Tập lồi trong rn và một số bài toán hình học (KL06104)

Trong qu tr nh làm kh luận em c th m khảo nh ng tài liệu c li n qu n đ được hệ th ng trong mục tài liệu th m khảo Kh luận... Phần trong tương đối ● Định nghĩa: Phần trong tương đối của

HÀ NỘI - 2014

, ngư i đ tr c ti p hướng d n, ch bảo và đ ng g p nhiều

ki n qu b u để em c thể hoàn thành bài khóa luận nà

M c d đ c nhiều c g ng nhưng do h n ch về th i gi n và

ki n th c c bản th n n n ch c ch n đề tài nà kh ng tr nh kh i nh ng

thi u s t V vậ em r t mong nhận được s cảm thong và nh ng ki n

đ ng g p c th c , c c b n sinh vi n để bài khóa luận c em được

LỜI CAM ĐOAN

Em in c m đo n kh luận nà là k t quả c em trong qu tr nh

h c tập và nghi n c u c ng với s gi p đ c c c th c trong kho

To n, đ c biệt là s hướng d n tận t nh c th gi o - Th.S, GVC

Trong qu tr nh làm kh luận em c th m khảo nh ng tài liệu c

li n qu n đ được hệ th ng trong mục tài liệu th m khảo Kh luận

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 1

1 L do ch n đề tài 1

2 Mục đích nghi n c u 1

3 Đ i tượng, ph m vi nghi n c u 1

4 Nhiệm vụ nghi n c u 1

5 C c phư ng ph p nghi n c u 1

II N I DUNG 2

Chư ng 1 Tập hợp lồi 2

1 1 M t s ki n th c b trợ 2

1 2 Định nghĩ tập lồi 4

1 3 T hợp lồi 4

1 4 B o lồi và b o lồi đ ng 5

1 5 N n lồi 6

1 6 Tập ffine và b o ffine 7

1 7 Ph n trong tư ng đ i 9

Chư ng 2: Định l kell và m t s tính ch t c bảnc tập hợp lồi 11

2 1 M t s tính ch t c tập lồi 11

2 2 Định l kell 12

M t s bài tập ng dụng: 16

Chư ng 3:Ứng dụng m t s tính ch t tập lồi trong Rn trong giải m t s bài to n h nh h c 25

3 1 M t s bài to n được giải ch u s dụng tính ch t c tập hợp lồi 26

3 2 M t s bài to n được giải b ng c ch l b o lồi k t hợp s dụng tính ch t c tập hợp lồi 35

K T LU N 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

L thu t về tập hợp lồi trong to n h c là m t ph n kh ng thể thi u c h nh h c N c r t nhiều ng dụng và c vị trí qu n tr ng trong h nh h c, c li n qu n h u h t c c ngành to n h c như: Giải tích lồi, to n kinh t , h nh h c… C thể n i nghi n c u về tập lồi là m t đề tài th vị, nhận được nhiều s qu n t m c c c nhà kho h c Với mong

mu n nghi n c u s u h n về h nh h c và t m hiểu phư ng ph p giải c c bài to n h nh h c h h n, th vi h n, nh m b ung ki n th c cho bản

3 Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu

- Đ i tư ng nghi n c u: Ki n th c về tập lồi

- Ph m vi nghi n c u: M t s bài to n c h nh h c giải b ng cách

II NỘI DUNG CHƯƠNG 1 TẬP HỢP LỒI

1.1 Một số kiến thức bổ trợ

qu m + 1 điểm đ gồm nh ng điểm M s o cho( với điểm O nào đ )

1.3.2 Định lí: Giả s tập A lồi, 1, x2, ,xmA Khi đ A ch t t cả c c

1.4.1.2 Định lí: coA tr ng với tập t t cả c c t hợp lồi c A

● Hệ quả: Tập A lồi khi và ch khi A ch t t cả c c t h p lồi c A 1.4.2 Bao lồi đóng:

1.4.2.1 Định nghĩa: Giả s A  X Gi o c t t cả c c tập lồi đ ng

1.4.2.2 Mệnh đề: Giả s A  X lồi Khi đ :

i) Ph n trong intA và b o đ ng A c A là c c tập lồi

● Giả s tập A  Rn đ ng và bị ch n Khi đ coA đ ng

1.5.3 Nón lồi sinh bởi một tập

Gi o t t cả c c n n lồi (c đ nh t i 0) ch tập A và điểm 0 là m t

● Định lí: Giả s A Rn, A Ø, KA là n n lồi sinh bởi tập A Khi đ

● Hai tập affine song song:

sao cho:

A M a 

Kí hiệu: A // M

thể biểu diễn dưới d ng tr n

Hệ quả: M i tập ffine A trong Rn

là tư ng gi o c m t s h u h n

c c si u phẳng

● Chiều của tập affine:

Chiều c m t tập ffine kh ng rỗng được định nghĩ là chiều c

kh ng gi n con song song với n

Quy ƣớc: dim Ø = -1

được g i là m t si u phẳng

1.6.2 Bao affine và tổ hợp affine:

● Các định nghĩa:

Định nghĩa 1: Gi o c t t cả c c tập ffine ch tập A  Rn được g i

là b o ffine c A, kí hiệu: af fA

Định nghĩa 2: Điểm Rn được g i là t hợp ffine c c c điểm

Định nghĩa 3: Tập m+1 điểm bo, b1, ,bm được g i là tập ffine n u

i ib

1 1

0

Định nghĩa 5: Chiều c tập lồi A là chiều c af fA

Định nghĩa 6: Giả s A Rn là tập lồi Khi đ dimA là c c đ i c chiều c c đ n h nh trong A

1.7 Phần trong tương đối

● Định nghĩa: Phần trong tương đối của tập A R n là phần

trong của A trong af fA, kí hiệu là riA

C c điểm thu c riA được g i là điểm trong tư ng đ i c tập A

Hệ quả: Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ riA lồi

CHƯƠNG 2 ĐỊNH L KELL VÀ MỘT SỐ T NH CHẤT CƠ BẢN

CỦA TẬP HỢP LỒI

2.1 Một số tính chất của tập lồi

● í ấ 1: Giả sử Aα R n (α I ) là các tập lồi, I là tập chỉ số bất kì Khi đó: A = 

* Ví dụ: Cho A, B là c c tập lồi Với A =  a , B là h nh tr n t m 0 b n kính R

● í ấ 3: Giả s Ai Rn là nh ng tập lồi, λiR (i = 1.m) Khi đ :

* Định lý Kelly trong kh ng gian 1 chiều R 1 :

h nh lồi b t k trong ch ng kh c rỗng Khi đ gi o c cả n h nh lồi c ng

a b



  Định lí kell trong kh ng gi n 1 chiều được ch ng minh

*Định lí Kelly trong kh ng gian 2 chiều R 2

:

lồi b t k trong ch ng kh c rỗng Khi đ gi o c n h nh lồi c ng kh c rỗng

i i

- Giả s k t luận c định lí Kell đ ng đ n n  4

s o cho với b t k b h nh lồi nào trong ch ng đều c gi o kh c rỗng

Xét 3 h nh lồi b t k F F i', j', ,Fk' trong n h nh lồi F F1', 2', ,Fn'

1, 2, ,Fn

b t k trong ch ng kh c rỗng n n theo giả thi t qu n p suy ra

Bài 1: Xét không gian R2 Bi t r ng c b n n m t phẳng l p đ kh ng

gi n Ch ng minh r ng: Tồn t i b trong b n m t phẳng s o cho b

V P lồi n n i P i c ng lồi với m i i1.4

Giả s phản ch ng r ng kh ng tồn t i b n m t phẳng nào trong

Điều giả s phản ch ng là s i Vậ t c điều phải ch ng minh

Bài 2: Tr n m t phẳng cho n h nh tr n (n 4) Giả s c mỗi b h nh

Bài 3: Cho n đo n thẳng song song tr n m t phẳng (n  3) Bi t r ng c với

b t k b đo n thẳng nào c ng c m t đư ng thẳng c t cả b đo n thẳng

Ch ng minh tồn t i m t đư ng thẳng c t cả n đo n thẳng đ cho

Giải

V hệ trục t đ O b t k s o cho trục tung song song với

Mỗi đư ng thẳng như vậ được đ c trưng bởi h i s (ai, bi) (H nh2)

( H nh 2)

i i i i i i

A x y B x y th ng với mỗi gi trị b t k c c đư ng

,

ng với mỗi gi trị th t c m t tập hợp gi trị c b và đ dài c tập

Bài 4: Cho Ci , i là m t h t c c tập comp c lồi trong

1 j

r i j

Bài 5: Trong m t phẳng cho n điểm và khoảng c ch gi h i điểm b t

k trong ch ng kh ng vượt qu 1 Ch ng minh r ng c thể ph ch ng

Bài 6: Tr n m t phẳng c m t h h u h n c c c nh tư ng ng song song

với h i trục t đ Ch ng minh r ng n u h i h nh b t k trong ch ng c

Chi u c c h nh nà l n O và O T c s tư ng ng 1 – 1 sau

đ :

 

 ,, 

i i i

i i

a b Ox F

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG MỘT SỐ T NH CHẤT TẬP LỒI TRONG RnTRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

H nh h c là m n h c kh ng nh ng đ d ng về n i dung mà c ng r t phong ph về phư ng ph p giải Để giải m t bài to n h nh h c c r t nhiều c ch,đ i với lớp bài to n cho m t tập hợp mà tập hợp đ cho là

m t tập lồi t c ng c thể s dụng định l Kell như ph n tr n, đ là

c ng cụ h u hiệu để giải c c bài to n h nh h c li n qu n đ n tính gi o

đ trong trư ng hợp nà t c thể d ng phư ng ph p kh c, đ là t s l

b o lồi c tập hợp đ cho s u đ l i s dụng c c ưu th c tập lồi để giải qu t c c v n đề mà bài to n đ t r

Việc l b o lồi c m t tập hợp là c thể được và hợp l v h i l

do sau:

● Th nh t, khi cho trước m t tập hợp A th b o gi c ng tồn t i

b o lồi coA c n

● Th h i, b o lồi coA là m t tập lồi nh nh t ch A

Như vậ việc l b o lồi cho m t tập hợp v s dụng triệt để được tính ch t c tập hợp lồi v gi p cho bài to n dễ giải h n

Dưới đ là m t s bài tập:

3.1 Một số bài toán đƣợc giải chủ yếu sử dụng tính chất của tập hợp lồi

Bài 1: Điểm C c tập hợp lồi C được g i là điểm c c bi n c n

Giả s hệ n i tr n c nghiệm và D là tập hợp nghiệm c hệ

x ri C



  

Thật vậ : L

1

k i i

Bài 6: Cho C  Rn là tập lồi A: Rn Rm là phép bi n đ i tu n tính

Ch ng minh: ri(AC) = A(riC)

Theo giả thi t A: Rn Rm là phép bi n đ i tu n tính n n t c :

Bài 1: Tr n m t phẳng cho m t s h u h n điểm kh ng c ng thu c m t

đư ng thẳng Ch ng minh r ng tồn t i b điểm s o cho đư ng tr n ngo i

ti p t m gi c đ kh ng ch điểm nào b n trong

Giải

V s điểm đ cho là h u h n và ch ng kh ng n m tr n m t đư ng

thẳng, cho n n khi l b o lồi c hệ điểm t s được m t đ gi c Giả s

lồi

Do tập c c điểm đ cho kh ng n m tr n m t đư ng thẳng n n tập

Khi đ tồn t i điểm M s o cho:

Bài 2: Trong không gian R2 cho 5điểm b t k tr n m t phẳng s o cho

kh ng c b điểm nào là thẳng hàng Ch ng minh b o lồi c 5 điểm nà

Khi đ b o lồi là t gi c (EBCD)

Ch c thể sả r c c trư ng hợp s u:

i) N u E n m ở m t trong c c g c 4, ho c 5, ho c 6 Chẳng h n E thu c 4:

ii) N u E n m ở 1 trong c c g c I, II, ho c III Chẳng h n E n m trong g c I:

Khi đ b o lồi là t gi c (EACB)

hợp c bản:

iii) N u E n m m t trong c c g c 4, 5, 6 Chảng h n E n m trong

g c 4 như trư ng hợp ii) ở tr n và D n m m t trong c c g c 4, 5, 6 Chẳng h n D n m trong g c 4:

Khi đ b o lồi là t gi c (BEDC)

iv) N u E v n n m trong g c th 4 như tr n và D n m m t trong

c c g c I, II, III Chẳng h n D n m trong g c I t c :

Khi đ b o lồi là t gi c (DECB)

Như vậ b o lồi c 5 điểm trong đ kh ng c 3 điểm nào thẳng hàng là t m gi c, t gi c, ho c ng gi c (đpcm)

* NX: T ng qu t cho bài to n tr n t th :

B o lồi c tập h u h n c c điểm tr n m t phẳng, kh ng c 3 điểm nào thẳng hàng là m t đ gi c lồi Tập hợp c c đ nh c đ gi c lồi nà

là tập hợp con c tập hợp diểm đ cho

Bài 3: Tr n m t phẳng cho m t s n-đ gi c đều Ch ng minh r ng b o

Vậ trong trư ng hợp nà điều khẳng định c bài to n c ng đ ng

Đ là điều phải ch ng minh

Bài 5: M t đ gi c lồi n c nh được chi thành c c t m gi c b ng c c

đư ng chéo kh ng c t nh u c n Đồng th i t i mỗi đ nh c n đều

h i tụ m t s l c c t m gi c Ch ng minh r ng: n chi h t cho 3

Giải

Theo bài r đ gi c lồi được chi thành nhiều t m gi c bởi c c

đư ng chéo kh ng c t nhau

T t g ch đen và màu tr ng cho c c

tam gi c s o cho h i t m gi c c c nh chung

Ngoài r h i t m gi c g ch đen b t k c ng kh ng c c nh chung

n n t ng s c nh c t m gi c g ch đen là: (m + n ) c ng phải chi h t

Bài 6: Ch ng minh r ng m t đ gi c lồi 22 c nh kh ng thể b ng c ch c t

theo c c đư ng chéo để chi đ gi c nà thành 7 ng gi c

Giải

Xét bài to n t ng qu t:

b ng c ch c t theo c c đư ng chéo để chi đ gi c thành n ng gi c

T đi ch ng minh bài to n t ng qu t tr n b ng phư ng ph p qu

n p:

Với n = 1 th rõ ràng t gi c lồi kh ng thể ph n thành ng gi c b ng

c c đư ng chéo Vậ k t luận c bài to n đ ng khi n = 1

Giả s bài to n đ ng đ n n = k, t c là m i đ gi c lồi (3k + 1 ) c nh

T đi ch ng minh bài to n đ ng đ n n = k + 1, t c là m i đ gi c (3k + 4) c nh kh ng thể ph n thành (k+1) ng gi c b ng c c đư ng chéo

Giải

Với n = 6 t lu n chi ch ng thành c c ng gi c lồi

Xem phép chi chẳng h n như s u:

Giả s k t luận c bài to n đ ng với n = k, (k = 6), t c là m i đ

T ch ng minh k t luận c bài to n đ ng với n = k+1 (k > 7 )

Bài 8: Ch ng minh ràng t ng c c g c ngoài c m t đ gi c b t k kề b

gi c b o lồi và đ gi c lõm là b ng nh u, c n g c trong AKEC c đ

gi c b o lồi lớn h n c c g c trong tư ng ng c đ gi c lõm )

K T LUẬN

Như vậ việc s dụng tính ch t c tập hợp lồi và k t quả c phép

l b o lồi cho t thành c ng trong việc giải nhiều bài to n h nh h c Tu nhi n t bài to n mà t c thể s dụng tr c ti p tính ch t c tập hợp lồi

h s dụng phép l b o lồi thích hợp để v c thể tận dụng triệt để tính ch t c tập hợp lồi v gi p cho bài to n đ n giản h n r t nhiều

Do th i gi n và n ng l c c n h n ch n n đề tài mới đ t ở k t quả

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đỗ V n Lưu và Ph n Hu Khải.Giải tích l i NXB Kho h c và kĩ