hinh hoc 12 dang 4

Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A.. Đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a 3... Gọi M là trung điểm BB’.. N là trung điểm BM.

Dạng 4: Thể tích hình lăng trụ : V =đường cao  diện tích đáy

 Stp = Sxq + 2.S đáy

Đặc biệt : + Lăng trụ đứng :  chiều cao h = cạnh bên AA’ =BB’

 Sxq = chu vi đáy  cạnh bên

Ví du ï22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A/ B/ C/ Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A Cạnh AB=AC = a ; Cạnh bên AA/=BB/= CC/ = 2a

a)Tính diện tích toàn phần của khối lăng trụ

b) Tính thể tích khối lăng trụ

Giải : +BC= AC2 AB2 =a 2

+ Chu vi đáy : AB+AC+BC = 2a+a 2

+ Diện tích xung quanh :

Sxq= Chu vi đáy x cạnh bên => Sxq = (2a+a 2)2a

+ Diện tích đáy : Sđáy = 1

2a 2

+ Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2 Sđáy

= (2a+a 2)2a + a2 b) Thể tích khối lăng trụ : V= h Sđáy = 2a.1

2a

2

=a3

Ví dụ 23: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a 3 Tính Sxq; Stp; Vlt ?

Giải : Chu vi đáy = 3a

+ Diện tích xung quanh : Sxq = 3a.a 3=3a2

3 + Diện tích đáy : Sđáy = 1

2a

2.sin600 =

2

4 + Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2 Sđáy

= 3a2

3+2

2

4 =

2 7a 3 2 + Thể tích khối lăng trụ : V= h Sđáy = a 3

2

4 =

3 3a 4

Ví dụ24: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Đáy ABC là tam giác đều cạnh

a, A’A=A’B=A’C =a 5 Tính Sxq; Stp; Vlt ?

Giải : Vì A’A=A’B=A’C và tam giác ABC đều => A’.ABC là hình chóp đều + Gọi H là hình chiếu của A’ lên mp(ABC)

Hay A’H  (ABC) , thì H là trực tâm tam giác ABC

+ đáy là tam giác đều Sđáy =

2

4

C A

B

C’

A’

B’

2a

a a

C

C’

a 3

a a

+ Ta có AH =a 3

3

=>A’H= AA  2 AH2 = 

2

5a

a 14 3 Thể tích lăng trụ : Vhình trụ= h Sđáy

=a 14

2

4 =

3

a 14 4 + Sxq =SABB’A’ +SACC’A’+ SBCC’B’

Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, AC

Ta có :  A’AB cân tai A’ => A’M  AB

Do đó : A’M= AA 2 AM =2

2

5a 4

2 => SABB’A’ = A’M.AB = a 19

2

2 Tương tự : => SACB’A’ = A’N.AC = a 19

2 a=

2

a 19 2 Mặt khác : BC  AH ; BC  A’H => BC  (A’AH) => BC  AA’

Mà AA’ // BB’ Suy ra BC  BB’ => BCC’B’ là hình chữ nhật

 SBCC’B’ = BC.BB’ = a.a 5=a2 5

Sxq =

2

a 19

2 +

2

a 19

2 +a2 5 + Diện tích toàn phần Stp = SABB’A’ +SACC’A’+ SBCC’B’ +2.Sđáy

Vậy Stp =

2

a 19

2 +

2

a 19

2 +a2 5+

2

2

Ví dụ25: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC =600, cạnh bên AA’ =2a Tính Vlt và VA.B’C’D’ ?

Giải:

Vì ABC =600

Và ABCD là hình thoi

Suy ra ABC là tam giác đều ;

cạnh AC=a ; BD = 2 đường cao tam giác ABC

=> BD =a 3

+ Diện tích đáy Sđáy = 1

2BD.AC =

2

2

A’

C

A

B

a 5

a

N

C

B

A

C’ B’

A’

2a

a

D’

D

A

C

600

A’

B’

M

+ Đường cao bằng cạnh bên bằng 2a

+ Thể tích lăng trụ : V= h Sđáy =2a

2

2 =a3 3

Ta có hình chóp A.B’C’D’ có đường cao là AA’ , đáy là  B’C’D’

SB’C’D’ = 1

2SABCD =

2

4 Thể tích hình chóp : VA.B’C’D’ = 1

3AA’.SB’C’D’ =1

32a

2

3

6

Ví dụ 26: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ Gọi M là trung điểm BB’ N là trung điểm BM Tính tỉ số VLt : VN.ABCD ?

Giải : Gọi h là chiều của lăng trụ

Và S đáy =SABCD

Thể tích lăng trụ Vlt = h.Sđáy

+ Hình chóp N.ABCD có đường cao là NB = h

4 Và đáy là ABCD

Thể tích hình chóp : VN.ABCD =1

3.h

4 Sđáy

Tỉ số :

N.ABCD

V

V

lăngtrụ

= h.S

1 h S

3 4

đáy

đáy

= 12

Ví dụ27: Cho lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a 3 , đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC = 1200

Tính thể tích của lăng trụ , diện tích xung quanh và diện tích toàn phần ?

Giải:

Vì ABC =1200 => BAD=600

Và ABCD là hình thoi

Suy ra ABD là tam giác đều ; cạnh BD =a

AC = 2 đường cao tam giác ABD

=> AC =a 3

+ Diện tích đáy Sđáy = 1

2BD.AC =

2

2 + Đường cao bằng cạnh bên bằng a 3

+ Thể tích lăng trụ : V= h Sđáy =a 3

2

2 =

2

3a 2 + Chu vi đáy : 4a

C

B

A

C’ B’

A’

* M D’

D

* N

C

B

A

C’ B’

A’

a 3

a

D’

D

B

D

1200

+ Diện tích xung quanh : Sxq = 4a.a 3 =4a 3

+ Diện tích toàn phần : Stp = Sxq +2.sđáy = 4a2 3+a2 3=5a2 3

Ví dụ 28: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a 3 , đáy là hình vuông cạnh a và A’A=A’B=A’C=A’D Tính thể tích của lăng trụ , diện tích

xung quanh và diện tích toàn phần ?

Giải : Vì A’A=A’B=A’C=A’D và

ABCD là hình vuông

=> A’.ABCD là hình chóp đều

+ Gọi H là hình chiếu của A’ lên mp(ABCD)

H là tâm của hình vuông

Hay A’H  (ABCD)

+ đáy là hình vuông Sđáy =a2

+ Ta có AH =a 2

2

=>A’H= AA 2 AH =2 

2

2 2a 3a

4 =

a 10 2

+ Thể tích lăng trụ : V lăng trụ = A’H.Sđáy =a 10

2 a2 =

3

a 10

2 + Sxq =SABB’A’ +SADD’A’+ SBCC’B’ +SCDD’C’

Và SABB’A’ = SCDD’C’ ; SADD’A’ = SBCC’B’

  A’AB =  A’AD => 2.SA’AB =2 SA’AD

=> SABB’A’ = SADD’A’

Suy ra : Sxq = 4.SABB’A’

Gọi M là trung điểm AB ta có

Ta có :  A’AB cân tai A’ => A’M  AB

Do đó : A’M= AA 2 AM =2 

2

2 a 3a

4 =

a 11 2

=> SABB’A’ = A’M.AB = a 11

2 a=

2

a 11 2

Vậy Sxq =4

2

a 11

2 =2a2 11 + Stp = Sxq +2.Sđáy =2a2 11 +2a2

H

A

C A’

D

B

a 3

D’

A’

B’

M