Sóng nhỏ spline và một số ứng dụng (LV01054)

Lý do chọn đề tài Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế, cũng như những lĩnh vực khác của cuộc sống chúng ta rất nhiều vần đề, rất nhiều bài toán đưa tới nghiên cứu các phương trì

Mục lục i

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 1

1.1.1 Không gian véctơ……… 1

1.1.2 Không gian định chuẩn……… 2

1.1.3 Không gian Hilbert……… 4

1.2 Biến đổi Fourier 5 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier ……… 5

1.2.2 Tính chất của biến đổi Fourier ……… 6

Chương 2 Sóng nhỏ spline 7 2.1 Cơ sở sóng nhỏ Haar 7

2.1.1 Xấp xỉ bằng hàm thang bậc ……… 7

2.1.2 Cơ sở sóng nhỏ Haar……… 8

2.2 Phân tích đa phân giải 10 2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải……… 10

2.2.2 Tính ổn định của hàm thang bậc ……… 11

2.2.3 Tính đầy đủ của hàm thang bậc……… 11

2.3 Sóng nhỏ spline trực chuẩn 12

2.3.1 B-spline cơ bản……… 12

2.3.2 Xây dựng sóng nhỏ spline trực chuẩn……… 14

2.4 Sóng nhỏ có giá compact 19

2.4.1 Tính chất cơ bản của mặt nạ……… 20

2.4.2 Biểu trưng của một hàm thang bậc trực giao……… 21

2.5 Hàm thang bậc Daubechies 23

2.5.1 Dạng tích vô hạn……… 23

2.5.2 Chứng minh hàm thang bậc khả tích bình phương……… 26

2.5.3 Tính trực giao của hàm thang bậc……… 27

2.6 Sóng nhỏ spline 30

2.6.1 Một số ưu điểm của sóng nhỏ spline……… 30

2.6.1.1 Nghiệm hình thức đóng……… 30

2.6.1.2 Thao tác đơn giản……….……… 32

2.6.1.3 Tính đối xứng……….……… 32

2.6.1.4 Hàm thang bậc ngắn nhất của thứ tự L ……….……… 32

2.6.1.5 Tính lớn nhất cho một thứ tự L nhất định……….…… 33

2.6.1.6 Mối liên hệ m- thang……… ……….……… 33

2.6.1.7 Tính biến phân……… ……….……… 34

2.6.1.8 Tính xấp xỉ tốt nhất……….……….………… 34

2.6.2 Sóng nhỏ spline tựa trực giao……… 35

2.6.2.1 Sóng nhỏ spline tựa trực giao trên ……….……… 35

2.6.2.2 Cơ sở sóng nhỏ tựa trực giao trên khoảng hữu hạn……….… 39

2.6.3 Sóng nhỏ spline tựa nội suy……….……… 45

2.6.3.1 Cơ sở sóng nhỏ spline tựa nội suy trên ……… … 45

2.6.3.2 Cơ sở sóng nhỏ spline tựa nội suy trên khoảng hữu hạn …… 46

Chương 3 Một số ứng dụng sóng nhỏ spline 50

3.1 Ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải phương trình đạo hàm riêng … 50

3.1.1 Xấp xỉ sóng nhỏ……… 50

3.1.2 Phương pháp sóng nhỏ Collcation giải xấp xỉ phương trình bậc một 51 3.1.3 Phương pháp sóng nhỏ Collcation giải xấp xỉ phương trình bậc hai 54 3.2 Ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải phương trình tích phân tuyến tính 56 3.2.1.Hàm thang bậc B-spline cơ bản có giá trên đoạn  0,1 …… …… 57

3.2.2 Phương trình đại số tương ứng với phương trình tích phân……… 59

3.2.3 Ví dụ và kết quả bằng số……… 61

Kết luận 64

BẢNG KÝ HIỆU

Tập số tự nhiên



Tập số tự nhiên khác không Tập số thực

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế, cũng như những lĩnh vực khác của cuộc sống chúng ta rất nhiều vần đề, rất nhiều bài toán đưa tới nghiên cứu các phương trình vi phân, phương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng…Việc tìm nghiệm đúng của các phương trình này thường gặp khó khăn, hơn nữa nghiệm đúng tìm được khi áp dụng vào thực tiễn tính toán lại phải lấy các giá trị gần đúng Vì vậy để tìm nghiệm của các phương trình trên ta thường

áp dụng các phương pháp giải gần đúng khác nhau

Trong những năm gần đây các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nhiều đến việc ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải gần đúng các phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân và tích phân Sở dĩ như vậy vì ứng dụng sóng nhỏ spline có một số ưu điểm sau:

- Sóng nhỏ spline sử dụng trong giải gần đúng các phương trình có nhiều ứng dụng thực tế và có thể lập trình đưa lên máy tính tính toán thuận lợi và hiệu quả

- Trong nhiều trường hợp, sóng nhỏ spline thường có độ chích xác của nghiệm gần đúng tốt

- Có thể nghiệm xấp xỉ bằng hàm thang bậc Daubechies hoặc các hàm sóng nhỏ B-spline

Do đó với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã chọn đề tài:

“Sóng nhỏ spline và một số ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

- Tổng hợp các kiến thức cơ sở về sóng nhỏ spline, như: Cơ sở sóng nhỏ Haar,

cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn, cơ sở sóng nhỏ spline tựa trực giao, cơ sở sóng nhỏ

tựa nội suy…

- Ứng dụng sóng nhỏ spline để giải gần đúng một số phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống các kiến thức liên quan đến sóng nhỏ spline

- Nghiên cứu sử dụng sóng nhỏ spline vào giải gần đúng một số các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

4 Đối tượng nghiên cứu

Cơ sở sóng nhỏ spline, hàm spline, hàm sóng nhỏ spline và ứng dụng sóng nhỏ spline

5 Phương pháp nghiên cứu

NỘI DUNG

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi trình bầy hệ thống các kiến thức cơ sở cần thiết sử dụng trong luận văn

Chương 2 Sóng nhỏ spline

Trong chương này, tôi trình bầy có hệ thống cơ bản nhất về cơ sở sóng nhỏ Haar, sóng nhỏ spline trực chuẩn, cơ sở sóng nhỏ trực giao, các hàm thang bậc Daubechies, sóng nhỏ tựa trực giao và sóng nhỏ spline tựa nội suy

Chương 3 Một số ứng dụng sóng nhỏ spline

Trong chương này, tôi trình bầy ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải gần đúng một số phương phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm

1.1.1 Không gian véctơ

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu : , , ,    và

trường K mà các phần tử được kí hiệu là : , , , x y z

Giả sử trên E có hai phép toán:

c) Tồn tại E sao cho           , , E;

d) Với mỗi tồn tại 'E sao cho :    '   ' ;

e) x y x  y, a E và x y, K;

f) x  xx  , , E và xK;

g) x y   xy  , E và x y, K;

h) 1.    , E và 1 là một đơn vị của trường K

Khi đó E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian véc tơ trên trường

K , hay K -không gian véc tơ, hay không gian tuyến tính Khi K  thì E

gọi là không gian véc tơ thực

Khi K  thì E gọi là không gian véc tơ phức

Ví dụ 1.1.1 Dễ dàng kiểm tra C a b là một không gian véc tơ  ,

Định nghĩa 1.1.2 Hệ véc tơ  i , i 1, 2,3, ,n gọi là độc lập tuyến tính nếu

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E là một không gian véc tơ Một hệ véc tơ trong E

được gọi là một hệ sinh của E nếu mọi véc tơ của E đều biểu thị tuyến tính

qua hệ đó

Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì E gọi là không gian véc

tơ hữu hạn sinh

Một hệ véc tơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh độc lập

tuyến tính

Định nghĩa 1.1.4 Cho E là không gian véc tơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử

thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian véc tơ

Khi E là một K - không gian véc tơ có số chiều n ta kí hiệu

dimE n hay dimK En

Định nghĩa 1.1.5 Tập con W  của một K - không gian véc tơ của E được gọi là không gian véc tơ con của E , nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau

1)  , W,   W;

2)   Wvà  x K thì xW

1.1.2 Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian véc tơ trên trường P ( P hoặc )

Định nghĩa 1.1.6 Một chuẩn, kí hiệu  , trongX là một ánh xạ đi từ X vào

thỏa mãn các điều kiện

1) x   0, x X;

2) x 0 khi và chỉ khi x (  là kí hiệu phần tử không );

3) x   x ,    P, x X;

4) x y x  y ,x y, X

Số x được gọi là chuẩn ( hay độ dài) của véc tơ xX Một không gian

véc tơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một

không gian định chuẩn ( thực hoặc phức, tùy theo P là thực hay phức)

Định lý 1.1.1 Giả X là một không gian định chuẩn Với mọi x y, X,đặt

d x y ,  x y

Khi đó d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.7 Dãy  x trong không gian định chuẩn X được gọi là hội n

Định nghĩa 1.1.8 Dãy  x trong không gian định chuẩn X được gọi là một n

dãy cơ bản nếu

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric

đầy đủ (với khoảng cách d x y ,  x y ) Khi đó X được gọi là một không

gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.10 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P

Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ tuyến tính

hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:

1) A x  y Ax Ay, x y, X;

2) A x Ax,  x X, P

- Nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính

- Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất

- Khi Y P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.11 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu

L X Y là tập tất cả các toán tử tuyến bị chặn từ tính không gian X vào

không gian Y Ta đưa vàoL X Y , hai phép toán:

1) Tổng của hai toán tử A B, L X Y , là toán tử , kí hiệu AB,xác định bởi biểu thức

1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian tuyến tính X trên trường P

(P hoặc P ) Ta gọi tích vô hướng trên không gianX mọi ánh xạ từ

tích Descartes X X vào trường P , kí hiệu   , , thỏa mãn các tiên đề

1)    y x,  x y, ,x y, X ;

tiên đề của tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.13 Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một

tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert

Định lý 1.1.3 Cho X là không gian tiền Hilbert Với mỗi xX , đặt

Định nghĩa 1.1.14.Ta gọi không gian tuyến tính H   trên trường P là

không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tiền Hilbert;

2) H là không gian Banach với chuẩn x   x x, ,  x X

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là

không gian Hilbert con của không gian H

1.2 Biến đổi Fourier

1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm 1

f L, hàm phức có giá trị

f    f t e  itdt,  ,

Được gọi là biến đổi Fourier của f

Biến đổi Fourier là tuyến tính, thật vậy

Từ định lí 1.2.1, biến đổi Fourier là biến đổi tuyến tính từ L1 đến C0

2  

2.3

n n

thì hệ  H k k là một cơ sở trực chuẩn của W0 Do đó, hệ H n k,  x k là một

cơ sở trực chuẩn của không gian Wn

Chứng minh

Chúng ta chỉ cần chứng tỏ các hàm trong (2.6) tạo thành một cơ sở trực chuẩn của W0 Rõ ràng là H k x k Z là một hệ trực chuẩn trong W0 Bây giờ chúng ta khẳng định rằng nó cũng là một cơ sở củaW0 Cho g là một hàm trongW0 Khi đó gV1 và có một chuỗi  c k l2 như vậy

Định lý 2.1.1 Hệ  H n k, n k,  tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L 2

Định nghĩa 2.1.2 Một hàm L2 được gọi là sóng nhỏ trực chuẩn nếu

ra bởi  được gọi là một cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn của L 2

Định nghĩa 2.1.3 Tổng quát, một hàm L1 được gọi là một sóng nhỏ nếu   x dx0 2.7 

2.2 Phân tích đa phân giải

2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải

Định nghĩa 2.2.1 Một phân tích đa phân giải của 2

n

c l thỏa mãn bất đẳng thức sau:

Ac n  c n  n Bc n 2.8 Điều kiện (2.8) được gọi là một điều kiện ổn định và hàm  thỏa mãn (2.8) được gọi là hàm ổn định Hàm được mô tả trong định nghĩa 2.2.1 được gọi là một hàm sinh từ phân tích đa phân giải Nếu xn n là một cơ sở trực chuẩn của V0, thì  được gọi là hàm sinh trực chuẩn từ phân tích đa phân giải

Từ V0 có trong V1, chúng ta có thể mở rộng  thành một tổ hợp tuyến tính cơ sở của V1

2 2 , 2.9

m m



Ở đó chuỗi hệ số h m có trong    2

l Phương trình (2.9) được gọi là phương

trình two-scale ( hoặc phương trình refinement )

Định nghĩa 2.2.2 Một hàm 2

L

 thỏa mãn phương trình (2.9) được gọi là

một hàm thang bậc (hay hàm refinable) Dãy các hệ số h n  n trong (2.9)được gọi là mặt nạ của , trong khi chuỗi  :   m

m

H z   h m z được gọi là biểu tượng của  Nếu xn n là một hệ trực chuẩn, thì  được gọi là một hàm thang bậc trực chuẩn

Từ biến đổi Fourier của (2.9), chúng ta có được phương trình

B-splines cơ bản có các tính chất sau

Định lý 2.3.1 B-spline cơ bản thứ tự m thỏa mãn như sau

1, 0,1 ,2

( ) , 1, 2 ,

4 2 2.181

3 , 2,3 ,2

Các biến đổi Fourier của B-splines cơ bản là đơn giản

Định lý 2.3.2 B-spline cơ bản bậc m là một hàm sinh từ phân tích đa phân

Nhớ lại rằng

2sin / 2/ 2

 là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 Từ bất đẳng

thức (theo giả thiết

2 sin , x 0,

2

x x

2.3.2 Xây dựng sóng nhỏ spline trực chuẩn

Từ B- spline cơ bản là hàm sinh từ phân tích đa phân giải, chúng ta có thể xây dựng các hàm spline thang bậc trực chuẩn và sóng nhỏ Viết

2.20/ 2

Theo định lý 7.3.2 [4, tr 207] và định lý 7.3.3 [4, tr 214] Chúng ta có những điều sau đây

Định lý 2.3.3 Hàm N m xác định bởi

   

  2.21 

m m

m

N N

m i

m

B e

Từ phương trình two-scale của N m, chúng ta có

1

1

21

2

Chúng là một hệ tuyến tính thuần nhất của N m 1 , ,N mm1  Các hệ

có nghiệm không tầm thường, mà là 0-véctơ riêng của hệ Do đó, nếu

v v, ,v m là một nghiệm, vậy nghiệm cần tìm N m 1 , ,N mm1

phải được chuẩn hóa bằng điều kiện N m 0 1 Điều này mang lại điều kiện

21

m i

m i

m

B e

B

e B

m

l

m l

Biến đổi Fourier của (2.31) là

H e   h e  là biểu trưng của 

h  h  

Định nghĩa 2.4.1 Trong (2.31), nếu (2.34) cố định, thì chúng ta nói rằng 

(hoặc mặt nạ h ) thỏa mãn các quy tắc tổng

Quy tắc tổng đảm bảo một phân vùng của biến đổi nguyên đối với 

Đặc biệt, nếu  là liên tục, thì k  k 1

2.4.2 Biểu trưng của một hàm thang bậc trực chuẩn

Bây giờ chúng ta tìm hiểu các biểu trưng của một hàm trực chuẩn  Để phân biệt các biểu trưng của một trực chuẩn từ những hàm khác, khi  là trực chuẩn, chúng ta biểu thị biểu trưng bằng m z Ta có   m z là một bộ lọc  

gương liên hợp [4, tr 209] Ta xét m z là một đa thức, chúng ta có  

Ta thiết lập 2

sin2

L L

L

k L

và R z là một đa thức lẻ được chọn sao cho   B y 0 với y 0,1

Hệ quả 2.4.1 Tồn tại một đa thức thực q L z với q L 1 1và  i 0

L

q e  , cho tất cả  , sao cho

q z q L   L 1 /z M L z

Định lý 2.4.3 Cho   1  

.2

đa thứcq z được chọn sao cho độ lớn của tất cả các căn của nó là ≥ 1, thì L 

nó được gọi là các bộ lọc Daubechies của thứ tự L

Định nghĩa 2.5.2 Đối với L2, hàm thang bậc trực chuẩn  Lthỏa mãn

(2.41) được gọi là hàm thang bậc Daubechies bậc L Tương ứng, sóng nhỏ

được gọi là sóng nhỏ Daubechies bậc L

Để chứng minh Định lý 2.5.1, chúng ta đưa ra như sau

2.5.1 Dạng tích vô hạn

Đầu tiên chúng ta lấy tích vô hạn của L, ở đó  thỏa mãn phương trình refinement, có mặt nạ thỏa mãn các quy tắc tổng Lưu ý rằng  thỏa mãn phương trình sau đây

a k

Do đó, k1a k là hội tụ nếu và chỉ nếu k1a k 1 là hội tụ

Định lý 2.5.2 Cho H z là một đa thức với   H 1 1 Thì đối với mỗi 0

R , tích vô hạn  /2 

1

k i



 là một hàm liên tục trên R R, .Điều này cho thấy  /2 

1

k i

   /2    1  

1

k N

N i

k

i k

m m

e i

2.5.3 Tính trực giao của hàm thang bậc L

Bây giờ chúng ta sẽ hoàn thành chứng minh về định lý 2.5.1 bằng cách chứng minh tính trực giao của  Chúng ta xác định

   / 2   

2 ,2 1

k L

121

121

2

k

j k