SKKN GIẢI PHÁP GIÚP HS học tốt TOÁN cực TRỊ

Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà trường là chủ yếu, trong mỗi nhà trường thì bản thân mỗi giáo viên phải phấn đấu tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao

MỤC LỤC

11 IV CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 6

14 I Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI VỚI CÔNG TÁC 24

16 III BÀI HỌC KINH NGHIỆM,HƯỚNG PHÁT

TRIỂN

24

A PHẦN MỞ ĐẦU



-I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀ -I.

1 Cơ sở lí luận:

Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một bước, vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi thầy cô giáo nói riêng gánh vác một trọng trách hết sức nặng nề Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới đề ra những định hướng kịp thời Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà trường

là chủ yếu, trong mỗi nhà trường thì bản thân mỗi giáo viên phải phấn đấu tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu quả có làm được như vậy mới nâng cao được chất lượng đào tạo, gây uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh và toàn xã hội

Toán cực trị là dạng toán rất gần gũi với cuộc sống và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày, nó giúp học sinh rèn luyện nếp suy nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất Vì vậy nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em khá, giỏi

Toán cực trị được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo do vậy giáo viên rất thuận lợi trong việc sưu tầm và tuyển chọn sắp xếp các dạng toán một cách hợp

lý giúp cho học sinh dễ dàng áp dụng và một vấn đề là làm thế nào để học sinh nắm được phương pháp, tư duy suy luận một cách có lôgíc khi giải toán cực trị

2 Cơ sở thực tiễn:

Hiện nay bản thân đang là giáo viên dạy Toán tại trường TH-THCS Gáo Giồng, thấy được những khó khăn học sinh thường mắc phải trong quá trình giải Toán, tôi cũng luôn trăn trở và suy nghĩ để tìm ra được giải pháp nào tốt nhất, hữu hiệu nhất để giúp đỡ học sinh trong quá trình nắm bắt kiến thức về Toán cực trị.Sau

nhiều năm tìm hiểu và nghiên cứu,tôi mạnh dạn đưa ra đề tài “ GIẢI PHÁP GIÚP

HỌC SINH HỌC TỐT TOÁN CỰC TRỊ”, hy vọng đem lại một phần thuận lợi

cho giáo viên khi thực hiện sáng kiến này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp Trung học cơ sở nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng

II MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

- Tôi nghiên cứu, viết sáng kiến này hy vọng giúp các em học sinh lớp 8, lớp 9 nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đặc biệt là các em học sinh giỏi có phương pháp và hướng để giải Đồng thời qua chuyên đề này hy vọng các em được hình thành rèn luyện, củng cố kiến thức, kỹ năng trình bày một bài toán cực trị Giúp học sinh mở rộng tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức vè rèn phong cách làm việc của người lao động mới, có kế hoạch Có phân tích tìm hướng giải quyết trước khi làm việc cụ thể.

- Để thực hiện nghiên cứu đề tài này tôi sử dụng các phương pháp sau đây:+ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

+ Phương pháp phân tích tổng hợp

+ Phương pháp thực nghiệm

III GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

-Đề tài có thể được áp dụng đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9.-Ôn thi cho học sinh tuyển sinh vào lớp 10

IV KẾ HOẠCH THỰC HIỆN

Đề tài hiện đã và đang được áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp

8, trong những bài toán nâng cao ở lớp 9 và hướng tới áp dụng trong ôn tập cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 năm học 2011-2012

B PHẦN NỘI DUNG



-I CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Vấn đề đổi mới phương pháp giảng dạy trong trường THCS là một vấn đề cấp thiết hàng đầu, đối với học sinh THCS chủ yếu là ở lứa tuổi thiếu niên các em có thói quen suy nghĩ độc lập, tuy nhiên khả năng tư duy của các em chưa phát triển hoàn chỉnh để nhận thức hoặc làm tốt vấn đề nào đó Khi đứng trước một bài toán cực trị học sinh rất lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu, làm gì, làm như thế nào, không biết liên hệ giả thiết với các kiến thức đã học để tìm ra lời giải một công việc rất quan trọng

II CƠ SỞ THỰC TIỄN.

Toán cực trị là một nội dung thường được quan tâm trong các kỳ thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi Vấn đề này tuy không mới mẻ nhưng tương đối khó đối với học sinh lớp 8, lớp 9, nhất là các bài toán cực trị ở mức độ được nâng cao trong khi đó kiến thức trang bị cho học sinh không được đáng kể do đó với mong muốn góp phần rèn luyện tư duy, sự sáng tạo của học sinh, khơi dậy được sự hứng thú học tập yêu thích môn toán qua các bài toán cực trị, tôi đã tìm tòi qua sách, đồng nghiệp để tìm ra những phương pháp bài tập phù hợp với học sinh, nhất là trong giai đoạn các em mới tiếp cận với các bài toán này ở lớp 8 và lớp 9 Nhằm giúp cho học sinh có cách giải nhanh gọn, hợp lý tôi đã mạnh dạn nghiên cứu sáng kiến này

III THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU THUẪN.

Đa số các em học sinh đều chăm ngoan, học giỏi, có ước mơ, hoài bão do đó

đã tạo thuận lợi cho chất lượng dạy và học

Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu và qua kết quả kiểm tra đầu năm học 2011 -2012 ở lớp 9 do tôi trực tiếp giảng dạy tôi thu được số liệu như sau:

Lớp Bài

kiểm tra

TSHS

a Cho biểu thức f(x).

Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu

thoả mãn hai điều kiện :

+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≤ M (M là hằng số) + Tồn tại x0 sao cho f(x0) = M

Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu

thoả mãn hai điều kiện :

+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≥ m (m là hằng số)

+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = m

Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x)

GTLN của hàm f là m = min f(x)

1 Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định nghĩa

tương tự

2 Các bước tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thường, để tìm GTLN

hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bước như sau :

- Bước 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng :

f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m với M, m là các hằng số

- Bước 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

- Bước 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu.

II) Cực trị hàm tam thức bậc hai:

1) phương pháp : Sử dụng trực tiếp định nghĩa về GTLN, GTNN thông qua việc

biến đổi tổng quát một tam thức bậc hai về dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất chứa biến và hạng tử tự do

= a (x +

a2

b)2 + c -

a4

b2

= a (x +

a2

b)2 +

a4

bac

4 − 2 = k Do (x +

a2

b)2 ≥ 0 nên

- Nếu a > 0 thì a.(x +

a2

b)2≥ 0 do dó ⇒ min P = k ⇔ x +

a2

b = 0 ⇔ x = -

a2b

- Nếu a < 0 thì a.(x +

a2

b)2≤ 0 do đó ⇒ max P = k ⇔ x = -

a2b

2) Các ví dụ:

a) Dạng 1: Tìm GTLN,GTNN của tam thức bậc hai.

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau.

A x= − x+

Giải: A x= 2 − 2x+ 3 = − (x 1) 2 + ≥ 2 2

Dấu (( = )) Xảy ra khi x=1

Vậy GTNN của A=2 Khi x=1

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B= − +x2 2x+ 6

Giải: B= − +x2 2x+ 6 = − (x2 − 2x+ + = − − 1) 7 (x 1) 2 + ≤ 7 7

Dấu (( = )) Xảy ra khi x=1

Vậy GTNN của B = 7 khi x=1

b) Dạng 2: Tìm GTNN của biểu thức bậc cao

3 0

x x

1x

21

III) Cực trị của hàm phân thức:

A) Kiến thức cần thiết.

+ Để giải dạng toán này ta chủ yếu dùng phương pháp tách phần nguyên

+ Cho P =

A

1 với A > 0 thì max P =

Amin

1 ; min P =

Amax

1 Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đưa bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán tìm cực trị của đa thức

Vậy GTNN của N = -2 khi x=1

2) Dạng 2: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử và mẫu số là nhị thức

Ví dụ 1 : Tìm x ∈ N để

3x2

8x7

−

− đạt giá trị lớn nhất

Giải :

Đặt A =

3x

2

8x

7

−

− ⇒ 2A =

3x2

16x14

−

− =

3x2

5)3x2(7

−

+

− = 7 +

3x2

5

−Nhận thấy A lớn nhất ⇔ 2A lớn nhất ⇔ 2x5−3 lớn nhất

x7

−

− đạt giá trị nhỏ nhất

Giải : Ta có M =

5x

)7x(

−

−

− =

5x

)25x(

2

−

Để M nhỏ nhất thì

5x2

− nhỏ nhất ⇒ x – 5 là số âm lớn nhất.

Mà x ∈ Z nên x – 5 = -1 ⇒ x = 4

Vậy min M = -3 khi x = - 4

3) D¹ng 3: T×m GTLN , GTNN cña ph©n thøc cã tö lµ nhÞ thøc, mÉu sè lµ tam thøc

bËc hai

Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q =

1 x

3 x 4

2 +

+

Giải :

a/ Ta có Q =

1x

1x4x4x

2

2 2

+

−

−+

1x

)2x(

2

2

−++

1x4x44x4

2

2 2

+

−+

−

1x

)1x2()1x(4

2

2 2

)1x2(

Vậy maxQ = 4 ⇔ x =

21

2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của của phân thức là bình phương của một nhị

thức

Ví dụ: Tìm GTNN của M =

1x2x

6x8x3

1)1x(2)1x2x(3

−

+

−

−+

−

)1x(

11

x

23

1

− , khi đó M = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2 ≥ 2

Dấu “=” xảy ra ⇔ y = 1 ⇔

1x

1

− = 1 ⇔ x = 2 Vậy min M = 2 ⇔ x= 2

IV) Cực trị của hàm đa thức nhiều biến:

1) Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức biết quan hệ giữa các biến.

Ví dụ 1: Cho x + y = 2 Tìm GTNN của A x= 2 +y2

Vậy GTNN của A=2 khi x =y=1

VÝ dô 2: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức

= + +

(2)

(1)

4 z 3 y 4 x 3

6 z 3 y x 2

3

23

x3

x416x36x23

x4.4x23x2z4y

x+ ≥

3

2 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 0

Ta lại có y ≥ 0 nên từ (*) ⇒ x ≤ 2 z ≥ 0 nên từ (**) ⇒ x ≤ 4, từ đó ⇒ x ≤ 2

2 = 3

4 Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 2

+

=++

=++

=

−

=+

x5x8yz

x5zy

Vì vai trò x, y, z như nhau nên 1 ≤ y ≤

3

7 ; 1 ≤ z ≤

3

7

Vậy GTLN của x, y, z là

3

7

và GTNN của x, y, z là 1

2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức nhiều đại lượng bằng cách biến đổi

biểu thức đưa về các tổng bình phương

− =



⇔  − = ⇔ = =

Vậy A Min = 2 Khi x =y=1

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức sau:

Vậy GTLN của biểu thức B = 5 Khi  = −x y=73

+ + ≥

dấu “=” xảy ra ⇔ =a1 a2 = =a n

3, Bất đẳng thức BunhiaCôpxki.

Vậy GTLN của A= 2 khi x = 1,5 ; y= 2,5

Ví dụ 2: Cho x+y =2 Tìm GTNN của A x= 2 +y2

Vậy GTNN của A = 2 khi x = y = 1

3) Sử dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

dấu “=” xảy ra của (1) ⇔(x− 1 4) ( − ≥ ⇔ ≤ ≤x) 0 1 x 4

dấu “=” xảy ra của (2) ⇔(x− 2 3) ( − ≥ ⇔ ≤ ≤x) 0 2 x 3

= + + với x;y cùng dấu

b, Bài tập sử dụng BĐT BunhiaCopski: Tìm GTLN của các biểu thức sau:

2

A= x+ −x

B= +x y biết x2 + 4y2 = 1

Cho xy+yz+xz = 1 Tìm GTNN của C=x4 +y4 +z4

c, Bài tập sử dụng các BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối

A= − + − − − − −x x x x Tìm GTLN của A

B= x− x− + x+ x− Tìm GTNN của B

VI) Phương pháp tìm miền xác định.

1) Đưa về phương trình bậc 2 và sử dụng điều kiện ∆ ≥ 0

− − −

= = =

−

Vậy GTNN của A = -2 khi x=2

GTLN của A=8 khi 1

1, Bình phương hai vế của biểu thức.

Có trường hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìm cực trị của bình phương biểu thức đó:

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:

Dấu “=” xảy ra ⇔ =x 0 vậy GTNN của M=2 khi x=0

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức sau:

Vậy GTNN của M=2 khi x=0

Để giải bài toán theo cách này học sinh phải chứng minh bài toán phụ rồi mới được vận dụng Ngoài cách giải trên ta còn có cách giải khác xét trong phần tiếp theo

3, Sử dụng mp tọa độ.

Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức.

2 2

Dấu “=” xảy ra ⇔A là giao điểm của BC với trục hoành A≡ ⇔ = 0 x 0

Vậy GTNN của M=2 khi x=0

Nhận xét: Tìm GTNN của biểu thức M ở đây tôi đã đưa ra 4 phương pháp để tìm, trong mỗi phương pháp đều có cách giải riêng biệt tùy theo từng bài, từng dạng bài tập ta có thể lựa chọn cách giải cho phù hợp

4, Phương pháp xét khoảng giá trị:

Kết hợp các giá trị của A trong 3 trường hợp trên ta có:

Giá trị nhỏ nhất của A = 18 khi 2 ≤ ≤x 5

Ta cũng xét ví dụ này ngoài cách trên ta còn có cách giải khác ta xét trong phần tiếp theo sau đây:

VIII) Ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Trong khi làm chúng ta có thể gặp nhứng bài toán tìm GTLN, GTNN một cách tường minh cụ thể, cũng có khi lại gặp nó dưới dạng một dạng toán khác Đó chính

là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=5

Nhận xét:Để giải phương trình này bằng các phương pháp thông thường rất phức tạp và khó khăn nhưng giải phương trình trên bằng phương pháp đánh giá hai vế ta

sử dụng BĐT BunhiaCopski đối với vế trái thì việc giải phương trình đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 3: Cho hai điểm A và B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam

giác có 3 góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao

vẽ từ M của tam giác MAB Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM

Nhận xét: Ở đây tôi đã đưa ra 3 ví dụ để thấy được việc ứng dụng của bài toán tìm

GTLN; GTNN rất rộng rãi , nhờ có bất đẳng thức việc giải phương trình ở ví dụ 1,

ví dụ 2 đơn giản hơn rất nhiều nếu không sử dụng Bất đẳng thức thì việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn, đặc biệt hơn trong một số dạng toán cực trị trong

bộ môn hình học

IX) Một số sai lầm thường gặp trong bài toán cực trị:

Trong quá trình giải toán cực trị học sinh thường mắc phải một số sai lầm sau:

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:

( ) (4 )4

A= +x + +x

Trong ví dụ này ta đã nêu cách giải cụ thể phần phương pháp ẩn phụ

Lời giải sai:

E H

A

M

Để tồn tại x thì x≥ 0 do đó M = +x x ≥ 0 dấu “=” xảy ra ⇔ =x 0

Vậy M Min = 0khi x = 0

V HIỆU QUẢ ÁP DỤNG:

Sau một số năm bền bỉ hướng dẫn học sinh tìm GTLN, GTNN tôi thấy áp dụng tốt SKKN này cho học sinh thì chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt, góp phần không nhỏ vào việc trí thông minh , khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, bởi khi giải các bài tập này học sinh phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, phải phân tích một cách tổng hợp.Do đó trong năm học này tôi đã mạnh dạn đưa vào chương trình lớp 9 một số bài toán ở mức dộ vừa phải với sức học của học sinh và kết quả thu được như sau:

Kết quả kiểm tra đối chứng

Hs khối 9 Số Hs Tìm ra hướng giải

hoàn chỉnh

Không tìm ra hướng giải hoàn chỉnh

Khi chưa áp dụng Skkn 15 9 60,0 6 40,0

C PHẦN KẾT LUẬN



-I.Ý nghĩa của đề tài đối với công tác :

Trong quá trình giảng dạy kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh tôi nhận thấy khi chưa áp dụng học sinh chưa có phương pháp cụ thể , học sinh lúng túng chưa tìm được cách giải sau khi được vận dụng thì nhiều học sinh đã giải được thành thạo

II Khả năng áp dụng.

- Chủ yếu dùng để bồi dưỡng thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT và đặc biệt phù hợp với việc học của học sinh khá giỏi

III Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển tiếp theo.

*Qua quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thấy để có kết quả cao giáo viên cần lưu ý một số vấn đề sau:

- Dành thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo phân loại các dạng bài tập.

- Lượng bài tập phù hợp với năng lực, đối tượng học sinh

- Phải kiên trì áp dụng sáng kiến kinh nghiệm mỗi khi có bài toàn tìm GTLN, GTNN

- Giáo viên phải soạn kỹ trước khi lên lớp, đưa ra phương án giải quyết tốt nhất cho từng dạng Đặc biệt nên khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau

đề củng cố và rèn khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh

* Do điều kiện áp dụng SKKN trên ở trường có tỉ lệ học sinh khá giỏi chưa cao và do hạn chế về thời gian cũng như năng lực tư duy của các em nên trong SKKN này còn một số hạn chế sau:

- Chưa nêu những ví dụ phong phú, chưa khai thác và phát triển và đưa về dạng bài tập tổng quát

- Lời giải của nhiều bài tập còn mang tính áp đặt chưa mang tính chất lấy học sinh làm trung tâm

- Đã nêu nhưng chưa nhiều về bài toán cực trị hình học

V Kiến nghị và đề xuất.

Để SKKN ngày càng đạt hiều quả cao tôi thấy phải tiếp tục nghiên cứu nhằm:+ Tìm ra được nhiều dạng bài, nhiều phương pháp giải quyết đối với từng dạng bài đó

+Áp dụng tối đa phương pháp đổi mới dạy học toán theo hướng phát triền tư duy sáng tạo cho học sinh

Nhà trường cũng như các cấp các ngành có chức năng cần tạo điều kiện giúp

đỡ về thời gian cũng như tài liệu để các giáo viên có thể đầu tư vào công việc tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn



Gáo Giồng, ngày 08 tháng 3 năm 2012

Người viết