ư khác biệt giữa tôpô zariski và tôpô thông thường trên □ n và □ n

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, Khoa Toán của Trường Đại học Vinh và Phòng Quản lý Sau đại học của Trường Đại học Đồng Tháp đã giúp tôi hoàn thành tất cả các

LỜI CẢM ƠN

Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tói Phó Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán, người

đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, Khoa Toán của Trường Đại học Vinh và Phòng Quản lý Sau đại học của Trường Đại học Đồng Tháp đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo, Sở Tài chính tỉnh Đồng Tháp, Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Thanh Bình, Ban Giám Hiệu trường THCS Tân Quới, huyện Thanh Bình, tỉnh Đồng Tháp cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Chân thành cảm ơn!

Đồng Tháp, ngày 03 tháng 9 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thanh Hoà

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẰU 3

CHƯƠNG 1 TÔPÔ ZARISKI 5

1.0 Kiến thức chuẩn bị về Tôpô 5

1.1 Tập đại số 5

1.2 Iđêan 12

1.3 Cấu xạ trong tôpô Zariski 19

CHƯƠNG 2 TÔPÔ THÔNG THƯ*ỜNG TRÊN □ " VÀ □ n 27 2.1 Tôpô trong □ n 27

2.2 Sự tirơng đirơng các chuẩn trên I I n 32

2.3 Khái niệm hình cầu mở, hình cầu đóng 38

CHƯƠNG 3 Sự KHÁC BIỆT CỦA TÔPÔ ZARISKI VÀ TÔPÔ THÔNG THƯỜNG TRÊN □ "VÀ □ n 42

MỞ ĐẦU

Không gian tôpô là một cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa cáckhái niệm như là sự hội tụ, tính liên thông, tính liên tục và nhiều tính chấttoán học khác Chúng xuất hiện hầu như trong tất cả mọi ngành của toánhọc hiện đại và là một khái niệm có tính trọng tâm Một tập hợp cho trước cóthẻ có nhiều tôpô trên đó Nếu như một tập được cho nhiều tôpô khác nhau,

nó sẽ được xem như là những không gian tôpô khác nhau Bất ki tập nào cũngđược cho tôpô rời rạc mà trong đó bất kì tập con nào cũng là tập mở Nhữngdãy (hay lưới) hội tụ trong không gian này là những dãy cuối cùng hằng Bất

kì tập hợp nào cũng được trang bị tôpô thô, đó là tôpô chỉ có 2 tập con mở làrỗng và chính nó Trong tôpô này, mọi dãy và lưới đều hội tụ tói mọi diêmtrong không gian Ví dụ này cho thấy trong không gian tôpô tồng quát, giớihạn của dãy không nhất thiết là duy nhất

Trong luận văn này, chúng tôi xét hai loại tôpô, đó là:

- Tôpô thông thường trong không gian Euclid □ n, □ n được địnhnghĩa bởi các tập mở cơ sở là các hình cầu mở

- Tôpô thứ hai trên □ nvà □ n là tôpô Zariski được định nghĩa bằngcách coi tập đóng tôpô Zariski là tập nghiệm của hệ các phươngtrình đa thức

Sau khi tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, tôi nhận thấy cónhững khác biệt giữa tôpô Zariski và tôpô thông thường trên □ n, □ n cùngvới sự động viên, khích lệ của Thầy Nguyễn Huỳnh Phán là phương châm đêtôi thực hiện đề tài này

Vì vậy, tôi chọn tên đề tài của luận văn là: “Sư khác biệt giữa tôpô Zariski và tôpô thông thường trên □ n và □ n ”.

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày những khác biệt giữa tôpôZariski và tôpô thông thường trên □ n và □ n.

Đe tài có nhiệm vụ tập họp, phát hiện và cập nhật các kết quả về sựkhác biệt giữa hai loại tôpô Zariski và tôpô thông thường trên □ n và □ n

Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phầnkết luận:

Phần mở đầu Giới thiệu khái quát về đề tài luận văn.

Chương 1 Trình bày về Tập đại số, Tôpô Zariski trên □ n và □ n

Chương 2 Trình bày về không gian Tôpô thông thường trên □ n

và □ n, sự tương đương các chuẩn trên □ n và khái niệm về hình cầu mở, hìnhcầu đóng

Chương 3 Trình bày một số khác biệt giữa tôpô Zariski và tôpô thông

thường trên □ n và □ n

Phần kết luận Trình bày một cách ngắn gọn những kết quả mới của

CHƯƠNG 1 TÔPÔ ZARISKI

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tậpđại số, iđêan và cấu xạ trong tôpô Zariski Nội dung này làm cơ sơ sở chochúng tôi trình bày luận văn

Cho một tập X khác rỗng Một họ T các tập con của X được gọi

là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

i X E T và 0 E T;

ii Hợp tuỳ ý các tập thuộc T là thuộc T;iii Giao hữu hạn các tập thuộc T cũng thuộc T.

Một tập X được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không

gian tôpô, kí hiệu (X, T).

Nếu chỉ kí hiệu không gian tôpô là X thỉ ta ngầm hiểu rằng trên X

đã được trang bị một tôpô nào đó

X

n r+r + +r <

với hệ tử tương ứng khác 0 gọi là các dơn thức Bậc của đơn thức

x^x^ 1 X rn là tổng các số mũ ri + r 2 + + r n Bậc của f Ti 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong fvà ký hiệu là degf Neu f = 0, ta quy định deg/= -co Nếu 0 ± f Ẽ A, ta nói degf = 0 Khi degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó

luôn có dạng

f = aiXi + a 2 x 2 + + a n x n + a n +i, trong đó ít nhất phải có một hệ số khác không.

Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là:

1.1.3 Bố đề Nếu A ỉà miền nguyên (nghĩa là với mọi c, deA mà

cd = 0 thì hoặc c=0 hoặc d=0, khi này ta còn nói A không có ước của không) thì degfg = degf+ deg g.

Chứng minh Mọi đon thức của fg là tích của đon thức của f và đon thức của g Nếu Umax , Vmax là đơn thức có bậc lớn nhất của f và g tương ứng với hệ

tử khác không là c, d, khi đó đơn thức có bậc lớn nhất của fg là tích Umax Vmax

với hệ tử là cd Do A là miền nguyên nên cd ^0 Do đó deg fg = deg (Umax

Vmax) = deg Umax + deg Vmax = deg f + deg g.

1.1.4 Bố đề Nếu A là miền nguyên thì vành đa thức A[XJ cũng là miền

Chúng minh Nếu n = 1, thì mỗi đa thức 1 biến khác 0 chỉ có hữu hạn

nghiệm nên kết quả là hiẻn nhiên Khi n > 1, giả sử ngược lại, f * 0 Giả thiết

f chứa biến Xn- Viết f dưới dạng

Đây là một đa thức của một biến xn khác không bậc m, nên nó chỉ có hữu hạn

nghiệm Điều này mâu thuẫn với giả thiết f(a) = 0 với mọi a G Kn

1.1.6 Hệ quả Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi

a=(a h a2, , aj G ỈC thì f=g.

Chứng minh Đặt h = f- g, áp dụng Bố đề 1.1.5, ta nhận được kết quả.

1.1.7 Chú ý Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn

đúng Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn

1.1.8 Ví dụ Nếu K = { ai, ã2 , , as}

và f (x) = (x- ai) (x- a2) (x- as) thì f triệt tiêu trên K nhưng f * 0

1.1.9 Dinh nghĩa tập đại số Cho K là trường, tập con V c Kn gọi là

tập đại so nếu nó là nghiệm của một họ hữu hạn hay vô hạn các đa thức n

biến trong K[X]

1.1.10 Ví dụ

1 Tập rỗng ậ là tập đại số vì phương trình f = 0 với f G K

mà f * 0 là vô nghiệm

2 Các m - phang trong không gian afín Kn là các tập đại số vì

đó là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính

3 Kn là tập đại số vì nó là nghiêm của phương trình 0 = 0

1.1.11 Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc vào việc chọn

tọa độ, nghĩa là nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(xi, x2, _, xn )e s,

thì với tọa độ mới (yi, y2, , y„), ta có

4 Tập 1 điểm a = (ai, a2, , an) là tập đại số vì đó là nghiệmcủa hệ n phương trình

ị x i = c

ỉ0+ C^ 1 +c i2 y 2 + + c lH y H

1 i = 1, 2, , n

thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình

f(ci0 + Cnyi+ + Cinyn, , Cno + Cniyi+ + cmiyn) - 0, f G s

Ta ký hiệu tập nghiệm của đa f là Z(f)

ệ nếu f * 0

Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa

là f là đa thức bậc nhất) thì Z(f) là một siêu phăng.

Cho s là tập con bất kỳ của K[X] Ký hiệu Z(S) là tập nghiệm của tất

cả các đa thức trong s (thirờng gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S)

a) Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là : tập

rỗng ; là tập hữu hạn hoặc toàn bộ K

Do đó ta có (ai, a2) € V Từ đó suy ra Z(f) c V Vậy ta có V = Z(f)

c) f = X 3- y2 thì Z(f) = { (a2, a3); a e K }

Thật vậy, đặt V := { (a2, a3); a G K }Chứng minh tưong tự như trên, ta có V c Z(f)

Ngược lại, giả sử (ai, a2) e Z(f) Nếu ai = 0 thì a2 = 0 nên (ai, a2) = (02, o3)

a

i Giả sử Si 3 s2 Khi đó với mọi a eZ(Si), tức làa là nghiệm của

Si-Do SỊ D S2 nên a cũng là nghiệm của s2 Do đó a E Z(S2).Vậy Z(Si) c Z(S2)

Theo định nghĩa, hiển nhiên ta có ii và iii

iv Ta có s = { fg; f £ Si và g Gs2 } nên mọi nghiệm của Si hoặc

s2 đều là nghiệm của s nên Z(S!)ỊjZ(S2) c Z(S)

Ta chứng minh Z(S!)ỊJZ(S2) 3 Z(S)Thật vậy, giả sử a E Z(S), tức a là nghiêm của s Nếu a không là nghiệmcủa Si thì tồn tại f e Si sao cho f(a) ^0 Khi đó mọi g E s2 ta có g(a) = 0 nên

a € Z(S2), nghĩa là Z(Si)UZ(S2) 3 Z(S)

V Cho Si là một họ các tập con của K[X] Thế thì, a là nghiệm củamọi tập con Si khi và chỉ khi a là nghiêm của tập u Sj

Suy ra: n Z(Sj) = Z([jS l ).

1.1.15 Hệ quả Họ tất cả các tập đại sổ trong ỈC 1 lập thành một tôpô, gọi là tôpô Zariski Mỗi phần tử của tôpô này (tức là mỗi tập Z(S)) gọi là một tập đóng Zarỉski.

Ký hiệu Z(Kn) là họ tất cả các tập đại số Z(S) trong Kn Thế

thì họ này chứa rỗng, chứa Kn và đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên nó

lập thành một tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng) trên Kn

1.1.16 Chú ý Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng

1.2 1 Định nghĩa Tập con I của vành A gọi là ỉãêan nếu Oel và I

thoả mãn các điều kiện sau :

3 Cho s c A làtập con bất kỳ

Thế thì tập

(S): = { hA + h2f2 + + hrfr; hb ha, , hr e S; fi, f2 , , fr G A }

là một iđêan bé nhất chứa s, gọi là sinh bởi s.

1.2 3 Mệnh đề Cho I và J là hai iđêan tuỳ ỷ trong A Iđêan sinh bỏi

các phần tử của ỉuJ được gọi là iđêan tông của I và J, ký hiệu I+J Iđêan sinh bởi các tích fg vói fel và geJ được gọi là iđêan tích của I và J, ký hiệu

là IJ Ta có:

1.1+J = {f+g I fel, geJ} là iđêan nhỏ nhất chứa I và J,

2 IJ = {figi+ +frgr\ fi, f r £l,gi, ;gr e J, r>lj là một ỉđêan.

Chú ý IJ c: w nhưng nhìn chung thì hai iđêan này khác nhau

1.2 4 Mệnh đề Cho s là một hệ đa các đa thức trong K[XJ và I =(S).

Ta có: Z(ĩ) = Z(S).

Chúng minh Vỉ s c I nên Z(S) 3 Z(I)

Đảo lại, cho a G Z(S) Mọi f G I, ta có thể viết:

f = hifi + h2f2 + + hrfr; ỉu f2, fr G s.

Do fi(a) = f2(a) = = fr(a) = a nên f(a) = 0, suy ra a G Z(I)

Vì vậy, Z(S) 3 Z(I)

1.2 5 Mệnh đề Cho ĩ và J là hai iđêan tuỳ ỷ trong K[XJ Ta cỏ:

ỉ Z(I) uS(J) = Z ( I n J ) = Z(IJ);

ii Z(I) n Z(J) = Z(I + J).

Chứng minh

i Đặt s = {fg| f e I, g e J}

T a c ó S c U c I n J c U = > Z(S) 3 Z(IJ) 3 Z(I n J) 3 Z(I), Z(J)

=> Z(S) 3 Z(IJ) 3 Z(I n J ) D Z(I) 3» Z(J)

Mặt khác Z(S) = Z(I) Z(J)

Vậy Z(I) u S(J) = Z(I nJ) = Z(IJ)

Thế thì ly là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V Ta gọi nó là iđêan

của tập V Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết Ia thay cho I{ a}

Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập ly cảm sinh hai ánh xạ z và I được

cho trong sơ đồ sau

5/ Nếu V là d- phăng trong Kn mà ta có thể giả sử nó là tập hợp códạng v = {( Xi, x2, , Xd, 0, 0) e Kn } thì ly = (Xd+1, Xd+2, , xn)

Nhưng f(0,0, ,0)= 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có

f =hiXi + h2x2 + + hnXn, nghĩa là khi và chỉ khi f G (Xi, x2, , Xn ).

, ,Xn)

4/ Ta chỉ cần chứng minh Iyc(x2 - y) Coi mọi đa thức feK[x, y]

là đa thức của ân y với hệ số trong K[x] Tương tự như thuật toán Euclide ta

có thể viết f= h(x2-y) + g với g G K[x]

Do V c Z(x2 - y) = { (a, a2); a G K } nên với f G ly thì

= g(a) = 0 vói mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên

- y), nghĩa là f G (x2 - y)

5/ Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng

f = hd+iXd+1 + h d +2Xd+2 + + h n x n + g,

x2, , Xd]

Thế thì f G ly khi và chỉ khif(ab a2, , ad, 0, 0, ,0)= g(ab a2, , ad) = 0, Vab a2, , ad G K

Điều này có nghĩa là g = 0, nên khi đó

f = hd+iXd+l + hd+2Xd+2 + + hnXn G (Xdfl, Xd+2, , x„)

1.2 7 Mệnh đề Cho V là tập con của ỈC 1 Ta có

Chứng minh

i Vì bao đóng V là giao của tất cả các đại số (đóng) chứa V nên

V c Z(Iv) Đảo lại, vì giao của các tập đại số là tập đại số nên ta có V = Z(S)

với tập s các đa thức nào đó triệt tiêu trên V nên s c ly Suy ra Z(S) 2 Z(Iy)

ii Do V cV nên Ij7 c ly Đảo lại, với f G ly, thì do V = Z(I ) nên

G V, nghĩa là f G ĩỹ, do đó ĩỹ = ly

1.2 8 Ký hiệu Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu

y[ĩ := (f € A; f1 e I với r nào đó}.

1.2 9 Bổ đề.

Cho I là iđêan, thế thì Vĩ cũng là iđêan và I c Vĩ Neu I = vĩ

thì I gọi là iđêan căn.

Lấy f, g G vĩ, nghĩa là f, gs

G vĩ • Khi đó

ự+*r = % ci r + sf r+s - 1

ể-i=lTrong cặp số tự nhiên (r + s - i, i), i = 1, , r + s luôn có hoặc thànhphần đầu lớn hon r, hoặc thành phần sau lớn hơn s, do vậy r s -1 g1 luônthuộc I nên (f + g)r+ s luôn thuộc I, nghĩa là f + g G Vĩ Tiếp theo, với mọi

fG A thì (fh)r = f hr

G I, nghĩa là fh G vĩ • Cuối cùng ta thấy fg G Vĩ

ý VÕ là tập hợp các phần tử lũy linh của A Do đó, 0 là iđêan căn khi và

chỉ khi trong A không có phần tử lũy linh Những vành như vậy gợi là vành

rút gọn Ví dụ, mọi miền nguyên là vành rút gọn

1.2 10 Bổ đề: ỉy là một iđêan căn

1.2 11 Mệnh đề Giả sử ĩ, J là các iđêan trong K[X] Khi đỏ:

y/ũ = V7Õ7 = V73^/7.

Chứng minh Ta có: IJ c I n J => \fĩJ <3 VlnJ (1)

I n J c I, I n Jc Vw<=VĨ , VĩrJc=VĨ=> VĩrũỉcVĨ V~J (2)

Từ (1) và (2) suy ra Vn (Z V^M c \ / ĩ n

V-i-Ta cần chứng minh \ỊŨ 3 y/ĩnĩ 3 Vĩ rv Vĩ> bằng cách lấy phần tử tuỳ ý

f eVĨ nVĨ => f e Vĩ, f e Vĩ- Khi đó, tồn tại m, n e □ *, sao cho f11 e I, f1

e J Do đó fnn e IJ, nên f e Vn Suy ra Vn 3 yji n

Vj-Vậy VŨ = Vw = Vĩ n

Vĩ-1.2 12 Nhận xét Các ánh xạ I và z trong sơ đồ

p (K[X]) p Í Kn)

thu hẹp trên họ z (Kn) tất cả các tập đại số trong Kn là hai ánh xạ ngược nhau:

Z(Iy) = V Nói cách khác, trong sơ đồ sau,

z

P(K[X]) Im I >Z ( K " )

I là các song ánh ngược nhau Do đó, có thể chuyển việc nghiên cứu

các tập đại số sang nghiên cứu các iđêan dạng ly Hơn nữa, họ tất cả các iđêan

ĩy dạng {ly ; V 3 Knlà tập đại số} lập nên một tỗpồ trong K[X] đong phôivới tôpô Zariski trong Kn

1.3 Cấu xạ trong tôpô Zariskỉ

Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu các ánh xạ liên tục trên không

gian tôpô Zariski K n

1.3.1 Định nghĩa Cho V <= Kn, hàm F : V —> K gợi là hàm đa thức

nếu tồn tại đa thức f sao cho F = í-^, nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a G V

1.3.2 Chú ý Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa

độ, vì khi đối tọa, tính “đa thức” của F vẫn đuợc bảo tồn

1.3.3 Định nghĩa Ký hiệu K[V] là tập hợp tất cả các hàm đa thức trên

V Do tổng và tích các hàm đa thức lại là hàm đa thức nên K[V] là một vành

giao hoán, có đơn vị là hàm F = 1 Ta gọi K[V] là vành tọa độ của V.

1.3.4 Ví dụ Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là

hàm hằng Vì vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là truờng K

Một hàm đa thức có thể đuợc cho bởi nhiều đa thức khác nhau Tuy

nhiên, do = g ịv suy ra f — g e Iv, nên ta có khái niệm sau

1.3.5 Định nghĩa Cho I là iđêan thục sụ của vành A và f, g e A Ta

nói /đong dư với g trên I nếu f - g G I.

Rõ ràng quan hệ đồng du trên là một quan hệ tirơng đuơng trên A Lớptuơng đirơng chứa f là tập

f+ I := { f + h I he I}

Định nghĩa trên tập thirơng A/I theo quan hệ này với hai phép toánthì A/I lập thành một vành

Ký hiệu

7r:A —» AA ; f 7c(ỹ) = f+I

gợi là ánh xạ chính tắc Ta thấy K là một toàn cấu vành và ker;r = I.

Với mọi iđêan J chứa I, ký hiệu

J/I : = { f + ỉ ; f G J}

Thế thì J/I là iđêan của A/I Ngirợc lại, mọi iđêan Q trong A/I đều có

dạng Q = J/I trong đó

J ={f e A ; f + I GQ}

Vì vậy tương ứng: J —> J/I cho tương ứng 1-1 giữa các iđêan chứa

I với các iđêan trong A/I, nên có thể quy việc nghiên cứu các iđêan trong Achứa iđêan I về việc nghiên cứu các iđêan trong A/I

1.3.6 Bổ đề Â/J = (A/I)/(J/I).

Chứng minh Ký hiệu

( 0 - A n VI

(Ọ— 7 r'o 7 r là toàn cấu (vì n, 71 ’ là các toàn cấu) và kerạ? = J nên

A/J = (p(A) = (A/I)/(J/I)

1.3.7 Dịnh nghĩa cấu xạ trong tôpô Zariski.

Chú ý rằng, Fi = p!.F ; p! là phép chiếu lên toạ độ thứ i.

1.3.8 Dịnh nghĩa Cho V và w là hai tập đại số Ánh xạ F nói trên gọi nếu Fi , F2 , , Fm là các hàm đa thức (nghĩa là chúng chobởi các đa thức) Nếu K là trường đóng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là

cẩu xạ.

1.3.9 Chú ý về sau ta sẽ chứng minh các ánh xạ đa thức F như vậy là

1.3.10 Ví dụ.

i Mọi hàm số đa thức trên V là ánh xạ đa thức từ V vào K1 = K ;

ii Ánh xạ đồng nhất Idy trên V là ánh xạ đa thức vi idy : V —* V cho bởi:

Idy (a) = (pi(a), p2(a), , Pn(a)),

ở đây Pi: V —^ K là phép chiếu lên toạ độ thứ i

iii Nếu F: V —> K là ánh xạ đa thức thì mọi tập đóng T c V , ánh xạ

F thu hẹp trên T cũng là ánh xạ đa thức

iv Với mọi hàm G : w —> K, ta gọi hợp thành G°F : V —> K là

hàm lùi của G theo F

1.3.11 Mệnh đề F : V —> w là ánh xạ đa thức khỉ và chỉ khi

GoF G K[VJ với mọi G E K[W].

Giả sử F là ánh xạ đa thức và G e K[W] Lấy đa thức m biến g

, Fm G K[V] nên g(Fb F2, , Fm) G K[X] và do đó GoF G K[V].Đảo lại, giả sử G°F 6 K[V] với mọi G G KfW] Khi đó Fi = Pi oF G K[V]

với mọi i =1, 2, , m nên F là ánh xạ đa thức

1.3.12 Nhận xét Mỗi ánh xạ đa thức F : V —> w cảm sinh ánh xạ

F* :K[W] -> K[V] cho bởi F*(G) : = GoF

Rõ ràng F* là một đồng cấu vành, vì với mọi G, H G K[W] ta có

F*(G + H) =(G + H)oF = G o F + H o F = F*(G) + F*(H)

và F*(G.H) =(G.H)oF =(GoF).(HoF) = F*(G).F*(H)

1.3.13 Ví dụ

i Với mọi hàm đa thức F:V —>K thì F*:K[x] —>K[V] cho bởi F*(g)=g(F)

ii Id*v =IdK[v]VÌ Id*(G) = G o I d = G với mọi G G K[VỊ

1.3.14 Chú ý Ánh xạ đa thức F được xác định hoàn toàn bởi đồng cấu

F*, vì F được xác định bởi hàm tọa độ Fi, nlnmg Fi = pi°F = F*(pi)

1.3.15 Mệnh đề I 07 mọi tập điếm ư c V trong tập đại so V ta có

Iw, F(ư) = (F ) 1 (lỵ,

u)-Vói mọi G G K[W] ta thấy G G Iw F(U) khi và chỉ khi G(F(a)) =

là liên tục với tôpô Zariskỉ Hơn nữa, với mọi tập đỏng Zariski T trong w ta có

1.3.17 Dịnh lý Với mọi đồng cấu vành (p: K[W] —> K[\ 7 thì tồn tại

duy nhất ảnh xạ đa thức F: V —> w sao cho F* = cp.

Cho ánh xạ đa thức F : V —> K11 với Fi = cpipi) Với mọi đa

thức m biến g ta có

goF = g(Fi, F2, , Fm) = (p{g(pi, p2, , Pm))= 0>(g|W)

Neu g £ Iw thì g|w = 0 và do đó goF = cp{0) = 0.

Từ đây suy ra: g(F(a)) = (goF)(a) = 0 với mọi a £ V

Vì vậy F(a) GZ(IW) = w nên do đó F(V) c w.

Bây giờ coi F là ánh xạ từ V vào w Với mọi hàm g|w của K[W] ta có:F*(g,w) = g|w°F = g ° F = ỹ>(g|w)-

nhiên, lấy bao đóng (theo tôpô Zariski) của F(V) thì có thể coi F là ánh xạ đa

(EoF)*(H) = H ° E o F = E*(H)oF= F*(E*(H)) = (F*oE*)(H).

Do F*(E*(H)) e K[V] nên EoF là ánh xạ đa thức và (EoF)* = F*oE*

1.3.19 Định nghĩa Ánh xạ đa thức F: V —> w gợi là đắng cấu đa

thức nếu F có ánh xạ nghịch đảo p1 và F_1 cũng là ánh xạ đa thức Khi đó ta

nói tập đại số V đãng cấu đa thức với tập đại số w và ký hiệu V = w Nếu K

là trường đóng đại số thì đẳng cấu đa thức sẽ gọi vắn tắt là đẳng cấu.

1.3.20 Ví dụ

i Mọi phép biến đổi afin hay còn gọi phép biến đối tọa độ trên Kn (K

là ũ hoặc n ) là đẳng cấu đa thức

ii Cho F : V = Z(x2 - y) —> K1 là phép chiếu lên trục Ox, thì F làđắng cấu đa thức vì F “ *(a) = (a, a2) và F_1 là ánh xạ đa thức Vì vậy parabol y

= X 2đồng phôi với đường thẳng (với tư cách là hai không gian tôpô Zariski)

thức g £ KỊx, y] sao cho g(a2, a3) = a với mọi a £ K Khi đó đa thức g(t2, t3)

-t có vô số nghiệm -trong K nên g(-t2, t3) -1 =0 Điều này vô lý vì đa thức g(t2,

t3) kliông chứa biến t

Mối quan hệ F —» F* cũng cho ta tương ứng 1-1 giữa các đẳng cấu

đa thức từ V đến w với các đẳng cấu vành K[W] vào K[V] qua định lý sau

1.3.23 Dịnh lý Ánh xạ đa thức F: V ~*w là đẳng cấu đa thức khi và

chỉ khi F* là đăng cẩu vành.

Nếu F là đắng cấu đa thức, ta có

F*(F-Ỵ = ( F l o F)* = (Idv)* = IdK[V])*&F* = Idiqv] • Vì vậy F* là đắng cấu

Đảo lại, nếu F* là đẳng cấu, khi đó có ánh xạ đa thức E : w —> VE* = (F*)'\ Do