Biểu diễn đại số lượng tử SU(2) theo các dao động tử đa mode biến dạng q (LV01166)

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: “BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU2 THEO CÁC DAO ĐỘNG TỬ ĐA MODE BIẾN DẠNG q” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS L-u ThÞ Kim Thanh

HÀ NỘI – 2013

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: “BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LƯỢNG

TỬ SU(2) THEO CÁC DAO ĐỘNG TỬ ĐA MODE BIẾN DẠNG q” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu tham khảo Khóa luận này

không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kỳ tác giả nào đã từng công bố

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc

Những điều tôi cam đoan trên đây hoàn toàn đúng sự thật Nếu sai tôi xin chịu trách nhiệm trước hội đồng

Hà Nội, tháng 06 năm 2013

Học viên

Đào Như Bắc

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: HỆ THỐNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ CHẤT LƯU 3

1.1 Các tính chất vật lí cơ bản của chất lưu 3

1.1.1 Đặc điểm của chất lưu 3

1.1.2 Khối lượng riêng – Trọng lượng riêng – Tỷ trọng 4

1.1.3 Tính nhớt 4

1.1.4 Tính nén được – suất đàn hồi K 6

1.1.5 Tính chất của dòng chảy – số Rây nôn 6

1.2 Tĩnh học chất lưu 7

1.2.1 Các khái niệm áp suất 7

1.2.2 Phương trình cân bằng của chất lưu 9

1.2.3 Định luật Paxcan 10

1.2.4 Định luật Acsimet 11

1.3 Động lực học lưu chất 12

1.3.1 Một số khái niệm 12

1.3.2 Phương pháp thể tích kiểm soát – đạo hàm tích phân khối 13

1.3.3 Phương trình liên tục 15

1.3.4 Phương trình động lượng 17

1.3.5 Phương trình năng lượng 18

1.4 Chuyển động của vật rắn trong chất lưu 21

1.4.1 Lực cản ma sát 22

1.4.2 Lực cản áp suất 23

2.1 Máy nén thủy lực 27

2.2 Phanh đĩa xe máy 28

2.3 Sự giữ cân bằng của tàu thuyền 28

2.4 Cách trục tàu đắm 29

2.5 Tàu ngầm, tàu lặn 30

2.6 Tác dụng của bong bóng cá 30

2.7 Khí cầu - bóng thám không 31

2.8 Cân phân tích 32

2.9 Hiện tượng vòi phun 32

2.10 Bộ chế hòa khí 33

2.11 Van an toàn 34

2.12 Đo vận tốc dòng chảy thoát ra khỏi lỗ nhỏ Công thức Torixenli 35 2.13 Đo vận tốc chất lỏng Ống Ven-tu-ri 36

2.14 Đo vận tốc của máy bay nhờ ống Pi-tô 37

2.15 Va chạm giữa hai xe ô tô chuyển động theo hai hướng song song và gần nhau 38

2.16 Ứng dụng của công thức Stốc xác định độ nhớt của chất lỏng 38

2.17 Xác định điện tích của các điện tử (thí nghiệm Milikan) 39

2.18 Đường cong của quả bóng bị uốn cong do hiệu ứng Magnus 41

2.19 Nguyên lý hoạt động và cơ cấu điều khiển máy bay, trực thăng 43

2.20 Khí động học của ôtô và những biện pháp cải thiện tính năng khí động học 48

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

MỞ ĐẦU

Đối xứng là đặc tính phổ biến trong nhiều hệ vật lí Việc tìm kiếm những đối xứng và sự vi phạm nó một cách tuần tự kiểm soát được, cũng như việc tìm kiếm những đại lượng bất biến trong vật lí là phương pháp chỉ đường phổ biến trong công cuộc khám phá các định luật vật lí Ngôn ngữ toán học của lý thuyết đối xứng là lý thuyết nhóm Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy nhóm lượng tử làm cơ sở là một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây Nhóm lượng tử là các kiểu biến dạng của đại số Lie thông thường mà sẽ thu lại được khi tham số biến dạng có giá trị bằng đơn vị [1,2] Ứng dụng của nhóm lượng tử trong vật lý trở nên phổ biến với việc đưa vào hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng [3,4], chẳng hạn như đã tìm được biểu diễn boson của đại số lượng tử SUq(2) và ứng dụng để giải phương trình Yang – Baxter [5] Đại số lượng tử còn có nhiều ứng dụng trong các ngành vật lý khác, như nghiên cứu về chuỗi spin, các anyoins, quang lượng tử, sự quay và dao động của hạt nhân nguyên tử…;

và ứng dụng trong lý thuyết trường conformal Từ đó chúng ta nhận thấy rằng, đại số lượng tử có lớp đối xứng rộng hơn lớp đối xứng Lie và bao gồm đối xứng Lie như trường hợp đặc biệt

Nghiên cứu đại số lượng tử SU(2) nằm trong hướng nghiên cứu trên, và

đã đạt được nhiều kết quả có ý nghĩa trong vật lý hạt nhân nguyên tử, trong vật lý hạt cơ bản…đã thu hút được sự quan tâm nghiêncứu của nhiều nhà

khoa học Vì vậy đề tài có ý nghĩa khoa học; đó là lý do tôi chọn đề tài “Biểu diễn đại số lượng tử SU(2) theo các dao động tử đa mode biến dạng q”

làm luận văn thạc sĩ của mình dưới sự hướng dẫn của cô giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh

1 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng

- Xây dựng các phân bố thống kê biến dạng

- Nghiên cứu đại số SU(2)

- Nghiên cứu đại số SU(2) biến dạng tổng quát

2 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp Lý thuyết trường lượng tử

- Phương pháp vật lý thống kê

- Phương pháp lý thuyết nhóm

3 Tên đề tài, kết cấu của luận văn

- Tên đề tài: Biểu diễn đại số lượng tử SU(2) theo các dao động tử đa

mode biến dạng q

- Kết cấu của luận văn: Gồm phần mở đầu và kết luận; Nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương :

Chương 1: Đối xứng đồng vị SU(2) của các hạt tương tác mạnh

Chương 2: Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2)

Chương 3: Biểu diễn đại số lượng tử SU(2) theo các dao động tử đa mode biến dạng q

Chương 1 ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2) CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH

1.1 Nhóm đối xứng SU(2)

1.1.1 Spin đồng vị

Vào năm 1930, kết quả nghiên cứu thực nghiệm về lực hạt nhân của proton và neutron, Heisenberg đã nhận thấy rằng: nếu như tách được điện tích của proton ra thì không có cách nào phân biệt được proton với neutron vì chúng có khối lượng và cường độ tương tác mạnh với các hạt khác xấp xỉ nhau [1], [2] Vì vậy Heisenberg đã đưa ra giả thiết xem proton p và neutron

n là hai trạng thái khác nhau của cùng một hạt gọi là nucleon N Để diễn tả điều này dưới dạng toán học, Heisenberg đưa ra khái niệm spin đồng vị Cũng tương tự như với spin thông thường, hạt có spin đồng vị I có thể ở (2I+1) trạng thái khác nhau với các giá trị : I3 = I I, -1, ,-I Như vậy

nucleon có spin đồng vị 1

2

I = , và proton là trạng thái có 3

1 2

p p- được xem như ba trạng thái khác

nhau của cùng một hạt p có spin đồng vị I = 1, p+ có I3 = +1, p0 có

3 =0,

I p-có I3 = - 1,tương tự với meson K, các baryon S X , ,

1.1.2 Nhóm đối xứng SU(2)

Định nghĩa: tập hợp tất cả các ma trận 2x2, Unita, có định thức bằng 1 thỏa mãn các tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(2)

gg+ =I , det g = 1

Mỗi phần tử của nhóm SU(2) được đặc trưng bởi ba thông số wa (a = 1, 2, 3)

và đều có thể viết dưới dạng

ở đây chỉ số lặp lại được quy ước là lấy tổng theo chúng, σa là ma trận

Pauli thỏa mãn hệ thức giao hoán

với eabchoàn toàn phản đối xứng theo mọi chỉ số và e123 =1, eabcđược gọi là

hằng số cấu trúc của nhóm SU(2) Dạng tường minh của ma trận Pauli như

1.2 Nhóm biến đổi SU(2)

Đối xứng đồng vị được mô tả bằng ngôn ngữ toán học bởi nhóm các

phép biến đổi SU(2), đó là nhóm các phép biến đổi thực hiện bởi các toán tử

U đặc trưng bởi ba thông số thực ωa, và có dạng:

w

w

w (1.3)

trong đó wa là các thông số thực vô cùng bé; I a là các vi tử của phép biến đổi,

có dạng ma trận 2x2, được đồng nhất với toán tử spin đồng vị, hermitic

a a

I + =I và tuân theo các hệ thức giao hoán:

1 3 Các đa tuyến của nhóm SU(2)

Dưới tác dụng của phép biến đổi đồng vị các toán tử trường biến đổi

theo qui tắc tổng quát:

Nếu có r hạt với các trường tương ứng ji( )x i, =1, 2, ,r, biến đổi

theo qui luật:

j i

i

e

s w

trong đó: i, j=1,2 và ta có spinor đồng vị 1

2

jj

è ø ứng với giá trị:

1 2

c

be

So sánh (1.12) với (1.13) ta suy ra (1.11) Công thức (1.11) rất thuận tiện để sắp sếp các hạt theo thành phần của đa tuyến đồng vị

Ví dụ:

1 Với vô hướng đồng vị Ta = 0 nên [ Ta, j ] = 0 Đó là các trường hợp

đơn tuyến đồng vị (I=0) như baryon Ù, meson h,v v…

2 Với spinor đồng vị 1

2

y y

è ø với

p N n

æ ö

= ç ÷

K K K

3 Với vector đồng vị Fa, a=1,2,3, ta có:

Hệ thức này cho ta các biểu thức sau:

Như vậy:

( ) ( 1 2)

11

1 1

è øđược mô tả bởi spinor đồng vị hạng

3 hoàn toàn đối xứng yijkvới 4 thành phần độc lập y y y y111, 112, 122, 222.

Quy luật biến đổi của spinor đồng vị hạng ba giống như quy luật biến đổi của tích ba spinor đồng vị hạng một, cụ thể là:

23

y æ ö = ç ÷ y

1 , 2

y æç- ö÷= y

1,2

=

-I

222

32

y æç- ö÷=y

è ø ứng với hạt có 3

3.2

,3

23

, 3

2 3

2

.1

23

B

ìï

= -í

ïî

Baryon Phản baryon Meson

Theo đó nucleon và K-meson có Y=1, S - , p m on es , , Ù - h m on es

Hãy xét một ví dụ cụ thể Giả sử ta cần lập Lagrangian bất biến đồng vị

mô tả tương tác giữa nucleon và meson p Dạng đơn giản nhất của

1.4 Tính số lượng tử của các hạt trong đối xứng SU(2)

1.4 1 Các số lượng tử của proton và notron

Như ta đã biết hai hạt proton và notron lập thành một biểu diễn cơ sở

T s

a a

s = là các ma trận Pauli, ta có

* Hạt proton là hạt baryon nên số baryon của hạt proton là 1: B p = 1

* Hạt proton không là hạt lepton nên số lepton của hạt proton là 0:L p = 0

* Hạt proton không là hạt lạ nên số lạ của hạt proton là 0: S p = 0

* Siêu tích của hạt proton (Y ) được tính theo công thức: p

1 0 0 1.

Y =B +S +L

= + + =

Vậy siêu tích của hạt proton là 1: Y =1 p

* Điện tích của hạt proton (Q ) p

Vậy điện tích của hạt proton là +e

v Các số lượng tử của hạt notron

* Tìm hình chiếu spin đồng vị (I3):

2 3

* Hạt notron không là hạt lepton nên số lepton của hạt notron là 0:L n = 0

* Hạt notron không là hạt lạ nên số lạ của hạt notron là 0: S n =0

* Siêu tích của hạt notron (Y n) được tính theo công thức:

Vậy siêu tích của hạt notron là 1: Y n=1

* Điện tích của hạt notron (Q n)

Vậy hạt notron không mang điện

1.4.2 Các số lượng tử của p -meson

Như ta đã biết 3 hạt p -meson lập thành một biểu diễn chính quy của

aij aij aj

Vậy điện tích của hạt p+

là +e

v Các số lượng tử củaHạtπ 0

* Tìm hình chiếu spin đồng vị (I3):

* Hạt p không là hạt baryon nên số baryon của hạt 0 p là 0: 0 Bp0 = 0

* Hạtp không là hạt lepton nên số lepton của hạt 0 p là 0:0 Lp0 = 0

* Hạt p không là hạt lạ nên số lạ của hạt 0 p là 0: 0 Sp0 = 0

* Siêu tích của hạt p (0 Yp0) được tính theo công thức:

Vậy hạt p không mang điện 0

21

)2

Chương 2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2)

2.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa

Xuất phát từ biểu thức Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính [3], [4]

2 m (2.6)

Các toán tử ˆavà ˆa+

thỏa mãn hệ thức giao hoán

+

=

N a a, (2.9) Toán tử µN và các toán tử ˆavà ˆa+

thỏa mãn hệ thức

trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng h , [3], [5] w

Chúng ta thiết lập được các công thức sau:

Các toán tử ˆavà ˆa+ gọi là toán tử hủy hạt và sinh hạt, tương ứng, toán

tử N a a là toán tử số hạt, n là véc tơ trạng thái có n hạt ˆ =ˆ ˆ+

2.2 Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2)

2.2.1.Hệ dao động tử boson đa mode

Xét hệ dao động tử boson đa mode, hệ thức (2.7) đối với các dao động

tử boson đơn mode được tổng quát hóa cho các dao động tử boson đa mode như sau [4], [5], [6]

và tuân theo các hệ thức giao hoán

i j

j j i j i

j j i j i

Trạng thái có n1dao động tử mode 1, n2 dao động tử mode 2, v.v…

được mô tả bởi vectơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử

n i

2.2.2.Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2)

Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) được thực hiện bởi hệ dao động tử hai mode Các vi tử J J J của đại số SU(2) được biểu diễn theo các ˆ ˆ ˆ1 , 2 , 3

toán tử boson như sau:

ˆ a

Viết tường minh, ta có dạng của các vi tử ˆ ˆ ˆJ J J là: 1 , 2 , 3

1 2 1

2

ˆ

0 11

ˆ ˆ

ˆ

1 02

ˆ ˆ

ˆ 2

2

ˆ0

1

ˆ ˆ

ˆ02

a i

a a

a i

2

ˆ

1 01

ˆ ˆ

ˆ

0 12

1

, 2

1

2

a a a a J

a a a a J

(2.22)

Từ hệ thức giao hoán (2.14), ta tìm được hệ thức giao hoán của các vi

tử J ˆi , còn gọi là các biểu thức của đại số SU(2):

trong đó eijkhoàn toàn phản đối xứng với các chỉ số và e123= 1

Để thuận tiện đôi khi người ta còn dùng các vi tử của đại số SU(2) là tổ hợp của các vi tử trên

+ -

( 1 2).

1

J = 2 N + N (2.29) Chúng ta có thể biểu diễn toán tử Casimir theo toán tử ˆJ

Theo định nghĩa của toán tử số dao động tử Nˆ ivà từ công thức (9.16) chúng ta có

1

2

được xác định bởi hai số n 1 và n 2) Ta nhận xét rằng toán tử ˆJ3 giao hoán với

ˆJ nên ˆJ3 có giá trị riêng xác định, ký hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa của ˆJ3 ở (2.22), ta có

(2.27) có thể đặc trưng bởi các trị riêng j và m liên hệ với n 1 và n 2 như sau:

j j

m = , -1, ,- +1,- (2.36)

Do đó không gian biểu diễn bất khả quy có 2j + 1 chiều Tác dụng của

các toán tử a a a aˆ1+, ˆ2+, ,ˆ ˆ1 2 lên các véc tơ trạng thái j m , như sau:

Từ công thức (2.37) chúng ta tìm được tác dụng của toán tử a aˆ ˆ1+ 1 lên véc tơ trạng thái j m , như sau:

-J -J J của đại số SU(2) tác dụng lên véc tơ trạng

thái j m , trong không gian con của biểu diễn bất khả quy theo các phương

biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) trong không gian con và xây dựng toán tử Casimir thỏa mãn tính chất giao hoán với tất cả các vi tử của đại số SU(2)

Nhóm SU(2) và cụ thể là đại số SU(2) được ứng dụng trong các mô hình quay tử của vật lý, như các phân tử hai nguyên tử, các mô hình của vật lý hạt nhân… ; các ứng dụng này đã đạt nhiều kết quả tốt, nhưng để phù hợp với kết quả thực nghiệm hơn, các nhà khoa học đã đưa ra nhóm lượng tử SU(2), mà một phần của nó chúng tôi sẽ trình bày ở chương sau

Chương 3 BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(2) THEO CÁC DAO ĐỘNG TỬ

ĐA MODE BIẾN DẠNG -q

3.1 Dao động tử boson biến dạng q

Dao động tử boson biến dạng q đ-ợc định nghĩa theo các toán tử sinh hạt aˆq+, toán tử hủy hạt a ˆq và toán tử số hạt Nˆ thỏa mãn các hệ thức giao hoán phụ thuộc vào tham số biến dạng q

Cơ sở của không gian Fock đ-ợc xác định bởi sự tác động liên tiếp của toán tử sinh aˆq+ lên trạng thái chân không đã bị hủy bởi aˆq, ta có

[ ] [ ]

q

q q

q

a

a

(3.4)

Các toán tử tọa độ q ˆ và toán tử xung ˆp đ-ợc biểu diễn theo các toán tử sinh

hạt, hủy hạt khi có biến dạng q

m m

w w

Hệ thức giao hoán giữa ˆp và qˆ là

[ ]ˆ ˆ, = h{ộ ựở ỷˆ -ộở ˆ +1ựỷ }.

p q i N N (3.5)

Hamiltonian của dao động tử điều hòa biến dạng q

q khụng suy biến, hay bậc suy biến của cỏc mức năng lượng g=1

+ Đặc điểm 5: Trong tr-ờng hợp q=1 chúng ta có biểu thức phổ năng lượng của dao động điều hũa tuyến tớnh

12

n

E =ổỗn+ ửữ w

3.2 Biểu diễn dao động tử của đại số SU q (2)

Để đưa ra biểu diễn bất khả quy của đại số lượng tử SUq(2) chúng ta

dựa vào hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng q ở trên với trường

hợp hai mode mà các dao động tử ở các mode khác nhau độc lập với nhau Khi đó chúng ta có hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy dao động tử như

bất khả quy của đại số lượng tử SUq(2) có thể thu được từ trạng thái (3.16)

với n 1 = (j + m) và n 2 = (j – m) Từ đó không gian con với các véc tơ cơ sở

của biểu diễn bất khả quy là