MỘT số lớp nửa NHÓM và VI NHÓM hữu hạn LIÊN QUAN đến dãy số LUCAS

Biêu diên nhóm Trong chương này, chúng tôi trình bảy biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vịnhóm và biểu diễn nhóm với cấu trúc tự do tương ứng cùng với mối hên hệ củachúng đối với một nhóm...

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐAI HOC VINH

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2013

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỞNG ĐAI HOC VINH

BÙI THỊ HÀ

Chuyên ngành' ĐẠI SỐ VÀ LÝ THƯYÉT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dân khoa học

PGS TS LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An - 2013

1.2 Vị nhóm tự do 8

MỞ ĐẦU

Lóp các nhóm với biểu diễn hữu hạn

n n

< a,b I a n = b n ^abcr^b^ 2 ^ = 1 >

là một mở rộng của lóp nhóm tam giác, chúng đã được nhiều tác giả quan tâm

nghiên cứu trong những năm gần đây cấp của các nhóm nảy hữu hạn và phụ

thuộc vào dãy số Lucas \u n \ cho bởi u x = 2,7/, = 1,7/*+, = Iik+l +ĩt k (k> 1).

Năm 2006, H Doostie và K Ahmadidelir đã chứng minh được rằng Q*p,)là

nhóm hữu hạn và cấp của nó cho bởi

pJ = < a,b\ a n = bn, aba u= 1 >

- - 1

P3 = < a,b I a n = b n , a 2 b d-2W2-^ = ab >

trong đó là day số Lucas

Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Two cỉasses of fìnỉte

serrúgrơups and monoids invoỉving Lucas mmibers của các tác giả K.

Ahmadidehr, c M Campbell và H Doostie đăng trên tạp chí Semigroup Forum

số 78 năm 2009 để tkn hiểu tính hữu hạn của các nửa nhóm SgCP,) và vị nhóm

Acbn{p ) cùng với mối liên quan giữa chúng với các nhóm GpiV ).

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm bachương

Chương 1 Kiến thức chuấn bị

Trong chương này, chứng tôi hệ thống các khái niệm và tính chất của nửanhóm tự do, vị nhóm tự do và nhóm tự do đê làm cơ sở cho việc trình bày cácchương sau

Chương 2 Biêu diên nửa nhóm Biêu diên nhóm

Trong chương này, chúng tôi trình bảy biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vịnhóm và biểu diễn nhóm với cấu trúc tự do tương ứng cùng với mối hên hệ củachúng đối với một nhóm

trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học trường Đại học Vinh, Phòng tổ chức

trường Đại học Sài Gòn Cảm ơn tập thể lớp Cao học 19 Đại số

Nghệ An, tháng 8 năm 2013

Tác giá

một từ Tập hợp tất cả các từ trcn A được kí hiệu bởi A + Chúng ta sẽ viết u = v

nếu các từ ^vàvlà như nhau

Tạp hợp A + là một nửa nhóm, được gọi là nưa nhóm các từ trênA,, khi

tích được xác định bằng cách ghép các từ liên tiếp vào nhau, nghĩa là tích của

các từ W 1 = a ỉ a 2 a n , w 2 = bị) 2 b m (ạ i ?bj ^A) là từ' W=W Ả W 2 =ap 2 a n bp 2 b m

Khi bô sung Ả từ rong 1 (mà nó không có chữ cái nào), chứng ta nhận được vị nhóm các từ Ả Rõ ràng à = A + u {l} với 1Ể A + và l.xv =w.l= vv, với

1.1.4 Định lỷ Nếu s được sinh tự do bởi X và a 0 :X —> Plà một ánh xạ, thì

một mở rộng đong cấu duy nhất a :S -» p.

Kết quả tiếp theo phát biểu rằng mỗi nửa nhóm s là một ảnh đồng cấu củamột nửa nhóm các từ, và do đó các nửa nhóm các từ là cơ sở của các nửa nhóm.Mọi nửa nhóm tùy ý có thể được xây dựng trên nửa nhóm các từ

toàn

cẩu ụf :A + —> s.

nhóm

các từ A + vớ/ một bảng chữ cái A nào đó.

Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lé vi — Dubreil — Jacotin vềnửa nhóm tự do trên sự nhân tử hóa các phần tử của nó

Giả sử Jc s Chúng ta nói rằng x = x l x 2 x n là một phân tích thành

nhân tử phần tử X trênX nếu mỗi Xị e x,i - 1,2, , n Nếu X sinh ra s thì mỗi

phần tử xe s có một sự nhân tử hóa trênX Nòi chung sự phân tích đó không

duy nhất, nghĩa là có thể xảy ra x ỉ x 2 .x k =y 1 y 2 .y nn với x k * y k nào đó

) oc ữ (y„)là hai sự nhân tử hóa của a(x) trân A Vĩ A + thỏa mãnkhẳng định của Định lý, nên ta phải có «0(x.) - a 0 (ỵì) với mọi i = 1, 2, , n (và

m = rì) Vì a 0 là song ánh nên Xị = y,-, với mọi i = 1, 2, , n và như vậy sthỏa

mãn khẳng định của Định lý 1.1.8

Giả thiết rằng iSthỏa mãn điều kiện duy nhất Ký hiệu p = oc ữ x và giả sử

và là đơn ánh ( vì nếu p{u)= p(v) với u,ve A + ,u*v nào đó thì Ị){u) có hai

cách nhân tử hóa khác nhau trên X trái giả thiết) Vậy p là một song ánh và do

đó là một đẳng cấu Định lý 1.1.8 được chứng minh □

1.2 VỊ NHÓM Tự DO

Không một vị nhóm AVnào là nửa nhóm tự do, vì 1= 1.1 Từ đó phần tử

đơn vị 1 không thể có ở trong tập sinh tự do nào của M Nếu 1 được nhân tử hóa bởi các phần tử V ,x 2 , ,x n thuộc tập sinh của Aẩứảx = 1 X sẽ là hai cách

1.2.4 Định lý Một vị nhóm M là vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu Ađ\ {1} là

nửa nhóm tự do.

Đối với điều kiện ngược lại, tập con M\ {1} là nửa nhóm con của

M Điều đó được thỏa mãn vì nếu không \ M sẽ có hai cách nhân tử hóa khácnhau Phần còn lại của khăng định suy ra từ định nghĩa của vị nhóm tự do □

Những két quả khác đối với nửa nhóm tự do cũng có thể chuyển sang cho

vị nhóm tự do Nói riêng ta có

XE M\ {1} có một sự nhân tử hóa duy nhất trênX

(ii) Moi vị nhỏm là một ảnh đồng cấu của một vị nhóm các từ A với bảng chữ ccả A chọn thích hợp.

À với bảng chữ cái A nào đó.

thỉMtự

là một tiền tố của Vỵ hoặc Vỵ là tiền tố của Giả sử rằng V^—IỌV (trong

trường hợp khác lập luận được tiến hành tương tự do tính đối xứng) Khi đó

upv E M và u 2 Ii 3 n n = wv 2 v3 vm ( do A có luật giản ước ) Theo giả thiết

we M y nhưng điều đó mâu thuẫn vì y = Ii{we B(M) Vậy M tự do □

-1.3.5 Chú ý Như vậy, mọi tập s những phần tử xác định một nhóm tự do chủ

yếu duy nhất ( F, f) Vì ánh xạ f : s —» F là đơn ánh nên ta có thể đồng nhất hóa s với ảnh /(S) của nó trong F Như vậy, tập s đã cho thành một tập con của

Jpvà nó sinh ra F M)i ánh xạ g' s —> X từ tập s vào một nhóm Xtùy ý đềumở

lộng được thành một đồng cấu duy nhất h : F —> X

Nhóm đó được gọi 1 à nhỏm tụ do sinh bởi tập s đã cho.

1.3.6 Định nghĩa Mật nhóm ơtừy ý cho trước được gọi là nhóm tự do nếu G

đẳng cấu với một nhóm tự do Psinh bởi tập snào đó

CHƯƠNG 2

BIỂU DIỄN NỬA NHÓM BIỂU DIỄN NHÓM

2.1 BIÉU DIỄN NỬA NHÓM BIẺU DIỄN VỊ NHÓM

2.1.1 Định nghĩa Giả sử s là một nửa nhóm Khi đó tồn tại một toàn cấu

với một nửa nhóm các từ H+nào đó Thế thì s = A/j \ Khi đó

/Mv')

= Vcác tù’ sao cho U i + 1 nhận được từ uị bằng cách thay thế nhân tử

Uị bởi y đối với u = Vnào đó trong K

Chính xác hơn, chúng ta nói rằng một từ V là dẫn xuất trực tiếp từ từ nếu u — vvạt'w 2 và V- w l v'w 2 với u’ = v’nào đó trong K

Rõ ràng rằng nếu V được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ V ( vì K đối

xứng ) và p(u) = y/(vq) \p{ư) y/(vg) = y/(vq) y/(v) ypịw 2 ) = y/(v) nên U—V là một hệ

thức trong s.

Từ V được gọi là dẫn xuất từ u nếu tồn tại một dãy hữu hạn 11 — w1?

ĩỉ 2 , ,it k+l = V sao cho với tất cả /=1,2, ,Ả 1, Uj +1 là dẫn xuất trực tiếp từ u ị

Thế thì, nếu V được dẫn xuất từ u thì sẽ có y/(w)=y/(v), vì \Ị/(u) = \ị/(u { ) =

\ Ị /( U 2 )= = ụf(uk_x) = y/(uk ) = y/(v), và do đó U-V là một hệ thức trong s Nó có thể

viết thành u=u i = u 2 = = =v

Giả sử 6 là một tương đẳng sao cho pcớ Giả thiết rằng V được dẫn xuất trực tiếp bởi ư u - w l ư w 2 , v=w l v' w 2 và u’ = V’ trong R Vì K cớ nên

(ỉ/,v)eớ Vĩ ớ là một tương đằng nên (w 1 u'w 2 , w l v'w 2 ~) e ỡ hay (ĩ/,vjeỡ Do

đó, nhờ tính bắc cầu của p và 0 có p c 6 và như vậy p là tương đẳng nhỏ nhất

chứa K , nghĩa là R c = p □

Từ Định lí 2.1.2 trực tiếp suy ra

xímg Thế thì nửa nhóm s =y ỵ / ịị c có hiểu diễn

p (iS) = <A I u = Vvới mọi (u,v)eR>.

Hơn nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biếu diên đăng cấu với nhau.

2.1.4 Chú ý Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm) đều có biểu diễn Thật vậy,P(iS)

=(v4|kerậ/)) là một biểu diễn như vậy, với ụf :A + s là toàn cấu biểu diễn Tuy

ÌỊJ \Ẩ -+M xầM được sinh bởi các phần tử x= IỊ/(a) và y - ụ/ (b) Vì ab = ba

nên xy=\ự(a)ự{b)=\ụ(ab)= \ự{ba)=\ụ{b)ự(a)=yx Do đó Mlà vị nhóm giao hoán vì các phần tử sinh xxầy của Mgiao hoán được với nhau Hơn nữa, mỗi phần tử

zeAẨ có một dạng chuẩn: Giả sử z = z v z 2 z n với z x = ụ/ịa,) (a, = a hoặc

aĩ ị = b ) thi

nào đó, (m> 0, k> 0) Do đó vị nhóm M\ầ một vị nhóm giao hoán tự

do, và có thể chỉ ra được rằng mỗi vị nhóm giao hoán được sinh bởi hai phần tử

là ảnh toàn cấu của M.

2 Biều diễn vị nhóm p (M) =<a,b I aba =1 > xác định một nhóm Thực

ra nhóm này đẳng cấu với (z,+) Thật vậy, giả sửA/làmột vị nhóm với biểu

z=v(a 1 )ự/(tf2) <//(«„) = ự/(<a^a 2 a n ) = ụr(ab'")=ụ/(aỴ.

nếu n=0nếu n> 1

f3(n) = n+x, {n> o)

Giả sử 7^J là vị nhóm các phép biến đồi đầy đủ trên tập hợp N và B=(a,p) là vị

nhóm con của 7^ sinh bơi a,p Khi đó B được gọi là vị nhóm bixycỉic Dễ thấy

ap = i và

Giả sử A = {a, h} là một bảng chữ cái Xác định đồng cấu ụr : A* —> 7? bởi

ụr(a)=a, ụ/{b)- p (bang cách mở rộng \Ị/ trở thành xác định duy nhất bởi ảnh

Theo trên ab = 1 là một hệ thức trong B Giả sử Ỵ e B là một phần tử tùy

ý của vị nhóm bixyclic, Ỵ = Yn yn-\ ••• ĩ\ trong đó ỵ f = a hoặc ỵ ị = p Vì (X Ị3 =1 nên chúng ta có thể giả thiết rằng 7 J = p đối với chỉ số nào đó, thế thì

ỵ f = p đối với tất cả t thỏa mãn j <t<n Điều đó chứng tỏ rằng Ỵ = ị6 k a m với k, 777 > 0, và từ' đó B = {p k a m I k, m > 0} Hơn nữa, các phần tử này hoàn toàn khác nhau Thật vậy, giả sử Ỵ = p k a m và s = p'asthế thì y(o) = p k a’"(0) = p k (o)

= k và ỏ(o)= p r a s (o)= p r (Ó) = r, và với 77>max{^, r}; y(n) = p k a m (n)

2.2 BIỂU DIỄN NHÓM

Trước hết ta chú ý đến kết quả sau

tự

do nào đó.

Giả sửXlà một nhóm tùy ý cho trước Ta rút ra một tập con s của

h:F^X.VìS=g(S) vàX =<$>= (g{s)) d (h(F)) = h(F)dX nênh(F) =x.

là một toàn cấu và từ đó X = trong đó K\ầ hạt nhân của h □

nhỏm xạ ảnh đặc hiệt cấp 2 với các thành phần đặc biệt thuộc trường Z5) Chú ý

làng nhóm PSLÌ2.5) có cấp bằng 60.

2.2.5 Chú ý (i) Giả sử M\èi một vị nhóm được xác định bởi biểu diễn < A I K >

khi đó A/làmột nửa nhóm được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm (A, e I R , oe

= ea = a {ctE Àỳj.

Đảo lại, gia sử là một vị nhóm được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm

< A\\i > Tồn tại một từ w E A + biểu diễn đơn vị củaÁẩxèiAẩầuạc xác định

bởi biêu diễn vị nhóm < A \ K , w= 1>.

(ii) Giả sử A là một bảng chữ cái và A~ l = 1 I a e Ằị là một bảng chữ cái

đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây cấp của

các nhóm này hữu hạn và phụ thuộc vào dãy số Lucas.

trong đó {//„} là dạy số Lucas.

• Trong [8] đã chứng minh được rằng Gp(P j) là nhóm mêtaaben Hơn

nữa, nếu n=0 (mod4) hoặc 72= ±1 (modó) thì chúng làmêtaxyclic.

p 1 = < a^h\dl — b tl , abắ 2-^2J — 1 >

với n là sổ tự nhiên lớn hơn 1 Thế thì ẦdònCV J là một nhóm và K íơyị p J =

<+ p

i)-Chừng rrứnh Giả sử n> 2 và m- Giả sưM= Mon( p Tnrớc tiên, chúng

ta chứng tỏ rằng Mcỏ một iđêan trái tối tiểu duy nhất và một iđêan phai tối tiểu

duy nhất Chúng ta khẳng định rằngA/ h ĩl 1 là iđêan trái tối tiểu duy nhất và

\ f w e { a , b Ỵ , Buy G { a , b Ỵ : W { W = ứ" 1 (1)

V WG {a, b Ỵ, Buy e {<3, z?}+ : aw_1 = ( 2 )

Ta chứng minh (1) bằng quy nạp theo độ dài của từ w (được kí hiệu bởi |v*|).

Nếu \w\ = 1 thi hoặc W— a hoặc w = b.

mỗi biểu diễn vị nhóm (hay nửa nhóm) đối với một nhóm G cũng là một biểu

diễn nhóm đối với G Từ đó M = Gp( p 1).

tương ímg là các iđêan trái và iđêan phải tối tiểu duy nhất của s.

Cũng như chứng minh Định lý 3.1.4, ta sẽ chứng minh điều khăng địnhtrên bằng phương pháp quy nạp theo độ dài của từ w, rằng:

trong đó k là một số tự nhiên Giả sử w là một từ với độ dài bằng k +1 Nếu

w = M U Ỉ thì theo giả thiết quy nạp, có

Bây giờ, nếu ta kí hiệu iđêan (hai phía) tối tiểu của s là/, thế thì dí_\s* = ỉ

= s ì d'~ 1 Do đó, n s l a yi ~ l =/là một nhóm, hơn nữa / = Gp(P,), theo

Định lý 4 trong |6| Để tính toán cấp của 5g(P,), ta chú ý rằng a 2 ba m b m = a nên a E a 2 Sl, và do đó a 2 S l = aS l (đối với a eaS1) Từ đó ds l = aSl, đối

với mỗi số nguyên dương i Khi đó, a- a 2 ba'"b m E a 2 S l =a"~ l s l và do đó

H = L = R = D = J □

Cho biểu diễn

Tương tự, trong trường hợp w=b thi chọn My = à'ba 1,1 b m

Bây giờ, giả sử w = w' a hoặc w = w' b trong đó Iw] = k < k +1 thi theo

v -V -'

v -V -' 29

w : w= {ba = (bả 1 baba^ 11 baba"^]b l b r ^ 1 CỈ ) Tt M ~ \ l a) ịa M ) a rt ~ l b).a

= {ba m baba m 1 ) (b^a) {a nl b) a

— ba m baba in ~ Ả a n b n a (vì a n thuộctâm s )

= (ba m ba)(d 1 ba 1 " tì") (vì bnthuộc tâm S)

= d'~ 2 ab = d'~ l b.

Do đó, S l a"~ ì b là iđêan trái tối tiểu duy nhất của s

Để chứng minh (4), ta cũng quy nạp theo độ dài của w Nếu I w I = 1 thi

hoặc w=a 7 hoặc w=b.

Trong trường hợp w=a thì chọn w l = b' H l Khi đó ww l = ab”~ x Trong trường hợp w=b thi chọn w l = b^ 1 d b d" b f f ỉ ~ l Khi đó

Giả sử khẳng định (4) đúng với các từ có độ dài không vượt quá k và I w I

= &+ 1 khi đó >v= avd hoặc w=bw) với \w’\ = k Theo giả thiết quy nạp, tồn tại

w\ E { sao cho w Wj = Í7Ò' 1-1

Đối với trường hợp w= au) chọn vq = u) Ỵ b 2 a l b1,bJỴthì

ww l = (ữW)(Wj ổ2a"'ồ"'_1)

= d- 2 a 2 bd n b"" l b’"-\b m+l d

Nếu 77 lẻ, tong dòng thứ 5 chúng ta phải thế ồ" = b ìttvy b m vào ố" = b ỉ,I+l b m ~ l và

tiếp tục tính toán Cũng như vậy, trong trường hợp 77 = 2, chúng ta có thề lấy

Hí = W1 Điều này dẫn tới s (^(^èo2) =b(ww\')ba =b.abba2

= abab 2 = a/ Suy ra làiđêan phải tối tiểu duy nhất của &

Ký hiệu iđêan ( hai phía ) tối tiểu của Sìầỉ và sử dụng Định lý 1 trong [6] nhận được ab n ~ l & = I= s l a r> ~ l b Từ đó , ab n ~ l s l n S l a n ~ l b = I là một nhóm

1 = Gp( p 3) (= Gp( Pj) , theo Định lý 4 của [6]).

Mặt khác, tập họp Tcác phần tử của skhông phụ thuộc /tạo thành bởi các

cặp phần tử đôi một phân biệt a J, với 1< j < n , b', với 1 < i < n -1, và b l a f với

trong H - lớp của nó vì nếu

S l ưa J = s l b k ầ, ưa j S l = b k a l s l (0< ij,k,ỉ <n-1) = 0 thì chứrg ta giả định rằng s l b’a 1 = S l a J và tiếp tục) thế thì

3 W Ĩ , W 2E \a,bỴ : W Ị b‘ a J = b k à ùa? = w 2 b k CL

và

ii) Hai nửa nhóm s và Tđược gọi \ầphản đắng cấu nếu

tồn tại một ánh xạ phản đăng cấu tù Sìên T.

Chú ý rằng các tính chất của ánh xạ phản đẳng cấu tương tự với các tínhchất ánh xạ đẳng cấu (Có thay đồi chút ít, chẳng hạn nếu s không giao hoán thì

ánh xạ đồng nhất i s không phải là một phản đăng cấu của S).

3.2.2 Chú ý Ta nhắc lại các phép biến đồi Tietze

(T1): Già sử <A I R> là một biểu diễn tùy ý của nhóm G, Fìầ nhóm tự do

vàTVlà bao đóng chuẩn tắc của R trong F{ khi đó G^ĩ 7 /^) Giả sử