Phát triển năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học giải phương trình lượng giác – chương trình nâng cao luận văn ths lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn toán)

24 Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG KẾT LUẬN SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH .... Hoạt độnggiải toán là điều kiện để thực hiện

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ QUANG CHUNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC LỚP 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI – 2013

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện, tác giả đã hoàn thành đề tài nghiêncứu của mình Để có được kết quả này, ngoài sự nỗ lực, tìm tòi, học hỏi, nghiên cứucủa bản thân, tác giả luôn nhận được sự ủng hộ, giúp đỡ nhiệt tình từ các thầy cô, bạn

bè và đồng nghiệp

Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia

Hà Nội đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi được học tập nghiên cứu trong suốt khóahọc Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong nhà trường đã truyền thụ cho tôivốn kiến thức vô cùng quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt đề tài và làm giàu thêmhành trang kiến thức trên con đường sự nghiệp của mình

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Nhụy

-người đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này

Tác cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng tập thể giáo viên và họcsinh trường THPT Văn Giang – Hưng Yên đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quátrình thực nghiệm sư phạm

Mặc dù có nhiều cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót, tácgiả mong được sự lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quýbáu của thầy cô và các bạn

Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2013

Tác giả

Lê Quang Chung

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục các ký hiệu, chữ cái viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục các bảng vii

MỞ ĐẦU 1 Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Xung quanh khái niệm năng lực giải toán 5

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực 5

1.1.2 Năng lực 5

1.1.2.1 Khái niệm về năng lực 5

1.1.2.2 Năng lực toán học 6

1.1.2.3 Năng lực giải toán 7

1.2 Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập 9

1.2.1 Vị trí vai trò của bài tập toán 9

1.2.2 Ý nghĩa 10

1.2.3 Chức năng 10

1.3 Nội dung dạy học chủ đề Phương trình lượng giác trong môn Toán – (Chương trình nâng cao) ở trường THPT 11

1.3.1 Nội dung cụ thể của chủ đề Phương trình lượng giác trong chương trình toán 11 – Chương trình nâng cao 11

1.3.2 Mục tiêu của dạy học chủ đề Phương trình lượng giác – Chương trình nâng cao lớp 11 11

1.3.3 Những chú ý khi dạy học giải Phương trình lượng giác ở trường THPT 12

1.4 Dạy học giải Phương trình lượng giác theo tư tưởng G.Polya 12

1.5 Tìm nhiều cách giải cho một bài Toán 15

1.6 Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Phương trình lượng giác 17

Kết luận Chương 1 24

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG KẾT LUẬN SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH 25

2.1 Định hướng phân lớp và soạn thảo bài tập toán học chủ đề “Phương 25

tình lượng giác”

2.1.1 Cơ sở phân lớp 25

2.1.2 Soạn thảo hệ thống bài tập nội chủ đề “Phương trình lượng giác” Toán 11 25

2.1.2.1 Nguyên tắc lựa chọn bài tập 25

2.1.2.2 Nguyên tắc sử dụng hệ thống bài tập 25

2.2 Hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” Toán 11 26

2.2.1 Phương trình lượng giác cơ bản 26

2.2.1.1 Phương trình sinx a a     26

2.2.1.2 Phương trình cosx a a     28

2.2.1.3 Phương trình tanx a a    30

2.2.1.4 Phương trình cotx a a    . 31

2.2.2 Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản 32

2.2.2.1 Phương trình chứa một hàm số lượng giác của cùng một cung 32

2.2.2.2 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 37

2.2.2.3 Phương trình đẳng cấp theo sin và cosin của cùng một cung 44

2.2.2.4 Phương trình đối xứng và gần đối xứng 50

2.2.3 Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác giải phương trình lượng giác 59

2.2.3.1 Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác đơn giản 65

2.2.3.2 Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa phương trình ban đầu về phương trình dạng tích 69

2.2.4 Sử dụng phép biến đổi đại số để giải phương trình lượng giác 72

2.2.4.1 Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ hằng đẳng thức     2 2 u  v  u v u v  72

2.2.4.2 Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ hằng đẳng thức ( )( ) 0 au bv ab uv    u b v a   75

2.2.4.3 Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ định lý Viet 77

2.2.5 Sử dụng phương pháp so sánh giải Phương trình lượng giác 79

2.2.5.1 Phương pháp tổng hai số không âm 79

2.2.5.2 Phương pháp phản chứng 80

2.2.5.3 Phương pháp đối lập 80

2.2.6 Phương pháp xét biến thiên hàm số 82

2.2.7 Ứng dụng phương trình lượng giác vào giải phương trình và hệ phương trình đại số 83 2.3 Những kết luận sư phạm về phát triển năng lực giải toán cho học sinh 85

thông qua giải bài tập về phương trình lượng giác .

2.3.1 Cách lựa chọn sử dụng các bài tập của các hệ thống trong quá trình dạy học 85

2.3.2 Vai trò của giáo viên 86

2.3.2.1 Vai trò hướng dẫn, đạo diễn của thầy, cô giáo 86

2.3.2.2 Vai trò khởi xướng, thiết kế và tổ chức của thầy, cô giáo 87

2.3.2.3 Vai trò cố vấn, trọng tài khoa học của thầy, cô giáo 89

2.3.2.4 Vai trò người kiểm tra, đánh giá của thầy cô giáo 89

2.4.3 Vai trò của người học 89

2.3.3.1 Người học với vai trò là chủ thể của hoạt động học, tự mình tìm ra kiến thức cùng với cách tìm ra kiến thức bằng hoạt động của chính mình 89

2.3.3.2 Người học tự thể hiện mình trong mối giao lưu, hợp tác với bạn và học bạn 90

2.3.3.3 Vai trò của người học trong mối quan hệ với thầy, cô 91

2.3.3.4 Vai trò tự kiểm tra đánh giá và điều chỉnh 91

Kết luận Chương 2 93

Chương 3 : TỔNG KẾT KINH NGHIỆM VÀ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 94

3.1 Tổng kết kinh nghiệm 94

3.1.1 Quá trình tích lũy để xây dựng hệ thống bài tập 94

3.1.2 Quá trình xây dựng và hoàn thiện hệ thống bài tập 96

3.1.3 Hiệu quả thực tế của việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua hệ thông bài tập Phương trình lượng giác 97

3.2 Thực nghiệm sư phạm 98

3.2.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 98

3.2.2 Đối tượng và địa bàn thực nghiệm 98

3.2.3 Kế hoạch thực nghiệm 98

3.2.3.1 Thời gian thực nghiệm 98

3.2.3.2 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 99

3.2.4 Kết quả dạy thực nghiệm 99

Kết luận Chương 3 103

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO . 106

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 3.1 Kết quả kiểm tra đề số 1 101

Bảng 3.2 Kết quả kiểm tra đề số 2 101

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đang trên con đường công nghiệp hóa hiện đại hóa , để đạt đượcthành công thì yếu tố con người là quyết định Do đó đất nước đang rất cần nhữngngười lao động tự chủ sáng tạo có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp qua đógóp phần thực hiện thắng lợi các mục tiêu đề ra

Luật Giáo dục của nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã ghi

“Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và

ý chí vươn lên” (Chương I- điều 5)

Với mục tiêu đó, trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tích cựctiến hành đổi mới nhằm nâng cao chất lượng dạy và học Một trong những khâuthen chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường Trung học Phổthông, việc phát triển năng lực giải toán cho học học sinh có vai trò quan trọng vì đó

là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông Việc giải toán là hình thức chủ yếucủa hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt độnggiải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông.Phát triển năng lực giải toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sángtạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹnăng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giảiquyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọnphương pháp tự học tối ưu

Về nội dung môn Toán, trong hệ thống kiến thức đưa vào giảng dạy cho họcsinh Trung học Phổ thông, kiến thức về lượng giác nói chung và phương trìnhlượng giác nói riêng là một nhóm kiến thức cơ bản và quan trọng, điều đó đã vàđang được thể hiện qua các kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng, Hệ thống bàitập về phương trình lượng giác rất phong phú và đa dạng, trong các kỳ thi chúng tathường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giácnày đã gây không ít khó khăn đối với nhiều học sinh vì có nhiều công thức biến đổilượng giác nên học sinh không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình

đã cho Tuy nhiên, nếu học sinh hệ thống được các dạng bài tập phương trình lượng

giác và đề ra phương pháp giải cho từng lớp phương trình thì việc tìm ra lời giảicủa bài toán sẽ trở nên đơn giản, khi đó học sinh có hứng thú học tập, yêu thích say

mê tìm tòi khám phá môn học

Năng lực giải toán chỉ có thể được hình thành và phát triển trong quá trình giảitoán của học sinh Giải bài tập toán là nội dung quan trọng trong học tập, do đó việctăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều tình huống khác nhau thôngqua hệ thống bài tập có tác dụng khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng, vừa có tácdụng rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy, năng lực phân tích tổng hợp, năng lựckhái quát hóa, năng lực suy luận, năng lực tư duy lôgic, năng lực rút gọn quá trìnhsuy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tư duythuận nghịch, trí nhớ toán học, hình thành và giải quyết các vấn đề toán học trongcác tình huống hoàn cảnh khác nhau, Thông qua việc giải các bài tập toán giúphọc sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng góp phần chuẩn bị có hiệu quảcho việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn cuộc sống của các em sau này

Sự say mê khoa học luôn bắt nguồn từ sự hiểu biết, phát triển năng lực giải toán

và giúp học sinh hiểu biết hơn về Phương trình lượng giác là góp phần làm cho các

em có sự say mê với môn Toán nói riêng và khoa học nói chung

Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp

dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển

năng lực giải Toán cho học sinh Trung học Phổ thông thông qua dạy học giải Phương trình lượng giác lớp 11- Chương trình nâng cao ”.

2 Lịch sử nghiên cứu

Qua tìm hiểu tôi thấy có một số đề tài nghiên cứu về rèn luyện năng lực giảitoán cho học sinh, và một số đề tài nghiên cứu về xây dựng hệ thống bài tập chủ đềphương trình lượng giác nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu về xây dựng hệthống bài tập và đề xướng các hướng giải cho từng loại bài tập, đồng thời đề xuấtcác biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh

3 Mục tiêu nghiên cứu

Phát triển năng lực giải toán cho học sinh Trung học Phổ thông thông qua dạyhọc giải Phương trình lượng giác

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán, năng lực và năng lực giải toán.

Xây dựng hệ thống bài tập về phương trình lượng giác nhằm phát triển năng lựcgiải toán cho học sinh

Làm thế nào để phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học chủ

đề Phương trình lượng giác

8 Giả thuyết nghiên cứu

Trong dạy học Phương trình lượng giác, nếu ta xây dựng được hệ thống bài tập

và đề xướng các hướng giải cho từng loại bài tập, đồng thời đề xuất các biện pháp

sư phạm phù hợp sẽ phát triển được năng lực giải toán cho học sinh, giúp học sinhkhắc sâu kiến thức đã học, linh hoạt và nhạy bén hơn trong việc giải phương trìnhlượng giác, phát huy tính tích cực trong tiếp thu kiến thức mới, góp phần nâng caochất lượng dạy và học trong trường Trung học Phổ thông

9 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu sách giáo khoa, các giáo trình phương pháp giảng dạy toán, các sáchtham khảo, các đề thi Đại học – Cao đẳng trong những năm gần đây, luận văn, luận

án có liên quan đến chủ đề Phương trình lượng giác

Nghiên cứu thực tiễn

Tổng kết thực tiễn dạy học, thực nghiệm sư phạm

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo nội dung chínhcủa luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập Phương trình lượng giác và những kết luận

sư phạm nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh

Chương 3: Tổng kết kinh nghiệm và Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Xung quanh khái niệm năng lực giải toán

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực

Cuộc tranh luận gay gắt và kéo dài từ cuối thế kỷ 19 đến nay về bản chất vànguồn gốc của năng lực, tài năng vẫn chưa kết thúc Hiện nay đã có xu hướng thốngnhất trên một số quan điểm cơ bản về lý luận cũng như thực tiễn:

Thứ nhất: Những yếu tố bẩm sinh di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu

cho sự phát triển năng lực Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc caosống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúngkhông có các tư chất bẩm sinh di truyền là tiền đề cho sự phát triển năng lực)

Thứ hai: Năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử Muốn một

người của thế hệ sau được phát triển trong thế giới tự nhiên, xã hội đã được các thế hệtrước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong môi trường văn hóa xã hội Conngười khi lọt lòng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lựctương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được

Thứ ba: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và sản phẩm của hoạt động.

Sống trong môi trường xã hội do các thế hệ trước tọa ra và chịu sự tác động của nó,trẻ em và người lớn thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với cácthàn tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn chiếm lĩnh chúng và quan trọng hơn làcải tạo chúng để không chỉ đạt được các kết quả “ vật chât ” mà còn tạo ra tiền đề chohoạt động tiếp theo

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có bảnchất phức tạp, xã hội, các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại vớinhau để tạo ra các năng lực, tài năng Vậy đào tạo có hiệu quả nhất là đưa học sinhvào các dạng hoạt động thích hợp

1.1.2 Năng lực

1.1.2.1 Khái niệm về năng lực

Theo nhà tâm lí học Nga nổi tiếng V.A.Cruchetxki thì “ Năng lực được hiểu như là : Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó”.[1, tr 15]

Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững trithức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn,cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động

đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương

Người ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:

- Năng lực là tổng hòa các kỹ năng kỹ xảo

- Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động

có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của cácthành tựu đạt được của xã hội loài người

- Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong hoạt động nhất định củacon người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyếtnhững yêu cầu đặt ra

Cũng theo V.A.Cruchetxki thì cấu trúc năng lực toán học của học sinh có thểtóm tắt thành 9 yếu tố chủ yếu sau :

- Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúccủa bài toán

- Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian,

hệ thống ký kiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học

- Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ toánhọc và các phép toán.

- Năng lực rút gọn quy trình suy luận toán học và hệ thống các phép toántương ứng, năng lực tư duy bằng các cấu trúc được rút gọn

- Tính linh hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học

- Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của lờigiải bài toán

- Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quy trình tưduy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo – trongsuy luận toán học

- Trí nhớ toán học, tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, đặc điểm

về loại, các sơ đồ suy luận và chứng minh, các phương pháp giải toán và các nguyêntắc đường lối giải toán

- Khuynh hướng toán học của trí tuệ

1.1.2.3 Năng lực giải toán

Năng lực giải bài tập toán học là một thể hiện của năng lực toán học Đó làđặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giảitoán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó Năng lực giảibài tập toán học là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọnvào hoạt động giải bài tập toán học

Tri thức toán học không phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo, xây dựngbắt đầu từ hoạt động giải toán Học sinh tự mình xây dựng các kiến thức toán họcthông qua hoạt động giải các bài tập toán học Quá trình học sinh xây dựng vàchiếm lĩnh kiến thức toán học, hình thành nên năng lực giải bài tập toán học củamình

Theo Nguyễn Bá Kim : “Bài tập toán học là giá mang hoạt động học tập của học sinh ” Giải bài tập toán là mục đích của việc dạy học toán Bài tập còn là

phương tiện để giáo viên cài đặt các nội dung cần dạy hoặc cần bổ sung cho phần lýthuyết Nếu khai thác tốt hệ thống bài tập sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc pháttriển năng lực giải toán của học sinh Điều quan trọng trong dạy học giải bài tậptoán cho học sinh là hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập, thể hiện qua cách suy

nghĩ, các hoạt động trí tuệ: tìm tòi, dự đoán, quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tựhóa, Mặt khác, giáo viên cần xây dựng một số tình huống buộc học sinh phải sửdụng một số quy tắc, phương pháp giải toán đã học Các thành phần của năng lựcgiải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suyluận logic, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lựctìm ra lời giải hay, trí nhớ toán học, Năng lực giải toán của học sinh sẽ phát triểndưới tác động của các biện pháp “hoạt động hóa” người học.

Năng lực giải bài tập toán học của học sinh được thể hiện qua các dấu hiệusau:

Thứ nhất, biết nhìn nhận, hiểu bài toán.

Thứ hai, biết định hướng giải bài toán một cách rõ ràng.

Thứ ba, biết trình bày lời giải bài toán một cách chính xác.

Thứ tư, biết phân tích lời giải bài toán.

Để có được năng lực giải bài tập toán học, học sinh cần được rèn luyện về cáckhả năng tư duy sau: tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tổng quát hóa, tưduy thuật giải, tư duy lo gic, tư duy phê phán, tư duy hội thoại có phê phán, tư duyhàm, tư duy sáng tạo, Trong giải bài tập toán học, các loại hình tư duy đó được rèn

luyện qua bốn bước giải toán của G.Polya: “Tìm hiểu bài toán, tìm hướng giải bài toán, trình bày lời giải bài toán, nghiên cứu sâu lời giải”.

Bàn về năng lực, cũng có ý kiến cho rằng: Năng lực là do thượng đế ban cho.Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích lũy, sựbồi đắp, sự học hỏi, sự rèn luyện mà có Quá trình học tập học sinh sẽ được bổ sungkiến thức, được trang bị các phương pháp từ đó năng lực giải toán được tăng lên Mộtphần do học sinh có ý thức tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy côgiáo hướng dẫn và bồi dưỡng Chính vì vậy chúng tôi rất đề cao các bài ôn tập, bởichúng đã góp phần không nhỏ trong việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh

Tóm lại, để phát triển năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốt nhất

là đưa ra một hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tưduy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

Trong phạm vi Luận văn chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập về Phương

triển năng lực giải toán cho học sinh.

1.2 Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập

G.Polya cho rằng: “ Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán!” [13, tr 82] Trên cơ sở đó

ta có thể thấy rõ hơn vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT

1.2.1 Vị trí và vai trò của bài tập toán

Trong dạy học toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùng quan

trọng, theo Nguyễn Bá Kim: “ Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học toán Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” [6, tr 201]

Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “ Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản là bài tập có vai trò mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, đinh lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”.[6, tr 388]

Như vậy bài tập toán ở trường phổ thông có vị trí, vai trò quan trọng tronghoạt động dạy, học toán ở trường THPT Vì thế, cần lựa chọn các bài tập sao chophù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thế mới phát huy được nănglực giải toán của học sinh

Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụthể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới.

Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểmtra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học

Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát triểntrí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về nhiều mặt

Việc giải bài toán cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào màthường bao hàm những ý nghĩa đã nêu

1.2.3 Chức năng

Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở

những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu nhữngvấn đề lý thuyết Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên

hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết Đặc biệt hệthống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp thể hiện qua việc giúphọc sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian vàphương pháp tư duy; Rèn luyện kỹ năng tính toán, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên

và cuối cùng là rèn luyện kỹ năng thực hành toán học

Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện

chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho họcsinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bước nâng cao hứngthú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo

Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc lập

suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp,

tương tự Thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giảiquyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo.

Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm tra,

đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học Kiểm tra, đánh giánhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy và học: Vềkiến thức, kỹ năng, năng lực giải toán và hiệu quả dạy học của giáo viên

1.3 Nội dung dạy học chủ đề Phương trình lượng giác trong môn Toán –

(Chương trình nâng cao) ở trường THPT

1.3.1 Nội dung cụ thể của chủ đề Phương trình lượng giác trong chương trình Toán 11 – Chương trình nâng cao

Chủ đề Phương trình lượng giác được giảng dạy trong 15 tiết của chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác Có thể nói rằng chủ đề có yêu cầunhẹ nhàng hơn so với trước đây, nhưng nội dung cơ bản không khác mấy Điều đóđược thể hiện cụ thể như sau:

1-SGK không xét các phương trình lượng giác có chứa tham số Điều này làm

cho yêu cầu kiến thức và kỹ năng giải bài tập giảm nhẹ rất nhiều Vì đa số các bàitoán loại này thường dẫn đến phần biện luận khá phức tạp

SGK cũng không xét các phương trình cần đặt điều kiện liên quan đến bấtphương trình lương giác, chẳng hạn như phương trình lượng giác có hàm số lượnggiác trong dấu căn bậc hai

SGK chỉ yêu cầu học sinh hiểu, nhớ các phương pháp để vận dụng giải đượccác phương trình nêu trong bài học và những phương trình quy về các dạng đó Không xét các phương trình yêu cầu giải quá phức tạp

1.3.2 Mục tiêu của dạy học chủ đề Phương trình lượng giác – Chương trình nâng cao lớp 11

Về kỹ năng: Giúp học sinh

Giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản, biết biểu diễn nghiệmcủa phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác

Nhận biết và giải thành thạo các phương trình lượng giác đơn giản

Biết sử dụng các phương pháp biến đổi để giải phương trình lượng giác quy

về dạng đơn giản

1.3.3 Những chú ý khi dạy học giải Phương trình lượng giác ở trường THPT

Đây là lần đầu tiên học sinh làm quen với phương trình trình lượng giác Khidạy học sinh giáo viên cần lưu ý một số điểm sau:

Cách viết nghiệm của phương trình và biểu diễn nó trên đường tròn lượng giác.Muốn có kỹ năng giải phương trình lượng giác học sinh phải có kỹ năng biếnđổi lượng giác

Phần lớn các sai lầm mà học sinh mắc phải trong nội dung này là do đặtĐKXĐ sai hoặc thiếu và khi so với ĐKXĐ lại so một cách không chính xác

1.4 Dạy học giải Phương trình lượng giác theo tư tưởng G.Polya

Trong môn toán ở trường THPT có nhiều bài tập toán giải bằng thuật toán,cũng có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có mộtthuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán, chúng ta chỉ có thể thông quaviệc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cáchthức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là người thầy cung cấp cho họcsinh lời giải của bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng việc làm thếnào để giải được bài toán, vì vậy cần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cácsuy nghĩ tìm tòi và phát hiện cách giải của bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát và gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thứcgiải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán được tiến hành theo bốnbước sau:

* Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để giải bài toán trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó Vì

vậy chú ý gợi động cơ, khêu gợi chí tò mò hứng thú của học sinh và giúp các emhiểu bài toán, phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu hiểu toàn bộ bàitoán tránh vội vàng đi ngay vào chi tiết

Phân tích cho học sinh bài toán với các yếu tố cơ bản:

- Bài toán chứng minh hay toán tìm kiếm Phân tích cái đã cho và cái cầnchứng minh hoặc cái đã cho với cái tìm kiếm

- Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để diễn tả đề bài

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điềukiện đó thành công thức hay không?

* Bước 2: Xây dựng chương trình giải toán

Ở bước này phải chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơngiản, phải huy động kiến thức có liên quan đến những khái niệm, những quan hệtrong đề toán

Lựa chọn những kiến thức đã học ( định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức )gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm dự đoán kết quả

Sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh ( phảnchứng, quy nạp toán học, ), toán dựng hình, toán quỹ tích

* Bước 3: Trình bày lời giải

Trình bày lời giải sau khi tổng hợp hai bước trên và đã điều chỉnh những chỗcần thiết

* Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải bài toáncùng dạng đó

Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể)

Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán

Ví dụ Giải phương trình sin 3xcos 2x sinx0.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

(?) Giả thiết của bài toán là gì? Yêu cầu ra sao? Có cần điều kiện gì không?

[!] Cho x là ẩn Tìm giá trị của x để được mệnh đề sin 3xcos 2x sinx đúng.0

Bước 2: Xây dưng chương trình giải toán

(?) Cho biết các hàm số lượng giác có trong phương trình?

[!] Trong phương trình có hàm số sin và cos.

(?) Cho biết trong phương trình có những cung nào? Các cung đó có quan hệ gì vớinhau?

[!] Trong phương trình có ba cung ; 2 ; 3x x x , các cung có mối quan hệ 3 2 2

x x x

.(?) Cần sử dụng công thức nào?

[!] Sử dụng công thức biến tổng (hiệu) thành tích: sin sin 2cos 2 sin 2

a b a b

ta có được : sin 3x sinx2cos 2 sinx x, từ đó đưa phương trình về dạng tích

Bước 3: Trình bày lời giải

Ta có

sin 3xcos 2x sinx0

2cos 2 sinx x cos 2x 0

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

(?) Có thể giải bài toán này theo cách khác được không?

[!] Trong phương trình có hai hàm số lượng giác sin và cos, ba cung ; 2 ; 3x x x nên

ta có thể sử dụng công thức cung nhân ba sin 3x3sinx 4sin ;3x công thức cungnhân hai cos 2x 1 2sin2 x để đưa về phương trình đối với một hàm số lượng giác:

x x

+) Biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích nhờ công thức biến đổi tổng thànhtích, biến đổi tích thành tổng hoặc biến đổi hỗn hợp Nhưng để biến đổi lượng giácphải dựa vào những nhận xét đặc điểm của phương trình đã cho.

+) Nhờ đặc điểm các cung nhân đôi ( 2x2.x), nhân ba ( 3x3.x) có trong phươngtrình mà liên hệ đến công thức lượng giác đã có để đưa phương trình về một hàm

số lượng giác

1.5 Tìm nhiều cách giải cho một bài Toán

Do đặc thù của bộ môn Toán nên hoạt động giải toán là hoạt động không thểthiếu được của người học toán, dạy toán, nghiêm cứu về toán Trong cuốn “Sáng tạo

toán học” G.Plolya đã viết “ quá trình giải toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại, đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn giường như không thể đạt được ngay Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người Vì vậy giải toán có thể xem như một trong những đặc trưng nhất của con người ” [2, tr 5]

Trong khi say mê giải toán, trí tuệ con người được huy động tới mức tối đa,khả năng phân tích và tổng hợp được rèn luyện, tư duy trở nên nhanh nhẹn Bài toán

mà chúng ta có thể bình thường ta không giải được nhưng nó có khêu gợi tính tò mò

và buộc ta phải sáng tạo và nếu tự mình giải bài toán đó thì ta có thể biết được cáiquyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi

Một điểm chú ý nữa là: “Trong quá trình giải bài tập toán cần khuyến khích học sinh tìm hiểu nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa vào một

số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy Mặt khác tìm nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất ” [5, tr 214]

16sin6x 24sin4x9sin2x 4sin2 x1 sin 2x sin2 x0

 sin2 x4sin4 x 5sin2 x1 0

 sinx hoặc 0 sin2x 1

(3) sin 3x sinx sin 3xsinx  sin 2x0

 (2cos 2 sin )(2sin 2 cos ) sin 2x x x x  2 x0

 2sin 2 cos 22 x x sin 22 x 0 sin 22 x hoặc 2cos 20 x 1.

Từ đó ta có nghiệm của phương trình là

(3) 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos 2x0

 4cos 23 x 2cos 22 x 4cos 2x 2 0

 cos 2x hoặc cos 21 x  hoặc 1 2cos 2x 1

Từ đó ta có nghiệm của phương trình là

,

x k  x  k k 

Cách 4: Sử dụng công thức hạ bậc, công thức biến tổng thành tích đưa Pt về dạng

tích: (3) 1 cos6x 1 cos 2x 2sin 22 x0

 2sin 4 sin 2x x 2sin 22 x0

(3) 1 cos 6x 1 cos 4x 1 cos 2x0

 cos 4xcos 2x  1 cos 6 x 0

 2cos3 cosx x 2cos 32 x 0 cos3x hoặc 0 cos3xcosx.

Từ đó ta có nghiệm của phương trình là

,

x k  x  k k 

Nhận xét Từ các cách giải như trên học sinh sẽ nhận ra cách giải 4 là tối ưu hơn.

1.6 Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Phương trình lượng giác

Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan

trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó, bởi vì “ con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình”.[5, tr 204]

Việc thấy được những sai lầm đặc biệt có giá trị về mặt phương pháp, vìchúng giúp học sinh quán triệt xúc tích hơn, chống lối hiểu hình thức mà đặc trưngcho lối hiểu hình thức này là trong khi thu nhận và ghi nhớ một sự kiện toán học,học sinh thường phạm sai lầm là biểu hiện quen thuộc bên ngoài của sự kiện (lờivăn, ký hiệu hay hình ảnh) lấn át hẳn nội dung, bản chất của sự kiện đó.[G.Polya]

Những sai lầm làm hạn chế năng lực học toán của học sinh Qua việc phântích sai lầm, người giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện được các sai lầm, thấyđược nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm Từ đó học sinh sẽ tránh được những sailầm, thu nhận kiến thức một cách chắc chắn hơn

Trong phạm vi Luận văn chúng tôi chỉ phân tích những sai lầm có tính điểnhình, nhiều học sinh thường mắc phải Sau đây là những ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải phương trình 4sin3xcos3x4cos sin 33x x3 3 cos 4x3. (1)

Sai lầm thương gặp:

(1) (3sinx sin 3 ) cos3x x(cos3x3cos )sin 3x x3 3 cos 4x3

 sin cos3x xsin 3 cosx x 3 cos 4x1

sin 4 cosx 3 cos 4 sinx 3 1 sin x 3 1 x 24 k 2 k .

Nguyên nhân sai lầm: Khi chia hai vế của phương trình cho 2, ta đã quên chia vế

phải cho 2 Đây là một sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình bậcnhất đối với sin và cos của cùng một cung

Lời giải đúng:

(1) (3sinx sin 3 )cos3x x(cos3x3cos )sin 3x x3 3 cos 4x3

 sin cos3x xsin 3 cosx x 3 cos 4x1  sin 4x 3 cos 4x1

Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được

1sin 4 cos cos 4 sin

Một số học sinh giải như sau:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Một số học sinh giải như sau:

với k  , thỏa mãn điều

kiện Do đó, phương trình đã cho có nghiệm là x 8 k 4

x  h 

,

528

x  h 

7

2 8

x  h  h 

Một số học sinh giải như sau:

Ví dụ 6 Giải phương trình .

1cos cos 2

2

x x 

(6)Một số học sinh giải như sau:

Ta thử lại thì x m m không thỏa mãn phương trình đề bài Vì học

sinh đã nhân cả hai vế của phương trình với hàm số sin x có giá trị bằng không tại

x m  m 

Lời giải đúng:

Nhận thấy x m  m không là nghiệm của phương trình đề bài, nên

33

Chú ý Từ những sai lầm trên (chủ yếu là do không đặt ĐKXĐ, đặt ĐKXĐ sai hoặc

thiếu và khi so với ĐKXĐ lại so một cách không chính xác), trước tiên chúng ta cầnphải đặt điều kiện bài toán cho chính xác, sau khi giải xong phương trình được cácnghiệm, ta phải kiểm tra thật kỹ các nghiệm tìm được của phương trình lượng giácvới điều kiện Để khắc phục những sai lầm này, ta có thể chú ý ba phương pháp cơbản sau khi so sánh nghiệm tìm được với điều kiện bài toán:

Phương pháp 1: Đưa điều kiện và nghiệm về cùng một hàm số lượng giác của cùng

một cung để so sánh

Ta sử dụng phương pháp này khi có thể biến đổi đưa điều kiện và nghiệmtìm được khi giải phương trình lượng giác về cùng một hàm số của một cung để so

sánh Chẳng hạn khi giải phương trình

2

x x

Ta thấy ngay sinx  không thỏa mãn điều kiện.1

Phương pháp 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Ta sử dụng phương pháp này khi số điểm không thỏa mãn điều kiện là ít và ởnhững vị trí đặc biệt Ta biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm không thỏamãn bằng dấu “x” và những điểm tìm được bằng dấu “o” Các điểm đánh dâu “o”không trùng với các điểm đánh dấu “x” chính là nghiệm ta cần tìm Ta để ý rằng:+) Nếu x  k2 thì được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một điểm

+) Nếu x  k thì được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm đốixứng nhau qua gốc tọa độ

thì được biểu diễn trên đường tròn lượng giác

bởi n điểm cách đều nhau tạo thành một n - giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác Phương pháp3: Thử trực tiếp

Ta sử dụng phương pháp này cho mọi nghiệm tìm được Với các nghiệm tìmđược mà không sử dụng được hai phương pháp trên để kiểm tra điều kiện thìphương pháp này sẽ giúp học sinh thực hiện công việc đó

Kết luận Chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã làm sáng tỏ một số vấn đề : Lý luận về nănglực , năng lực toán học, năng lực giải toán, lý luận về dạy học giải bài tập toán.Việc giải phương trình lượng giác phong phú và đa dạng Việc hướng dẫn học sinhtìm tòi lời giải, phát triển tư duy qua hoạt động tìm nhiều lời giải cho một bài tậplàm cho năng lực giải toán của các em phát triển Trong quá trình học tập, giải toánvới chủ đề này học sinh không thể tránh khỏi những sai lầm và gặp khó khăn yêucầu về kiến thức và kỹ năng không ngừng nâng cao Trên cơ sở phân tích và đưa racác biện pháp khắc phục những sai lầm ta có thể nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề,hơn nữa sẽ làm học sinh có thêm hứng thú, phát triển tư duy đồng thời phát triểnnăng lực giải toán cho bản thân

Để nội dung toán phương trình lượng giác thật sự hấp dẫn với học sinh thìchính giáo viên cũng cần có những nghiên cứu sâu hơn về những kiến thức này.Công sức nghiên cứu của giáo viên sẽ được thể hiện thông qua hệ thống bài tậpphong phú, đa dạng, có sáng tạo, dành cho nhiều đối tượng nhận thức Nhữngnghiên cứu của giáo viên cũng cần hướng tới việc chỉ ra cho học sinh những đặctrưng riêng của phương trình lượng giác, những ứng dụng trong thực tế, và nhữngcách tư duy, những cách tiếp cận khác nhau đối với cùng một vấn đề của nội dungtoán học này

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG KẾT LUẬN SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH 2.1 Định hướng phân lớp và soạn thảo bài tập toán học chủ đề “Phương trình lượng giác” Toán 11

2.1.1 Cơ sở phân lớp

Dựa trên nội dung kiến thức khoa học và mục tiêu dạy học của chương

“Phương trình lượng giác” toán học 11, chúng tôi dự kiến trước tiên là phân lớp bàitập theo nội dung

Trên cơ sở ứng với mỗi nội dung, chúng tôi sẽ phân lớp bài tập theo phương thức giải.Cuối cùng, để cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập toán học, trongmỗi lớp bài tập chúng tôi lại chú ý đến yêu cầu phát triển tư duy của học sinh đểphân loại thành bài tập luyện tập và bài tập sáng tạo

2.1.2 Soạn thảo hệ thống bài tập nội chủ đề “Phương trình lượng giác” Toán 11

2.1.2.1 Nguyên tắc lựa chọn bài tập

Hệ thống bài tập mà giáo viên lựa chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau:Bài tập phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp (phạm vi và sốlượng các kiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề tài, số lượngcác đại lượng cho biết và các đại lượng cần tìm…) giúp học sinh nắm được phươngpháp giải các loại bài tập điển hình

Mỗi bài tập phải là một mắt xích trong hệ thống bài tập, đóng góp một phầnnào đó vào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến thức

Hệ thống bài tập đa dạng, phong phú bao gồm nhiều thể loại bài tập

Hệ thống bài tập có tác dụng đối với sự phát triển tư duy, bồi dưỡng nănglực sáng tạo cho học sinh, có thể phân hóa được học sinh

Các bài tập được lựa chọn phải tương ứng với phần lý thuyết được giới thiệu

2.1.2.2 Nguyên tắc sử dụng hệ thống bài tập

Các bài tập lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá trình dạyhọc nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới củng cố hệ thống hóa, kiểm tra và đánhgiá kiến thức kĩ năng của học sinh.

Trong tiến trình dạy học một kiến thức toán học cụ thể, việc giải hệ thốngbài tập mà giáo viên đã lựa chọn cho học sinh thường bắt đầu bằng những bài tậpđịnh tính hay bài tập tập dượt Sau đó, học sinh sẽ giải những bài tập có nội dungphức tạp hơn Việc giải những bài tập phải vận dụng kiến thức tổng hợp, những bàitập có nội dung kĩ thuật với dữ kiện không đầy đủ, những bài tập sáng tạo có thể coi

là sự kết thúc việc giải hệ thống bài tập đã được lựa chọn

Phải chú ý đến việc cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập toán học

2.2 Hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” Toán 11

2.2.1 Phương trình lượng giác cơ bản

2.2.1.1 Phương trình sinx a a    (I)

Phương trình (I) xác định với mọi x 

x 

2sin

Vì k  nên k  Khi đó ta thu được0

phương trình tương tương là

2.2.1.2 Phương trình cosx a a    (II)

Phương trình (II) xác định với mọi x 

,cosx0  x 2 k2

Ta thu được nghiệm

Suy ra k phải là số tự nhiên dương 1, 2,

Ta thu được nghiệm

Vì sinx  và k  nên từ 1  a ,  b ta suy ra 0 k  , từ đó ta tìm được các nghiệm

của phương trình đã cho là

b) tan3x  3 3xarctan 3k  x3arctan 3k3 ( k ).

c) Với điều kiện cos 2 cosx x 5 0

2.2.2 Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

2.2.2.1 Phương trình chứa một hàm số lượng giác của cùng một cung

Nhận xét Đây là phương trình bậc nhất đối với tan 5 x

Ví dụ 2 Giải phương trình sau 4sin2x 2 1  2 sin x 2 0.

Nhận xét Đây là phương trình bậc hai đối với sin x

t 

và

22

Chú ý Giải phương trình trên, việc đặt ẩn phụ là quá hiển nhiên và đơn giản đến

mức không cần thiết phải nêu kí hiệu ẩn phụ, tuy nhiên bước đầu để giúp học sinh

dễ làm quen với việc nhận dạng phương trình, giáo viên vẫn nên đưa ra kí hiệu ẩnphụ; khi đã quen, có thể không cần làm như vậy

Ví dụ 3 Giải phương trình cot 23 x2cot 22 x 3cot 2x 6 0.

Nhận xét Phương trình đã cho là phương trình bậc 3 đối với cot 2x

Hướng dẫn giải