Sự ảnh hưởng của bộ tâm được chọn trong phương pháp không lưới RBF FD

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNGVŨ HUY HOÀNG ĐÔ SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM ĐƯỢC CHỌN TRONG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

VŨ HUY HOÀNG ĐÔ

SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM ĐƯỢC CHỌN

TRONG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2014

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

VŨ HUY HOÀNG ĐÔ

SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM ĐƯỢC CHỌN

TRONG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD

Chuyên ngành : Khoa học máy tính

Mã số : 60 48 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS ĐẶNG THỊ OANH

Thái Nguyên - 2014

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này hoàn toàn do tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn của côgiáo TS Đặng Thị Oanh Trong luận văn có tham khảo tới các tài liệu trong phầntài liệu tham khảo

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bản luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sựhướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình

và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS Đặng Thị Oanh, người đã hếtlòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý thầy cô trong trường Đạihọc Công nghệ thông tin và Truyền thông cũng như quý thầy cô đã tận tình truyềnđạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và cho đến khi thực hiện luận văn

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người đã khôngngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em trong suốt thời gianhọc tập và thực hiện luận văn

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014

Sinh viên

Vũ Huy Hoàng Đô

Trang 5

Mục lục

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 6

DANH MỤC CÁC BẢNG 8

DANH MỤC CÁC HÌNH 9

LỜI MỞ ĐẦU 10

Chương 1 Kiến thức cơ sở 13

1.1 Bài toán nội suy 13

1.2 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd 14

1.3 Nội suy với hàm cơ sở bán kính 16

1.3.1 Hàm cơ sở bán kính 16

1.3.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính 17

1.4 Hàm xác định dương và ma trận xác định dương 18

1.4.1 Ma trận xác định dương 18

1.4.2 Hàm xác định dương 19

1.4.3 Hàm bán kính xác định dương 19

1.5 Bài toán Dirichlet với phương trình Poisson 20

1.5.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 20

Trang 6

1.5.2 Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson 21

1.5.3 Phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet trong không gian 2 chiều 26 1.6 Sự ổn định của ma trận hệ số 26

Chương 2 Phương pháp không lưới RBF-FD giải phương trình Poisson

30 2.1 Phát biểu bài toán 30

2.2 Rời rạc hoá phương trình Poisson 31

2.2.1 Rời rạc hoá phương trình Poisson 31

2.2.2 Phương pháp sai phân hữu hạn 31

2.3 Phương pháp không lưới RBF-FD 32

2.3.1 Véc tơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính 32

2.3.2 Phương pháp RBF-FD 34

2.4 Thuật toán chọn bộ tâm nội suy 35

2.4.1 Ý tưởng thuật toán 36

2.4.2 Nội dung thuật toán 36

2.4.3 Đánh giá độ phức tạp của thuật toán 38

2.4.4 Tham số hình dạng của hàm RBF 39

2.5 Kết luận 39

Chương 3 Sự ảnh hưởng của bộ tâm được chọn để nội suy đến độ chính xác của phương pháp xấp xỉ RBF-FD 41

3.1 Các bước cài đặt chương trình thử nghiệm 42

3.2 Thử nghiệm 45

3.2.1 Mục đích của thử nghiệm 45

3.2.2 Mô tả thử nghiệm 45

3.2.3 Giới thiệu kết quả thử nghiệm 48

3.2.4 Bài toán 1 48

Trang 7

3.2.5 Bài toán 2 52

3.2.6 Bài toán 3 56

3.2.7 Bài toán 4 60

3.2.8 Bài toán 5 63

3.3 Kết luận 66

KẾT LUẬN 67

Trang 8

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

RBF: Radial Basis Function

FEM: Finite Element Methods

rms: Root mean square

Ω: Miền hình học

Ξ: Tập các các tâm trong miền và trên biên Ω

Ξint: Tập các tâm nằm trong miền Ω

Ξζ: Bộ tâm gồm ξ và ζ Ký hiệu: Ξζ = {ζ , ξ1, , ξk}

∂ Ξ: Tập các tâm nằm trên biên ∂ Ω

ζ : Tâm thuộc Ξint

ξ : Tâm địa phương của ζ và thuộc Ξ

α : Góc giữa tia ζ ξi và tia ζ ξi+1

α : Góc lớn nhất giữa tia ζ ξi và tia ζ ξi+1

α : Góc nhỏ nhất giữa tia ζ ξi và tia ζ ξi+1

Trang 9

λ : Giá trị riêng của ma trận.

φ : Hàm cơ sở bán kính

Φ: Ma trận nội suy

ε : Tham số hình dạng

A: Ma trận của hệ phương trình đại số tuyến tính

b: Véc tơ vế phải của hệ phương trình đại số tuyến tính.x: Nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính

A+ δ A: Ma trận nhiễu

b+ δ b: Vế phải nhiễu của hệ phương trình đại số tuyến tính

x+ δ x: Nghiệm nhiễu

E: Ma trận đơn vị

X: Bộ tâm phân biệt từng đôi một

k: Số các tâm ξi cần thiết trong tập Ξζ

m: Số các tâm nằm trong lân cận của ζ với m > k

v: Giới hạn góc đều mà có thể chấp nhận được

s: Hàm nội suy cơ sở bán kính

Trang 10

Bảng 1: Danh mục các bảng

Trang 11

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.5.1 Thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x = a đến x = a + L = b 21Hình 1.5.2 Bản mỏng vật chất Ω có đường biên là một 23

đường cong khép kín Γ , đặt trong mặt phẳng OxyHình 3.1 Bộ tâm trên miền hình chữ nhật với k = 5, , 9 45

Hình 3.3 Bộ tâm của hai lần làm mịn lưới đầu tiên của Bài toán 1 48Hình 3.4 Đồ thị biểu diễn sai số RMS của Bài toán 1 49

Bảng 2: Danh mục các hình

Trang 12

LỜI MỞ ĐẦU

Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương trìnhvật lý toán Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng củathực tiễn Trong một số ít trường hợp đơn giản, việc đó có thể làm được nhờ vàonghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặccác chuỗi hàm Tuy nhiên, trong các trường hợp bài toán có hệ số biến thiên, bàitoán phi tuyến, bài toán trên miền có hình học phức tạp thì nghiệm tường minh củabài toán không có, hoặc có nhưng rất phức tạp Khi đó, việc tìm nghiệm phải dựavào các phương pháp giải gần đúng

Trong suốt thế kỷ XX một loạt các phương pháp số đã hình thành và phát triểnnhư các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn v.v đãđem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng các phương pháp toán học vàothực tiễn Các phương pháp vừa nêu nói chung đều là các phương pháp lưới Tuynhiên, các phương pháp này chưa thật hiệu quả khi áp dụng vào lớp các bài toánthực tế có cấu trúc phức tạp hình học phức tạp hoặc hàm có độ dao động lớn.Vào khoảng những năm cuối của thế kỷ trước đã hình thành một xu hướng mớicủa các phương pháp số, đó là phương pháp không lưới Cũng như các phương pháplưới, lược đồ giải các bài toán biên bằng phương pháp không lưới cũng cần có tậpcác tâm (trong phương pháp lưới, các tâm này là các nút lưới) nằm phía trong miềnΞint và các tâm nằm trên biên ∂Ξ để tính toán Từ bộ tâm này ta xấp xỉ các toán tử

vi phân bằng tổ hợp các giá trị của hàm tại các nút:

pháp tìm các vectơ trọng số dựa trên các hàm cơ sở bán kính (RBF – Radial Basis

Function) gọi là phương pháp nội suy dữ liệu phân tán với các hàm cơ sở bán kính

Trang 13

(RBF – FD (Radial Basis Function – Finite Different)).

Để tính được véc tơ trọng số thì việc đầu tiên chúng ta phải chọn bộ tâm nội suy

Ξζ từ tập Ξ cho tính véc tơ trọng số Chất lượng (độ chính xác) của nghiệm xấp xỉtìm được bằng phương pháp RBF-FD phụ thuộc rất lớn vào bộ tâm Ξζ Vấn đề cốtlõi là chọn bộ tâm này như thế nào và chọn bao nhiêu là đủ để chất lượng nội suy để

tính véc tơ trọng số là tốt nhất Vì lý do trên, tác giả đã chọn đề tài: "sự ảnh hưởng

của bộ tâm được chọn trong phương pháp không lưới RBF-FD" Luận văn chỉtập trung vào việc khảo sát sự ảnh hưởng của số tâm được chọn Ξζ và giả sử rằng

bộ tâm Ξ = Ξint∪ ∂Ξ được cho trước

Phương pháp FEM (Finite Element Method) là phương pháp phổ biến được ápdụng vào hầu hết các ngành khoa học công nghệ khi miền hình học của bài toánphức tạp và hàm có kỳ dị Hiện nay, phương pháp FEM càng trở nên hiệu quả vàmềm dẻo hơn khi được thực hiện trên lưới thích nghi (adaptive mesh) Thích nghi ởđây có nghĩa là tại những vị trí hàm có độ dao động lớn hoặc vị trí hình học ’xấu’,

số nút lưới được sinh ra nhiều hơn Mật độ lưới được quyết định bởi cả độ dao độngcủa hàm và cấu trúc hình học Lợi thế của lưới thích nghi là tại vị trí lỗi xảy ra lớnthì số nút dày hơn Việc này có một lợi thế lớn lao so với lưới đều là để đạt được sai

số cần thiết thì chỉ cần kích thước lưới nhỏ Nghĩa là kích thước của ma trận hệ sốcủa bài toán sẽ nhỏ đi nhiều Lưới thích nghi là phương án tối ưu của phương phápFEM [1]

Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ’nút lưới’ là ‘tâm’ Mục tiêu của luận văn tập trungvào việc chứng tỏ rằng nếu sử dụng phương pháp RBF-FD mà dùng bộ tâm Ξζkhông theo cách chọn của thuật toán chọn tâm trong [2] với số tâm xung quanh

ζ là 6 thì có thể cho kết quả không tốt Chẳng hạn như nếu dùng bộ tâm Ξζ củaphương pháp FEM hoặc chọn 6 tâm gần ζ nhất thì có thể cho kết quả không tốt

Vì vậy, trong các thử nghiệm sẽ dùng ngay bộ tâm Ξζ của phương pháp FEM chophương pháp RBF-FD và dùng thuật toán chọn tâm [2] cho phương pháp RBF-FD,một cách độc độc lập Hơn nữa, khi dùng thuật toán chọn tâm, chúng tôi sẽ khảo

Trang 14

sát xem chọn giá trị tham số k trong thuật toán là bao nhiêu là đủ Mục đích muốnchứng tỏ thêm rằng mỗi phương pháp đều có bộ tâm Ξζ tối ưu riêng và hơn nữamuốn sử dụng phương pháp RBF-FD thì cần phải dùng bộ tâm theo cách chọn củathuật toán chọn tâm trong [2] với giá trị k = 6.

Nội dung luận văn bao gồm 3 chương: Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ

sở liên quan đến luận văn; Chương 2, trình bày phương pháp không lưới RBF-FDvới phương trình Poisson và thuật toán chọn tâm; Chương 3, trình bày sự ảnh hưởngcủa bộ tâm đến độ chính xác của phương pháp xấp xỉ RBF-FD

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làmluận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mong nhận được sựgóp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảmơn!

Thái Nguyên, ngày tháng năm

Vũ Huy Hoàng Đô

Trang 15

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Một trong các bài toán cơ bản của giải tính số là nội suy hàm số [7] Bài toánnày thường gặp trong các trường hợp sau:

i Cần phục hồi hàm số f (x) đối với mọi điểm x thuộc khoảng [a, b] nếu chỉ biết

giá trị của nó tại một số điểm x0, x1, , xn ∈ [a, b] Những giá trị này thường là cácgiá trị quan sát, hoặc đo đạc được

ii Khi hàm f (x) cho bởi công thức quá phức tạp chẳng hạn

f(x) =

x2Z

iii Ngoài ra, nội suy hàm số còn được sử dụng để xây dựng các công thức tính

đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phương trình

Bài toán nội suy hàm một biến số được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b] chotập các điểm nút a ≤ x0 < x1 < < xn ≤ b và tại các điểm này cho các giá trị

Trang 16

f(xi), i = 0, , n của hàm f (x) Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính và trùng với hàm

f(x) tại các điểm nút trên tức là g(xi) = f (xi), i = 0, , n Một số dạng hàm g(x)thường được dùng để nội suy hàm số là:

- Đa thức đại số

- Hàm hữu tỉ tức là phân thức đại số

- Đa thức lượng giác

- Hàm Spline tức là hàm đa thức từng mẩu

Cho bộ dữ liệu (xi, yi), i = 1, 2, , n, xi∈ Rd, yi∈ R, trong đó xi là các vị trí đo,

yi là các kết quả tại vị trí đo Cho B1, B2, , Bn là các hàm cơ sở của không giantuyến tính các hàm d biến liên tục [13] Ký hiệu:

F = span {B1, B2, , Bn} =

(n

Trang 17

C= (c1, , cn)T, y = (y1, , yn)T.

Hệ phương trình (1.2.3) và (1.2.4) có nghiệm duy nhất nếu det(A) 6= 0, câu hỏi đặt

ra là chọn cơ sở {B1, B2, , Bn} như thế nào để điều kiện trên được thỏa mãn? Trongtrường hợp này d = 1 thì ta có thể chọn cơ sở sau:

{B1, B2, , Bn} =1, x, x2, , xn−1

Định lý 1.2.1 Cho Ω ⊂ Rs, s ≥ 2 thỏa mãn điều kiện Ω chứa một điểm trong Khi

đó không tồn tại Haar không gian các hàm liên tục nào trong Ω với số chiều ≥ 2 [13].

Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.1 Cho B ⊂ C(Ω) là không gian hữu hạn chiều các hàm tuyến tính

có cơ sở là {B1, B2, , BN} Khi đó B là một Haar không gian trong Ω nếu

2) Như đã nêu ở trên, đa thức đơn biến bậc N − 1 với các dữ liệu tại x1, x2, , xNtạo nên một Haar không gian N chiều

3) Định lý Mairhuber Curtis hàm ý rằng, không thể thực hiện duy nhất một phépnội suy bởi đa thức (đa biến) bậc N tại các điểm tùy ý của R2

4) Định lý Mairhuber Curtis chỉ ra rằng, nếu muốn có một phép nội suy với các dữliệu rời rạc bởi đa thức đa biến thì cơ sở phải phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu

Trang 18

Chứng minh định lý 1.2.1 phản chứng

Cho s ≥ 2, giả sử B là Haar không gian với cơ sở {B1, B2, , BN}; N ≥ 2 Khi

đó theo định nghĩa Haar không gian

với bất kỳ tập các điểm phân biệt x1, x2, , xN.

Xét đường P đóng trong Ω chỉ nối 2 điểm x1 và x2 (điều này luôn giả thiết được

vì điều kiện Ω chứa một điểm trong)

Ta có thể đổi vị trí của x1, x2 bằng cách di chuyển chúng một cách liên tục dọctheo P (mà không ảnh hưởng gì đến các xj còn lại) Điều này có nghĩa là dòng 1 và

2 của định thức 1.2.5 được đổi chỗ và do đó định thức đổi dấu

Từ điều kiện định thức trên là hàm liên tục của x1 và x2 ta suy ra det = 0 tại một

số điểm dọc P Điều này mâu thuẫn

1.3.1 Hàm cơ sở bán kính

Định nghĩa 1.3.1 Một hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm cơ sở bán kính (RBF) nếu

ở đó tồn tại một hàm Φ : [0, +∞) → R sao cho:

Φ(x) = Φ(||x||2),

trong đó ||x||2 là chuẩn Euclid [13].

Vì hàm Φ(x) vẫn là xác định dương khi r được nhân một số lớn hơn không, nênmột tham số hình dạng ε > 0 được đưa vào hàm Φ và ta có Bảng 1.2 tương ứng

Trang 19

Tên hàm Viết tắt Định nghĩa

1 + r2Inverse multiquadric IMQ Φimq(r) = 1/√1 + r2Gaussian Gauss Φg(r) = e−r2Bảng 1.1: Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong luận văn, trong đó r = ||x − xk||

1 + ε2r2Inverse multiquadric IMQ Φimq(r) = 1/√1 + ε2r2

Gaussian Gauss Φg(r) = e−(εr)2Bảng 1.2: Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng ε > 0

1.3.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính

Ta ký kiệu:

Φk(x) = Φ(x − xk) = Φ(||x − xk||)với k = 1, 2, , n, x ∈ Rd (1.3.1)Khi đó, nội suy hàm số dựa trên các hàm cơ sở bán kính có nghĩa là tìm hàm:

Chú ý 1.3.1.

- Hàm cơ sở phải gắn liền với đối tượng nghiên cứu Vì vậy, để giải phương trình đạo hàm riêng thì các hàm cơ sở bán kính phải là các hàm khả vi liên tục và thậm chí là khả vi liên tục vô hạn lần.

- Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần chọn hàm Φ phù hợp sao cho

det(A) 6= 0.

Trang 20

1.4 Hàm xác định dương và ma trận xác định dương

1.4.1 Ma trận xác định dương

Định nghĩa 1.4.1 Ma trận A = (Ajk) có giá trị thực và đối xứng được gọi là xác

định dương nếu dạng toàn phương tương ứng không âm, nghĩa là:

(Ac)Tc≥ 0 với c = (c1, c2, , cn)T ∈ Rn

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0)T [13].

Với cơ sở Bk, nếu Bài toán nội suy 1.3.1 tạo ra ma trận nội suy A xác định dươngthì hệ (1.2.3) có nghiệm duy nhất

Trang 21

1.4.2 Hàm xác định dương

Định nghĩa 1.4.2 Hàm Φ : Rd → R liên tục, được gọi là xác định dương trên Rd

nếu và chỉ nếu nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một X =

{x1, x2, , xn} ⊂ R d và mọi véc tơ C = (c1, c2, , cn) ∈ Rn thì dạng toàn phương:

và công thức (1.4.1) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ 0 [13].

Định nghĩa 1.4.3 Hàm một biến Φ : [0, ∞] → R được gọi là xác định dương trên

Rd nếu hàm nhiều biến tương ứng Φ(x) = Φ(||x||), x ∈ Rd, là xác định dương [13].

Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy có thể sửdụng các hàm xác định dương Bn= Φ(x − xk) là hàm cơ sở và khi đó ta có:

Định nghĩa 1.4.4 Một hàm được gọi là hàm bán kính xác định dương nếu nó vừa

là hàm bán kính vừa đồng thời xác định dương [13].

Giả sử Φ(x) là hàm xác định dương và được xác định theo công thức (1.3.1).Khi đó ma trận của bài toán nội suy theo hàm Φ(x) có dạng:

Trang 22

1.5 Bài toán Dirichlet với phương trình Poisson

1.5.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng

Với mỗi hàm số một biến số y = y(x), ta có khái niệm đạo hàm y0(x)) [10]

y0(x) = lim

∆x→0

y(x + ∆x) − y(x)

Khái niệm phương trình vi phân y0 = f (x, y) và khái niệm bài toán Cauchy:

Tìm hàm số y = y(x) xác định tại x ∈ [x0, X ] sao cho:

y0= f (x, y), x0 < x ≤ X , y(x0) = η,trong đó f (x, y)là hàm cho trước; x0, X , η là những số cho trước

Với hàm số nhiều biến số ta cũng gặp những khái niệm và những bài toán tương tự.Xét hàm số hai biến số u = u(x, y):

- Đạo hàm riêng cấp 1 đối với x:

Trang 23

Nếu các đạo hàm riêng ∂2u

là phương trình đạo hàm riêng của u Nó có cấp hai, nghĩa là chứa đạo hàm của

u cấp cao nhất là hai Nó là một phương trình tuyến tính, nghĩa là bậc nhất đối với

uvà các đạo hàm của u

1.5.2 Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson

Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất

Xét một thanh vật chất đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ không đổi làS(cm2), có khối lượng riêng la ρ g/cm3, có nhiệt dung là C (cal/g.oC) Xét một

bộ phận vật chất có thể tích V cm3 Nếu bộ phận đó có nhiệt độ không đổi thìnhiệt độ u(oC) và nhiệt lượng H(cal) của nó liên hệ với nhau theo công thức:

Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì nhiệt lượng

có khả năng khuyếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh Ta gọi suất khuếch tán nhiệt

Trang 24

Hình 1.5.1 Thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x = a đến x = a + L = b

Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn Sự lan truyềnnhiệt diễn ra dọc theo thanh vật chất tức là theo phương x Nó tuân theo định luậttruyền nhiệt thực nghiệm của Fourier:

Luồng nhiệt q(cal/(cm2.s)) theo phương x (tức là nhiệt lượng khuếch tán quamột đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị thời gian) tỉ lệ vớivận tốc biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức là tỉ lệ với ∂ u

∂ x:

q= −kρC∂ u

dấu trừ (-) ở vế phải ý nói rằng nhiệt truyền theo chiều giảm của nhiệt độ

Do có định luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân tốnhỏ S∆x của thanh từ x đến x + ∆x trong thời gian ∆t Sự cân bằng này diễn đạt bằngcông thức:

Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích lũy trong phân tố.

Nhiệt truyền vào phân tố là q(x,t)S∆t;

Nhiệt ra khỏi phân tố là q(x + ∆x,t)S∆t;

Nhiệt tích lũy trong phân tố là S∆xρC∆u, trong đó ∆u là biến thiên của nhiệt độtrong thời gian ∆t

Vậy có:

q(x,t)S∆t − q(x + ∆x,t)S∆t = S∆xρC∆u,chia cho S∆x∆t ta được:

q(x,t)S∆t − q(x + ∆x,t)S∆t

∆t,chuyển qua giới hạn (bằng cách cho ∆x → 0, ∆t → 0) ta có:

−∂ q

∂ x = ρC∂ u

∂ t,

Trang 25

áp dụng định luật Fourier (1.5.2) ta suy ra:

k∂

2u

∂ x2 = ∂ u

∂ t, a < x < b,t > 0, k = const > 0 (1.5.3)Phương trình (1.5.3) mô tả hiện tượng truyền nhiệt trong thanh vật chất đồngchất, gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh, còn gọi là phương trình truyềnnhiệt một chiều

Chú ý 1.5.2 Khi k 6= const thì phương trình (1.5.3) có dạng:

∂

∂ x(k(x,t, u)∂ u

∂ x) = ∂ u

∂ t , a < x < b,t > 0 (1.5.5)Tồng quát hơn, khi thanh vật chất còn có một nguồn nhiệt (sinh hay hấp thụnhiệt) đặc trưng bởi hàm f (x,t) thì ta có phương trình:

∂

∂ x(k(x,t, u)∂ u

∂ x) + f (x,t) = ∂ u

∂ t , a < x < b,t > 0 (1.5.6)Nếu và không phụ thuộc thì ta có phương trình truyền nhiệt tuyến tính:

∂ u

∂ t = ∂

∂ x(k(x,t, u)∂ u

∂ x) − q(x,t)u + f (x,t), a < x < b,t > 0 (1.5.7)Nếu trong môi trường truyền nhiệt còn có hiện tượng đối lưu thì có phươngtrình:

∂ x mô tả hiện tượng đối lưu

Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng

Trang 26

Hình 1.5.2 Bản mỏng vật chất Ω có đường biên là một đường cong khép kín Γ ,

đặt trong mặt phẳng Oxy

Bây giờ ta thay thanh vật chất bằng 1 "bản mỏng" vật chất Ω có đường biên

là một đường cong khép kín Γ, đặt trong mặt phẳng Oxy Hình 1.5.2 Khi đó ta cóphương trình truyền nhiệt trong môi trường phẳng đồng chất:

Trang 27

Phương trình truyền nhiệt dừng

Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt độ trên thanh vật chất, bản mỏng vật chất

đã ổn định không thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói hiện tượng truyền nhiệt đãdừng

Từ lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời gian nên ∂ u

∂ t = 0, và do đó ta có cácphương trình truyền nhiệt dừng như sau: Trong trường hợp một chiều ta có:

∂2u

∂ x2 = 0, a < x < b, (1.5.12)hay

∂

∂ x[k(x, u)∂ u

∂ x] = f (u, x), a < x < b, (1.5.13)hay

∂

∂ x[k(x, u)∂ u

∂ x] − q(x)u = f (x), a < x < b, (1.5.14)Trong trường hợp hai chiều ta có:

∂2u

∂ x2 +∂

2u

∂ y2 = 0, (x, y) ∈ Ω (1.5.15)hay

Khi vế phải của (1.5.15) khác 0 ta có phương trình :

∂2u

∂ x2 +∂

2u

∂ y2 = f (x, y), (x, y) ∈ Ω, (1.5.18)người ta gọi chúng là phương trình Poisson hai chiều và ba chiều [10]

Trang 28

1.5.3 Phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet trong

không gian 2 chiều

Cho f : Ω → R và g : ∂ Ω → R và là các hàm liên tục, trong đó Ω là miền cóhình dạng bất kỳ với đường biên khép kín ∂ Ω Tìm hàm u ∈ C2(Ω) sao cho:

ít thì liệu nghiệm có thay đổi ít không? Dưới đây ta chỉ ra một vài ví dụ, trong đóxảy ra hiện tượng "sai một ly đi một dặm", cụ thể là sai số nhỏ của dữ kiện dẫn đến

Trang 29

sai số lớn của nghiệm.

(1.6.6)

Trang 30

lại có nghiệm là x1= 5, x2= −8, khác xa với nghiệm của hệ gốc (1.6.6).

Trong những thí dụ trên ta nói rằng hệ phương trình có nghiệm không ổn định.

Ta sẽ đi tìm nguyên nhân của sự không ổn định này bằng cách đánh giá sai sốcủa nghiệm qua sai số của ma trận A và vế phải b Ở đây ta giả thiết rằng det(A) 6= 0,

là cơ sở trực chuẩn cấu thành từ các véc tơ riêng của A ứng với các giá trị riêng

0 < λ1 ≤ λ2≤ ≤ λn ta có ||A−1|| = 1/λ1 Đặt δ b = e1, ta có δ x = e1/λ1 Do vậy

||δ b|| = 1, ||δ x|| = 1/λ1 và ta được dấu bằng trong (1.6.7)

Từ đánh giá trên suy ra rằng nếu ||A−1|| lớn (điều này xảy ra khi A gần suy biến)thì sự thay đổi nhỏ của vế phải có thể dẫn đến sự thay đổi lớn của nghiệm của hệphương trình

Bây giờ ta đánh giá sai số tương đối của nghiệm qua sai số tương đối của vếphải

Từ phương trình Ax = b ta có đánh giá ||b|| ≤ ||A||||x|| Kết hợp với đánh giá(1.6.7) ta thu được

và gọi nó là số điều kiện của ma trận A Do E = AA−1 nên 1 = ||E|| ≤ ||A||||A−1||

Nếu cond(A) >> 1 ta nói rằng A là ma trận với điều kiện xấu.

Trang 31

Chú ý rằng số điều kiện của ma trận phụ thuộc vào các xác định chuẩn Nếu tadùng chuẩn ||.||2 thì dễ thấy rằng khi A là ma trận đối xứng cond(A) = |λmax |

và đánh giá này không thể làm tốt hơn

Các ma trận trong các Thí dụ 1 - 3 đều là các ma trận với điều kiện xấu Số điềukiện tương ứng của chúng tương ứng là 1004, 40002 và 501 là những số khá lớn

Đó chính là nguyên nhân gây ra sự không ổn định của nghiệm của hệ phương trình

Trang 32

Chương 2

Phương pháp không lưới

RBF-FD giải phương trình

Poisson

Luận văn sử dụng bài toán Dirichlet với phương trình Poisson trong miền Ω ⊂

Rd như bài toán mẫu Bài toán được phát biểu như sau: Cho f : Ω → R và g : ∂ Ω → R

và là các hàm liên tục, trong đó Ω là miền miền có hình dạng bất kỳ với đường biênkhép kín ∂ Ω Tìm hàm u ∈ C2(Ω) sao cho:

Trang 33

2.2 Rời rạc hoá phương trình Poisson

2.2.1 Rời rạc hoá phương trình Poisson

Ta rời rạc bài toán (2.1.1) − (2.1.2) như sau:

Cho Ξ ⊂ Ω là tập hữu hạn các tâm rời rạc Kí hiệu: ∂ Ξ := Ξ ∩ ∂ Ω là tập các tâmtrên biên và Ξint := Ξ\∂ Ξ là tập các tâm nằm trong miền Với mỗi ζ ∈ Ξint, ta chọncông thức vi phân đối với toán tử Laplace ∆, xác định bởi

2.2.2 Phương pháp sai phân hữu hạn

Nếu miền Ω ⊂ R2 là hình chữ nhật và bộ tâm là các nút nằm trên lưới đều theomỗi hướng thì phương pháp sai phân hữu hạn thu được từ giải hệ phương trình(2.2.2) − (2.2.3) [8] Trong trường hợp miền Ω là hình vuông và Ξ là tập các điểmnằm trên lưới đều với bước lưới h thì công thức (2.2.1) là sai phân khuôn 5 điểm đối

Trang 34

với toán tử Laplace, hay:

∆u(ζ ) ≈ 1

h2(u(ζ + (h, 0)) + u(ζ − (h, 0)) + u(ζ + (0, h)) + u(ζ − (0, h)) − 4u(ζ ))Khi đó, véc tơ trọng số:

w= (1/h2, 1/h2, 1/h2, 1/h2, −4/h2), trong đó wζ ,ξ = −4/h2

Nhận xét 2.2.1 Trong trường hợp miền Ω là hình chữ nhật hoặc hình vuông thì

phương pháp sai phân hữu hạn đơn giản vì các véc tơ trọng số giống nhau nên không cần chi phí tính các véc tơ trọng số và sai số của phương pháp sai phân hữu hạn là O(h2), được chứng minh trong [10].

Trong phần sau chúng tôi đưa ra phương pháp RBF-FD để tìm véc tơ trọng số

Phương pháp rời rạc hoá toán tử Laplace (2.1.1) đòi hỏi phải xác định các véc

tơ trọng số và các tâm ξ ∈ Ξ để cho ta một phương pháp có độ xấp xỉ cao và ổnđịnh Trong Mục này chúng tôi trình bày phương pháp không lưới RBF-FD để giảiquyết vấn đề này Đầu tiên chúng tôi trình bày các xấp xỉ một toán tử vi phân bằngcách áp toán tử lên công thức nội suy bằng RBF, sau đó chúng tôi đề cập đến vấn

đề chọn tâm để sao cho ta một phương pháp có độ xấp xỉ cao và hữu hiệu, sau cùngchúng tôi bàn luận về vấn đề chọn tham số hình dạng của hàm RBF

2.3.1 Véc tơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính

Trong phần này chúng tôi trình bày một số kết quả của [2]

Cho bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x1, x2, , xn} ⊂ Rd

, u : Rd → R là hàmliên tục và đủ trơn Giả sử φ : R+ → R là hàm xác định dương và đủ trơn Khi đóhàm nội suy RBF s(x) của hàm u(x) được xác định bởi công thức:

Trang 35

Sao cho

s(xi) = u(xi), i = 1, 2, , n. (2.3.2)Các hằng số aiđược chọn để điều kiện nội suy (2.3.2) thoả mãn Từ (2.3.1) − (2.3.2)

Hàm nội suy cơ sở bán kính s(x) là một xấp xỉ tốt của hàm u(x) nếu hàm u(x)

đủ trơn và các tâm x1, x2, , xn∈ Rd đủ dầy trong lân cận của x Hơn nữa, đạo hàmcủa hàm s(x) cũng xấp xỉ tốt với đạo hàm của hàm u(x) nếu hàm φ đủ trơn [2] Vìvậy nếu D là toán tử vi phân tuyến tính thì Ds(x) là xấp xỉ của Du(x) được xét dướidạng:

Du(x) ≈ Ds(x) =

n

∑j=1

Trang 36

Điều này có nghĩa là véc tơ trọng số w được cho bởi các hệ số của nội suy hàm

cơ sở bán kính với dữ liệu cho bởi hàm DΦ(x − )|X Vì Φ(xi− xj) = Φ((x − xi) −(x − xj)) nên nếu ta nội suy hàm DΦ tại các tâm x − xj, j = 1, 2, , n, thì ta thuđược các hệ số nội suy như trong công thức (2.3.6) và đó chính và véc tơ trọng số

Vì vậy chúng ta có phương pháp tính véc tơ trọng số như sau :

Mệnh đề 2.3.1 Cho bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x1, x2, , xn} ∈ R d, u :

R+ → R là hàm liên tục và đủ trơn, D là toán tử vi phân tuyến tính và hàm nội suy

cơ sở bán kính s(x) của hàm u(x) được biểu diễn dưới dạng (2.3.1) − (2.3.2) Khi

đó véc tơ trọng số w của vi phân số tại x được tìm bằng cách giải hệ phương trình

(2.3.8), hay véc tơ trọng số là các hệ số của nội suy hàm cơ sở bán kính với dữ liệu

được cho bởi hàm DΦ(x − )|X.

Định dạng
Số trang	72
Dung lượng	1,29 MB