Bài toán biên thứ 2 đối với phưong trình Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn

Lý do chọn đề tài Lí thuyết các bài toán biên đối với các phương trình, hệ phương trìnhdừng cũng như không dừng tuyến tính trong các miền trơn đã được nghiêncứu gần như hoàn thiện vào gi

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ HOÀNG ANH

BÀI TOÁN BIÊN THỨ 2 ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẨP 2 TRONG TRỤ VÔ HẠN

Chuyên ngành : Toán giải tích

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

- 2

-Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tự bản thân tôi thực hiện, có sự hỗtrợ hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng và không sao chép cáccông trình nghiên cứu của người khác đế làm sản phẩm của riêng mình Cácnội dung sử dụng trong luận văn là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng.Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính trung thực và nguyên bản của luậnvăn

Neu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu tráchnhiệm trước Hội đồng, cũng như kết quả luận văn của mình

Hà Nội, ngày 16 thảng 6 năm 2013

Tác giả

Lê Hoàng Anh

- 3

-Mục lục

Phần I : Mỏ’ đầu 4

1.1 Lý do chọn đề tài 4

1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài 4

1.3 Đối tượng nghiên cứu đề tài 5

1.4 Phương pháp nghiên cứu đề tài 5

Phần II: Nội dung nghiên cứu 6

Chưong I : Các không gian hàm 6

1.1 Không gian Banach 6

1.1.1 Không gian định chuấn 6

1.1.2 Không gian Banach 7

1.2 Không gian Hilbert 9

1.2.1 Tích vô hướng 9

1.2.2 Không gian Hilbert 11

1.3 Không gian Sobolev 14

1.3.1 Đạo hàm suy rộng 14

1.3.2 Không gian Sobolev 15

Chương II Bài toán CauchyNeumann đối với phương trình Hyperbolic trong trụ vô hạn 19

2.1 Giới thiệu: 19

2.2 Thiết lập bài toán 20

2.2.1 Đặt bài toán 21

2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 23

Chưong III Bài toán biên thứ 2 đối vói phương trình Hyperbolic cấp 2 không có điều kiện ban đầu 36

3.1 Giới thiệu 36

3.2 Kết quả chính 38

45 Phần III: Danh mục tài liệu tham kháo

Phân 1: Mở đâu

1 Lý do chọn đề tài

Lí thuyết các bài toán biên đối với các phương trình, hệ phương trìnhdừng cũng như không dừng tuyến tính trong các miền trơn đã được nghiêncứu gần như hoàn thiện vào giữa thế kỉ XX Tuy nhiên, một vấn đề quantrọng được đặt ra đó là khi tính trơn của biên bị phá vỡ, tức là biên của miềnxét bài toán chứa các điếm kì dị Các kết quả nghiên cúư mang tính chất nềnmóng của V.A Kondrative năm 1967 đã giải quyết được một số vấn đề mangtính nguyên lí đế khắc phục điểm biên kì dị của bài toán biên tổng quát đốivới phương trình Elliptic Từ những kết quả quan trọng của V.A Kondrativecác nhà toán học tiếp tục nghiên cún hệ phương trình Elliptic và hướngnghiên cứu này đã khá hoàn thiện vào những năm chín mươi của thế kỉ XX.Nghiên cúư các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình khôngdừng trong trụ có đáy là miền với biên không trơn được nghiên cứu một cách

hệ thống với các hệ phương trình: Hyperbolic, parabolic và Schrodinger.Trong đó, các kết quả của bài toán biên tống quát đối với phương trình và hệphương trình Hyperbolic có úng dụng thực tiễn quan trọng trong vật lí, cơ học

và hóa học lượng tử Chình vì thế “Bài toán biên thứ 2 đối với phưong trình

Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn” là đề tài mà tôi đã lựa chọn nghiên cứu

trong luận văn

2 Mục đích nghiên cửu đề tài

Mục đích nghiên cứu của luận văn là chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệmsuy rộng và tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian trong bài toánbiên ban đầu tống quát đối với phương trình Hyperbolic trong trụ vô hạn vàđáy là miền có biên không trơn

3 Đối tượng nghiên cứu đề tài

Phương trình hyperbolic bậc 2 với các điều kiện Cauchy-Neumanntrong trụ

4 Phương pháp nghiên cứu đề tài

Sử các phương pháp giải tích hàm : phương pháp ước lượng tiênnghiệm và phương pháp Galerkin

- 6

-Phần 2: Nội dung nghiên cứu

Chưong1 Các không gian hàm

1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuân

Định nghĩal.1.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường số

thực hay số phức K, p là một nửa chuấn xác định trong X , tức p là một ánh xạ X —» i thỏa mãn hai điều kiện :

Theo nhận xét p X >0 Vxe X Ta có p 0 =0, nhưng có thế xảy

ra p X - 0 vói x^o nào đó Neu p thoa mãn them điều kiện:

c) p X = 0 => X = 0 , thì p được gọi là một chuấn trong X Khi đó ta

kí hiệu ||x|| thay cho p X Như vậy một chuấn ||.|| thỏa mãn ba điều kiện:

Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính thực (hay phức) cùng với một

chuấn xác định trong X được gọi là một không gian định chuẩn thực (hay

phức)

- 7

-1.1.2 Không gian Banach

Định nghĩal.1.3 Neu không gian định chuẩn X là một không gian

Metric đầy đủ (với khoảng cách d x,y = ||x-y||) thì X được gọi là không

gian Banach hay không gian định chuẩn đầy đủ.

Ví dụ 1: Không gian Euclide n - chiều i "trở thành không gian định

chuẩn với chuẩn:

Không gian i " là không gian Banach

Ví dụ 2: Gọi c a,b là tập họp tất cả các hàm giá trị thực (hay giá trị

định chuẩn với chuẩn :

X = max\x t

với các phép toán đại số thông thường và với chuấn :

HI = maxlx t I

X - X

m

Ví dụ 6: / ư,z? /?> 1 là không gian Banach Định lý Fisher-Riesz

trong lý thuyết tích phân Lebesgue đã chỉ ra /, a,b là không gian Banach Tính đầy đủ của không gian / ci,b p> 1 cũng chứng minh tương tự.

1.2 Không gian Hilbert

- 10

-của vectơ ấy với chính nó) và góc giữa hai vectơ (cosin -của góc này bằng tích

vô hướng của hai vectơ chia cho tích các độ dài của chúng) Thành thử trongkhái niệm tích vô hướng đã bao hàm khả năng đo độ dài, đo góc, và từ đó điđến những khái niệm quan trọng khác như tính trực giao, hình chiếu thang,

Ta hãy xét xem làm thế nào đưa được khái niệm tích vô hướng vào

Như vậy phải làm thế nào xác định được trong không gian định chuấn

một hàm hai biến x,y với các tính chất 1 - 4 và liên hệ với chuẩn bởi hệ

thức 5 Một không gian định chuẩn mà trong đó có thế xác định được một

không gian unita)

Từ tính chất 1, 2 và 3, ta có

và kết hợp với 5, ta suy ra chuẩn trong một không gian tiền Hilbert phải thỏamãn điều kiện

||x+y||2 + ||x-y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2

ta sẽ có hàm hai biến X, y với các tính chất 1 đến 4

Tóm lại, không gian Hilbert chang qua là không gian định chuấn thoamãn điều kiện bình hành (1)

Nhưng trong phần lớn các úng dụng, khái niệm tích vô hướng đi trướckhái niệm chuẩn, cho nên trong lý thuyết không gian Hilbert người ta thườngxuất phát từ một không gian tuyến tính (chưa định chuấn ),lấy các tính chất 1

- 4 làm những tiên đề đế định nghĩa tích vô hướng trong không gian đó, rồi

mới định nghĩa chuẩn bởi 5 Tức là ịxị = yj x,x (đương nhiên cần chứng

minh rằng đó là một chuấn, nghĩa là nó thỏa mãn đủ các tiên đề về chuẩn)

1.2.2 Không gian Hilbert

Một không gian tuyến tính thực X được gọi là không gian tiền Hilbert, nếu trong đó có xác định một hàm hai biến X, y , gọi là tích vô hướng của

hai vectơ X, y , với các tính chất 1.-4.

Ta hãy chứng minh rằng hệ thức 5 tức là

xác định một chuẩn trong không gian X, nói cách khác không gian tiền

Hilbert định nghĩa như trên là một không gian định chuấn

- 12

-Trước hết, với mọi số thực a ta có

cho nên tam thức bậc hai theo a này phải có biệt số < 0 :

II* + y||<||x|| + ||y||

nghĩa là bất đang thức tam giác được thỏa mãn Mặt khác từ 3 ,4 , 5 ta suy

ra ngay: 1*1 >0 nếu *5^0,1*1 = 0 nếu *=0 , và ||a*|| = |a|.||*|| Do đó 1*1đúng là một chuấn

Qua chứng minh trên ta thấy rằng trong không gian tiền Hilbert luôn

luôn có bất đẳng thức (1.2.4) gọi là bất đắng thức Schwarz Vả lại theo trên

đắng thức bình hành (1.2.1) cũng luôn luôn đúng

Ta có *+ y,x+ y - X-y,x— y = 4 x,y nên giữa tính vô hướng và

I* + y ||—»||*+ y||, I* - y II—»II*- y||, cho nên theo (1.2.2) ta cũng có

•w„ x-y

các tính chất 2 , 3 có nghĩa là x,y là một phiếm hàm song tuyến tính trên

X, và bất đắng thức Schwarz (1.2.4) cho thấy phiếm hàm này bị chặn, do đótheo kết quả ở Chương 5, mục 5.3, nó phải liên tục

- 13

-Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi kháiniệm và sự kiện về không gian định chuẩn đều áp dụng cho nó Nói riêng mộtkhông gian tiền Hilbert có thế đủ hay không đủ Một không gian tiền Hilbert

đủ gọi là một không gian Hilbert.

Một không gian tiền Hilbert không đủ bao giờ cũng có thể bố sung chothành không gian Hilbert: muốn như thế, người ta coi nó là một không gian

định chuẩn với chuẩn 1*1 = yỊ x,x để bổ sung cho thành một không gian

Banach (như đã thấy ở Chương 5, mục 1.4), sau đó sẽ chứng minh rằng trongkhông gian Banach này có thế định nghĩa tích vô hướng thêm cho các phần tử

mới để vẫn có 11*1 = yj x,x

Giữa các khái niệm không gian Metric, không gian tuyến tính, khônggian định chuấn và không gian Hilbert, có nhũng liên hệ như trong Bảng 1

Trong những ví dụ về không gian định chuẩn đã gặp, i * dĩ nhiên là

x,y = ị E x t y t dụ

Tích phân này tồn tại và hữu hạn vì theo bất đẳng thức Holder:

j£|xy|< ịx2-<00

u h gồm tất cả các hàm liên tục trên a,b với các phép

toán tuyến tính thông thường, và tích vô hướng

x,y = í X t y t dt

"(i

là một không gian tiền Hilbert không đủ ( tính không đủ này cũng chúng

từ X lên X bảo toàn các phép toán tuyến tính và bảo toàn tích vô hướng,

nghĩa là sao cho

2) 7ĩx,xy —71 X, y

Chẳng hạn, sau này sẽ thấy rằng hai không gian /2 và L2 là đắng cấu

1.3.1 Đạo hàm suy rộng

Giả sử Q là một miền không nhất thiết bị chặn trong không gian i ".

a thì nó có đạo hàm suy rộng cấp a Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng và từ

- 15

f0

ẫ

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thế không có đạo hàm (theo nghĩa cố

dxpx 2

với các hàm /,£ e L, i , nhưng có thế các đạo hàm ( cố điển ) cấp một và

Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp a trong miền Q'cQ Khi đó đạo

hàm suy rộng trong miền Q' được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng trong

Q vào Q' Dễ kiểm tra được rằng

tất cả, chang hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp a không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhở hon a

1.3.2 Không gian Sobolev

Không gian w m Q là không gian bao gồm tất cả các hàm u X eL Q , sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp a,\a\<m thuộc L Q được

trang bị chuẩn

H Q r - không gian các hàm giá trị phức đo được u x,t có đạo

\u\ \H lk Qr

:=; ííl^v + i",,

) ) < +00

H' e~ r ' ,Q T - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức

< +CO

H l p e ỵt ,Q T - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức

u Hị, e r, Qr

2 (ì+\x\ +j-l

- 18

-Vpl e~ ỵi ,Q T - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm nhận giá trị

trong không gian H l fí Q , xác định trên (0,T) và có đạo hàm theo t đến cấp h,thỏa mãn

e~ yi ,S T - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm nhận giá trị

2ỵi , 0,T - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị

phức đo được u t có đạo hàm theo t đến cấp h, thỏa mãn

\ủ 1 e~ 2 r ', 0.7 ị

_ 7=0 0

u , t -2 yt dt <+00

ư 0,7;L2 Q - không gian gôm các hàm nhận giá trị trong không

\\u\l :=e^supL t II <+00

0</<7

- 19

-Chưong 2 Bài toán CauchyNeumann đối với phương trình Hyperbolic

trong trụ vô hạn

2.1 Giới thiệu:

Các bài toán giá trị biên elip trong miền xác định với các điểm bấtthường được xem xét ở bài báo [1,2], trong đó một số quan trọng về sự tồn tạiduy nhất của nghiệm và sự khai triến tiệm cận của nghiệm cho các bài toán đótrong không gian Sobolev được đưa ra Tính trơn của các nghiệm của bài toánDirichlet cho phương trình eliptic bậc 2 trong miền xác định với biên được

mô tả ở [3] Bài toán giá trị biên ban đầu cho các phương trình và hệ thốngbất định trong miền xác định với các điếm hình nón được nghiên cứu trongcác công trình [4,5] Bài toán với điều kiện biên Neumann trong miền xácđịnh với biên được giải quyết cho phương trình nhiệt kinh điến ở [6] và chophương trình parabolic bậc 2 nói chung ở [7] Bài toán Cauchy-Dirichlet chophương trình hyperbolic bậc 2 trong hình trụ với đáy không trơn được khảosát ở [8] và bài toán tương tự cho phương trình Schrodinger được mô tả ở[9,10], trong đó tính trơn của nghiệm được nghiên cúư trong hình trụ với đáybao gồm các điếm hình nón Trong bản luận văn này, chúng tôi xem xétphương trình hyberbol bậc 2 với điều kiện Cauchy-Neumann trong hình trụvới đáy chứa các điếm hình nón Một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất vàtính trơn đối với sự biến đối của các nghiệm tống quát của bài toán được đưara

Bản luận văn được trình bày như sau Phần 2 nói về các ký hiệu và sựthiết lập của bài toán Phần 3 trình bày về sự tồn tại duy nhất và tính trơn củanghiệm tống quát của bài toán đối với biến thời gian Phần 4 đưa ra tính trơn

- 20

-của nghiệm tống quát đối với biến không gian Phần cuối úng dụng kết quảphần 3 và 4 vào một vấn đề trong vật lý toán

2.2 Thiết lập bài toán

Q là một miền bị chăn trong i ", n>2 với biên dũ, Chúng ta giả thiết

rằng ỔQ là một bề mặt khả vị vô hạn lần trừ điềm gốc, trong miền lần lận của

Q trung với hình nón K = {x:x/\x\ e ƠỊ, với G là một miền trơn trên hình

0 <T < GO.

Chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây: với mỗi chỉ số p = (Pịj—,p„)e N\

\p\ = /?, + + p , ký hiệu D p u = õ ịpị u/õ p ' ô p " =u „ „ là đạo hàm chung bậc

Chúng ta bắt đầu với việc đưa ra một số không gian hàm được sử dụngthường xuyên trong bản luận văn này

w' (Q) là không gian chứa tất cả các hàm u(x), e C2, với chuấn:

W/i(ể'/',Qr)là không gian chứa tất cả các hàm u x,t , (x,0G^r sao

cho D p u -,t ,w J -,t e L 2 Q 0<\ P \ < 1,0< j < k với hầu hết t e (0,7) và

||2

\\ u \\w l k e' riflT

= Ị\ỵ\D p u\ +ỵ\ Uj ể ln dxdt< 00

íĩrVlHắ/ j- ) k 1

2r 'dxdt

X là một không gian Banach với chuấn ||.||x Ký hiệu ZT(0,T,X) là

không gian chứa tất cả các giá trị X của hàm u .,t xác định trên (0,T) saocho

\\u\L „ = 6SS sup||w x,t II <00

trên Qr, ứ =dji i,j = l, ,n và a = a(x,t) là các hàm giá trị thực bị chặn

khả vị vô hạn lần trongQr Ngoài ra, giả sử rằng ai, j = l, ,n, là liên tục

đối vói tất cả ệ G R" \ 0 và x,t eCl r , với jU ữ = const> 0.

Ký hiêu N(x,t,õ)= ỵ^a x,t COS x,v , trong đó pháp tuyên đon

1.7=1 lJ dx.