Khảo sát hiệu ủng trong suốt cảm ủng điện từ trong môi trường nguyên tử rb 5 mức năng lượng

Hai hệ số này có quan hệ nhân quả theo hệ thứcKramer-Kronig và thường được biểu diễn tương ứng theo phần thực và phần ảo của độ cảm điện X- Trong lân cận miền phổ cộng hưởng, biên độ của

Chương II: HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

TRONG MÔI TRƯỜNG NGUYÊN TỬ KHÍ Rb NĂM MỨC 23

sát theo độ lệch tần số của trường laser điều khiển 35

1

-Mơ ĐẦU

Hấp thụ và tán sắc là hai tham số cơ bản đặc trưng cho các tính chấtquang học của môi trường Hai hệ số này có quan hệ nhân quả theo hệ thứcKramer-Kronig và thường được biểu diễn tương ứng theo phần thực và phần

ảo của độ cảm điện X- Trong lân cận miền phổ cộng hưởng, biên độ của các

hệ số này thay đổi mạnh theo tần số và quy luật thay đổi được quy định bởiđặc trưng cấu trúc của các nguyên tử trong môi trường Tuy nhiên, sự ra đờicủa ánh sáng laser thì tính chất quang học của các nguyên tử có thể được thayđổi một cách “có điều khiển” Tiêu biếu cho điều này là sự tạo hiệu ứng trongsuốt cảm ứng điện từ (electromagnetically induced transparency) Đây là hiệuứng được đề xuất vào năm 1989 và kiêm chứng thực nghiệm vào năm 1991bởi nhóm nghiên cứu ở Staníord Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoagiữa các biên độ xác suất của các kênh dịch chuyển trong nguyên tử dưới sựkích thích kết hợp của một hoặc nhiều trường điện từ dẫn đến sự trong suốtcủa môi trường đối với một chùm quang học nào đó

Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc dựa trên hiệu ứng trong suốt cảmứng điện từ hiện đang được chú ý nghiên cứu trên cả hai phương diện lýthuyết và thực nghiệm đối với các hệ nguyên tử khác nhau bởi có nhiều triểnvọng ứng dụng Tiêu biêu là tạo các bộ chuyển mạch quang học, làm chậmvận tốc nhóm của ánh sáng, xử lý thông tin lượng tử , tăng hiệu suất các quátrình quang phi tuyến, phố phân giải cao Đặc biệt, sự ra đời của các kỹ thuậtlàm lạnh nguyên tử bằng laser trong thời gian gần đây đã tạo ra các hệ nguyên

tử lạnh (nhiệt độ cỡ ỊXK) mà ở đó chúng ta có thể bỏ qua các va chạm dẫn đến

sự biến đổi pha giữa các trạng thái lượng tử của điện tử và các hiệu ímg mởrộng vạch phổ Doppler Các nhà khoa học kỳ vọng điều này sẽ tạo một bướcđột phá trong ứng dụng vào chế tạo các thiết bị quang tử học có độ nhạy cao

2

-Để đạt được mục đích này, việc mô tả chính xác hệ số hấp thụ và hệ số tánsắc là rất quan trọng.

Cấu hình cơ bản đẻ nghiên cứu hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

là các cấu hình 3 mức năng lượng Khi đó, sự trong suốt quang học có thểđược tạo ra trong miền phố rất hẹp (gọi là “cửa sổ”) xung quanh tần số cộnghưởng Để tăng khả năng ímg dụng của hiệu ứng này, các nhà khoa học đãchú ý đến việc tạo ra nhiều cửa sổ trong suốt Một phương án đã được đề xuất

là đưa thêm các trường laser điều khiên đê kích thích thêm các trạng thái thamgia quá trình giao thoa Cách làm này mặc dù tạo ra nhiều cửa số trong suốttuy nhiên việc điều khiẻn đồng thời nhiều chùm sáng như vậy là rất phức tạp.Theo một cách khác, nhóm nghiên cứu H Wang và các cộng sự trong côngtrình đã đề xuất sử dụng chỉ một chùm laser điều khiển để liên kết đồng thờivới 4 mức năng lượng theo cấu hình kích thích bậc thang Cách làm này đãtạo ra 3 cửa sổ trong suốt trong hệ nguyên tử Rb85 Kết quả tính toán lý thuyếtcủa nhóm này mặc dù phù hợp tốt với các kiểm chứng thực nghiệm nhưngkhông thuận lợi cho các ứng dụng khác nhau do các hệ số này chỉ được xácđịnh bằng phương pháp số tại một vài giá trị thông số của trường laser điềukhiẻn Đe khắc phục hạn chế này, chúng tôi đề xuất sử dụng phương pháp giảitích đã được áp dụng cho các hệ nguyên tử 3 mức trong công trình và cáccông trình của nhóm Quang học quang phổ tại trường Đại học Vinh cho hệ 3mức, bốn mức vào hệ 5 mức này [6] Theo đó, điều kiện cường độ chùm laser

dò yếu so với chùm laser điều khiển được đưa vào để đơn giản hóa quá trìnhgiải hệ phương trình ma trận mật độ của hệ nguyên tử

Với lý do này chúng tôi chọn đề tài "Khảo sát hiệu ủng trong suốt cảm ủng điện từ trong môi trường nguyên tử Rb 5 mức năng lượng" làm

đê tài luận văn thạc sỹ của mình

Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu sự thay đổi hệ số hấp thụ và tán sắc của

hệ nguyên tử Rb85 cấu hình bậc thang năm mức

3

-cấu trúc luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,bao gồm hai chương:

Chương 1: Trình bày cơ sở lý thuyết về tương tác giữa nguyên tử với trường

quang học dựa trên lý thuyết bán cổ điển Tìm hiểu về hệ nguyên tử hai mức,

ba mức năng lượng từ đó rút ra bản chất vật lý của dao động Rabi, hiệu ứngtrong suốt cảm ứng điện từ (EIT) làm cơ sở để dẫn ra hệ số hấp thụ và tán sắccủa hệ nguyên tử năm mức cấu hình bậc thang

Chương 2: Dan ra hệ số hấp thụ và tán sắc của nguyên tử Rb85 cấu hình bậc

thang năm mức được kích thích kết hợp bởi trường laser dò có cường độ yếu

và laser điều khiển có cường độ mạnh Từ đó, khảo sát ảnh hưởng của hệ sốhấp thụ và hệ số tán sắc theo các thông số của trường điều khiển

4

-CHƯƠNG I TƯƠNG TÁC GIƯA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG LASER

1.1 Tuơng tác của nguyên tử với trường laser

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của ma trận mật độ:

Ma trận mật độ là một phương pháp dùng đế tính giá trị kỳ vọng củacác toán tử ứng vói các đại lượng vật lý cần đo trong trường hợp không biếthàm sóng một cách chính xác

Đế đưa vào khái niệm ma trận mật độ, chúng ta xét một hệ lượng tử cóhàm sóng I ¥(?,/)) •

Hàm sóng I^POV)) được khai triển qua các hàm riêng Un(r) với các giá trị riêng Cn (í):

n

ở đây, Cn(t), u (ĩ) tương ứng là trị riêng và hàm riêng của một toán tử A đặc

trưng cho một đại lượng vật lý nào đó, nghĩa là:

A\u„(ĩ)) = c„(t)\u„(?))

=> 4 ¥(?,0) = 2 c„.4| !/„(?))• (1'2)

n

Ký hiệu giá trị trung bình của đại lượng vật lý A trong trạng thái

|vF(?,0) là (A) thi {A) = (ỵ(rj\A\ụÁĩ,t))Aacò-.

Nếu ta không biết trạng thái chính xác của hệ thì sự thiếu thông tin này

sẽ được phản ánh trong độ bất định về giá trị của Cn khai triển của

ỊỸOV)) 5 ỊỸOV))

-Tuy nhiên, nếu có đầy đủ thông tin để tính được giá trị trung bình theo tập

hợp của C*mC và được ký hiệu là c*cn thì ta có thể tính được giá trị trung

bình của giá trị kỳ vọng, cụ thể giá trị trung bình của kỳ vọng một toán tử Ađược xác định như sau:

Ma trận được tạo bởi các giá trị p , được gọi là ma trận mật độ

Như vậy, Ợ) = Ỵ,C‘mC„Am = ỵip„mA,m=Ỵ1(pA\m=T,{pA)(1.6)

Kiểu lấy trung bình với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trung bìnhtheo tập hợp Quá trình này có thể giải thích như sau: Người ta tạo ra một tậphợp gồm N hệ đủ lớn sao cho các hệ này gần như đồng nhất với nhau, theomức độ mà các thông tin không đầy đủ có được cho phép Sau đó, đê các hênày tiến triến theo thời gian, như vậy được đặc trưng bởi một hàm trạng thái:

n víi j = 1,2, , n, khi đó trung bình theo tập họp của khi c*c sẽ được tính theo

công thức sau:

6

pJỦ=c:,(tpự)=ịỵcp{tpj\t).

iV j=1

Trung bình theo tập hợp là trung bình trên cả N hệ

Theo cách lý giải vật lý đó thì ma trận mật độ biểu diễn một số khíacạnh xác suất của tập hợp đang xét với phần tử đường chéo là xác suất đê một

trong các hệ đó ở trạng thái ư (r ) Các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng

trung bình theo tập hợp của c*c , nó có hên quan với lưỡng cực phát xạ củatập hợp các hệ đang xét

Chúng ta cũng có thẻ biểu diễn các hệ C*mC ở trên đon giản hơn là

các phần tử ma trận của toán tử |vr)(vỉ/| được phản ánh thông qua các vecto cột

của hàm sóng ỊT)

Từ (1.5) và (1.8), ta được: p = |vF)(xF| (1.9)Như trên đã trình bày, trong cơ sở của !«„)} toán tử mật độ được biểudiễn bằng một ma trận, gọi là ma trận mật độ với các thành phần:

Với những tính chất đặc trưng trên, toán tử p thỏa mãn đầy đủ các đặc

trưng trạng thái của một hệ lượng tử Nói cách khác, toán tử mật độ pchophép chúng ta thu được các tiên đoán vật lý từ ỊỸ) Cụ thể là chúng ta có thểdiễn tả định luật bảo toàn xác suất, tính được giá trị trung bình của đại lượng

7

Do tính tự liên hợp của H, phương trình (1.14) trở thành:

Lý thuyết cơ sở của sự phát xạ và hấp thụ trong nguyên tử bao gồmcác cơ chế mở rộng vạch Độ rộng vạch sinh ra từ phát xạ tự phát bằng độ mởrộng vạch do phát xạ Sự phân rã của nguyên tử có nhiều nguyên nhân nhưquá trình phân rã do phát xạ tự phát (là quá trình các nguyên tử đang ở trạngthái có mức năng lượng cao tự động nhảy xuống trạng thái có mức nănglượng thấp hơn) và phân rã do va chạm

(1.13)

(1.14)

8

-Phương trình (1.15) chỉ đúng trong trường họp lý tưởng nghĩa là khicường độ, pha và tần số của trường kích thích là hoàn toàn đơn sắc và cácmức năng lượng không suy biến và khi không chú ý đến phân rã của các trạngthái Thực tế do nhiều nguyên nhân, các thông số thường có thể thăng giáng

và các mức năng lượng của hệ có thể suy biến với một độ rộng phố nào đó

Sự mở rộng có thể do va chạm, do sự mở rộng tự nhiên, mở rộng Doppler Vìvậy, để khảo sát thực tế hơn, chúng ta phải bổ sung ảnh hưởng của các yếu tốảnh hưởng trên vào phương trình, tức là phải đưa thêm vào ma trận suy giảmtương ứng với các thăng giáng, các quá trình phân rã Khi đó phương trình(1.15) trở thành:

dt Ĩ1

Trong đó, H là Hamiltonian toàn phần của nguyên tử, thông thường Hđược biêu diễn như tổng hai phần: một phần mô tả tương tác giữa nguyên tửvới trường, phần còn lại đặc trưng cho Hamiltonian của nguyên tử khi không

Với Hữ: là Hamiltonian tự do; Hj \ là hamiltonian tương tác.

Phương trình (1.17), (1.18) sẽ được chúng tôi sử dụng và từng trườnghợp cụ thể ở các phàn sau của luận văn

9

-1.2 Các hiệu ứng kết họp do sự tưong tác nguyên tử và truờng laser

1.2.1 Các trạng thái kết hợp và không kết hợp

Trong hệ nguyên tử hai mức, dưới tác dụng của trường điều khiến thìhai trạng thái của hệ sẽ thay đổi theo thời gian Tuy nhiên, nếu có thêm mộttrường nữa cùng tác dụng thì mô hình nguyên tử hai mức không thể mô tảđược và ta phải sử dụng mô hình nguyên tử nhiều mức Đó là hạn chế củanguyên tử hai mức Minh họa cho điều này là hệ nguyên tử ba mức được kíchthích bởi hai trường laser Lúc đó, có thể xảy ra nhiều hiệu ứng thú vị mà takhông thể quan sát được trong hệ nguyên tử hai mức Tính chất quan trọng

mà dẫn tới sự khác biệt giữa các hệ ba mức hay nhiều mức với hệ hai mức là

sự hên kết giữa hai trường laser với tần số khác nhau Một sự pha trộn cácnguyên tử hai mức khác nhau có thể cộng hưởng với nhiều hem một trườngđơn sắc Tuy nhiên, mỗi trường laser chỉ cộng hưởng với một loại nguyên tử

và thậm chí nếu cường độ là đủ cao đế đẩy các nguyên tử ra xa trạng thái cânbằng, thì mỗi trường laser không có ảnh hưởng lên nhau và do đó không có sựliên kết giữa các chùm khác nhau Mặt khác, trong hệ nguyên tử ba mức, haisóng laser với các tần số khác nhau có thể tương tác với cùng một nguyên tử.Nếu chúng là đủ mạnh để đẩy hệ nguyên tử ra xa sự cân bằng, thì mỗi sóngquang học có thẻ ảnh hưởng khác nhau - môi trường “trộn” các sóng

Môi trường nguyên tử cho phép các cơ chế khác nhau đê hên kết cáctrường laser khác nhau mà chúng ta có thể phân loại thành các nhóm một cáchkhái quát đó là các nhóm cơ chế “kết hợp” và “không kết họp” Trong trườnghợp hên kết kết họp, các nguyên tử liên kết thông tin pha và biên độ giữa haichùm, trong khi đó chỉ có thông tin cường độ được liên đới trong trường hợpkhông kết hợp

Một thí dụ điển hình về cơ chế không kết hợp là bơm quang học,trong đó một sóng bơm quang học mạnh (mũi tên đậm trong hình 1) làm di

1 0

-chuyển độ cư trú ra xa dịch -chuyển tới một dịch -chuyển mà nó hên kết và do

đó làm tăng lên số các nguyên tử tương tác với chùm dò Mặt khác các sựtương tác kết hợp, trao đổi độ liên kết giữa các dịch chuyển khác nhau (tráingược với các độ cư trú)

Hình 1.1 Bơm quang học trong các hệ ba mức.

từ và các quá trình dịch chuyên chỉ xảy ra trong phạm vi hai mức

Trong sự mô tả bán cổ điển, trường bức xạ đặt vào nguyên tử được

mô tả bởi một sóng phang điện từ cổ điển,

Mặt khác, nguyên tử thỉ được lượng tử hóa ơ đây, chúng ta khảo sát hệ

nguyên tử hai mức có các trạng thái riêng Ej và E2 như mô tả trên hình 1.1.

Do bước sóng X của sóng điện từ lớn hơn nhiều lần đường kính d của

nguyên tử nên pha của sóng điện từ không thay đổi bên trong thể tích của

nguyên tử vì kz = (2n / Ã)«1 với z < d Do đó, chúng ta có thể bỏ qua các đạo

hàm riêng phần của biên độ trường Đây được gợi là gần đúng lưỡng cực

1 1

Trong hệ tọa độ với gốc tại tâm nguyên tử, chúng ta giả sử rằng kz no

ở bên trong thể tích nguyên tử, và do đó biếu thức (1.19) có thể viết dướidạng:

Toán tử Hamilton toàn phần của hệ,

Tương tự, phần Hamilton/7/ biểu diễn sự tương tác của nguyên tử với trường

có thể được viết trong gần đúng lưỡng cực là:

Hj = -exE(t)

= -Ể(|l)(l|+|2}(2|M|l){l|+|2)(2|)£-(z,0

trong đó, dn = d*n = e(l|x|2) là phần tử ma trận của momen lưỡng cực điện.

Bây giờ, chúng ta mô tả trạng thái của hệ theo hình thức luận ma trậnmật độ như đã đưa ra ở trên Trạng thái của hệ là tổ hợp tuyến tính của cáctrang thái |l) và |2), tức là T = cx 11)+c212) Khi đó, toán tử ma trận mật độ có

Rõ ràng, pn và pu là các xác suất mà nguyên tử ở trong trạng thái trên và

dưới, tương ứng Còn các phần tử ma trận nằm ngoài đường chéo chính thìxác định sự phân cực nguyên tử, tức là độ liên kết mức

Trở lại Hamilton tưcmg tác, bây giờ chúng ta viết lại dưới dạng cácphần tử ma trận như sau,

1 3

-Giải các phương trình (1.35 - 1.38) trong gần đúng sóng quay, với cách đặt

P\1 = P\i&i<ữLt > Pn = p2\e~ia>IĨ» ta thu được kết quả [1]

idK A1 =«iPtA, - A; - P\zeZla>L‘ + AlỂ_2,*ỉí)-riAl + r2p22- ( 1 -33) 211

iắK Pn= ^r(Pn-Pu-Pue lữ>Lt+Pne~ Ìữ,Lt)-Y2P22 •2/7 (1-34)Ẳ2 = Ã2+“»oÃ2 «i(i+e-2'^)(p22 - p„)- r21 Ar (1-35)

Ằ, = «»xÃi - -^Ịfie2WLt + !)(A22 - Ai )-r2,Ãr (1.36)

Trong phép gần đúng sóng quay, bỏ qua các số hạng dao động nhanh e2ÍCŨLt và e~llữ>Lt; A = ŨÙŨ-CỬL gọi là độ lệch tần số của tần số trường laser so với tần số

Hệ các phương trình này cho phép chúng ta khảo sát các hiệu ứng do sựtương tác giữa hệ nguyên tử và trường laser gây ra Tuy nhiên, để nghiên cứumột cách đầy đủ các hiệu ứng này xẩy ra trong các hệ thực thì chúng ta khảosát sự tương tác trong hệ nhiều mức Một trong số hệ quả của nguyên tử haimức nối bật là dao động Rabi

1 4

-Dao động Rabi:

Mô hình nguyên tử hai mức có thể xem như là kết quả của sự lượng

tử hóa mô hình Lorentz - Lorenz cổ điên [2] Ớ đây, điện trường dao độngđiều khiến các lưỡng cực và các điện tích được gia tốc của lưỡng cực daođộng có tác dụng giống như một nguồn phát sóng thứ cấp Hai sóng lantruyền cùng với nhau và sự giao thoa giữa chúng gây ra sự tắt dần, tức là sựhấp thụ, cũng như sự dịch chuyển pha, tức là sự tán sắc về bản chất, mô hìnhbán cổ điẻn mô tả tình trạng theo một cách rất tương tự: một sóng điện từ kíchthích các nguyên tử có tác dụng giống như lưỡng cực điện Sự khác nhau chủyếu là chúng được mô tả theo cơ học lượng tử

- |2>

6512

- |1>

Hình 1.2 Mô hình nguyên tử hai mức tương tác với trường laser.

Nếu hệ nguyên tử hai mức thỏa mãn điều kiện dịch chuyển lưỡng cực tương

tác với trường laser có tần số (ởc gần với dịch chuyên của nguyên tử CŨJ2 như

trên hình 1.2 thì xảy ra dịch chuyển qua lại giữa hai mức này Một trongnhững hệ quả của nguyên tử hai mức tương tác với trường điện từ là độ cư trúcủa mỗi trạng thái cũng dao động tuần hoàn với tần số Rabi (ký hiệu là QR)được cho bởi biểu thức:

(1.41)

1 5

-trong đó A12 =CỠ -Ũ\2 là độ lệch tần số của trường laser so với tần số dịch chuyến nguyên tử, du là phần tử ma trận momen lưỡng cực dịch chuyển giữa hai trạng thái, còn E là cường độ điện trường của trường laser Chúng ta có

thể minh họa sự thay đổi độ cư trú sau mỗi chu kỳ7 dao động như trên lành1.2

Chúng ta thấy rằng, khi độ lệch tần tăng thỉ tần số Rabi tăng và do đó

chu kì dao động Rabi T = 2n/QR giảm xuống Tức là, khi tần số của trường

ngoài xa tần số cộng hưởng thì ảnh hưởng của trường lên sự thay đổi độ cưtrú là rất nhỏ và có thể bỏ qua Còn trong sự cộng hưởng thì tần số dao động

Rabi tỉ lê với cường đô trường laser, QR =

tì

Hình 1.3 Sự thay đổi độ cư trú theo thời gian của nguyên tử hai mức dưới

tác động của trường ngoài sau một chu kì dao động Rabi

1.2.3 Tương tác giữa nguyên tử ba mức với trường laser

Chúng ta sẽ sử dụng thuyết bán cố điên để khảo sát sự tương tác giữanguyên tử và bức xạ điện từ một sóng điện từ biến thiên theo thời gian vàkhông gian tương tác với nguyên tử Để đơn giản, trước hết ta xét hệ nguyên

tử gồm ba mức năng lượng tham gia vào quá trình này là trạng thái cơ

1 6

-xF](r,í) = exp (~iEj / ^)ỉ//,(r).

bản, |2) là trạng thái kích thích và 0P là trạng thái có mức năng lượng caonhất và có tương tác lưỡng cực điện với £ và |2) khác 0

Khi nguyên tử cô lập, Hamiltonian trong phương trình (1.11) là toán

tử không phụ thuộc thời gian, phương trình sóng (1.11) có dạng:

ụ/ (/•) là phần không phụ thuộc thời gian của hàm sóng và thỏa mãn

phương trình trị riêng của năng lượng Trạng thái của nguyên tử được mô tảbởi phương trình (1.16) là trạng thái dừng, ở trạng thái dừng thỉ giá trị trungbình của các đại lượng quan sát được không phụ thuộc thời gian Từ điều kiện

đó, toán tử mô tả các hiện tượng quan sát được không phụ thuộc tường minhvào thòi gian

Giả sử ba trạng thái |i), l^và |3) tương ứng với ba hàm sóng

ụ/2(r) và ỉj/3(r) ứng với năng lượng Ei, E2 và E3.

Từ (1.17), hàm sóng phụ thuộc thời gian tương ứng là:

*F, ( r, t ) = Gxp(-iEỉt / fị)ụ/3(r).

Hàm sóng T^/ự) mô tả trạng thái của nguyên tử và là tố hợp tuyến

tính của các hàm sóng thành phần IỊ/Ạỵ)9 ụs2(r) và tương ứng với các

trạng thái 11), 12) và I ^

T (r,0 = C^O-,0 + C2W2(r,t) + C3Y3(r,0, (1.44)trong đó Ci, c2 và c3 là các hệ số không phụ thuộc vào không gian

Đưa vào hệ nguyên tử hai nguồn laser có tần số và cường độ thích

hợp, một nguồn liên kêt có cường độ mạnh (Ec) được điêu hưởng tần sô đế

kích thích nguyên tử từ trạng thái I 2) lên trạng thái 13) và một chùm dò có

cường độ Ep yếu hơn nhiều so với chùm liên kết với tần số điều hưởng trong

1 7