CÁC bài TOÁN KHÚC xạ và PHẢN xạ bồi DƯỠNG học SINH GIỎI

- Tỉ số giữa sin của góc tới i 1 và sin của góc khúc xạ i 2 là một hằng số n, gọi là chiết suất tỉ đối của môi trường chứa tia khúc xạ đối với môi trường chứa tia tới.. *Chiết suất: - Ch

CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN KHÚC XẠ VÀ PHẢN XẠ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

Giáo viên: Nguyễn Phước Cẩm Nhung

A.MỞ ĐẦU 1) Lí do chọn đề tài

Trong chương trình Vật lí chuyên, phần quang học chiếm một số lượng lớn tiếttrong phân phối chương trình 11 Trong đó, các bài toán về khúc xạ và phản xạ toàn phầnthường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi các cấp và thường có sử dụng đến đạohàm, tích phân và phương trình các đường cônic để giải các bài tập phức tạp

Nhưng trong thực tế, giáo viên khi dạy cho học sinh còn gặp nhiều khó khăn vìkiến thức toán học của học sinh 11 về đạo hàm, tích phân và phương trình các đườngcônic còn hạn chế, bên cạnh đó nguồn tài liệu cho vấn đề trên không nhiều và chưa tậphợp thành dạng

Với mong muốn giúp học sinh nắm bắt được các dạng bài tập khó trong phần khúc

xạ và phản xạ toàn phần chúng tôi chọn đề tài “ Các bài toán khúc xạ và xạ bồi dưỡng

học sinh giỏi.” Hy vọng rằng đề tài sẽ có ích với học sinh và các đồng nghiệp trong quá

trình giảng dạy và ôn luyện học sinh giỏi

2) Mục đích của đề tài

Đề tài nhằm đề xuất một số dạng bài tập về khúc xạ và phản xạ có sử dụng phéptính đạo hàm, tích phân và các đường cônic kết hợp với các định luật quang học, đồngthời trang bị cho bản thân tác giả những kiến thức cơ bản trong công tác giảng dạy họcsinh chuyên

B.NỘI DUNG I.LÍ THUYẾT

Trong thực tế, ta không thể tạo được một tia sáng hoàn toàn đúng theo định nghĩa

mà chỉ có thể tạo được những chùm sáng song song và hẹp

Tia SI được gọi là tia tới

Tia IR được gọi là tia phản xạ

I được gọi là điểm tới

IN là pháp tuyến của mặt tại điểm tới I

Góc là góc tới

Góc là góc phản xạ

Mặt phẳng P chứa tia tới và pháp tuyến là

mặt phẳng tới

nhiều phương khác, làm với chùm tia nhiều góc khác nhau Nếu mặt càng gồ ghề hoặc

có kích thước càng nhỏ thì cường độ các chùm tán xạ càng lớn và cường độ chùm phản

xạ càng nhỏ, cuối cùng không chênh lệch nhau nữa

3) Định luật khúc xạ, định luật Snel-Đề-các

*Đinh luật:

- Tia khúc xạ nằm trong mặt phẳng tới (và ở bên kia pháp tuyến so với tia tới).

- Tỉ số giữa sin của góc tới i 1 và sin của góc khúc xạ i 2 là một hằng số n, gọi là chiết suất tỉ đối của môi trường chứa tia khúc xạ đối với môi trường chứa tia tới.

(1)

Trên hình 1: tia IT gọi là tia khúc xạ, góc gọi là góc khúc xạ

*Chiết suất:

- Chiết suất tuyệt đối n của một môi trường là chiết suất của môi trường ấy đối với chân

không.Gọi c và v lần lượt là vận tốc ánh sáng trong chân không và trong một môi trường,

và n là chiết suất tuyệt đối của môi trường ấy thì:

(2)

-Chiết suất tỉ đối: nếu n1, n2 lần lượt là chiết suất tuyệt đối của hai môi trường 1,2 và v1,

v2 lần lượt là vận tốc ánh sáng trong hai môi trường ấy thì chiết suất tuyệt đối của hai

môitrường là: (3)

4)Nguyên lí Fermat

a)Quang trình

Xét hai điểm A, B(hình 2) trên một tia sáng truyền trong một môi trường chiết suất

n, và gọi e=AB là độ dài đoạn AB Ánh sáng truyền từ A đến B, mất một thời gian:

(4)Với v là vận tốc ánh sáng trong môi trường

Cũng trong thời gian ấy, nếu truyền trong chân không, ánh sáng đi được quãng

Hai quãng truyền e 0 và e của ánh sáng trong cùng một thời gian trong chân không và

trong môi trường chiết suất n được gọi là hai quãng truyền tương đương và e 0 gọi làquang trình của quãng truyền AB, kí hiệu là :

(6)

Nếu tia sáng truyền từ A đến B

qua một dãy môi trường đồng tính

chiết suất n1, n2, ni nk, ngăn cách

, (hình 3)thì các quãng truyền AiAi+1 của tia

sángtrong mỗi môi trườnglà một

đoạn thẳng, độ dài ei và quang trình của tia sáng trên quãng truyền AB là:

(7)Trong thực tế, điểm B trong hình 3 mà ta xét thường là ảnh của điểm A cho bởiquang hệ Mà ảnh của một điểm sáng qua một quang hệ có thể là ảnh thật B hoặc ảnh ảoB’ Ảnh ảo B’ không nằm trên phần Ak-1B của tia sáng trong môi trường k, mà vẫn nằmtrên đường kéo dài về phía trước điểm Ak-1 của tia Ak-1B Để vẫn có thể áp dụng côngthức (7), khi xét quang trình (AB’), ta coi quang trình ảo Ak-1B’, hướng ngược chiềutruyền của ánh sáng như vẫn được truyền trong môi trường k, nhưng là số âm và quangtrình (AB’) có giá trị

Hay là

Hoặc

Trong đó quang trình nào ảo thì có độ dài là một số âm.

b) Nguyên lí Féc-ma

“ Quang trình của đường truyền một tia sáng từ một điểm A đến một điểm B sau một số lần phản xạ và khúc xa liên tiếp bất kí có giá trị cực tiểu, cực đại, hoặc dừng so với quang trình của các tia sáng vô cùng gần AB”.

5)Tính tương điểm, điều kiện tương điểm

a) Định nghĩa

-Hệ quang học được gọi là tương điểm khi ảnh của một điểm sáng cho bởi quang hệ cũnghoàn toàn đúng là một điểm

Như vậy đối với một hệ tương điểm thì:

-Một chùm sáng đồng tâm sau khi truyền qua hệ vẫn là một chùm sáng đồng tâm

-Một chùm sáng có mặt sóng là một hình cầu sau khi truyền qua hệ vẫn là một chùm sóngcầu

b)Điều kiện tương điểm

Giả sử A’ là ảnh tương điểm của điểm

sáng A qua một quang hệ gồm k môi

trường chiết suất n1, n2, .,nk ngăn

cách nhau bằng (k-1) mặt

A là tâm của các mặt sóng cầu S, A’

là tâm của các mặt sóng cầu S’

Khi lần lượt truyền qua các môi trường ni, các mặt sóng S lần lượt bị biến đổi thành cácmặt Si, và cuối cùng thành các mặt sóng cầu S’

Đối với mọi tia sáng trong chùm đi từ A, quang trình từ A tới các mặt sóng S đều bằngnhau, quang trình giữa hai mặt sóng Si, S’i cũng bằng nhau và quang trình từ các mặt

sóng S’ tới A’ cũng bằng nhau, do đó quang trình từ A đến A’ của mọi tia sáng đều bằngnhau, tức là

Và điều kiện tương điểm đối với cặp điểm A, A’ là:

Chú ý: lấy dấu trừ cho các quang trình ảo.

6/

2)Nguyên hàm, tích phân

a) Nguyên hàm

* Định nghĩa: Cho hai hàm số , xác định trong khoảng được gọi

*Định lý: Nếu là một nguyên hàm của trong khoảng thì sẽ có vô

số nguyên hàm trong khoảng Các nguyên hàm này có dạng (c là hằng số)

Người ta thường ký hiệu là tập hợp các nguyên hàm của

b) Tích phân

* Định nghĩa:Cho hàm số lên tục trên đoạn , là một nguyên hàm của

Tích phân của trên đoạn là một số thực Kí hiệu: và đượcxác định bởi :

Người ta thường dùng kí hiệu (hoặc ) để chỉ

Khi đó:

*Các công thức tích phân

3)Các đường cônic

a)Định nghĩa:

Đường cô-nic có thể được định nghĩa theo hai cách:

- Đường cô-nic là quỹ tích của các điểm mà tỉ lệ khoảng cách từ nó tới điểm cố

định F trên khoảng cách từ nó tới đường cố định L thì bằng giá trị thực e.

• Đối với 0 < e < 1 ta được hình Ellipse (nằm trên mặt phẳng vuông góc với

đường L)

• Đối với e = 1 là một parabol (nằm trên mặt phẳng chứa điểm F và đường L)

• Đối với e > 1 là một hình hyperbol.

Ta có điểm cố định F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng cố định L được gọi

là đường chuẩn và giá trị thực e được gọi là tâm sai.

- Đường cô-níc là đường giao giữa mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng Khi giaocủa hình nón và mặt phẳng là một đường cong kín, tức mặt phẳng giao với toàn bộcác đường sinh, không song song với đường sinh nào thì có tiết diện là mộtđường ellipse Nếu mặt phẳng song song một đường sinh của mặt nón, đường cô-níc sẽ trở thành một parabol Cuối cùng, trường hợp mặt phẳng giao với hai mặtnón có chung đỉnh (đồng thời cũng cắt hai đáy của hai hình nón này), tạo thành haiđường cong riêng biệt gọi là hyperbol

b) Phương trình đường cônic

Trong hệ tọa độ Descartes, hình của phương trình bậc hai hai ẩn luôn luôn là mộtđường conic, và tất cả các đường cô-níc đều có thể biểu diễn được dưới dạng này.Phương trình này có dạng

với A,B,Ckhông đồng thời bằng 0.

Ta có:

- Nếu , phương trình cho ta một hình ellipse (trừ phi đường cô-nic bịsuy biến);

o Đồng thời nếu A = C và B = 0, phương trình cho ta hình tròn;

- Nếu , phương trình cho một hình parabol;

- Nếu , phương trình cho ta một hình hyperbol;

o Đồng thời nếu A+C=0, phương trình cho ta một hình theo tên tiếng anh

- Ở hình ellipse được gọi là trục lớn và trục bé Trục lớn là trục đi qua hai tiêu điểm

và tâm, trục bé là trục vuông góc với trục lớn tại tâm

- Còn ở hình hyperbol tương ứng được gọi là trục thực và trục ảo Trục thực là trục

đi qua hai tiêu điểm, hai đỉnh của hai nhánh, tâm Trục ảo là trục vuông góc vớitrục thực ở tâm của hyperbol

Qui ước: Độ dài trục lớn (trục thực) bằng giá trị không đổi 2a Độ dài trục ảo (trục bé)

bằng giá trị không đổi 2b Trong đó, đối với ellipse và đốivới hyperbol (F1F2=2c và được gọi là tiêu cự).

III.BÀI TẬP

*Phản xạ bề mặt parabol

Bài 1: Một bình hình trụ đựng thủy ngân quay chung quanh trục thẳng đứng của hình trụ

với vận tốc góc không đổi Khi đạt trạng thái chuyển động ổn định, bề mặt thủy ngânlõm xuống Bỏ qua ảnh hưởng của lực căng mặt ngoài Chứng tỏ rằng một chùm tia tớisong song chiếu từ trên xuống dọc theo trục quay, sau khi phản xạ trên mặt thủy ngân sẽhội tụ lại ở một điểm Định vị trí của điểm hội tụ này?

Lời giải

Xét hệ quy chiếu không quán tính gắn với bình như hình vẽ 1.1.Khi đạt trạng tháichuyển động ổn định, mỗi phần tử thủy ngân ở trên bề mặt cân bằng dưới tác dụng củatrọng lực và lực li tâm, hợp của hai lực nàyvuông góc với mặt thoáng của thủy ngân

Mặt thoáng thủy ngân có trục quay là trục đối xứng Trong mặt phẳng chứa trụcquay, xét một phần tử thủy ngân A bất kì trên bề mặt có tọa độ (x,y) Để tìm hệ thức liên

hệ giữa x và y ta áp dụng phương pháp vi phân Xét một đoạn nhỏ giới hạn mặt thoángtại A, phương của đoạn nhỏ này có thể được xem như trùng phương với tiếp tuyến tại A

Từ A kẻ tiếp tuyến của mặt thoáng thủy ngân cắt trục Ox tại I và hợp với Ox một gócα.Ta có:

(góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Theo định nghĩa đạo hàm ta có:

Vậy bề mặt thủy ngân là một paraboloic

Xét tia sáng tới gặp mặt thủy ngân tại A(hình1.2) Tia phản xạ được xác định dựa vàođịnh luật phản xạ ánh sáng Tia phản xạ cắt trục quay tại F Tia sáng trùng với trục quayphản xạ ngược lại theo chính nó

Xét tia trung tâm và tia tùy ý Vì tất cả các tia đến trục y đều cùng pha, nên quang trình của các tia đều như nhau.Từ đây ta viết được phương trình của mặt cần tìm có chứa x và

y Biến đổi phương trình này về dạng phương trình của các đường cônic

Xét điều kiện của các giá trị chiết suất n 1 , n 2 của hai môi trường để xác định dạng cụ thể của đường cônic là hyperbol, elip,

Như vậy chúng ta đã tìm được dạng của mặt khúc xạ thỏa mãn điều kiện đặt ra

Ví dụ.

Bài 2: Một mặt đối xứng tròn xoay ngăn cách hai môi trường trong suốt chiết suất n1,

n2 Xác định sao cho một chùm sáng hình nón, có đỉnh A ở trên trục đối xứng của ,

cách một khoảng d, trong môi trường 1, sau khi truyền qua mặt sang môi trường 2,thì trở thành một chùm song song Xét hai trường hợp : n1>n2 và n1<n2

I là một điểm trên mặt Tia sáng AI

khúc xạ qua rồi truyền trong môi

trường 2, theo phương song song với

trục Ox

Gọi P là một mặt phẳng vuông góc với chùm tia khúc xạ, và H là giao điểm của tia khúc

xạ IA’ với mặt phẳng P

Quang trình của tia AIH là:

Gọi x, y là tọa độ của I, đặt OB=b là khoảng cách từ O đến mặt phẳng P

Chùm tia phản xạ là chùm tia song song và vuông góc với P nên quang trình của tia sáng

la không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của điểm I Vì vậy ta có:

hay

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

(2.1)Đây là phương trình của một đường cônic, dạng cụ thể của nó phụ thuộc các giá trị của

n1, n2

Trường hợp 1: n 1 >n 2

Với n1>n2 hệ số của x2 và y2 đều dương Vậy phương trình trên là phương trình của một

elip, và mặt là một mặt elipxôit tròn xoay Phương trình (2.1) có thể viết:

Thêm và bớt vào vế trái, ta được:

Chia cả hai vế cho , ta được:

Đây là phương trình elip quy về hai trục đối xứng của nó Vậy, bán trục hướng theo Ox

và Oy có độ dài lần lượt là:

Vậy A là tiêu điểm ở xa O, còn tiêu điểm

A1 ở gần O hơn, và elip có dạng vẽ trên

hình 2.2

Nếu đặt một nguồn sáng tại điểm A, trong

môi trường n1, thì chùm sáng ló ra khỏi

elipxôit là một chùm hoàn toàn song song

cự của nó có giá trị lần lượt là:

Cũng như trường hợp trên, A là tiêu điểm xa đỉnh

O của hyperbol, còn A1 là tiêu điểm gần O và ở

trong môi trường có chiết suất n2(hình 2.3)

Bài 3:Một môi trường trong suốt, chiết suất n ngăn cách với chân không bằng một mặt

đối xứng tròn xoay Xác định phương trình của mặt sao cho một chùm tia sáng

song song với trục đối xứng của , khi truyền từ chân không qua mặt vào môi trườngthì hội tụ tại một điểm F Bán kính cực đại của chùm tia có thể hội tụ được bằng thấu

kính này là bao nhiêu?

Nếu môi trường chứa chùm tia tới song song không phải chân không mà có chiết suất

N>n thì mặt phải thay đổi thế nào?

Lời giải

Ta lấy đỉnh của trục đối xứng trên mặt làm gốc tọa độ, trục đối xứng của mặt làm trục

hoành Ox, và trục Oy vuông góc với Ox trong một mặt kinh tuyến của (Hình 3.1)

Ta xét hai tia sáng:

-Tia A0O đi theo trục đối xứng của

truyền qua vào môi trường n,không bị lệch

-Tia AI song song với A0O tới điểm I

trên mặt , khúc xạ theo IR và cắt

tia Ox tại điểm F, cách O một

Quang trình của hai tia là:

Quang trình của hai tia này phải bằng nhau với mọi x,y trên mặt Ta có phương trình:

,

hay là

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được phương trình:

Chia hai vế cho , ta được:

Thêm bớt số hạng vào vế trái của phương trình ta thu được phương trình:

Theo giả thiết ta có n>1 nên >0

Vậy, phương trình (3.1) là phương trình của một elip với hai bán trục lần lượt là:

Bán tiêu cự của elip là Tâm sai là

Lập luận tương tự như bài 2, với giá trị

n>1,5 thì tiết diện của mặt là một nửa

hình elip, mà F1 với OF1=f là một tiêu điểm,

còn tiêu điểm F2 ở gần O hơn(Hình 3.2)

Hình vẽ còn cho thấy rằng bán kính cực đại

của tiết diện chùm tia chính bằng bán trục

nhỏ của elip

*Nếu môi trường chứa chùm tia song song có chiêt suất N>n thì ta chỉ cần đảo chiều các

tia sáng, bài toán lúc này tương tự như bài 2, từ đó ta có thể kêt luận rằng mặt phải làmột hyperbolôit tròn xoay mà F là một tiêu điểm

Mặt khác, vì chiết suất tỉ đối của môi trường chứa tia khúc xạ bây giờ là <1 nên trongphương trình của hyperbol, phù hợp với kết luận trên

Bài 4: Một thấu kính phẳng - lồi có chiết suất n Mặt lồi là một mặt cong Một chùm tia

tới song song được chiếu vuông góc với mặt phẳng Xác định dạng mặt cong để chùm tia

ló hội tụ tại một điểm

Gọi x,y là tọa độ của I Gọi e là khoảng cách từ O đến đỉnh của mặt cong.Quang trình của tia thứ nhất là :

Quang trình của tia thứ hai là:

Vì chùm tia tới là chùm song song và hội tụ

lại một điểm sau khi qua thấu kính nên

quang trình của chùm tia sáng là một hằng

số đối với mọi tia Vì vậy ta có:

Bình phương hai vế của phương trình (4.1) ta được phương trình:

Vì n>1 nên số hạng đầu của phương trình âm, đổi dấu cả ba số hạng ta được:

Đây là phương trình của một Hyperbol quy về hai trục đối xứng Hai bán trục và nửa tiêu

cự lần lượt là:

F là tiêu điểm xa đỉnh O của hyperbol

Vậy để chùm tia ló ra khỏi thấu kính hội tụ thì mặt cong phải là một mặt hyperbolôit

Bài 5:Trích đề thi chọn HSG Vật lí toàn quốc 1992-1993

Một mặt cầu bán kính OI=R phân cách hai môi trường trong suốt có chiết suất tuyệt đốin(Hình 5.1) Lấy đỉnh cầu O làm gốc của trục chính, chiều dương hướng sang phải M làmột điểm sáng ở trên trục(ta luôn luôn lấy M ở bên trái O) Gọi bằng d hoành độ của M,bằng d’ hoành độ của ảnh M’ của M qua mặt cầu Coi R là giá trị đại số của bán kínhcong ( nếu I ở bên phải O như trong hình )

Giả thiết các tia sáng làm với trục