Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường đã được xây thêm 4 phòng học mới.. Kết quả là sĩ số trung bình mỗi lớp giảm xuống 8 học sinh.. Tuy nhiên, để tr
Trang 1ĐỀ THI HSG LỚP 9 VÒNG 1 – Năm Học: 2014-2015
QUẬN TÂN PHÚ Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 23/08/2014)
Bài 1: (2 điểm) Cho a b c 3 3 3 3abc và a b c 0 Tính:
2
N
a b c
Bài 2: (4 điểm)
1) Giải phương trình: 9 4x 5 3x 1 x 4
2) Trường THCS A có 1050 học sinh Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường đã được xây thêm 4 phòng học mới Kết quả là sĩ số trung bình mỗi lớp giảm xuống 8 học sinh Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia thì sĩ số trung bình mỗi lớp học phải giảm thêm 7 học sinh nữa Để đạt được đều đó, trường cần phải xây thêm 5 phòng học nữa Em hãy cho biết để thực hiện xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia thì trường cần phải có tất cả bao nhiêu phòng học và mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? Bài 3: (4 điểm) Giải hệ phương trình:
1) Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của ABC Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:
b c a c a b a b c abc
2) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a b c 3 Tìm GTNN của:
P
ab bc ca
Bài 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC Vẽ đường cao AH của ABC ,
BC 25cm , AH 12cm .
1) Tính AB, AC.
2) Vẽ O 1 nội tiếp ABC Gọi I, J, K lần lượt là các tiếp điểm của O 1 lean BC, AC, AB KI cắt AH tại N Trên AB lấy L sao cho AL = AN Chứng minh: BL = AK rồi từ đó suy ra LO 1
đi qua trung điểm của AC
3) Vẽ đường kính AD của (O) Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C lần lượt cắt (O) tại E,
F Gọi H ;H 1 2 là trực tâm của ABF, ACE Chứng minh trung điểm của H H 1 2 là điểm cố định.
Bài 5: (2 điểm)
1) Tìm n N để A n n 2 là số chính phương 4
2) Tìm x,y,z Z biết xy yz xz 3
z x y
HẾT
Trang 2ĐỀ THI HSG LỚP 9 VÒNG 1 – Năm Học: 2014-2015
QUẬN TÂN PHÚ Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 23/08/2014)
Bài 1: (2 điểm) Cho a b c 3 3 3 3abc và a b c 0 Tính:
2
N
a b c
Ta có: a b c 3 3 3 3abc a b c 3abc 0 3 3 3
a b c a 2 b 2 c 2ab 2bc 2ca 3ab 3bc 3ca 2 0
a b c a 2 b 2 c ab bc ca 2 0
2 2 2
Khi đó:
N
3
Bài 2: (4 điểm)
1) Giải phương trình: 9 4x 5 3x 1 x 4
Điều kiện: x 1
3
1 4x 5 3x 1 9 vì x + 4 0 do x
3
4x 5 3x 1 2 4x 5 3x 1 81
2 12x 19x 5 75 7x 2
75
x
7
48x 76x 20 49x 1050x 5625
2
75 x 7
x 1126x 5605 0
75
x
7
x 1121 loại
x 5 nhận
Vậy S 5
2) Trường THCS A có 1050 học sinh Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường đã được xây thêm 4 phòng học mới Kết quả là sĩ số trung bình mỗi lớp giảm xuống 8 học sinh Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia thì sĩ số trung bình mỗi lớp học phải giảm thêm 7 học sinh nữa Để đạt được đều đó, trường cần phải xây thêm 5 phòng học nữa Em hãy cho biết để thực hiện xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia thì trường cần phải có tất cả bao nhiêu phòng học và mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Trang 3Gọi x (học sinh) là số học sinh trung bình của mỗi lớp x N ;x 1050 *
Số phòng học của trường là: 1050phòng
x Số phòng học sau khi xây thêm 4 phòng là: 1050 4 phòng
x Số học sinh trung bình của mỗi lớp sau khi xây thêm 4 phòng là: x 8 học sinh
Số học sinh trung bình mỗi lớp để trường đạt chuẩn quốc gia là: x 8 7 x 15 học sinh
Số phòng học của trường để trường đạt chuẩn quốc gia là: 1050 4 5 1050 9 phòng
Ta có phương trình:
1050x 8400 4x 32x 1050x 15750 9x 135
2
x 50 nhận 147
5
Vậy số học sinh trung bình mỗi lớp là: 50(học sinh)
Số phòng học của trường là: 1050 21 phòng
50 Bài 3: (4 điểm) Giải hệ phương trình:
1) Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của ABC Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:
b c a c a b a b c abc
Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên áp dụng BĐT trong tam giác, ta được:
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được:
b c a c a b 2
c a b a b c 2
b c a a b c 2
Nhân vế theo vế, ta được: b c a c a b a b c abc
Vậy BĐT đã được chứng minh
2) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a b c 3 Tìm GTNN của:
P
ab bc ca
P
Trang 4Áp dụng BĐT:
x y z x y z ; dấu “=” xảy ra khi x = y = z, ta được:
ab bc ca ab bc ca
3 xy yz zx x y z ; dấu “=” xảy ra khi x y z , ta được:
3 ab bc ca a b c 9 vì a + b + c 3 ab bc ca 3
Từ (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: P 672
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy P min672 khi x y z 1
Bài 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC Vẽ đường cao AH của ABC ,
BC 25cm , AH 12cm .
AL = AN
O 1
L N
J
I
K
B
A
1) Tính AB, AC.
Đặt BH = x, x > 0 suy ra HC = 25 – x
Do AB < AC nên BH < HC x 25 x x 25
2
x 16 loại
Ta có: AB 2 BH.BCAB 2 9.25AB 15 cm
2) Vẽ O nội tiếp 1 ABC Gọi I, J, K lần lượt là các tiếp điểm của O lean BC, AC, AB KI cắt 1
AH tại N Trên AB lấy L sao cho AL = AN Chứng minh: BL = AK rồi từ đó suy ra LO 1 đi qua trung điểm của AC
Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt IK tại S
Trang 5Ta có:
ASK KIB
KIB IKB
SAK cân tại A AS AK
Mà AK = AJ nên AS = AJ Do đó: ANS ALJ c g c
ANS ALJ mà ANS ASK 90 nên 0 ALJ ASK 90 0
Mặt khác: ASK AKS LKN nên ALJ LKN 90 0 LJ KI mà BO 1KI nên LJ // BO 1
Xét tứ giác BLJO , ta có: 1
1 1
LJ // BO cmt
BL // JO AC
tứ giác BLJO 1 là hình bình hành (…)BL O J AK 1
Cách 2 (tính toán)
Ta có: AKAB AC BC 15 20 25 5
Ta chứng minh được: HIN∽IO B g g 1
1
BI.HI 1.10
O I 2 AN AH NH 12 2 10 cm
mà AL = AN (gt) nên AL = 10 (cm) BL AB AL 15 10 5 cm Do đó: BL = AK
Gọi Q là giao điểm của LO 1 và AC Ta chứng minh được AK = KL (=5cm) K là trung điểm của
AL
nên dễ chứng minh được O AL vuông cân tại 1 O 1 ALQ vuông cân tại A
AQ AL 10 cm CQ AC AQ 20 10 10 cm
Do đó AQ = CQ (=10 cm) Q là trung điểm của AC LO đi qua trung điểm của AC 1
3) Vẽ đường kính AD của (O) Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C lần lượt cắt (O) tại E, F Gọi H ;H 1 2 là trực tâm của ABF, ACE Chứng minh: A là trung điểm của H H 1 2
Trang 6H 2
H 1
O 1
F
E
D
J
I
K
B
A
Ta có: CF // AD và CF CE AD CE
Ta chứng minh được tứ giác BFCE là hình chữ nhật… O là trung điểm của dây EF
EF là đường kính của (O) AEF vuông tại A AE FA mà FA BH 2 nên AE // BH 2
Ta có: CF // AD và CF CE AD CE mà AH 1CE nên AD AH 1H AD 1
Cmtt, ta có: H 2AD , do đó H ,A,H 1 2 thẳng hàng
AH BE tư ùgiác ABEH là hình bình hành
AH BE tư ùgiác AEBH là hình bình hành
AH 1AH 2 mà H ,A,H 1 2 thẳng hàng nên A là trung điểm của H H 1 2
Bài 5: (2 điểm)
1) Tìm n N để A n 4 n 2 là số chính phương
Đặt A n n 2 k 4 2 (không mất tính tổng quát, giả sử k N )
* Xét n = 0 thì A = 2 (loại)
* Xét n = 1 thì A = 2 (loại)
Ta chứng minh: n 1 2 2 n 4 n 2
2 2
2n n 1 0
Vậy 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4
Trang 7n n 2 n 4 4 n 2
Thử lại A = 16 là số chính phương
Vậy khi n = 2 thì A là số chính phương
2) Tìm x,y,z Z biết xy yz xz 3
z x y Cách 1:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
yz xz 2 yz xz 2z
xy yz xz x y z
z x y mà xy yz xz 3 z x y nên x y z 3
Mặt khác x, y, z Z nên x = y = z = 1.
Cách 2:
Do vai trò của x, y, z là như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử: x y z 1
Ta có: xy yz zx z 2 z y x z 2z y x 3z
Với z = 1 thì VT 1 xy y x xy 2 y x xy 2
x y 1 vì x,y Z
Thử lại ta thấy x y z 1 thỏa đề bài.
Vậy nguyên dương duy nhất của phương trình là: x;y;z x;y;z
HẾT
Trang 8(NGÀY THI: 29/11/2014)
Bài 1: Cho a, b, c khác 0 và a + b+ c = 0 Hãy chứng minh:
4
Bài 2: Giải phương trình:
x 1 x 2 2x 2 x 2 x 2 1 8
Bài 3: Cho a, b dương Hãy chứng minh: a b 2 a b 2a b 2b a
2 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2
2x 1 A
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC Trên tia đối của tia DC lấy P, PM cắt AC tại Q Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP
Bài 6: Tìm cặp số nguyên sao cho tích của nó bằng 7 lần tổng
HẾT
ĐỀ THI HSG LỚP 9 VÒNG 2, QUẬN TÂN PHÚ
(2014-2015)
Trang 9Bài 1: Cho a, b, c khác 0 và a + b + c = 0 Hãy chứng minh:
4
Ta có: a + b + c = 0 a b c a b 3 c 3 a 3 b 33ab a b c 3
a 3b 3 c 3 3ab a b a 3b 3c 3 3abc do a + b = c
Ta có: a + b + c = 0
Ta có :
VT
=
=
Vậy
4
Bài 2: Giải phương trình:
x 1 x 2 2x 2 x 2 x 2 1 8
Điều kiện:
Ta có: x 1 x 2 2x 2 x 2 x 2 1 8
x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 2 8
ĐỀ THI HSG LỚP 9 (Vòng 2) Quận TÂN PHÚ – (2014-2015)
HƯỚNG DẪN
Trang 10
3
2
2x 5 0
4 x 1 x 2 4x 20x 25
5
2 x (nhận so với điều kiện x 2)
16 33
x
16
Vậy
33 S
16 Bài 3: Cho a, b dương Hãy chứng minh: a b 2 a b 2a b 2b a
2
Ta có: a b 2 a b 2a b 2b a
2
1
2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a b 2 ab 2
Từ (1) và (2), ta suy ra
1
2 Vậy a b 2 a b 2a b 2b a
2 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2
2x 1 A
2
x 1
Vậy A max 1 Dấu ''='' xảy ra khi x 1 0 x 1
Vậy A min 1 Dấu ''='' xảy ra khi x 2 0 x 2
2
Trang 11Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC Trên tia đối của tia DC lấy P, PM cắt AC tại Q Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP
T
Q
O
N M
C
A
D
B
P
`
Gọi T là giao điểm của QN và DC
Gọi O là giao điểm của AC và MN
Ta dễ chứng minh được tứ giác ANCM là hình bình hành Do đó, O là trung điểm của MN
OM QO .
OM ON
ON QO .
CT QC
Do đó, NPT cân tại N NTP NPT
MNP NPT 2 góc so le trong và MN // PT
QNP NTP 2 góc đồng vị và MN // PT
nên MNP QNP
MN là đường phân giác của NPQ MP NPtính chất đường phân giác trong NPQ
MQ NQ
MP.NQ = MQ.NP
Bài 6: Tìm cặp số nguyên sao cho tích của nó bằng 7 lần tổng
Gọi a, b là 2 số cần tìm ( a,b Z )
Theo đề bài, ta có: ab = 7(a+b) a 7 b 7 49
Do a, b là 2 số nguyên nên ta có bảng sau:
a – 7 1 -1 49 -49 7 -7
b – 7 49 -49 1 -1 7 -7
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là: (8;56), (56;8), (6;-42), (-42;6), (14;14), (0;0)