Nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hòa dưới trong lớp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI THANH TUẤN NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM B

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THANH TUẤN

NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THANH TUẤN

NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chƣa từng đƣợc công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Bùi Thanh Tuấn

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT số 1 Bảo Thắng - Lào Cai, cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên

để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi cùng những trao đổi hữu ích trong thời gian tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thành bản luận văn này

Tháng 6 năm 2015

Tác giả

Bùi Thanh Tuấn

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Hàm đa điều hoà dưới 3

1.2 Toán tử Monge - Ampère phức 4

1.3 Nguyên lý so sánh Bedford - Taylor 9

Chương 2 NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG LỚP p( ) 14

2.1 Nguyên lý so sánh mạnh 14

2.2 Ước lượng năng lượng trong p( ) 20

2.3 Định lý hội tụ trong lớp p( ) 22

2.4 Nguyên lý so sánh mạnh trong lớp p( ) 28

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đa thế vị là một nhánh của Giải tích phức nhiều biến, được phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được biết đến từ trước những năm 80 của thế kỷ XX Tuy nhiên sự phát triển của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học chỉ thực sự mạnh mẽ sau khi

E Berfod và B A Taylor năm 1982, xây dựng thành công toán tử Monge - Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương Vì thế có thể

nói toán tử Monge - Ampère phức đóng một vai trò quan trọng, trung tâm trong

lý thuyết đa thế vị giống như toán tử Laplace trong lý thuyết thế vị cổ điển

Ta cũng biết rằng Định lý hội tụ đơn điệu và nguyên lý so sánh của Bedford

và Taylor là hai định lý cổ điển quan trọng và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đa thế vị Chúng đã được sử dụng trong hầu hết các công trình liên

quan đến toán tử Monge - Ampère Nguyên lý so sánh không chỉ cho định lý duy nhất của bài toán Driclelet đối với toán tử Monge - Ampère, mà còn là một trong những công cụ chính trong việc giải phương trình Monge - Ampère

Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn "Nguyên lý so sánh mạnh đối với

hàm đa điều hoà dưới trong lớp p( )" làm đề tài nghiên cứu Đề tài có tính

thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm

nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của Yang Xing

về Nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hoà dưới với năng lượng đa

phức hữu hạn Áp dụng nguyên lý này có thể tìm thấy một số bất đẳng thức

quan trọng trong lý thuyết đa thế vị

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford -Taylor,

- Trình bày một số kết quả về nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hoà dưới với năng lượng đa phức hữu hạn

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức

- Trình bày chi tiết các kết quả của Yang Xing

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính

chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge - Ampère, nguyên lý so sánh Bedford -Taylor

Chương 2 Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên

cứu về nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hoà dưới với năng lượng

đa phức hữu hạn

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dưới

1.1.1 Định nghĩa Cho là một tập con mở của n và u : , là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a và

n

b , hàm u a( b) là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành phần của tập hợp : a b Trong trường hợp này, ta viết

( )

u ( ở đây kí hiệu ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong )

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:

1.1.2 Định lý Cho là một tập con mở trong n Khi đó

( )i Họ ( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và

1.1.3 Định lý Cho là một tập con mở của n

( )i Cho u v, là các hàm đa điều hoà trong và v 0 Nếu : là lồi, thì v u v( / ) là đa điều hoà dưới trong

( )ii Cho u ( ), v ( ), và v 0 trong Nếu :

là lồi và tăng dần, thì v u v( / )là đa điều hoà dưới trong

( )iii Cho u v, ( ), u 0 trong , và v 0 trong Nếu

: 0, 0, là lồi và (0) 0, thì v u v( / ) ( )

1.2 Toán tử Monge - Ampère phức

Cho u là đa điều hoà dưới trên miền n Nếu u C2 thì toán tử:

với dV là yếu có thể tích trong n gọi là toán tử Monge-Ampère Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0( ) trên

0

n c

dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère

Giả sử T là dòng dương có bậc q q, trên tập mở n và

1.2.2 Mệnh đề Giả sử j là dãy các độ đo Radon trên tập mở n hội

tụ yếu tới độ đo Radon Khi đó

a) Nếu G là tập mở thì ( ) lim inf j( )

( ) ( ) lim ( )j lim inf ( )j

c) Viết E IntE E Khi đó

1.2.3 Mệnh đề Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L loc

sao cho u v, 0 trên và lim 0

Chứng minh Chú ý rằng dd u T c và dd v T c là các độ đo Borel dương trên Với 0, đặt u max u, Khi đó u 0 và là hàm đa điều hòa dưới trên và u tăng tới 0 khi giảm về 0 Từ định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có

z u z nên u u 0 là tập compact tương đối trong Lấy

1 0

j

u u C và do giả thiết T là n 1,n 1 dòng dương,

đóng trên nên dd u T c là ( , )n n dòng dương, đóng với mọi

u z v z Hơn nữa khi thay u bởi u , >0, thì

u v u v khi 0 Nếu bất đẳng thức (1.2) đúng trên

u v thì cho 0 suy ra (1.2) đúng trên u v Vì vậy có thể giả

Từ giả thiết lim inf( ( ) ( ))

và v sao cho u j v k trên với mọi i k, Có thể coi 1 u v j, k 0 Lấy

0 và giả sử G là tập mở sao cho C G n , , u v, là các hàm liên tục trên \G Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho

khi 0 Do đó

( c )n ( c )n

dd v dd u

1.3.2 Hệ quả Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L ( )

sao cho u v và lim ( ) lim ( ) 0

Cho 1 ta được điều cần chứng minh

1.3.3 Hệ quả Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L ( )

sao cho

lim inf( ( ) ( )) 0

Giả sử (dd u c )n (dd v c )n trên Khi đó u v trên

Chứng minh Đặt ( )z z 2 M, với M được chọn đủ lớn sao cho 0

trên Giả sử u v khác rỗng Khi đó có 0 sao cho u v

khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương Do Định lí 1.3.1 ta có

và ta gặp phải mâu thuẫn Vậy u v trên

1.3.4 Hệ quả Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L ( )

sao cho lim inf( ( ) ( )) 0

z u z v z và (dd u c )n (dd v c )n Khi đó u v

1.3.5 Hệ quả Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L ( ) sao

u v

dd u Khi đó u v trên

Chương 2 NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG LỚP ( )p

2.1 Nguyên lý so sánh mạnh

Cho là một miền siêu lồi trong n- nói cách khác là tập con mở, liên thông và bị chặn của n và tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục trong sao cho z : ( )z c với c 0 Kí hiệu ( ) là tập các hàm đa điều hòa dưới không dương trên Ta có nguyên lý so sánh mạnh sau đây:

2.1.1 Định lý (Bất đẳng thức kiểu Xing) Giả sử n là tập mở, bị chặn

và u v, ( ) L ( ) sao cho lim inf ( ) ( ) 0

z u z v z Khi đó với mọi hằng số r 1 và j ( ),0 j 1, j 1,n , ta có

1 2

Chứng minh Chú ý rằng điều kiện đặt trên u v, cho chúng ta với 0,

E sao cho z \E ta có u z( ) v z( ) Ta xét hai trường hợp sau đây:

Trường hợp 1: u v, là các hàm liên tục Khi đó tập {u v} là tập mở và do

đó có thể coi {u v} Với 0, đặt v u gần Do đó tích phân từng phần ta được

Trường hợp tổng quát: Từ lim inf( ( ) ( )) 0

cho u z( ) v z( ) 0, z \E

Lấy lân cận E và hai dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới { }u k và

{ }v j trong lân cận của sao cho lim k , lim j

Tuy nhiên {u k v j} {u k v} với mọi j và r 1 0 nên

Nhưng {u v} {u v} khi 0 nên áp dụng định lí hội tụ Lebesgue ta được

1 2

Chú ý rằng đây chính là Định lý 1.3.1 đã trình bày trong chương 1

2.1.3 Mệnh đề (Phiên bản 2 của nguyên lý so sánh Bedford -Taylor )

Nếu u v, ( ) L ( ) thỏa mãn (dd v c )n (dd u c )n trong và nếu

Chú ý rằng đây chính là Hệ quả 1.3.3 đã được trình bày trong chương 1

2.1.4 Mệnh đề (Bất đẳng thức Cegrell; [7]) Cho ( ) nếu

0

u v với v u trong thì

( )(dd v c )n ( )(dd u c )n

Chứng minh Áp dụng nguyên lý so sánh mạnh cho u và v với 1,

công cụ chủ yếu được sử dụng trong chương này là ước lượng năng lượng sau đây (xem [6]):

2.2.1 Mệnh đề Giả sử u v, 0( ) và p 1 Khi đó với mỗi 0 j n tồn tại một D j p, 0 sao cho

ở đó D n p, 0 chỉ phụ thuộc vào n , p và D n p, 1 khi 0 p 1

Chú ý Mệnh đề 2.2.2 đã được chứng minh trong trường hợp p 0; (xem Hệ quả 5.6 trong [7])

Chứng minh Giả sử p 0 Theo [8, Bổ đề 2.1] tồn tại duy nhất một dãy u k

các hàm trong 0( ) sao cho u kj u k trong khi j và

lim ( )p kj p( )k

j e u e u với mỗi 0 k n Từ Định lý 3.4 [14] và Định lý 3.3 [2] suy ra

2.2.3 Hệ quả Giả sử u ( ) và v p( ),p 0 thỏa mãn u v

với mọi tập con Borel E của Nhớ lại rằng một dãy hàm u j đƣợc gọi là hội

tụ đến u trong C n trên tập E nếu với 0 tùy ý ta có

a Nếu dãy j bị chặn đều địa phương trong ( ) hội tụ yếu đến hàm

đa điều hòa dưới trong thì với hằng số 0 p1 tùy ý ta có

qj

n p

khi c (Theo Mệnh đề 2.2.2 và Hệ quả 2.2.3)

Suy ra A c j1, 0 đều với mọi j khi c Tương tự ta cũng có:

3

c j

A với mọi j , khi c

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng 2 W

điều hòa dưới dương Khi đó áp dụng liên tiếp đẳng thức

2fg (f g) f g ta nhận được ( j)p1 có thể viết dưới dạng tổng các số hạng hữu hạn có dạng h, trong đó h là hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa phương trong Từ đó theo Định lý1 [18] ta có 2 W

Chứng minh b) tương tự a)

Bây giờ với mỗi số c 0 ta có

B trong khi c Mặt khác cho E là hàm đặc trưng của tập E Khi đó ta có

Ta có kết quả sau, là hệ quả của Định lý 2.3.1 và Hệ quả 2.2.3

2.3.2 Hệ quả Giả sử u u k, kj ( ), 0 k n sao cho u kj u k trong C n trên mỗi tập E khi j Nếu tồn tại g k trong p( ), với

Từ đó, do tính tựa liên tục của các hàm đa điều hòa dưới và Định lý Dini ta có

hệ quả tiếp theo

2.3.3 Hệ quả Giả sử u u k, kj p( ),p 0 và mỗi 0 k n ta có

có thể có khối lượng tổng cộng là vô hạn trong , nên tổng quát hoá một cách

tự nhiên của nguyên lý so sánh mạnh đối với lớp p( ) là một dạng sau của định lý so sánh, trong đó tất cả các tích phân là hữu hạn

Nhớ lại rằng một họ các độ đo dương được gọi là liên tục tuyệt đối đều đối với C n trong tập E nếu với mỗi 0 tùy ý tồn tại 0 sao cho với mỗi tập con Borel E1 E mà C E n( )1 , bất đẳng thức ( )E1 xảy ra đối với mọi độ đo Trước tiên ta cần chứng minh bổ đề sau

2.4.1 Bổ đề Giả sử u v, p( ),p 0 và ( ) L ( ), là một hàm vét cạn liên tục của triệt tiêu trên Đặt

a Các độ đo ( , , ) 1 1 p1( c 2)n

trong , với mọi v v u1, ,2 1 p( ) mà v v1, 2 v và u1 u trong

)

b Các độ đo ( , , ) 1 1 p1( c 2)n

với C n , với mọi v v u1, ,2 1 p( ) mà v v1, 2 v và u1 u trong

khi j với mọi v u1, 1 p( ) mà v1 v u, 1 u trong

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử e v p( ) 1vàe u p( ) 1.Theo

Khẳng định c) suy ra từ b) vì v u s, , triệt tiêu trên

Để chứng minh d), theo Định lý 2.1 [7] tồn tại dãy v 1,t , u 1,t trong

o C sao cho v 1,t v và u 1,t u trong khi t Theo hệ

quả 2.2.3 ta có v u1.t, 1,t p( ) với mọi t

Bây giờ ta biểu diễn

max(v ,1, ) max(u ,1, )p1 ( cmax( , ))n

max(v ,1,t c) max(u ,1,t c)p1 max(v ,1 c) max(u ,1 c)p1

trong C n trên mỗi tập E khi t Khi đó, theo định nghĩa của C n

tồn tại số t0 sao cho

A c j t2, , A c t4, với mọi j

xảy ra với mọi s 0,p1 0 và 0 p p1 1

Thật vậy, đầu tiên chú ý rằng u 0( ) vì lim sup ( ) 0

Tương tự ta có v 0( ) Do đó, không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng

u v trong và u v trên Đặt v max( ,u v ) Khi đó v v

trong khi 0 và v u gần Bây giờ lấy tích phân từng phần (xem [5]) ta đƣợc

1 , ( )n p c , , c 2 c

(2) Thứ hai, ta chứng minh bất đẳng thức (A) xảy ra với mọi u v, p( ) Theo [7, Định lý 2.1] tồn tại dãy u k và v j trong 0( ) C( ) sao cho

k

u u và v j v trong Từ Hệ quả 2.2.3 suy ra u v k, j p( ); khi đó theo bất đẳng thức (A) với s 0, p1 0 mà 0 p p1 1 ta có

1 1

1

1 , ( )n p c , , c 2 c

Lại theo Bổ đề Fatou suy ra

1 1

và Định lý hội tụ trội của Lebesgue ta có

trong đó v max( ,v t u), max( ,u t) Với 0 tùy ý ta lấy tập con

mở M và v u2, 2 C( ) sao cho t v u2, 2 0 trong ,

v v u u M và C M n( ) Từ đó, theo định nghĩa của C n

ta đƣợc tích phân cuối cùng trội hơn

Dễ thấy (v2 u2)n p1 (v2 u2)n p trong khi p1 p và

Cho 0 sau đó cho t ta có bất đẳng thức cần chứng minh □

Áp dụng Định lý 2.4.2 ta có định lý so sánh trong ( )p , đó là sự cải biên của

nguyên lý so sánh Bedford - Taylor

2.4.3 Hệ quả Nếu u v, p( ) với p 0 thì

( ) (p c )n ( ) (p c )n

Chứng minh Chia cả hai vế của bất đẳng thức trong Định lý 2.4.2 cho r và cho

r ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh