Sáng kiến kinh nghiệm toán học lê hữu trác

LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đổi mới phương pháp giảng dạy để thích ứng với sự đổi mới chương trình sách giáo khoa, theo kịp sự đổi mới của Bộ giáo dục và đào tạo, hưởng ứng phong trào mỗi thầy cô g

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đổi mới phương pháp giảng dạy để thích ứng với sự đổi mới chương trình sách giáo khoa, theo kịp sự đổi mới của Bộ giáo dục và đào tạo, hưởng ứng phong trào mỗi thầy cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo, cùng với dịp nhà trường, công

đoàn phát động cuộc thi Sáng kiến kinh nghiệm và làm đồ dùng

dạy học với kinh nghiệm ít ỏi được tích luỹ trong những năm công

tác của mình, tôi nghiên cứu một đề tài giải bài toán chứa tham số bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm

Vì thời gian ít, kiến thức có hạn, tài liệu tham khảo không nhiều nên tôi chỉ dừng lại ở mức các bài toán đã và sẽ gặp các các

kỳ thi do Trường, Sở và Bộ giáo dục đưa ra, tôi đi tìm một hướng giải chung cho bài toán này

Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh được những sai sót, mong quý đồng nghiệp cho ý kiến góp ý để đề tài tôi được phát triển rộng rãi hơn.

Mọi đóng góp xin gửi về địa chỉ mail: hothanhlht@gmail.com Cuối cùng xin chúc Ban giám khảo cuộc thi cùng gia đình sức khoẻ, hạnh phúc và thành đạt.

Cưmgar, ngày 15 tháng 02 năm 2011 Người viết

Phạm Long Hổ

I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT,BPT và hệ PT cụ thể là : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩndưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối Lớp 11 có PT lượng giác.Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit Trong đó có khá nhiều dạng bài toáncần phải thực hiện phương pháp đặt ẩn phụ khi tiến hành lời giải và hầu hết đó

là các bài toán không chứa tham số Tuy nhiên, trong các đề thi tuyển sinh Đạihọc và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứatham số hoặc tìm GTLN, GTNN mà khi tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ vàtìm ĐK của ẩn phụ

Với gần mười năm làm giáo viên dạy toán, tôi đã may mắn được thamgia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học tôi thấy có một số vấn đề cầnphải giải quyết:

Một là: Việc biến đổi PT, BPT hoặc đặt ẩn phụ để quy PT đã cho về các

PT bậc cao thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưngkhảo sát hàm số bằng cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 mới được học nênkhi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh rất lúng túngnên lời giải nhiều khi không chặt chẽ

Hai là: Khi học sinh làm bài tập về PT, BPT hoặc tìm GTLN, GTNNcủa biểu thức có điều kiện mà trong lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấynhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà khôngnghĩ đến tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện của nó, hoặc đã tìmchính xác điều kiện của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thìlại không xét trên điều kiện ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chínhxác

Ba là: Từ năm 2006, sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấutam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bàitoán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thứcbậc hai với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang Do đó,người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạohàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theokiểu tính biệt thức (đenta) đenta)

hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình.

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Những vấn đề tôi trình bày trong sáng kiến với mục đích sau:

Một là: Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của PT một ẩn với sốgiao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của PT đó, nghiệm của PT chính làhoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu vuông góc lên trụchoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng

Hai là: Trong khi giải quyết các bài toán về PT, BPT hoặc bài toán tìmGTLN, GTNN của một biểu thức có điều kiện mà phải thực hiện việc đặt ẩnphụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩnphụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho.Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bàitoán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo

ẩn phụ trên điều kiện của nó

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các

em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán PT, BPT có tham sốhoặc bài toán tìm GTLN, GTNN có liên quan đến phép đặt ẩn phụ

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phảinghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT và các bài toán tìm GTLN, GTNNđặc biệt là các bài toán về PT, BPT chứa tham số và trong lời giải có việc đặt ẩnphụ

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giảitích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ PTquy về bậc cao một ẩn, PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai và chứa ẩn dướidấu giá trị tuyệt đối, PT lượng giác, PT, BPT mũ và logarit

4 Kế hoạch nghiên cứu

Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần

cơ sở thực tiễn để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh từ lớp 10làm các bài toán về PT, BPT quy về bậc hai, PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậchai có liên quan đến tham số và đặt ẩn phụ Các em học sinh lớp 11 làm các bàitoán về PT lượng giác có liên quan đến tham số, bài toán tìm GTLN, GTNN củabiểu thức lượng giác nói chung là đều phải đặt ẩn phụ Khi đó học sinh có thểlàm được các bài toán mà sau khi đặt ẩn phụ quy về PT bậc hai có thể tính toánđơn thuần thông qua biệt thức (đenta) đenta) hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số tađược một vế là hàm số bậc hai đối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm không

chính xác do không để ý tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc có tìm điều kiện của ẩnphụ nhưng tìm không chính xác.

Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về PT, BPT

có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bậc bốn hoặc hàm số phân thức thì học sinhkhông thể giải được vì khi đó các em chưa được học khảo sát các loại hàm sốnày

Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đãhọc về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số Do đó, từ đầu năm học 2010– 2011 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chọn chủ đềứng dụng đạo hàm tại hai lớp 12A3, 12A8 và các lớp luyện thi đại học và từ đóxây dựng, hoàn thiện bài viết của mình

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

a) Tìm số nghiệm của phương trình

Xét PT f x(đenta) )g m(đenta) ), (đenta) 1) Trong đó x là ẩn thực và m là tham số thực

- Số nghiệm của PT (đenta) 1) là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x(đenta) )(đenta) có thểnhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó) và đường thẳng

* Nếu hàm số f x(đenta) ) xác định và liên tục trên đoạn a b thì ta có thể tìm; 

GTLN và GTNN theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, , ,2 xn trên đoạn a b mà tại đó;  f x = 0 hoặc'(đenta) ) f x'(đenta) )không xác định;

- Tính các giá trị f a f b f x(đenta) ), (đenta) ), (đenta) ), (đenta) ), , (đenta) )1 f x2 f x ; n

- Số lớn nhất (đenta) bé nhất ) trong các số trên là GTLN (đenta) GTNN ) của hàm số

(đenta) )

f x trên đoạn a b ; 

c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình

Nếu hàm số f x(đenta) )có GTLN và GTNN trên tập xác định D khi đó

BPT : f x(đenta) )g m(đenta) ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi min (đenta) )D f x g m(đenta) );

f x(đenta) )g m(đenta) ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi max (đenta) )D f x g m(đenta) );

f x(đenta) )g m(đenta) ) có nghiệm x D khi và chỉ khi ax (đenta) )m D f x g m(đenta) );

f x(đenta) )g m(đenta) ) có nghiệm x D khi và chỉ khi min (đenta) )D f x g m(đenta) ) Trong trường hợp hàm số f x(đenta) ) không có GTLN hoặc GTNN trên tậpD taphải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp

2 Các phương pháp đã tiến hành

Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý dochọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu làphần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn tôi đã lồngghép các bài tập liên quan đến tìm tham số và đặt ẩn phụ Nhưng vì thời giankhông có nhiều, hơn thế nhiều học sinh trên lớp dạy (đenta) 12A3 và 12A8) thụ độngchiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi chỉ cho một số học sinh một vài

bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp tôi cho một số họcsinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải Sau đó tôi phântích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một sốđiểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng.

Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết củamình thành bốn phần sau:

- Phương trình, bất phương trình bậc cao một ẩn

- Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

- Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN

Bài 1 Tìm tham số a để PT: x3 3x2  a , (đenta) 1) có ba nghiệm phân biệt trong 0

đó có đúng một nghiệm bé hơn 1

Giải

PT (đenta) 1)  x3 3x2  , (đenta) 1a) a

Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (đenta) 1a) có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3

sao cho x1 1 x2 x3 tức là đường thẳng y a phải cắt đồ thị hàm số

Bảng biến thiên của hàm số f x(đenta) )

Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là 4a2

Nhận xét: Nghiệm của (đenta) 1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y a với

đồ thị hàm số yf x(đenta) ) tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trụchoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm

Bài 2 Biện luận theo m số nghiệm thực của PT: x 13 3(đenta) x 1)2 m0, (đenta) 2)

PT (đenta) 2) trở thành t33t2 m 0 mt3  3t2, (đenta) 2a).

Xét hàm số f t(đenta) )t3 3t2 với t 0 có f t'(đenta) )3t2  6t  0, t 0;

lim (đenta) )t  f t  

Bảng biến thiên của hàm số f t(đenta) )

Từ BBT ta thấy

- Nếu m  0 (đenta) 2a) không có nghiệm t 0 nên (đenta) 2) vô nghiệm

- Nếu m  0 (đenta) 2a) có một nghiệm t 0 nên (đenta) 2) có một nghiệm x 1

- Nếu m  0 (đenta) 2a) có một nghiệm t 0 nên (đenta) 2) có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:

- Thay vì việc khai dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện việc đặt ẩn phụ để có lờigiải ngắn gọn hơn

- Lưu ý quan hệ giữa số nghiệm theo ẩn t và số nghiệm theo ẩn x.

Bài 3 Tìm tham số a để PT:  x3ax2 4m, (đenta) 3)

có ba nghiệm phân biệt   m  4;0

Giải

Yêu cầu của đề bài tương đương với   m  4;0 đường thẳng y m phải cắt

đồ thị hàm số yf x(đenta) ) x3 ax2  4 tại ba điểm phân biệt 

4

0

CD CT

Theo ĐK (đenta) *) suy ra số -4 phải là giá trị cực tiểu do đó số

3

4

427

a

 sẽ là giá trị cực đại 

3

4

427

2 2

22

a

x y

y a

Ta thấy số nghiệm dương của PT (đenta) *) là số nghiệm của hệ PT đã cho

Xét hàm số f x(đenta) ) 2 x3 x2 với x 0

0(đenta) ) 6 2 ; (đenta) ) 0 1

- Hệ PT trên có lời giải rất ngắn gọn như vậy vì ta nhận xét được tính chất

f(đenta) 2) 8; (đenta) 3) 21 f   max f x2;3 (đenta) ) 21

Vậy max f x  nên ta phải có 0;3 (đenta) ) 21 m320m21 m1

1 27



Nhận xét:

Việc tìm tham số để hệ BPT đã cho có nghiệm được quy về bài toán tìm tham

số để một BPT có nghiệm trên một tập cho trước và đã được chuyển về bài toántìm GTLN hoặc GTNN của hàm số

Bài 6 Tìm tham số m để BPT mx4  4x m  , (đenta) 11) thỏa mãn 0 x

1

x x

Bảng biến thiên

Từ BBT  max (đenta) )f x 4 27 Vậy ĐK phải tìm là m 4 27

Nhận xét:

thừa số chung và thực hiện việc chia cả hai vế cho biểu thức dương để cô lậptham số

Bài 7 Tìm tham số m để BPT m x2 4  2x2 m0, (đenta) 12) thỏa mãn x

- Nếu m 0 f t(đenta) )2t2   0, t 0 là vô lý suy ra m 0 bị loại

- Nếu m0, f t'(đenta) ) 2 m t2  2; f t'(đenta) ) 0 t 12 0

Từ BBT suy ra

3 2 0;

1min (đenta) )f t m

1

m

m m



Vậy ĐK phải tìm là m 1

Nhận xét:

Trong lời giải bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta được một hàm số bậc hai do

đó không cần sử dụng đạo hàm ta vẫn lập được BBT của hàm số Tuy nhiên tôivẫn trình bày ở đây để tiện liên hệ với bài 11 trong trường hợp không cô lậpđược tham số

Bài tập tương tự

1.Tìm tham số a để PT sau có nghiệm duy nhất: x3ax2  4 0

2 Biện luận theo m số nghiệm của PT x2 (đenta) 3 m x)  3 2m0 so sánh các nghiệm đó với các số -3 và -1

3 Tìm tham số m để PT sau có ba nghiệm dương phân biệt:

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Bài 1 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT x 3 m x2  (đenta) 1)1

2

31

11

- Với ứng dụng của đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng

- Bài toán trên còn có thể được phát biểu theo cách tìm miền giá trị của hàm

PT (đenta) 2) có hai nghiệm thực phân biệt  PT (đenta) 2b) có hai nghiệm phân biệt thỏa

2

x  và x 0 tức là đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số

1(đenta) ) 3 4

Sau khi biến đổi PT (đenta) 2) về PT (đenta) 2a) ta có thể thực hiện lời giải theo cách so

92



 

Bài 4 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:

3x  6 x  (đenta) 3x)(đenta) 6 x) m, (đenta) 5)

tập giá trị của hàm số f x(đenta) ) trên tập xác định của PT đã cho.

Bài 5 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:

u u m

f(đenta) 0) 1; f  2  2 1

Vậy ĐK phải tìm là 2 1   m 1

Nhận xét:

Lời giải của bài tập 5 và 6 có phương pháp như nhau nhưng việc tìm ĐK của

ẩn phụ trong bài số 6 không dùng đạo hàm mà thực hiện một số phép biến đổikéo theo nên cần phải thấy rõ tập giá trị của ẩn phụ trên TXĐ của PT (đenta) 6)

Bài 6 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:

3 x 1m x 1 24 x2  1, (đenta) 7)

Giải

ĐK: x 1, khi đó x   và PT (đenta) 7) 1 0

2 4

 suy ra hàm số g x(đenta) ) đồng biến  x 1

(đenta) 1) 0;g  xlim (đenta) ) 1 g x  Như vậy   x 1 t 0;1

PT đã cho trở thành: 3t2 2t m , (đenta) 7a) với ĐK t 0;1

PT (đenta) 7) có nghiệm khi và chỉ khi PT (đenta) 7a) có nghiệm t 0;1

Xét hàm số f t(đenta) )3t22t trên nửa khoảng 0;1

Bài 7 Tìm tham số m để BPT sau có nghiệm:

Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua việc

so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp

- Đề bài trên cũng có thể phát biểu theo kiểu tương tự: Cho các số x y, thỏa

2 2

Đặt t x;  x 1;4  t 1;2

3.Tìm tham số m để BPT m x(đenta) 2  2x2 1) x(đenta) 2 x) 0

có nghiệm x  0;1 3

4.Tìm tham số m để PT sau có nghiệm: x x  x12 m(đenta) 5 x  4 x)

PHẦN III : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bài 1 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm thực duy nhất: log(đenta) ) 2,

, (đenta) 1 )log(đenta) ) 2log(đenta) 1) 1

- có thể phát biểu đề bài theo tổng quát hơn: Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT đã cho.

- Lưu ý nhờ phép biến đổi logic nên PT (đenta) 1) trở thành PT (đenta) 1a) với ĐK x  1



 , (đenta) 2a) với u 3;9

PT (đenta) 2) có nghiệm  PT (đenta) 2a) có nghiệm u 3;9

- Đề bài có thể phát biểu tương tự thay PT là BPT

- Lưu ý phải tìm ĐK chính xác của ẩn phụ, học sinh thường làm sai bướcnày và sai theo nhiều kiểu khác nhau

Bài 3 Tìm tham số m để PT (đenta) m3)16x (đenta) 2m 1)4x m 1 0,(đenta) 3)

có hai nghiệm trái dấu

,1

t t m