Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân (LV00958)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HÀ THỊ THANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2013... BỘ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ THỊ THANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN

ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ THỊ THANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN

ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2013

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn

đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Hà Thị Thanh

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, tác giả cũng được bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Hà Thị Thanh

MỤC LỤC Trang

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Bảng ký hiệu v

Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tương và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Dự kiến kết quả nghiên cứu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Lý thuyết về sai số 3

1.1.1 Khái niệm về số gần đúng 3

1.1.2 Sai số tính toán 5

1.2 Sai phân 7

1.2.1 Định nghĩa 7

1.2.2 Tính chất của sai phân 7

1.2.3 Bảng sai phân 8

1.3 Khái niệm về hàm giải tích 9

1.4 Không gian định chuẩn 11

1.4.1 Khái niệm không gian định chuẩn 11

1.4.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 12

1.4.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 13

1.5 Phương trình vi phân thường và bài toán biên của phương trình vi phân thường 14

1.5.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân 14

1.5.2 Bài toán biên của phương trình vi phân thường 16

Chương 2 Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân 20

2.1 Phương pháp Galerkin 20

2.1.1 Nội dung phương pháp 20

2.1.2 Phương pháp Galerkin giải một số bài toán biên tuyến tính 23

2.2 Phương pháp Collocation (Phương pháp sắp xếp thứ tự) 28

2.2.1 Nội dung phương pháp 28

2.2.2 Phương pháp Collocation giải một số bài toán biên tuyến tính 31

2.3 Phương pháp khử lặp 33

2.3.1 Nội dung phương pháp 33

2.3.2 Phương pháp khử lặp giải một số bài toán biên tuyến tính 38

Chương 3 Một số ứng dụng 43

3.1 Giải một số bài toán biên tuyến tính bằng nhiều phương pháp 43

3.2 Ứng dụng Maple vào các phương pháp Galerkin, phương pháp Collocation, phương pháp khử lặp để giải bài toán biên tuyến tính 54

Kết luận 65

Tài liệu tham khảo 66

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình vi phân được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ 18, từ đó đến nay nó là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học hiện đại Rất nhiều bài toán trong toán học, vật lý, hóa học…đều dẫn đến việc giải phương trình vi phân Vì thế sự ra đời của lý thuyết phương trình vi phân là rất cần thiết

Đối với các phương trình đại số, nghiệm cần tìm thường nhận được là giá trị cụ thể, còn đối với phương trình vi phân nghiệm cần tìm là một hàm của các biến độc lập thỏa mãn mối quan hệ về vi phân Cụ thể là đối với một

số bài toán, ngoài việc cho ở dạng phương trình vi phân nó còn kèm theo một

số điều kiện mà ta gọi là điều kiện biên, các bài toán như vậy được gọi là bài toán biên đối với phương trình vi phân

Để nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết phương trình vi phân, đặc biệt là việc giải gần đúng một số bài toán biên liên quan đến phương trình vi phân, cùng với sự định hướng và tận tình chỉ bảo của thầy giáo- TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn đề tài:

“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu bài toán biên của phương trình vi phân và một số phương pháp giải bài toán đó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các bài toán biên của phương trình vi phân và phương pháp giải các bài toán đó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán biên của phương trình vi phân

+) Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp giải các bài toán biên của phương trình vi phân: Phương pháp Galerkin, phương pháp Collcation, phương pháp khử lặp

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp tổng hợp, phân tích tài liệu và kiến thức có liên quan

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu của phương trình vi phân và giải tích số

6 Dự kiến kết quả nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân Nêu lên một số ứng dụng vào các bài toán cụ thể

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Lý thuyết về sai số

1.1.1 Khái niệm về số gần đúng

Định nghĩa 1.1 Số a được gọi là số gần đúng của số a* nếu a không sai

khác a* nhiều Ký hiệu: a a» *

Định nghĩa 1.2 Đại lượng D = -a a* được gọi là sai số thực sự của a

Nói chung ta không biết a* nên không biết D Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của a bằng số dương D ³ sao cho a 0

a a- * £ Da (1.1)

Định nghĩa 1.3 Số D nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.1) gọi là sai số tuyệt a

đối của số gần đúng a Khi đó a* = ± Da a

- Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối

Định nghĩa 1.5 Sai số thu gọn

Nếu k t- ³ 0 thì a là số nguyên; k t- = -m (m > 0) thì a có phần

lẻ gồm m chữ số

Thu gọn (làm tròn) số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để

được một số a ngắn gọn hơn và gần đúng với a nhất

* Quy tắc thu gọn:

Giả sử

1 1

Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả “0” nếu nó kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

Giả sử a là giá trị xấp xỉ của a* với sai số tuyệt đối D Nếu a

0,5.10s

a

D £ thì a là chữ số chắc, ngược lại thì nói s a là chữ số không s

chắc

Từ định nghĩa ta thấy rằng, nếu a là chữ số chắc thì tất cả các chữ số s

có nghĩa đứng bên trái nó cũng là chữ số chắc Nếu a là chữ số không chắc s

thì tất cả những chữ số đứng bên phải nó cũng là chữ số không chắc

Sau đây ta có sai số của các phép tính cơ bản:

x y

số với nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc

b Sai số của các phép tính nhân

Nếu a > (phép lấy lũy thừa) thì 1 d y >d x, do đó độ chính xác giảm Nếu 0< < (phép khai căn) thì a 1 d y < d x, do đó độ chính xác tăng Nếu a = -1 (phép nghịch đảo) thì d y = d x, do đó độ chính xác không đổi

* Sự ổn định của quá trình tính toán: Xét một quá trình vô hạn (tức là

vô số bước) để tính ra một đại lượng nào đó Ta nói quá trình tính toán là ổn định nếu sai số tính toán tức là các sai số thu gọn tích lũy lại không tăng vô hạn Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính toán là không ổn định

1.2 Sai phân

1.2.1.Định nghĩa

Giả sử y = f x( ) là hàm số xác định trên tập X h =, const 0.>

Ta gọi sai phân cấp 1 của f x( ) tại điểm x là biểu thức

1.2.2 Tính chất của sai phân

a Sai phân là toán tử tuyến tính, nghĩa là "a b, Î "¡, ,fg ta có

y D y D2y D3y D4y …

… 2

i

y

-D

2 1

i

y

-D

3 1

1.3 Khái niệm về hàm giải tích

Định nghĩa 1.7 Cho hàm số f xác định trên miền W Ì £ Xét giới hạn

Nếu f giải tích tại mọi z Î W, ta nói f giải tích trên W (hay f chỉnh hình

(iv) Nếu f HÎ W( ) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi

Định lý 1.3 Nếu f W ® W: * và g W ® £: * là các hàm giải tích, ở đây W

và W* là các miền trong mặt phẳng ( )z và ( )w , thì g f W ®o : £ giải tích

Định lý 1.4 Giả sử chuỗi lũy thừa

0

n n

1.4 Không gian định chuẩn

1.4.1 Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.9 Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K (K = ¡

2 (" Îx X)(" Îa K) a x = a x (tính thuần nhất của chuẩn)

3 ( ,"x y X x yÎ ) + £ x + y (bất đẳng thức tam giác)

Số x gọi là chuẩn của phần tử x

Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề của chuẩn

Định nghĩa 1.10 Giả sử X là không gian vectơ trên trường K, là một

chuẩn trên X Khi đó cặp ( )X, được gọi là không gian định chuẩn

( )X, là không gian định chuẩn thực hoặc phức nếu K là trường thực hoặc phức Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X

Ví dụ 1.1 Với mọi x Î ¡ , đặt

x = x

Dễ thấy công thức trên xác định một chuẩn trên ¡ Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là ¡1

1.4.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.11 Dãy điểm ( )x n trong không gian định chuẩn X hội tụ đến

Định nghĩa 1.12 Dãy điểm ( )x n trong không gian định chuẩn X gọi là dãy

cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim n 0

Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ

1.4.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.13 Giả sử X Y là hai không gian định chuẩn trên trường , K

Một ánh xạ A X: ® gọi là một toán tử tuyến tính nếu: Y

1 A x( 1 +x2) ( ) ( )= A x1 +A x2 ,"x x1 2 ÎX

2 A x( )a = a A x( ) " Îx X," Îa K

Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A x( ) để chỉ phần tử ứng với x trong

toán tử A Dễ thấy hai điều kiện 1 và 2 tương đương với

( 1 1 2 2 n n) 1 1 2 2 n n

A x a +a x + +a x = a Ax +a Ax + +a Ax

( , , ,"x x x n ÎX;"a a, , ,a n ÎK) Nếu X Y= thì ta nói A là một toán tử trong X

Ví dụ 1.2 Giả sử X Y C= = [ , ]a b Toán tử tích phân

( ) b ( , ) ( )

a

Ax t = ò K t s x s ds, trong đó K t s( , ) là một hàm số liên tục của t và s trong hình vuông

,

a t s b£ £ , là toán tử tuyến tính trong C[ , ]a b

Định nghĩa 1.14 Một toán tử A X: ® gọi là liên tục nếu Y

n

x ® x n ® ¥ luôn kéo theo Ax n ® Ax n0( ® ¥ )

Một toán tử tuyến tính từ ¡k vào ¡m bao giờ cùng liên tục

Thật vậy, ta đã biết một toán tử tuyến tính từ ¡k vào ¡m có dạng tổng quát

: k m

A ¡ ® ¡ , ( 1 2, , , k) ( 1 2, , , m)

k k

bị chặn, định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.15 Một toán tử A X: ® gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại Y

Định lý 1.5 Một toán tử A X: ® là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn Y

1.5 Phương trình vi phân thường và bài toán biên của phương trình vi phân thường

1.5.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân

Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo hàm của nó

Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình

vi phân thường

Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phương trình đạo hàm riêng

Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa

hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm của hàm số đó:

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình

Hàm y = j( )x được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu thay

y =j x y¢ =j¢ x y =j x vào (1.4) thì ta được phương trình đồng nhất thức

Hàm số y = j( , )x c (c Î ¡) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) nếu:

(i) "( , )x y ÎD (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra

( , )

c = j x y

(ii) Hàm y = j( , )x c thỏa mãn (1.4) khi ( , )x y chạy khắp D với mọi

c Î ¡

1.5.2 Bài toán biên của phương trình vi phân thường

a) Một số khái niệm

Giả sử hàm f x f x liên tục trên ( ), ( )i é ùê úa b, và f ¹ n 0

Lập phương trình vi phân tuyến tính

( ) 0

( ) n ( ) ( )i ( )

i i

L y f x y x f x

=

= å = (1.5) Chọn các hằng số a b sao cho ma trận ( )j k ; ( )j k

Phương trình (1.4) cùng các điều kiện (1.8) lập thành bài toán biên Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu g j = 0;j =1,m và f x =( ) 0 Trong các trường hợp khác ta gọi là bài toán biên không thuần nhất Đôi khi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu g = nhưng j 0 f x ¹( ) 0

Định nghĩa tổng quát về bài toán biên trên đây bao gồm cả bài toán biên Cauchy thông thường (khi ( )k 0; ,

Ta thấy j( ) 0x = thỏa mãn bài toán biên thuần nhất, nghiệm đó gọi là nghiệm tầm thường

Nếu j j1 2, , ,j là các nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổ i

hợp tùy ý của chúng c1 1j +c2 2j + + c i i j cũng là nghiệm của bài toán đó

b) Điều kiện giải được của bài toán biên

Giả sử biết một nghiệm riêng j của phương trình (1.4) và hệ nghiệm 0

cơ bản j1, ,j của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toán biên n

(1.4)-(1.6) và (1.7) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số c trong biểu i

thức j j= 0 +c1 1j + + c n n j sao cho điều kiện (1.8) được thỏa mãn Vì vậy điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được là ma trận

L

(1.9)

Nếu ma trận (1.8) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được và

có (n r- ) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m n<

Nếu ma trận (1.9) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được và

có (n r- ) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m n<

Trường hợp m n= bài toán biên thuần nhất chỉ có một nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận (1.9) bằng 0

Vậy trong trường hợp m n= , hoặc bài toán biên không thuần nhất có duy nhất một nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất tương ứng có ít nhất một nghiệm không tầm thường

c) Bài toán biên hai điểm tuyến tính

Cho phương trình

( , , , , , ( )n ) 0;

F x y y y¢ ¢¢ y = a x b£ £ (1.10) Bài toán biên hai điểm đối với phương trình (1.10) như sau:

Cho hàm số y x( ) thỏa mãn điều kiện (1.9) trên é ùê úa b, và thỏa mãn điều kiện ở hai đầu đoạn thẳng

l y b = a y b +b y b¢ = g , (1.15)

trong đó p x q x f x( ), ( ), ( ) là những hàm số cho trước; a b g a b g là 0 0, , , , ,0 1 1 1những hằng số cho trước

Như vậy trong chương 1 chúng ta đã hệ thống lại các kiến thức cơ bản chuẩn bị làm cơ sở lý thuyết để xây dựng các phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân ở chương 2, chương chính của luận văn

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN

ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

( ) ( )( ) ( )

Khi đó phương pháp Galerkin để giải phương trình L y( )= f như sau:

Giả sử trên é ùê úa b, cho dãy hàm

{U x (2.3) n( )}nthỏa mãn các điều kiện sau:

i) Dãy hàm (2.3) là hệ trực giao theo nghĩa

( ) ( ) 0

b

i j a

f x ¹ mà f x( ) trực giao với hệ này

iii) Hệ hữu hạn các hàm thuộc vào cơ sở U x i i( ),( = 0, )n được chọn sao cho U x thỏa mãn điều kiện biên không thuần nhất, tức là 0( )

0 0

( )( )

a b

U A

U B

ìïG =ïí

ïG =ïî

còn U x i i( ),( =1, )n thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất, tức là

thỏa mãn điều kiện biên

Xét đại lượng không khớp

Nhận xét 2.1 Khi chọn hệ cơ sở { }U x i( ) i=0,n thì điều kiện trực giao là không bắt buộc nếu c k k( =1, )n được chọn từ điều kiện cực tiểu của không khớp Chẳng hạn, thay vào việc chọn hệ cơ sở đầy đủ và trực giao trên é ùê úa b, ta có thể chọn những hàm là tổ hợp tuyến tính của hệ trên sao cho các hàm vừa chọn tạo thành một hệ độc lập tuyến tính

2.1.2 Phương pháp Galerkin giải một số bài toán biên tuyến tính

Bài toán 2.1 Bằng phương pháp Galerkin hãy giải bài toán sau:

y¢¢-2xy¢+2y = 3x2 + -x 1 (2.5)

với điều kiện biên

(0) 0(1) 1

y y

3 2

2 0

-Ta tìm nghiệm gần đúng của bài toán dưới dạng

( )

1 0

-íïï- - = ïïî

-1 2

1,1672530,961267

c c

ìï = ï

Bài toán 2.2 Bằng phương pháp Galerkin hãy giải bài toán sau

y¢¢-y¢cosx y+ sinx = cos2x (2.6) với điều kiện y( )- =p y( ) 2p =

( ) cos sin

Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2 3 4

2sin ,sin 2cos ,

23 (cos 1) 1cos 4sin2 3cos3

2.2 Phương pháp Collocation (Phương pháp sắp xếp thứ tự)

2.2.1 Nội dung phương pháp

(2.7)

Đặt

Xét hệ độc lập tuyến tính {U x U x0( ), ( ), , ( )1 U x n } với x Î ê úé ùë ûa b, , ( ) ( 0, )