ có chủ đích trình bày khái niệm Nếu hàm s(t) thực và chẳn, Cnsẽ thực
Hình 2.22 Biến đổi Fourier của hàm tuần hoàn s(t)
