Đề thi học sinh giỏi toán 9 quận gò vấp thành phố hồ chí minh năm học 2015 2016(có đáp án)

Một đường cắt cạnh AD tại K, đường kia cắt bên ngoài cạnh CD tại L.. Hai bạn Nhân và Chia cùng chơi một trò chơi như sau: Bạn Nhân, khi đến lượt mình thì đem số trên bảng nhân với 2 và

Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16

Thời gian: 150 phút (NGÀY THI: 7/11/2015)

Bài 1: (3 điểm) Cho a b 1  và ab 0 Chứng minh rằng:  

2 ab 2

b 1 a 1 a b 3



Bài 2: (6 điểm) Giải các phương trình sau:

a) x29 9x 1 2   20x 1

b) 2 2x 5 9x

x

  

Bài 3: (3 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1  Tìm GTNN của biểu thức:

1 9

P a b

a b

   

Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau Một đường

cắt cạnh AD tại K, đường kia cắt bên ngoài cạnh CD tại L Gọi F là giao điểm của KL và AC Chứng minh: BF KL

Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC 30  0 Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều ACD Chứng minh: AB BC2  2 BD2

Bài 6: (2 điểm) Trên bảng là một con số Hai bạn Nhân và Chia cùng chơi một trò chơi như sau: Bạn

Nhân, khi đến lượt mình thì đem số trên bảng nhân với 2 và đem kết quả này thay cho số trên bảng; Bạn Chia, khi đến lượt mình đem số trên bảng cộng 1 rồi chia cho 2 và đem kết quả này thay cho số cũ Ai ra được kết quả bằng 2015 thì người đó thắng Nhân đi trước, Chia đi sau và sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi đúng 2016 lần) thì Chia thắng

a) Hỏi số trên bảng lúc đầu là bao nhiêu?

b) Nếu Chia đi trước thì ai sẽ thắng

  HẾT  

ĐỀ THI HSG LỚP 9

QUẬN GÒ VẤP – Vòng 1 (2015-2016)

Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16

Bài 1: (3 điểm) Cho a b 1  và ab 0 Chứng minh rằng:  

2 ab 2

b 1 a 1 a b 3



a b 2a b 1 1 2ab 2a b 1

a b a a b b

b 1 a 1 a b a b 1 a b a b a ab b 1 a b 1 3ab 1

  

2 2

2 ab 2 4ab 2a b 2ab 4 vì ab 0

a b 3ab a b 3 a b 3



Bài 2: (6 điểm) Giải các phương trình sau:

a) x29 9x 1 2   20x 1

x 3 x 3 3x 1 3x 1    20x 1

       3x 10x 3 3x 10x 32    2  20x 1

3x 3 100x 20x 1

3x 3 10x 1 0 3x 10x 4 3x 10x 2 0

5 13 5 19

3 9 3 9

     

         

     

5 13 x

3 3

5 19 x

3 3



  









 





Vậy S 5 13 5; 19

3 3 3 3

    

b) 2 2x 5 9x

x



 

2 2x 9x 5

x



   (Điều kiện: x 5

9

 )

2 2x 9x 5 81x 90x 27x 2 0 3x 2 27x 12x 1 0

x



3x 2 3x 1 9x 1   0

 

 

2

x nhận 3

x loại x

1

x loại 9













 



Vậy S 2

3

 

  

 

ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN GÒ VẤP – Vòng 1 (2015-2016)

HƯỚNG DẪN

Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16

Bài 3: (3 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1  Tìm GTNN của biểu thức:

1 9

P a b

a b

   

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được:

1 16a 8

a 9 16b 24

b



 





  



Mà 15 a b   15 Nên a b 1 9 17 P 17

a b

     

Dấu “=” xảy ra khi

1 a 4 3 b 4









 



Vậy Pmin17 khi  x;y 1 3;

4 4

 

  

 

Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau Một đường cắt cạnh AD tại K, đường kia cắt bên ngoài cạnh CD tại L Gọi F là giao điểm của KL và

AC Chứng minh: BF KL

F

L C

D K

Cách 1:

Chứng minh được: ABK∽CBL ABK CBK;A C 90   0 AB BK AB BC

BC BL BK BL

Xét BKL và ABC, ta có:

  

0

KBL ABC 90

BKL BAC c g c

AB BC cmt

BK BL





 



∽ BLF BCF

 Tứ giác BFCL nội tiếp BFL BCL 90 0 BF KL

Cách 2:

Ta có: ABK∽CBL KBL∽ABCBKL BAC

HK HA HKF HAB AHK BHF

HF HB

     0

BFK HFB HFK HKA HBA 90

      BF KL

Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16

Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC 30  0 Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều ACD Chứng minh: AB BC2 2 BD2

L

D

B

C A

Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều BCLCBL 60 0 ABL 30  0600 900

AL AB BL Định lý Pytago ABL vuông tại B

AL AB BC Vì BL = BC

Ta có: ACD BCL 600ACD ACB BCL ACB    BCD ACL 

Ta có: BCD LCA c g c    BD AL 2  

Từ (1) và (2) suy ra: AB BC2 2 BD2

Bài 6: (2 điểm) Trên bảng là một con số Hai bạn Nhân và Chia cùng chơi một trò chơi như sau: Bạn Nhân, khi đến lượt mình thì đem số trên bảng nhân với 2 và đem kết quả này thay cho số trên bảng; Bạn Chia, khi đến lượt mình đem số trên bảng cộng 1 rồi chia cho 2 và đem kết quả này thay cho số cũ Ai ra được kết quả bằng 2015 thì người đó thắng Nhân đi trước, Chia đi sau và sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi đúng 2016 lần) thì Chia thắng

a) Hỏi số trên bảng lúc đầu là bao nhiêu?

Gọi x là số trên bảng

Sau bước đi của Nhân, số mới là: 2x

Sau bước đi của Chia, số mới là: 2x 1 x 0,5

2

   Như vậy sau 1 lượt chơi thì số trên bảng tăng lên 0,5

Do đó sau 2016 lượt chơi số trên bảng là: x 0,5.2016 x 1008  

Vậy x 1007

b) Nếu Chia đi trước thì ai sẽ thắng

Sau bước đi của Chia, số mới là: x 1 0,5x 0,5

2

   Sau bước đi chảu Nhân, số mới là: 2 0,5x 0,5   x 1

Như vậy sau 1 lượt chơi thì số trên bảng tăng lên 1

Do đó sau 1008 lượt chơi thì số trên bảng là: 1007 1008 2015 

Vậy Nhân sẽ là người thắng

  HẾT  