NGỮ NGHĨA CỦA HORN VÀ CÁC CHƯƠNG TRÌNH LOGIC DẠNG TUYỂN

NGỮ NGHĨA CỦA HORN VÀ CÁC CHƯƠNG TRÌNH LOGIC DẠNG TUYỂNJorge Lobo1 Jack Minker 1,2 Arcot Arcot Rajasekar1 Lĩnh vực của khoa học máy tínhViện nghiên cứu Computer Advanced2 Trường đại học

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCKHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Học viên thực hiện: Nhóm 6 - Lớp KHMT B Khóa 2010-2012

Nguyễn Văn Sửu Nguyễn Thị Thu Nguyễn văn Đề Nguyễn Đức Quê Nguyễn Đức Nghĩa

MỤC LỤC

1 LỜI MỞ ĐẦU: 3

2 NỘI DUNG 5

a Mở đầu 5

i Chương Trình logic 5

ii Nguyên lí Điểm bất động 6

b Khai báo ngữ nghĩa: 7

1 Mô hình trạng thái ngữ nghĩa: 7

2 Ngữ nghĩa Điểm bất động : 10

c Ngữ nghĩa thủ tục: 13

d Kết luận: 19

Lời cảm ơn : 21

Tài liệu tham khảo: 21

NGỮ NGHĨA CỦA HORN VÀ CÁC CHƯƠNG TRÌNH LOGIC DẠNG TUYỂN

Jorge Lobo(1) Jack Minker (1,2) Arcot Arcot Rajasekar(1)

Lĩnh vực của khoa học máy tínhViện nghiên cứu Computer Advanced(2)

Trường đại học MarylandCollege Park, Maryland 20742Van Emden và Kowalski đề xuất một ngữ nghĩa điểm bất động dựa trên lý thuyết mô hình và một ngữ nghĩa hoạt động dựa trên lý thuyết chứng minh cho các chương trình logic Horn Họ chứng minh tương đương của những ngữ nghĩa bằng cách sử dụng các kỹ thuật điểm bất động Mục tiêu chính của bài báo này

là để trình bày một lý thuyết thống nhất cho ngữ nghĩa của Horn và các chương trình logic dạng tuyển Đối với điều này, chúng tôi mở rộng ngữ nghĩa điểm bất động và ngữ nghĩa hoạt động hoặc thủ tục đến lớp học của chương trình logic dạng tuyển và chứng minh kỹ thuật tương đương của họ bằng cách sử dụng tương tự như những người sử dụng cho các chương trình Horn

1 LỜI MỞ ĐẦU:

Mục tiêu chính của bài báo này là để trình bày một lý thuyết thống nhất cho ngữ nghĩa của Horn và các chương trình logic dạng tuyển Chúng tôi trình bày một khai báo và thủ tục ngữ nghĩa nhúng ngữ nghĩa của chương trình Horn Trong [18.2], hai cách tiếp cận ngữ nghĩa của chương trình Horn đã được

nghiên cứu Ngữ nghĩa điểm bất động dựa trên lý thuyết mô hình trật tự logic

đầu tiên và ngữ nghĩa hoạt động dựa trên lý thuyết chứng minh bằng cách sử dụng các kỹ thuật điểm bất động để thay thế tính chất đầy đủ của Godel là một trong những đóng góp quan trọng đã được trình bày trong [18] và [2] Trong bài báo này chúng ta mở rộng ngữ nghĩa điểm bất động và toán tử hoặc thủ tục để

việc nghiên cứu được mở rộng hơn của các chương trình logic trong đó bao gồm các chương trình logic dạng tuyển Chúng tôi chứng minh sự tương đương của hai ngữ nghĩa bằng cách sử dụng các kỹ thuật tương tự đã được sử dụng trong [18.2]

Ngữ nghĩa Điểm bất động là dựa trên các nhà khai thác biến đổi của một mạng cho đến các yếu tố trong cùng một mạng Van Emden và Kowalski [18] xác định một nhà điều hành áp dụng cho một mạng được hình thành bằng cách tập hợp các nguyên tử Trong bài báo của chúng tôi, chúng tôi sử dụng bộ của các nguyên tử bằng cách sử dụng bao gồm thiết lập trật tự một phần và bản đồ một tập hợp các nguyên tố với một tập hợp của các nguyên tố Trong bài báo của chúng tôi, chúng tôi sử dụng bộ mệnh đề tích cực của các nguyên tố để áp dụng các khái niệm trong [18] để lý thuyết mở rộng Các kết quả trên ngữ nghĩa điểm bất động được lấy từ [11] ngữ nghĩa thủ tục Logic sử dụng chương trình thực hiện thủ tục bằng chứng độc lập và mô tả ngữ nghĩa của chương trình là các định lý chứng minh thông qua các thủ tục đã cho Phép hợp giải SLD ([6.18]) được sử dụng như là một cơ sở cho các thủ tục của lý thuyết Horn Một trong những đặc điểm cơ bản của phép hợp giải SLD là nó giải thích sự đơn giản của toán tử Chương trình Horn được hình thành các mệnh đề bao gồm hai phần, một tiền đề bao gồm kết hợp của các nguyên tố và một kết quả bao gồm một công thức nguyên tố Phép hợp giải SLD xem xét kết quả của một mệnh đề

là một vấn đề có thể được giải quyết bằng cách giảm các vấn đề phụ được đưa

ra trong tiền đề Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một ngữ nghĩa thủ tục, phép hợp giải SLO, phần mở rộng các chương trình vẫn giữ nguyên vẹn được các bài toán – bài toán con toán tử của phép hợp giải SLD Trong phần còn lại của phần này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa sơ bộ về lập trình logic và

lý thuyết điểm bất động Phần 2 có chứa các ngữ nghĩa điểm bất động cho chương trình dạng tuyển Trong phần 3, chúng tôi trình bày ngữ nghĩa thủ tục với ngữ nghĩa điểm bất động tương đương

Một chương trình logic dạng tuyển một tập hữu hạn các mệnh đề của công thức,

A 1 ∨ A n ← B 1 ∧ ∧ B m với n≥ 1, m ≥0, và A s và B s là công thức nguyên tố Dạng tuyển của nguyên tố A 1 ∨ A n được gọi là đầu của mệnh đề Sự kết hợp của nguyên

tố B 1 ∧ ∧ B m được gọi là thân của các mệnh đề Chúng tôi giả định rằng tất cả các biến xuất hiện trong một mệnh đề là xác định Một mệnh đề Horn xác định là một mệnh đề mà n = 1 Một chương trình Horn, gọi là chương trình logic là một chương

trình logic dạng tuyển chỉ bao gồm các mệnh đề Horn xác định dạng tuyển khi n≥ 2 Một chương trình logic còn được gọi là dạng tuyển nếu nó chứa một mệnh đề dạng tuyển Một chương trình logic tổng quát là tập mệnh đề của công thức A 1 v A v n

← L 1 ∧ … ∧ L m với n≥1, m≥0 , A s là nguyên tố và Ls là literal Một mệnh đề Horn tổng

quát là mệnh đề mà n=1 Một chương trình Horn tổng quát hoặc một chương trình

thông thường là một chương trình logic dạng tuyển tổng quát bao gồm chỉ các mệnh

đề Horn tổng quát Một mệnh đề dạng tuyển tổng quát khi n>2 Một chương trình logic tổng quát được gọi là dạng tuyển tổng quát nếu nó chứa mệnh đề dạng tuyển thông thường Chúng ta sử dụng thuật ngữ chương trình để nói đến tới cả chương trình logic dạng tuyển và chương trình logic dạng tuyển tổng quát Bằng một thể hiện nền

E θ của một mệnh đề E, chúng ta muốn nói rằng ở đây có nghĩa là có một phép thế θ

cho các biến trong mệnh đề E, để E θ là nền

Phổ dụng Herbrand U P của một chương trình P, là tập của tất cả các hạng thức nền

mà có thể được thiết lập từ các kí hiệu hằng và hàm trong P (nếu không có hằng trong

P, một hằng tùy ý được qui định trong U P ) Cơ sở Herbrand của một chương trình logic P, HB (P), được định nghĩa là một tập hợp của tất cả các nguyên tố nền có thể được hình thành bằng cách sử dụng các vị từ từ P với các hạng thức từ phổ dụng Herbrand U P như là đối số [Llc> 84] Một thể hiện Herbrand I cho P là một tập hợp con của cơ sở Herbrand của P, mà tất cả các nguyên tố trong I được giả định là đúng,

và không ở trong I sẽ được giả định sai Một mô hình Herbrand của P là một thể hiện

Herbrand của P làm cho tất cả các mệnh đề trong P là đúng Cho một chương trình P,

HERB (P) biểu thị tập các mệnh đề (có thể vô hạn) là các thể hiện nền của mệnh đề chương trình P.

ii Nguyên lí Điểm bất động

S là một tập hợp và mối quan hệ là một quan hệ nhị phân trên S và giả sử được hình thành một trật tự một phần trên các nguyên tố của S (tức là có tính phản xạ, bắc cầu, và phản đối xứng) Nếu X là một tập hợp con của S, thì

là một cận trên của X nếu là cận trên nhỏ nhất (lub) của X của S nếu a là một cận trên của X và tất cả các cận trên a’ của X, ta

có Chúng ta có thể xác định một cận dưới cực đại (glb) bằng cách tương

tự S là một lacttice đầy đủ nếu lub(X) và glb(X) tồn tại cho mỗi X tập hợp con

của S

Với một lacttice đầy đủ S, một toán tử T: là liên tục nếu tất cả các

một lacttice của S, cho , x là một điểm bất động (fp)của T nếu T(x)=x, x

là điểm bất động cực tiểu (lfp) của T nếu của tất cả điểm bất động x’ của

T Với một toán tử S, ta xác định tương tự như sau:

b Khai báo ngữ nghĩa:

1 Mô hình trạng thái ngữ nghĩa:

Trong số tất cả các mô hình của một chương trình P, chúng ta quan tâm đến các mô hình Herbrand Đặc biệt, chúng ta quan tâm trong các mô hình Herbrand tối thiểu kể từ khi chúng có một mối quan hệ chặt chẽ với ngữ nghĩa điểm bất động Một mô hình M của P là tối thiểu nếu có là không chứa tập hợp con M' của M như là M' là một mô hình của P Mỗi chương trình Horn của P có một mô hình Herband tối thiểu duy nhất Mp Mục đích ý nghĩa của P có thể được đặc trưng bởi các mô hình của nó, nhưng có một lý do rõ ràng làm cho Mp giải thích dự định của nó Đó là, các nguyên tố trong Mp là chính xác những hệ quả logic của P [18] Chúng ta có thể khái quát câu lệnh này và cho rằng bất

kỳ mệnh đề chung là một hệ quả logic của P là gộp bởi một nguyên tố trong

Mp Do đó, tất cả các hệ quả logic của một chương trình Horn của P có đầy đủ đặc trưng của mô hình duy nhất Mp tối thiểu của nó Một tình huống khác xảy

ra khi chúng ta mở rộng các chương trình Horn đến chương trình dạng tuyển Một chương trình dạng tuyển có thể có nhiều hơn một mô hình nhỏ nhất, tất cả các đặc trưng của nó cho những hệ quả logic

Định lý 2.1: P là một chương trình logic dạng tuyển Một mệnh đề đích tích

cực C là kết quả đúng nhất của P nếu và chỉ nếu C là đúng trong tất cả các mô hình nhỏ nhất của P

Chứng minh : ta có :

C là hệ quả logic của P

Nếu và chỉ nếu là không thỏa mãn

Nếu và chỉ nếu không có mô hình Herbrand

Nếu và chỉ nếu là sai w.r.t tất cả là mô hình Herbrand của P

Nếu và chỉ nếu C đúng w.r.t tất cả là mô hình Herbrand nhỏ nhất của P

Một điểm phân biệt các chương trình Horn và dạng tuyển là trong các chương trình dạng tuyển, chúng ta có thể có một mệnh đề là một hệ quả logic của P nhưng không có các mệnh đề phụ của nó Ví dụ, chương trình đơn giản dạng tuyển P ={A v B} khi A v B là một kết quả đúng nhất của chương trình P Tuy nhiên, không phải A hoặc B là kết quả của P Chúng tôi tham khảo các mệnh đề như AvB trong chương trình P là mệnh đề nhỏ nhất của chương trình

P khi không có mệnh đề phụ là một hệ quả logic của chương trình Chúng ta đang quan tâm đến việc sao chép lại là hệ quả logic trong ngữ nghĩa của nó Trong trường hợp các chương trình Horn, hệ quả logic được đặc trưng bởi công thức nguyên tố và các mô hình Herbrand và giải thích Herbrand cung cấp các cấu trúc thích hợp để sao chép lại chúng

Đối với các chương trình dạng tuyển, những hệ quả logic được đặc trưng quy định tại mệnh đề tích cực, nhưng giải thích hoặc mô hình duy nhất Herbrand không phải là khái niệm này Bước đầu tiên của chúng ta là mở rộng định nghĩa của Cơ sở Herbrand là bao gồm các trường hợp dạng tuyển

Định nghĩa 2.1 Với một chương trình logic phân biệt P, cơ sở Herbrend

mở rộng của P, EHB (P), là tập hợp của tất cả các mệnh đề tích cực có thể được hình thành với các nguyên tố khác biệt với HB (P)

Sự cần thiết của các cơ sở Herbrand mở rộng cũng được phản ánh trong các

mô hình nhỏ nhất của một chương trình Ngược lại với các chương trình Horn, chương trình dạng tuyển có thể có nhiều hơn một mô hình nhỏ nhất Đối với P chương trình trong ví dụ trước, các mô hình tối thiểu là {A} và {B} Chúng ta muốn cô đọng thông tin này trong một cấu trúc đơn giản duy nhất Đối với điều này, chúng ta mở rộng định nghĩa và các mẫu trạng thái và mô hình - trạng thái

Định nghĩa 2.2 : Với P là một chương trình logic dạng tuyển.

1 Một trạng thái của P là một tập con hữu hạn của cơ sở Herbrand mở rộng của P, EHB(P).

2 Một mô hình trạng thái của P là một trạng thái của P là một mô hình của

P, như là :

(a) Mỗi mô hình cực tiểu của P là một mô hình của S.

(b) Mỗi mô hình cực tiểu của S là một mô hình của P.

Bổ đề 2.1 : Mỗi chương trình dạng tuyển P có một mô hình trạng thái MS

Chứng minh : MS là một tập hợp C là kết quả đúng nhất của P} Chúng ta chứng minh rằng MS là một mô hình trạng thái của P Phần (a) của định nghĩa của mô hình trạng thái theo định lý 2.1 M là một mô hình tối thiểu của MS và mâu thuẫn, giả sử M không phải là một mô hình của P Sau đó, thí dụ đích của một mệnh đề trong P như là

là đúng trong M nhưng là sai trong M, tức là

hàm ý có (có thể rỗng) mệnh đề tích cực C1, C2,…, Cn như là là một hệ quả đích logic của P Mặc dù phụ thuộc vào MS Do

đó, M là một mô hình của Do đó, M là mô hình của C tức là

C1, …., Cn là sai trong M Mặc dù, M là một mô hình của

mâu thuẫn với giả thiết

Bây giờ, chúng ta có thể thu gọn thông tin được chứa trong các mô hình nhỏ nhất của một chương trình dạng tuyển trạng thái mô hình nhỏ nhất

Định nghĩa 2.3 Một mô hình trạng thái S của chương trình P là nhỏ nhất nếu

và chỉ nếu không tồn tại mô hình trạng thái của P mà là một tập hợp con thích hợp của S

Chứng minh : Tương tự từ định nghĩa mô hình trạng thái :

Tập hợp MSp đã được nhận dạng bởi [19] theo một phương pháp khác Chúng xác định mỗi thuộc tính Q trong chương trình P, tập PIGC[Q] chứa mệnh đề tối thiểu mà thuộc tính Q xảy ra trong các mệnh đề mà được nhận từ P

Đó là sự kết hợp của PIGC trên tất cả các kí hiệu thuộc tính trong P mà ta thu được MSp

2 Ngữ nghĩa Điểm bất động :

Sức mạnh của Cơ sở Herbrand của một chương trình P, 2HB(P) là một lattice đầy đủ theo mối quan hệ bao gồm thiết lập Văn Emden và Kowalski [18] định

nghĩa một toán tử kết thúc mà các bản đồ một Herbrand làm sáng tỏ đến một

Herbrand làm sáng tỏ của một chương trình P Chúng đã chỉ ra rằng toán tử là liên tục các chương trình Horn và do đó có ít một điểm bất động nhỏ nhất Điểm bất động nhỏ nhất cũng được hiển thị để xác định mục đích ý nghĩa của một Horn chương trình P trong ý nghĩa đó các điểm bất động nhỏ nhất của chương trình là mô hình nhỏ nhất Mp của P Ở đây, chúng ta sử dụng sức mạnh của EHB (P), , 2HB(P), (tức là tập hợp của tất cả trạng thái của một chương trình P) với thứ tự tập hợp từng phần gồm, như lattice đầy đủ cơ bản điểm bất động ngữ nghĩa của chương trình dạng tuyển The closure operator that maps states

to sates of a program P is defined as follows: Toán tử kết thúc mà các ánh xạ

trạng thái của một chương trình P được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 2.4 Đối với một chương trình P, một ánh xạ TP :

được định nghĩa như sau S là một trạng thái của một chương trình P, (tức là, S là một tập hợp con của EHB(P)), sau đó

là một (ví dụ nền (trường hợp nền, )

của một mệnh đề chương trình P, , , Ci có thể là

có giá trị null, và C là thừa số nhỏ nhất của C’’}

Các thừa số nhỏ nhất của một gốc mệnh đề C' được định nghĩa như mệnh đề

C mà C chỉ có chứa các nguyên tử riêng biệt và C dẫn đến có nghĩa C’ và C' dẫn đến hợp lí (hợp lý có nghĩa) C

Ví dụ 2.1 Hãy xem xét chương trình

và trạng tháikhi đó

Minker và Rajasekar [11] chứng minh cho một chương trình P, Tp là ánh xạ liên tục Do đó, là điểm bất động nhỏ nhất của nó Định lý tiếp theo cho thấy rằng cho một chương trình P điểm bất động nhỏ nhất của Tp chứa tất cả các mệnh đề tích cực xuất phát từ chương trình P Trước tiên, chúng ta phải phân

biệt giữa các giới hạn xác nhận từ gốc và chứng minh Chúng ta nói một

chương trình dạng tuyển P xuất phát một khoản nếu C là một chuỗi hữu hạn C1,

C2,…,Ck của mệnh đề như Ci hoặc một mệnh đề trong P, một thể hiện của một mệnh đề có trước Ci, hoặc (nhị phân) chỉ giải quyết được của các mệnh đề trước Ci, và Ck = C Một mệnh đề là chứng minh được từ 1 chương trình khi nó

là một hệ quả logic của chương trình Trong trường hợp các chương trình Horn

những khái niệm về provability và derivability của các nguyên tố trùng Với

ngữ nghĩa cụ thể mà chúng ta đang phát triển, chúng tôi chỉ quan tâm đến ý nghĩa dự định của một chương trình theo xác nhận ý nghĩa Đó là, ngữ nghĩa được dự định của chúng tôi sẽ đạt được một trạng thái có chứa tất cả (và chỉ)