Để chéo hóa ma trận A ta làm như sau: Tìm các giá trị riêng và các vector riêng độc lập tuyến tính của A, bằng cách tìm đa thức đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị ri
Trang 1CHƯƠNG 1: GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN _
I. Giá trị riêng và vector riêng của ma trận – Chéo hóa ma trận:
1 Tìm giá trị riêng và vector riêng của một ma trận:
Ví dụ:
Cho ma trận A = êéêë-ê 74 21ùúúúû
a) Xác định đa thức đặc trưng của A
b) Xác định các giá trị riêng l i của A
c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E l A( )i
d) Xác định một cơ sở S của ¡ 2 gồm các vectơ riêng của A
Giải
a) Đa thức đặc trưng P t của A( ) A là P A( )t = −t2 tr( )A t+detA t= − +2 8t 15
b) Các giá trị riêng λi của A là các nghiệm của phương trình đặc trưng f t A( ) 0= Phươngtrình đặc trưng f t A( ) 0= có các nghiệm 3, 5 Vậy λ =1 3 và λ =2 5 là các giá trị riêng của ma
Vậy dimE A(3) 1= và {(1, 2)}− là một cơ sở của E A(3).
* Với λ =2 5 Các véc tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ =2 5 là các nghiệmkhông tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Trang 2d) Đặt S ={(1, 2),(1, 1)}− − gồm các véc tơ riêng của A độc lập tuyến tính trong ¡ Do 2
a) Xác định đa thức đặc trưng của A
b) Xác định các giá trị riêng l i của A
c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E l A( )i
d) Xác định một cơ sở S của ¡ 3 gồm các vectơ riêng của A
a) Xác định đa thức đặc trưng f t A( ) của A
b) Xác định các giá trị riêng l i của A
c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E l A( )i
d) Xác định một cơ sở S của ¡ 4 gồm các vectơ riêng của A
Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự ví dụ
Đa thức đặc trưng P t của A( ) A là
t t P
2. Chứng minh các tính chất đối với giá trị riêng và vector riêng:
1) Cho λ là giá trị riêng của A∈M ( )n K , α∈K và k∈¥ Chứng minh rằng
a) αλ là giá trị riêng của ma trận Aα
b) λk là giá trị riêng của ma trận A k
Trang 3c) λ α+ là giá trị riêng của ma trận A+αI
d) ( )f λ là giá trị riêng của ma trận đa thức ( )f A
Vậy f( )λ là giá trị riêng của f (A).
Sinh viên cho ví dụ minh họa cho những kết quả trên
2) Cho λ là giá trị riêng của A∈M ( )n K Chứng minh rằng
a) Nếu A khả nghịch thì λ− 1 là giá trị riêng của ma trận A− 1
b) Nếu A khả nghịch thì λ λ+ − 1 là giá trị riêng của ma trận 1
Nếu A khả nghịch thì λ λ+ − 1 là giá trị riêng của ma trận 1
A A+ − Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên
3) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và λ λ1, , ,2 … λn là các giá trị riêng của nó.Chứng minh rằng detA=λ λ1 2L λn.
Trang 44) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và λ λ1, , ,2 … λn là các giá trị riêng của nó Chứng minh rằng
b) Do λ λ … λ1, , ,2 n là các giá trị riêng A nên 1k, , ,2k k
Sinh viên cho các ví dụ minh họa
5) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và λ λ1, , ,2 … λn là các giá trị riêng của nó Chứng minh rằng
A A+ − Do đó
det(A A+ − ) (= λ + λ− )(λ + λ− ) (L λ + λn n− )
Trang 5c) Do α không là giá trị riêng của A nên định thức của ma trận A− λI khác 0 Vậy
A− αI khả nghịch Theo giả thiết λ λ … λ1, , ,2 n là các giá trị riêng của A nên
Cho A là một ma trận vuông cấp n Để chéo hóa ma trận A ta làm như sau:
Tìm các giá trị riêng và các vector riêng độc lập tuyến tính của A, bằng cách tìm đa thức
đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng sau đó ứng với từng giá trị riêng tìm các vector riêng
Khi đó xảy ra một trong hai khả năng sau:
TH1: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n thì kết luận A không
chéo hóa được
TH2: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì kết luận A chéo hóa được Khi đó ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột của nó là các vector riêng độc lập tuyến tính của A viết theo cột và khi đó
1 2 1
0 0
0 0
0 0 n
P AP
λλ
là ma trận chéo trong đó các λi là các giá trị riêng của A ứng với
vector riêng là vector cột thứ i của ma trận P.
Trang 6Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số ]
2 3 2 3 2 3
( 1) {( , , ) | , }
E − = − −t t t t t t ∈¡
Cơ sở của E(-1) gồm hai vector α1 = −( 1,1,0);α2 = −( 1,0,1).
Ứng với giá trị riêng λ= 2, để tìm vector riêng ta giải hệ pt:
Cơ sở của E(2)gồm 1 vector α =3 (1,1,1).
Nhận xét: Các vector α α α1, 2, 3độc lập tuyến tính nên ma trận A chéo hóa được Khi đó,
tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P AP D− 1 = với D là ma trận chéo.
Hỏi ma trận A có chéo hóa được không? Tìm ma trận C
làm chéo hóa A (nếu có).
a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A
b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng
c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo
D sao cho A PDP= − 1
d) Tính A k với mọi số nguyên dương k
Trang 7Hướng dẫn:
Các câu a); b); c) làm tương tự như các ví dụ trong tài liệu
Câu d) áp dụng tính chất của bài 2.(Tức là khi A PDP= − 1thì A k =PD P k − 1)
a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A
b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng
c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo
Chứng minh rằng u u1, 2là các vector riêng
của A Hãy tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D để 1
A PDP= −
Hướng dẫn:
Để chứng minh u u1, 2là các vector riêng của A thì cần tìm các giá trị λ λ1; 2sao cho
1 1 ; 2 2
Au =λu Au =λu Khi đó, ma trận đường chéo D có dạng diag( , )λ λ1 2 .
6 Cho ma trận vuông cấp 4 A có các giá trị riêng là 5, 3, -2 Giả sử không gian vector
riêng ứng với giá trị riêng λ= 3 có chiều là 2 Hỏi ma trận A có chéo hóa được không?
Hướng dẫn:
Dựa vào điều kiện chéo hóa được của ma trận
7 Hãy xác định đa thức đặc trưng và một cơ sở không gian vector riêng của các ma trậnsau Trong số các ma trận sau đây ma trận nào chéo hóa được, khi đó hãy tìm ma trận khả
nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho A PDP= − 1
Trang 9b) Hãy tính luỹ thừa ma trận A n
a) Hãy tính đa thức ma trận ( )f A , trong đó f t( )= + − ∈t n t2 1 ¡ [ ]t
b) Hãy tìm một ma trận B trên trường số thực ¡ sao cho 2
* Do S S= ∪ ∪ =1 S2 S3 { , , }v v v1 2 3 nên ma trận A chéo hoá được và D P AP= −1 , trong đó
ma trận khả nghịch P với các cột là các véc tơ riêng v v v và ma trận đường chéo 1, ,2 3 D vớicác phần tử trên đường chéo chính 2,2,3 tương ứng với các véc tơ riêng v v v 1, ,2 3
Trang 10i i
= =
II Tìm giá trị riêng – vector riêng -Tìm cơ sở của không gian vector V để ma trận
của một phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở đó là ma trận chéo.
có hai giá trị riêng là λ=1;λ= −2 Khi tìm cơ sở của các không gian riêng E A(1) và E A( 1)− ta
được:
Cơ sở của E A(1) là 1
111
tìm cơ sở này ta thực hiện như sau:
- Đầu tiên ta tìm các vector riêng độc lập tuyến tính của f
- Nếu f có ít hơn n vector riêng độc lập tuyến tính (chú ý dim V = n) thì không có cơ sở nào của f để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo
- Nếu f có đúng n vector riêng độc lập tuyến tính thì n vector riêng đó làm thành cơ sở
B của V mà ma trận A của f trong cơ sở B đó là ma trận chéo Cụ thể:
Trang 112 /
a) Hãy tìm công thức của f, tức là tìm f x x x( , , )1 2 3
b) Tìm một cơ sở của ¡ 3để ma trận của f trong cơ sở này là ma trận chéo.
Do đó, f có hai giá trị riêng là λ=1,λ=3.
Ứng với giá trị riêng λ= 1, xét hệ pt:
Trang 12Khi đó, f có hai vector riêng độc lập tuyến tính là α1=(1, 0,0);α2 =(0,0,1).
Ứng với giá trị riêng λ =3, xét hệ pt:
Vector riêng ứng với giá trị riêng λ= 3là α =3 (3, 2,1)
Do f có 3 vector riêng độc lập tuyến tính nên f chéo hóa được và cơ sở B=( ,α α α1 2, 3)là cơ
sở mà ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo là:
Kiểm tra xem A có chéo hóa được không? Kết luận.
2 Trong ¡ 3cho cơ sở gồm các vector u1 =(1,1,1);u2 = −( 1, 2,1);u3 =(1,3, 2) Gọi
:
f ¡ →¡ là ánh xạ tuyến tính xác định bởi f u( ) (0,5,3); ( ) (2, 4,3); ( ) (0,3, 2)1 = f u2 = f u3 =
a) Hãy tìm công thức của f.
b) Hãy tìm một cơ sở trong đó ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo
Trang 13Hãy tìm dạng chính tắc của các λ −ma trận sau:
Trang 141) Cho A và B là các ma trận đồng dạng trên K Chứng minh rằng
a) detA=detB.
b) rankA=rankB.
c) tr( ) tr( )A = B .
Hướng dẫn:
Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A PBP= −1
a) detA=det(PBP−1) det ·det ·= P B P−1 =det ·detP P−1detB=detB
b) rankA=rank(PBP− 1)=rank( (P BP− 1))=rank(BP− 1)=rankB
c) tr( ) tr(A = PBP− 1) tr((= PB P) − 1) tr(= P− 1(PB)) tr(= P PB− 1 ) tr( )= B
Sinh viên tìm ví dụ minh họa
2) Cho A và B là các ma trận đồng dạng trên K Chứng minh rằng
c) Do A và B đồng dạng nên detA=detB Khi đó det A khác 0 khi và chỉ khi det B
khác 0 Do đó A khả nghịch khi và chỉ khi B khả nghich
d) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A PBP= −1 Nếu A
khả nghịch thì AB=(AB AA)( −1)= A BA A( ) −1 Do đó AB và BA đồng dạng
Trang 15Sinh viên cho ví dụ minh họa
3) Chứng minh rằng nếu một trong hai ma trận vuông cùng cấp A và B là không suy biến thì AB và BA đồng dạng
4) Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường số thực mà chỉ đồng dạng với chính
a) Mọi ma trận vuông phức A đều đồng dạng với một ma trận Jordan J (sự đồng dạng này
là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các ô Jordan
b) Mọi toán tử tuyến tính f trên không gian phức n chiều V đều có cơ sở Jordan, tức là cơ
sở của V mà trong đó ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận Jordan
7) Chứng minh rằng:
a) Nếu V là không gian vector trên trường số phức £thì mọi phép biến đổi tuyến tính của
V đều có ít nhất một không gian con bất biến 1 chiều
b) Nếu V là không gian vector trên trường số thực ¡ thì mọi phép biến đổi tuyến tính của
V đều có ít nhất một không gian con bất biến hoặc 1 chiều hoặc 2 chiều
Trang 169.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:
a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau
b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau.
c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hay các cột) còn lại của định thức.
9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một
dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng (hoặc cột) khác đều bằng 0.
9.3 Giả sử A = ( aij)n×n, A1, A2, , An là các cột của A Chứng minh rằng: detA≠0
⇔ hệ véc tơ { A1, A2, , An} là hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không là
thay đổi hạng của ma trận đó.
9.5 Cho A=( )aijm×n, B là ma trận vuông không suy biến cấp m Chứng minh rằng
vµ
E
A + − là những ma trận không suy biến.
9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:
a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó.
b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại.
9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu det A = det( kA ) Hãy tính k.
9.12 Chứng minh rằng: Nếu detA =2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể gồm toàn các số nguyên.
Trang 17; 4
1 0 2
5
4 B
; 3
2 1
3 2
1 A Hãy tính a/3A−2B; b/ 5A−4B−2C
; 1
9.19 Tính: a/ A4 với A = 0 0 0 1 ; b/ B3 với B = cos sin a a − cos sin a a
9.20 Chứng minh rằng: ma trận X = c a d b thoả mãn phương trình:
Ο
=
− + +
31 2 / 3 1
det x
3
1 1 2
x 3 1 2
Trang 189.28 0
0 0
3
x 8 4 x 0
2 x 12
.
.
a a a a
a a a a
x x x x
det
n 3
1 n
2 1 n 1
n
n 2
3 2
2 2 2
n 1
3 1
2 1 1
n 3
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 D
+ η +
η +
η
η γ γ + γ + γ +
+ δ +
δ +
363 2 2 2
654 373
461
D = ; b/
0 x x x 1
x 0 x x 1
.
x x 0 x 1
x x x 0 1
1 1 1 1 0
Dn =
9.34 a/
5 4 1
2 4 4 8 3
1 2 9
1 3 7 6 2
D = ; b/
x 0 0 0 a
1 x 0 0 a
.
0 0 x 0 a
0 0 1 x a
0 0 0 1 a
D
n
1 n
2 1 0
1 n
Trang 19.
n 4 4 4 4
n 4 3 3 3
n 4 3 2 2
n 4 3 2 1
.
2 4 2 2 2
2 2 3 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 1
1 1 2 1
3 1
5 A
1 1 4 2 1
2 1 5
1 2 4 1
2 1 3
Trang 20; 2 3
1 2 1
1 1 3
2 A
1 1 1
3 6 3
2 C
; 9 3
3 9 4 15 B
; 1 0
.
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
.
2 n 1 0 0
1 n 2 1 0
n 3 2 1 B
9.42 Với giá trị nào của λ thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo:
9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng rank(A B) rankA rankB + ≤ + .
9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ
a/ { A1 = − ( 1,0, 3,1); A − 2 = − (1, 2,1,3); A3 = (2,1,1, 1); A − 4 = (4, 3,3,5) − }
b/ { B1 = − ( 1,0, 3,2); B − 2 = − (1, 2,1,0); B3 = (2,0,1, 1); B − 4 = (2, 3,3,1) − }
Trang 21Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ { A1, A2, A3}
9.49 Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ sau, biểu diễn các véc tơ còn lại theo cơ sở đó:
a/ { A1 = (1,2, 1,3); A − 2 = (0,3, 3,7); A − 3 = (7,5,2,0); A4 = (2,1,1, 1) − }
b/ { A1 = (2,1,1,3,5); A2 = (1,2,1,1,3); A3 = (7,1,6,0,4); A4 = (3,4,4,1,2);
}5
A = (3,1,3,2,1)
9.50 Cho { A ,A ,1 2 K ,Am} là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính Nếu mỗi véc
tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1 + thì hệ m véc tơ n 1 + chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
9.51 Cho { A ,A ,1 2 K ,Am} là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính Nếu mỗi véc tơ của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1+ chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
Trang 22a a a
a a a
a a a
(*1)dòng i
9.3 Điều kiện cần: Cho A=( )aij n×n có detA≠0, ta cần chứng minh hệ véc tơ dòng
(hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính Giả sử ngược lại hệ véc tơ dòng (hoặc cột)
– Điều kiện đủ: Giả sử hệ n véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính, theođịnh nghĩa của hạng của hệ véc tơ thì rank(A1,A2, ,An)=n, theo định lý 9.5.1 thì
n
rankA= , theo định nghĩa hạng của ma trận thì detA≠0. □
9.5 Do B là ma trận không suy biến nên tồn tại B− 1 Xét ma trận ghép (AB− 1) , nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được B.(AB− 1) (= B.AB.B− 1)=(B.AE) Đó chính là phép khử toàn phần thực hiện trên ma trận B− 1⇒ nó là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên ma trận A để được B.A ⇒ rank( )B.A =rankA.
Để chứng minh rank( )A.B =rankA, ta lấy chuyển vị B′, (B−1)′ vµ A′=( )aji n×m Xét ma trận ghép (A′ (B− 1)′) , nhân vào bên trái của ma trận này với B′, ta được
(A (B )) (BA B.(B )) ((AB) E)
B′ ′ − 1′ = ′ ′ ′ − 1 ′ = ′ (vì B′.(B− 1)′=(B− 1.B)′=E) Như vậy từ ma trận A, nhờ các phép chuyển vị và các phép biến đổi sơ cấp, ta đã thu được ma trận A.B ⇒
( )A.B rankA
rank = □
9.7 Ta có det A E A E [ ( + ) ( − ) ] = [ det A E ( + ) ] × [ det A E ( − ) ] (*1)
Vì AE EA = nên det A E A E [ ( + ) ( − ) ] = det A ( 2− E2) , do A2 = Ο nên
( 2 2) ( 2) n
det A − E = det − E = − ( 1) ≠ 0 ⇒ det A E ( + ) ≠ 0 và det A E ( − ) ≠ 0 ⇒ các ma trận A E+ và A E− là những ma trận không suy biến.
9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi
dấu tất cả n dòng của định thức Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng
Trang 23của định thức làm cho định thức đổi dấu Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n làm cho định thức được nhân với ( 1) − n.
b/ Đối với định thức cấp chẵn (n 2k= ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k cho nhau; dòng 2 và dòng 2k 1− cho nhau; … dòng k và dòng k 1+ Ta cũng đã biết: khi đổi chỗ 2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với ( 1) − k Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4 thì định thức không đổi dấu.
Đối với định thức cấp lẻ (n 2k 1= + ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k 1 + cho nhau; dòng 2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k 2+ Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k 1 + theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với ( 1) − k Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu.
Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các định thức cấp 4k và 4k 1+ không thay đổi, các định thức cấp 4k 1 vµ 4k 2 − − sẽ đổi
dấu (k nguyên dương).
9.9 Vì det(kA) k det A = n nên k det A det An = Nếu det A 0= thì det(kA) det A =
đúng với mọi k Còn nếu det A 0≠ thì kn = 1 ⇒ k 1= nếu n lẻ; k = ±1 nếu n chẵn.
Trang 249.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho
EBA
AB− = , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B
Từ sự tồn tại của các ma trận AB và BA kéo theo A và B là các ma trận vuông cùng cấp Giả sử A = ( ) aij n n× ; B = ( ) bij n n× ; AB = ( ) cij n n× ; BA = ( ) dij n n× Gọi VAB BA− là tổng các
phần tử trên đường chéo chính của ma trận AB BA − ⇒ AB BA n ii ii
(với điều kiện a1, a2, …, an–1 là
các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n nghiệm.
Dễ dàng thấy x1 = 0, x2 = a , x1 3 = a ,2 K , xn = an 1− là n nghiệm khác nhau của phương trình, vì vậy nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi □
Trang 25cùng có hai cột giống nhau nên nó bằng 0 Định thức đầu tiên là định thức của ma
trận tam giác nên ab 0 1 1 0 x x ab(c x) abc abx
+ Lại tách hai định thức giữa
theo cột cuối, mỗi định thức thành hai định thức, ta được:
nên nó có không quá n 1 − nghiệm khác nhau Nhưng dễ thấy phương trình có n 1 −
nghiệm khác nhau là x1 = 0; x2 = 1; ; xn 1− = − n 2 ⇒ phương trình chỉ có các nghiệm đó mà thôi (Đáp số trong sách bài tập thiếu nghiệm – không điểm) □
9.33 a/
556 275
363 2 2 2
654 373
Trang 26= Lấy dòng 1 nhân với –x để cộng vào các
dòng từ thứ hai trở đi, ta được:
n n 1 n 1 n 2
n 1
D + = − ( 1) x − − − x.( 1) (n 1).x− − − = ( 1) x (1 n 1) − n n 1− + − = ( 1) n.x − n n 1− , tức là (*3) cũng đúng với n 1+ □
9.34 a/ Định thức có cột một và cột 4 tỷ lệ với nhau thì định thức bằng 0.
Trang 279.34 b/
x 0 0 0 a
1 x 0 0 a
.
0 0 x 0 a
0 0 1 x a
0 0 0 1 a
D
n
1 n
2 1 0
1 n
0 1
= + + + L + = ∑ ∀ nguyên dương (*2) Hiển nhiên (*2)
đã đúng với n 2 = Giả sử (*2) đã đúng với n nguyên dương tuỳ ý, theo (*1) thì
.
n 4 4 4 4
n 4 3 3 3
n 4 3 2 2
n 4 3 2 1
Trang 282 2 2 . . . n 1 2
2. . . . . . . . . . . . ..2 2 3 . . . 2 2
22 22)2(1 2 2 . . . 2 2
Dn
−
= lấy dòng 2 nhân với −21 rồi cộng vào
dòng 1; lấy dòng 2 nhân với –1 rồi cộng vào các dòng từ dòng 3 trở xuống, ta được
2n0 00
0 0 0 . . . n 3 0
0. . . . . . . . . . . . . .
.0 0 1 . . . 0 0
22 22
Trang 290 0 0 . . . n 3 0
0. . . . . . . . . . . . . .
.0 0 2 . . . 0 0
00 01
Trang 30Từ đây suy ra bài 9.41.c: BX C= với
9.45 Nhận xét: “Ta dễ thấy một ma trận (khác ma trận không) mà tất cả các cột của
nó tỷ lệ với nhau (tức là chỉ khác nhau bởi một hằng số nhân) đều có hạng là 1”
Giả sử A (A ,A , = 1 2 K ,A )n là ma trận mà A là cột thứ j của ma trận A ( j 1,nj = ).
Do rankA rank A ,A , = { 1 2 K ,An} = r ⇒ tồn tại hệ r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại
Trang 31của hệ véc tơ { A ,A ,1 2 K ,An} (r n ≤ ) Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết hệ
đó là r véc tơ đầu tiên: { A ,A ,1 2 K ,Ar} ⇒
= ∑ ∀ = Cũng vậy, rankB s= ⇒ rank B ,B , { 1 2 K ,Bn} = s ⇒ có hệ s véc
tơ độc lập tuyến tính cực đại của { B ,B ,1 2 K ,Bn} là { B ,B ,1 2 K ,Bs} (s n) ≤ ⇒
≤ + = + ⇒ rank(A B) rankA rankB + ≤ +
9.47 Ta biết rằng: “Nếu hạng của một hệ véc tơ bằng số véc tơ của hệ thì hệ véc tơ đó là
hệ véc tơ độc lập tuyến tính; còn nếu hạng của một hệ véc tơ ít hơn số véc tơ của hệ thì hệ véc tơ đó là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính” Vì vậy ta chỉ cần tính rank A ,A ,A ,A { 1 2 3 4}
Trang 32b/ Gọi A là ma trận tạo bởi hệ véc tơ { A ,A ,A ,A , do hạng của một ma trận1 2 3 4}
bằng hạng của hệ véc tơ dòng hay hệ véc tơ cột của ma trận đó nên ta tính hạng của ma trận:
hơn số véc tơ của hệ ⇒ hệ véc tơ { A ,A ,A ,A là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính.1 2 3 4}
Cách giải như trong sách bài tập không được coi là cách giải mẫu mực, vì có phải ai cũng thấy được dòng A3 bằng tổng các dòng A1 và A4 đâu Chẳng hạn, chỉ cần sửa41
a = 1 là ta được hệ 4 véc tơ mới, làm sao thấy được cái gì ở hệ véc tơ này:
= − = − ≠ (định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần
tử trên đường chéo chính) ⇒ rank A ,A ,A ,A { 1 2 3 4} = rankC rankF 4 = = , hạng của hệ
véc tơ { A ,A ,A ,A bằng số véc tơ của hệ 1 2 3 4} ⇒ hệ véc tơ { A ,A ,A ,A là hệ véc tơ1 2 3 4}
độc lập tuyến tính.
9.48 a/ Véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ { A1, A2, A3} ⇔ tồn tại các số thực thì rank A ,A ,A { 1 2 3} = rank A ,A ,A ,X { 1 2 3 } Nhưng rank A ,A ,A ,X { 1 2 3 } =
Trang 33tơ { A1, A2, A3} là hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ { A ,A ,A ,X1 2 3 }
với mọi λ ⇒ véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ { A1, A2, A3} với mọi λ
9.49 a/ Xét ma trận A mà các cột của nó là A ,A ,A ,A và biến đổi:1 2 3 4
Trang 34⇒ rank X ,X ,X ,X { 1 2 3 4} = rankX 3 = và hệ véc tơ { X ,X ,X là một1 2 3}
cơ sở của hệ véc tơ { X ,X ,X ,X , đồng thời 1 2 3 4} X4 = − − X1 X2 + X3.
9.50 Xét ma trận cấp m n × tạo bởi hệ véc tơ { A ,A ,1 2 K ,Am} , do hệ này là hệ độc lập tuyến tính nên nó có hạng là m ⇒ ma trận tương ứng có hạng là m nên nó có ít nhất một định thức cấp m khác 0 Khi mỗi véc tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1 + thì ma trận tương ứng tăng thêm cột thứ n 1 + , nó vẫn có ít nhất định thức cấp m khác 0, định thức này vẫn chính là định thức trên Vì vậy ma trận mới vẫn
có hạng là m ⇒ hệ m véc tơ mới vẫn có hạng là m ⇒ hệ véc tơ mới vẫn độc lập tuyến tính.
9.51 Cách 1: Cho { A ,A ,1 2 K ,Am} là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính Nếu mỗi véc tơ của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1 − chiều mới là phụ thuộc tuyến tính Vì nếu hệ mới là độc lập tuyến tính thì theo bài 9.50, hệ cũ là độc lập tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ mới là phụ thuộc tuyến tính
Cách 2: Hệ { A ,A ,1 2 K ,Am} phụ thuộc tuyến tính ⇒ rank A ,A , { 1 2 K ,Am} < m ⇒
ma trận tương ứng có hạng nhỏ hơn m ⇒ cấp của định thức con cấp cao nhất trong
số các định thức con khác không vẫn nhỏ hơn m Khi mỗi véc tơ của hệ đều bị bớt đi thành phần thứ n thì ma trận tương ứng mất đi cột thứ n ⇒ cấp của định thức con cấp cao nhất trong số các định thức con khác không không thể tăng lên được Vì vậy
ma trận mới vẫn có hạng nhỏ hơn m ⇒ hệ m véc tơ mới vẫn có hạng thấp hơn m ⇒ hệ véc tơ mới vẫn phụ thuộc tuyến tính.
Chương 4: KHÔNG GIAN VECTƠ
Bài 1: Khái niệm Không gian vectơ
1 Định nghĩa: Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K, hay một K-không
gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một
phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau:
1 Tính giao hoán của phép cộng: ∀( , )x y ∈V x y2, + = +y x;
2 Tính kết hợp của phép cộng: ∀( , , )x y z ∈V3, (x y+ + = + +) z x (y z);
3 Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0 thỏa mãn: ∀ ∈x V x, + =0 x;
Trang 354 ∀ ∈x V,tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là −xthỏa mãn: x+ − =( x) 0;
- Các phần tử 0 trong điều kiện (3) và phần tử −xtrong điều kiện (4) là duy nhất.
- Các phần tử của V được gọi là vectơ được ký hiệu bởi các chữ La tinh nhỏ x y z, , , Các
phần tử của trường K được gọi là các vô hướng và ký hiệu là các chữ Hy Lạp nhỏ α β γ, , ,
- Nếu K=¡ thì ta gọi V là không gian vectơ thực, còn nếu K =£ thì ta gọi V là không gian
vectơ phức
- Ta định nghĩa phép trừ vectơ bằng công thức sau: x y x− = + −( y)
- Luật phân phối đối với hiệu: (α β− )x=αx−βx;
α(x y− )=αx−αy
3 Ví dụ:
- Trường K là một không gian vectơ trên chính nó, tức là mỗi phần tử của K vừa đóng vai
trò là một vectơ, vừa đóng vai trò là một vô hướng
- Tập hợp M(m, n, K) với các phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số tạo thành một không gian vectơ trên K
- Tập hợp K[x] các đa thức một biến với hệ số trên trường K cùng với phép toán cộng đa
thức và nhân đa thức với một số K tạo thành một không gian vectơ trên trường K
- Gọi tập hợp ¡ n[ ]x là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng
n, trong đó n là số nguyên dương
Ký hiệu K x n[ ] {= f ∈K t[ ] | deg f ≤n}, với deg f là bậc của f
Trang 36(Sinh viên tự chứng minh các tính chất trên như là bài tập.)
Bài 2: Không gian vectơ con
1 Định nghĩa:
Cho V là một K-không gian vectơ và W là một tập con khác rỗng của V Khi đó W được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một K-không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W.
2 Định lý:
điều kiện sau đây được thỏa:
i) ∀x y W x y W, ∈ 2, + ∈ ;
ii) ∀ ∈ ∀ ∈α K, x W,αx W∈
Trang 37Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau:
3 Ví dụ:
1 Cho V là một không gian vectơ trên K thì V cũng là không gian vectơ con của V.
2 Tập { }∅ cũng là một không gian vectơ con của V, được gọi là không gian không (hoặc
không gian con tầm thường)
3 Với V =¡ 2và W ={x=( ,0) |x1 x1∈¡} thì W là không gian vectơ con của V, thật vậy:
u au= +bu +cu ∀ =x ( ,0),x1 y=( , 0)y1 ∈W,∀ ∈α ¡ ta có:αx y+ =(αx1+y1, 0)∈W
4 Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không gian con của V
5 Ví dụ: Trong ¡ 3ta xét hai tập hợp sau:
1 {( , ,0) | , }
W = x y x y∈¡ và W2 ={( ,0, ) | ,x z x z∈¡}
Khi đó ta có thể kiểm tra được W W1, 2là các không gian con của ¡ 3
Đồng thời W1∩W2 ={( , 0,0) |x x∈¡}là không gian con của ¡ 3
Tuy nhiên W1∪W2 ={( , , ) |x y z y =0hay z = 0}, không phải là không gian con của ¡ 3
Bài 3: Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
1 Tổ hợp tuyến tính:
1.1 Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v v1, , ,2 v nlà các phần tử
của V Ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v v1, , ,2 v n nếu tồn tại các vô hướng α α1, 2, ,α ∈n K sao cho v=α1 1v +α2 2v + + αn n v
u u u , hoặc ta có thể nói u biểu thị tuyến tính được qua các vectơ u u u1, ,2 3
ii) Cho V =K3, v=(4,0,3); v1=(1,0,1); v2 =(2,1,0); v3 =(0,1,1). Khi đó, vectơ v là tổ hợptuyến tính của các vectơv v v1, ,2 3vì v=2v1+ −v2 v3
Trang 38Mặt khác, vectơ u=(4, 2, 2)không là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1=(1, 2,0);
ii) Vectơ 0 luôn là tổ hợp tuyến tính của một họ vectơ bất kỳ
2 Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính:
2.1 Định nghĩa: Họ các vectơ v v1, , ,2 v n của không gian vectơ V trên trường K được gọi
là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng α α1, 2, ,α ∈n K không phải tất cả đều bằng 0
sao cho: α1 1v +α2 2v + + αn n v =0 Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập
và rankA = 3, nên hệ phương trình
trên có nghiệm duy nhất (0, 0, 0) Do đó, hệ các vectơ trên độc lập tuyến tính
Trang 39Do rank rank T
A= A nên nếu lập ma trận A có các dòng là các vector v v1, , ,2 v m và thực hiện
các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang¸khi đó hệ vector là độc lập tuyến nếu rankA = m (bằng số vectơ của hệ), ngược lại nếu rankA <m thì hệ phụ thuộc tuyến tính.
ii) Vectơ u V∈ gọi là biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ v v1, , ,2 v m, nếu tồn tại các số
u + − =u u khi đó hệ ba vector trên là phụ thuộc tuyến tính
Sinh viên có thể nhận xét do vector u3là tổ hợp tuyến tính của hai vector u u1; 2nên hệ 3 vector này phụ thuộc tuyến tính
Bài tập: Sinh viên hãy vận dụng nhận xét trên và kiểm tra xem các họ vectơ được nêu sau
đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
3.1 Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ các vectơ u u1, , ,2 u n∈V phụ thuộc tuyến tính là
một trong các vectơ đó là tổ hợp của các vectơ còn lại
Sinh viên tự chứng minh định lý như bài tập nhỏ
3.2 Hệ quả: Trong các vectơ u u1, , ,2 u n∈V nếu có vectơ 0 thì hệ các vectơ này phụ
thuộc tuyến tính
Nếu một phần của họ các vectơ u u1, , ,2 u n∈V phụ thuộc tuyến tính thì tất cả các vectơ
của hệ đó đều phụ thuộc tuyến tính
∀ ∈v V thì {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v≠0.
Hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hai vectơ đó tỷ lệ
Sau đây, ta sẽ mở rộng định nghĩa độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cho một họ
bất kỳ những vectơ của không gian vectơ V
3.3 Định nghĩa: Một họ khác rỗng những vectơ của không gian vectơ V gọi là phụ thuộc
tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng phụ thuộc tuyến tính của V
Ngược lại, một họ khác rỗng bất kỳ những vectơ của V gọi là độc lập tuyến tính, nếu mọi
họ con hữu hạn khác rỗng của nó đều độc lập tuyến tính
Trang 40Bài 4: Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ
1 Hệ sinh:
1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V Ta gọi tập hợp các tổ hợp
tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S) S được gọi là hệ
sinh của V nếu E(S) = V Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng
là hệ sinh
Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không
gian hữu hạn chiều
Do đó, nếu cho S={ , , , }u u1 2 u n ⊂V,S là hệ sinh của V khi và chỉ khi:
e = e = e = là một cơ sở của không gian vectơ ¡ n
3 Tập các đơn thức { |t n n ≥0} là một hệ sinh của không gian các đa thức K[t]