Tích tenxơ các không gian hilbert tách (LV01069)

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC.Nguyễn Phụ Hy, Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tích tenxơ các không gian Hilbert tách” được ho

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệu trường THCS Đại Đình nơi tôi công tác cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Học viên

Trần Thị Nụ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC.Nguyễn Phụ Hy,

Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tích tenxơ các

không gian Hilbert tách” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản

thân tác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng12 năm 2013

Học viên

Trần Thị Nụ

MỤC LỤC Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mở đầu 1

Chương 1 Không gian Hilbert tách 3

1.1 Khái niệm không gian Hilbert 3

1.1.1 Các định nghĩa 3

1.1.2 Một số tính chất cơ bản 6

1.2 Một số định lý quan trọng 8

1.2.1 Định lý về hình chiếu lên không gian con 8

1.2.2 Bất đẳng thức Bessel 9

1.2.3 Định lý về đẳng thức Paseval và phương trình đóng 10

1.2.4 Điều kiện cần và đủ để một không gian Hilbart là không gian tách 13

1.3 Toán tử tuyến tính liên tục tác dụng trên không gian Hilbert 14

1.3.1 Định lý Riesz về phiếm hàm tuyến tính liên tục 14

1.3.2 Định lý về toán tử liên hợp 16

1.4 Một số không gian Hilbert tách 16

1.4.1 Không gian ¡n. 16

1.4.2 Không gian l2 20

Chương 2 Tích tenxơ các không gian Hilbert tách 27

2.1 Khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách 27

2.1.1 Sơ đồ thành lập tích tenxơ các không gian Hilbert 27

2.1.2 Tích tenxơ các không gian Hilbert tách 28

2.2 Toán tử tuyến tính liên tục 35

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vectơ suy rộng lần đầu tiên được nhà toán học nổi tiếng Ucraina Iu.M.Beredanxki đưa ra và nghiên cứu khi xét bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng [7,8, 9] Tuy nhiên các vấn đề lân cận với hướng đó đã được các nhà toán học M.G.Krein [ ]10 , J.Leray [ ]7 , P.D.Lax[ ]6 đưa ra và nghiên cứu sớm hơn

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn, trên cơ sở sơ đồ tích tenxơ và những nhận xét về tích tenxơ các không gian Hilbert của Giáo sư-Viện sĩ

Yu.M.Berezanxki, và nhằm trình bày lại các kết quả một cách tổng quan , nghiên cứu thêm về các bao hàm thức không gian Hilbert tách và áp dụng các kết quả, cùng với sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS_TS_GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi mạnh dạn chọn đề tài:

“Tích tenxơ các không gian Hilbert tách”

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày một cách hệ thống khái niệm về tích tenxơ các không gian Hilbert tách, tích tenxơ các không gian Hilbert của các vectơ suy rộng, các bao hàm thức giữa các không gian đó và các toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trên chúng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống ,chi tiết

về không gian Hilbert tách, khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách,

về toán tử và phiếm hàm tuyến tính liên tục tác dụng trên tích tenxơ các không gian Hilbert

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về không gian Hilbert tách và tích tenxơ các không gian Hilbert tách

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tích tenxơ các không gian Hilbert tách

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu và các bài báo về tích tenxơ các không gian Hilbert

tách

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống những kiến thức về “Tích tenxơ các

không gian Hilbert tách” và toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trong các tích

tenxơ đó.Vận dụng vào không gian ¡n, l2

Chương 1 KHÔNG GIAN HILBERT 1.1 Khái niệm không gian Hilbert

1.1.1 Các định nghĩa

số thực ¡ hoặc trường số phức £ ) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian

X mọi ánh xạ từ tích Descartes C ´X vào trường P , kí hiệu ( ).,. , thỏa mãn tiên đề:

Số ( )x y, gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y

Các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

vô hướng trênXgọi là không gian tiền Hilbert

là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;

2) H được trang bị một tích vô hướng ( ).,. ;

3) H là không gian Banach với chuẩn x = ( , )x x ,xÎH

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

Định lý 1.1.1: (Bất dẳng thức schwartz):

Đối với mỗi xÎX ta dặt : x = ( , )x x

(1.1.1) Khi đó, "x y, ÎX ta có bất đẳng thức Schwarz:

( )( ,x x) x x,

Vậy, không gian tiền Hilbert X là không gian định chuẩn

theo chuẩn (1.1.1)

( )y n ÎY hội tụ tới y Khi đó,

Chuẩn sinh bởi công thức (1.1.1) gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng

giao, ký hiệu x^y, nếu ( )x y, = 0.

tử xÎH gọi là trực giao với tập A , nếu x^ " Îy( y A), và ký hiệu x^A.

Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian Hilbert H và không gian con E Ì H Tập con F Ì H gồm các phần của không gian H trực giao với tập E gọi là phần

bù trực giao của tập E trên không gian H và ký hiệu :

.

F = QH E

gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử ( )e n n³1ÌH gọi là một hệ trực chuẩn, nếu

(e e i, j)= d ij ij

d là ký hiệu Kroneckes, dij = 0 với i¹ j, dij= 1 với i= j, (i j, = 1, 2, )

sở trực chuẩn của không gian H , nếu trong không gian H không tồn tại vectơ khác không nào trực giao với hệ đó

Hilbert X và không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu

(Ax y, ) (= x By, ), " Î " Îx X, y Y.

Toán tử liên hợp B được ký hiệu là A*

vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu

Vì x^ x nên theo tiên đề 4) về tích vô hướng, ta cóx= q

của không gian H Khi đó, không gianH biểu diễn được dưới dạng tổng trực tiếp:

{ 1 2 : 1 , 2 }

H = Å =F E x= +x x x ÎF x ÎE

Trong trường hợp hai tập E , F mà tập này là phần bù trực giao của tập kia trên không gian H , thì tổng trực tiếp FÅE gọi là tổng trực giao

8) ChoA là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H Khi đó, nếu xÎH

1.2.1 Định lý về hình chiếu lên không gian con

Khi đó phần tử bất kỳ xÎH biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

x= +y z yÎH z^H (1.2.1) Phần tử y trong biểu diễn (1.2.1) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian con H0.

= - , theo tính chất cận dưới đúng , tồn tại một dãy

phần tử ( )u n ÌH0 sao cho lim n .

( ) ( ) ( )

2 2

điều này vô lý Suy ra, ( , )z u = " Î 0, u H0 hay z^H0.

Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn (1.2.1)

Giả sử phần tử xÎH có thể biểu diễn dưới dạng (1.2.1) bằng hai cách

Khi đó, năm mệnh đề sau là tương đương:

1) Hệ ( )e n n³1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H ;

Lưu ý Tích vô hướng ( ,x e n) gọi là hệ số Fourier của phần tử xÎH đối với hệ

trực chuẩn ( )e n n³1ÌH Theo bất đẳng thức Bessel 2 2

chuỗi số dương gồm các bình phương modun các hệ số Fourier của một phần

tử bất kỳ thuộc không gian Hilbert H theo một hệ trực chuẩn tùy ý trong không gian H bao giờ cũng hội tụ Từ đó suy ra chuỗi

gọi là chuỗi Fourier của phần tử xÎH theo hệ trực chuẩn ( )e n n³1ÌH.

( ) 2 2

5) Þ 1) Giả sử xÎH và x^e n,(n= 1, 2,3 ) Khi đó, theo tính chất 6),x trực giao với bao tuyến tính của hệ ( )e n n³1 Nhưng bao tuyến tính của hệ ( )e n n³1 trù mật khắp nơi trong không gian H , (nghĩa là, tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳ các phần tử thuộc hệ ( )e n n³1 trù mật khắp nơi trong không gian H ), nên x= q Vậy hệ ( )e n n³1 là cơ sở trực chuẩn của không gian

.

H

1.2.4 Điều kiện cần và đủ để một không gian Hilbert là không gian tách

Định lý 1.2.4 Không gian Hilbert có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi không

gian đó là không gian tách được

Chứng minh Điều kiên cần

Giả sử không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn ( )e n n³1 Ký hiệu Y là bao tuyến tính của hệ ( )e n n³1 Theo định lý 1.2.3 tập Y trù mật khắp nơi trong không gian H

Ký hiệuA là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn tùy ý vectơ thuộc cơ sở trực chuẩn ( )e n n³1 với hệ số hữu tỉ hoặc với hệ số phức có phần thực và phần ảo hữu tỉ Dễ dàng thấy tập A đếm được Mặt khác , với phần

y=a e +a e + +a e Với e > 0 cho trước tùy ý, với

ảo hữu tỉ tùy theo số a j thực hoặc phức sao cho a j r j

gồm các vectơ độc lập tuyến tính (hữu hạn hay đếm được) Như vậy, bao tuyến tính của hệ trùng với bao tuyến tính của hệ ( )z n n³1 Nhờ quá trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt, ta nhận được hệ trực chuẩn ( )e n n³1 Bằng phép quy

nạp toán học, ta thấy bao tuyến tính của các vectơ e e1, , ,2 e n trùng với bao tuyến tính của các vectơ x x1, 2, ,x nvới mỗi số n nguyên dương Do đó bao tuyến tính của các hệ ( )e n n³1trùng với bao tuyến tính của hệ ( )x n n³1 Từ đó suy

ra bao tuyến tính của hệ trực chuẩn ( )e n n³1 trùng với bao tuyến tính của hệ ( )z n n³1 Nên bao tuyến tính của hệ trực chuẩn ( )e n n³1 trù mật khắp nơi trong không gian H Theo định lý (1.2.2) hệ trực chuẩn ( )e n n³1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H

1.3.1 Định lý Riesz về phiếm hàm tuyến tính liên tục

đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

các tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức

( ) ( , ), ;

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H

Ta giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kỳ trên H Ký hiệu

Đồng thời H0 là một tập con đóng trong H Thật vậy, nếu dãy điểm ( )x n ÌH0hội tụ tới điểm xÎH, thì nhờ tính liên tục của phiếm hàm , ta có:

Do đó H0 là một không gian con của không gian H

Nếu H=H0,nghĩa là f x( )= " Î 0, x H. Chọn phần tửa= q , ta nhận được biểu diễn (1.3.1):

f x = xq " Îx H vì ( , )x q = " Î 0, x H Nếu H¹H0, theo định lý về hình chiếu lên không gian con, tồn tại phần tử

0 0

( )

( , )

Định lý được chứng minh W

1.3.2 Định lý về toán tử liên hợp

X vào không gian Hilbert Y Khi đó, tồn tại toán tử A* liên hợp với toán tử

A ánh xạ không gian Y vào không gian X

là không gian tuyến tính thực

Thật vậy, hai phép toán trên đều tồn tại vì

Ánh xạ ( ).,. là một tích vô hướng trên không gian ¡n.

Thật vậy, ta kiểm tra sự thỏa mãn các tiên đề:

Thật vậy, chuẩn trên ¡n được xác định bởi hệ thức x = ( , ),x x " Îx ¡n

(hệ quả1.1.1) nên ta chỉ cần chứng minh ¡n là không gian Banach

=

k k k

n m

,

n m

k k k

x hội tụ tới x trong không gian ¡n. Nên không gian

n

¡ là một không gian Banach với chuẩn

2 1

n k k

=

Vậy, không gian ¡n là một không gian Hilbert

Mặt khác, ¡n là không gian là không gian tách

Thật vậy,giả sử dãy e k =(d dk1 , k2 , , dkn)Î ¡n,k = 1, ,n j= 1, 2, ,là cơ sở trực chuẩn trong không gian n

¡ , trong đó:

1

kj

d = nếu j=k, dkj = 0 nếu j¹k Thật vậy, dãy e k =(d dk1 , k2 , , dkn)Î ¡n,k= 1, ,n độc lập tuyến tính vì ( )n 1

=

=å Î ¡ Với ( )n 1 n

¡ Theo định lý 1.2.4 , ¡n là không gian Hilbert tách

Vậy, không gian ¡nlà không gian Hilbert tách được

Tập hợp l2 cùng với hai phép toán:

là không gian tuyến tính phức

Thật vậy, hai phép toán trên đều tồn tại , vì

k k k

Ánh xạ ( ).,. là một tích vô hướng trên không gian l2.

Thật vậy, trước hết ta kiểm tra: ánh xạ ( ).,. hoàn toàn xác định vì:

( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

x+ - =x x ¥= + -x ¥= = x -x ¥= = ¥= = q

x y

¥

=

Þå hội tụ tuyệt đối

Tiếp theo, ta kiểm tra các tiên đề:

Không gian l2 là không gian Hilbert

Thật vậy, chuẩn trên l2 được xác định bởi hệ thức x = ( , ),x x xÎl2; (Hệ quả 1.1.1) nên ta chỉ cần chứng minh l2 là không gian Banach

Suy ra với n m, ³n0:

( ) ( ) 2 1

Cho qua giới hạn trong đẳng thức (1.4.3) khi p ® ¥ ta được:

0 1

1 0 1

2 ¥ 2 e , 1, 2, ,

=

< å n + " = >

k k

Nên dãy cơ bản đã cho hội tụ tới x trong không gian l2.

Suy ra, không gian l2 là một không gian Banach với chuẩn

2 1

Vậy, không gian l2 là một không gian Hilbert

Mặt khác, l2 là không gian là không gian tách

=

£ å + < +¥

2 1

Chương 2 TÍCH TENXƠ CÁC KHÔNG GIAN HILBERT TÁCH

2.1.Khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách

2.1.1 Sơ đồ thành lập tích tenxơ các không gian Hilbert tách

Trong cuốn sách [ ]9 Giáo sư_Viện sĩ Yu.M.Berezanxki đã đưa ra sơ đồ thành lập tích tenxơ hai không gian Hilbert như sau:

Giả sử '

H và "

H là hai không gian Hilbert trên trường K(K là trường

số phức £ hoặc trường số thực¡) Các phần tử của '

Ta nhận được không gian tiền Hilbert L Làm đầy không gian tiền Hilbert L

theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2)

từ Llên toàn bộ không gian đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng đó, ta nhận được không gian Hilbert mới Không gian Hilbert mới nhận được gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert '

H và "

H , ký hiệu là ' "

Tuy nhiên, đối với không gian Hilbert nói chung việc chứng minh hệ thức (2.1.2) là một tích vô hướng không phải dễ Trong luận văn này, tôi chỉ xét các không gian Hilbert tách

2.1.2 Tích tenxơ các không gian Hilbert tách

Ta nhận thấy, công thức (2.1.2) hoàn toàn xác định một ánh xạ từ không gian

L L´ vào trường K, vì vế phải của công thức (2.1.2) là hoàn toàn xác định

Bây giờ ta kiểm tra công thức (2.1.2) thỏa mãn 4 tiên đề về tích vô hướng Giả sử giả sử l ÎK, các phần tử ' " ' " ' "

k k

k

f

f f f

f

q

q q

(q là phần tử không của không gian L)

Các tiên đề về tích vô hướng đều được thỏa mãn

Không gian L cùng với tích vô hướng (2.1.2) trở thành không gian tiền

Hilbert Làm đầy không gian tiền Hilbert L theo chuẩn sinh bởi tích vô

hướng (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2) từ Llên toàn bộ không gian

đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng đó, ta nhận được không gian Hilbert mới Không gian Hilbert mới nhận được gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert '

H và "

H , ký hiệu là H'ÄH"

= ïî

F GÎH ÄH đều có thể biểu diễn dưới dạng:

Mặt khác, tập hợp Lcùng với tích vô hướng (2.1.2) là không gian tiền Hilbert

và trù mật khắp nơi trong không gian Hilbert tích tenxơ H' ÄH" (do nguyên lí

làm đầy không gian) Nhờ đó và nhờ định lý (2.1.3), ta chỉ cần kiểm tra công thức (2.1.7) đối với các phần tử dạng:

Giả sử f n'® f' trong không gian '

H , f m" ® f" trong không gian "

H Khi đó,