Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian với hệ số không hằng

Ngoài ra,phương pháp phần tử biên đã được sử dụng bởi một số tác giả trong các bài báo[9, 14].. Một cách tổng quát, trong đề tài này chúng tôi xét các bài toán ngượccho phương trình para

Mục lục

2 Chỉnh hóa các bài toán (1.1)-(1.3) , (1.4)-(1.6) 8

2.1 Chỉnh hóa bài toán (1.1)-(1.3) 8

2.1.1 Nghiệm chỉnh hóa của bài toán (1.1)-(1.3) 8

2.1.2 Các kết quả chỉnh hóa bài toán (1.1)-(1.3) 9

2.2 Chỉnh hóa bài toán (1.4)-(1.6) 14

2.2.1 Nghiệm chỉnh hóa của bài toán (1.4)-(1.6) 14

2.2.2 Các kết quả chỉnh hóa bài toán (1.4)-(1.6) 15

3 Thực nghiệm tính toán 23 3.1 Ví dụ minh họa cho bài toán (1.1)-(1.3) 23

3.2 Ví dụ minh họa cho bài toán (1.4)-(1.6) 28

Lời nói đầu

Ta xét bài toán truyền nhiệt ngược trong trường hợp hệ số truyền nhiệt là hằngsố

ut(x, t) = uxx(x, t), (x, t) ∈ (0, π) × [0, T ) (1)u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ] (2)

Bài toán (1)-(3) đã được nhiều tác giả nghiên cứu từ khoảng bốn thập kỉ gầnđây bằng nhiều phương pháp khác nhau cụ thể như phương pháp mollificationđã được nghiên cứu trong [7] bởi Đ N Hào, kĩ thuật chỉnh hóa bằng phép lặpđã được phát triển bởi Jourhmane và Mera, Kirkup trong [16], phương phápsplitting operator do Wadsworth đưa ra trong [15], phương pháp tựa toán tử đãđược nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Lattes và Lions [1], Miller [2] Ngoài ra,phương pháp phần tử biên đã được sử dụng bởi một số tác giả trong các bài báo[9, 14] Một cách tổng quát, trong đề tài này chúng tôi xét các bài toán ngượccho phương trình parabolic thuần nhất với hệ số phụ thuộc vào thời gian trongmiền bị chặn và bài toán ngược cho phương trình parabolic không thuần nhất vớihệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền bị chặn [0, π]

Cụ thể, nội dung chuyên đề bao gồm 3 chương:

Chương 1: Giới thiệu bài toán truyền nhiệt ngược thời gian với hệ số phụ thuộcthời gian trong miền bị chặn [0, π] cho trường hợp thuần nhất và khôngthuần nhất là bài toán (1.1)-(1.3) và (1.4)-(1.6)

Chương 2: Các kết quả chỉnh hóa bài toán (1.1)-(1.3) và (1.4)-(1.6)

Chương 3: Thực nghiệm các tính toán số cụ thể nhằm minh họa cho phần líthuyết đã xây dựng ở chương 2

Chương 1

Giới thiệu bài toán

Trong đề tài này, chúng tôi xét bài toán ngược cho phương trình parabolic thuầnnhất với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền bị chặn [0, π]

ut(x, t) = a(t)uxx(x, t), (x, t) ∈ (0, π) × [0, T ) (1.1)u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ] (1.2)

Như đã biết, bài toán (1.1)-(1.3) và (1.4)-(1.6) là không chỉnh theo nghĩaHadamard, nghĩa là, bài toán không chắc tồn tại nghiệm, và ngay cả trongtrường hợp tồn tại nghiệm thì nghiệm cũng không chắc phụ thuộc liên tục vàodữ liệu Vì vậy, chúng ta cần một phương pháp chỉnh hóa thích hợp để chỉnhhóa các bài toán này Thật sự, bài toán ngược cho phương trình parabolic đãđược nghiên cứu bằng nhiều phương pháp trong khoảng năm thập kỉ gần đâyđiển hình như các bài báo [1, 2, 6, 23] Chúng ta có bài toán ngược cho phươngtrình parabolic dạng toán tử sau

ut + A(t)u = 0, t ∈ [0, T ],u(T ) = g,

với A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian hàm thích hợp Trong [1], Lions đã sử dụng phương pháp tựa toán tử (QR) để chỉnh hóa phương trình chínhbằng cách thêm vào một lượng chỉnh hóa ở phương trình chính Vào năm 1973,

Lattes-K Miller giải quyết bài toán bằng cách sử dụng lượng chỉnh hóa f ε(A)

ut+ fε(A)u = 0, t ∈ [0, T ],

u(T ) = g

Một phương pháp khác được gọi là phương pháp tựa giá trị biên (QBV) đãđược nghiên cứu bởi nhiều tác giả Khi sử dụng phương pháp này, họ đã thêmmột lượng ổn định vào điều kiện cuối của bài toán Trong [20], M Denche và

K Bessila đã sử dụng bài toán chỉnh hóa như sau

ut+ f (A)u = 0, t ∈ [0, T ),u(T ) − u0(0) = ϕ

để chỉnh hóa bài toán ngược cho phương trình parabolic Rất gần đây, trong [23],các tác giả đã sử dụng phương pháp giá trị biên để chỉnh hóa bài toán nhiệtngược và thu được ước lượng sai số ở cấp độ  t

T tại t 6= 0 và một sai số ướclượng cấp độ (ln(1

))− 1

4 tại giá trị 0 Chúng ta thấy rằng nếu t nằm gần giá trị

0, sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ là rất chậm Theo chúng tôi biết, những bài báoliên quan đến toán tử phụ thuộc thời gian A(t) khá hiếm Trong chuyên đề này,chúng tôi xét toán tử A(t) có dạng sau

A(t)u = −a(t)uxx.Phần chính của đề tài được chia làm 2 phần Trong phần 2, chúng ta sẽchứng minh một số kết quả về chỉnh hóa và đánh giá sai số bằng phương pháp

tựa giá trị biên có điều chỉnh (the modified QBV method) cho bài toán truyềnnhiệt ngược với hệ số không hằng trong trường hợp thuần nhất và không thuầnnhất Trong phần 3, chúng ta sẽ đưa ra các tính toán số minh họa cho phươngpháp chỉnh hóa được sử dụng trong phần 2.

2.1 Chỉnh hóa bài toán (1.1)-(1.3)

2.1.1 Nghiệm chỉnh hóa của bài toán (1.1)-(1.3)

Nếu bài toán (1.1)-(1.3) có một nghiệm chính xác u thì u có dạng như sau

bởi nghiệm chỉnh hóa sau

ε→0β(ε) = 0 và αlà một số bất kì không âm

2.1.2 Các kết quả chỉnh hóa bài toán (1.1)-(1.3)

Tiếp theo, chúng ta có một số bổ đề dùng trong việc chứng minh các định lí.Bổ đề 2.1.2.1 Cho x ∈ R, γ > 0, 0 ≤ a ≤ b, và b 6= 0 thì

Bổ đề 2.1.2.2 Đặt a(t) thỏa (1.7) và 0 < β < 1 Khi đó, với m ≥ 1, ta có

exp−m2(F (t) + α) β+ exp {−m2(F (T ) + α)} ≤ β

q(t−T )

pT +α ,với mọi α ≥ 0

Chứng minh

Từ bổ đề 2.1.2.1, chúng ta có

exp−m2(F (t) + α) β+ exp {−m2(F (T ) + α)} ≤

 1β

Bổ đề 2.1.2.3 Cho a(t) thỏa mãn (1.7) và 0 < β < 1 Khi đó, với m ≥ 1, ta có

β exp−m2(F (t) + α) β+ exp {−m2(F (T ) + α)} ≤ β

 1β

c(t)

= β1−c(t)

Do (1.7), ta có

β exp−m2(F (t) + α) β+ exp {−m2(F (T ) + α)} ≤ β

pt+α

qT +α.Kết thúc chứng minh bổ đề 

Định lý 2.1.2.1 Cho 0 < β < 1 và α ≥ 0 Nếu v và w được định nghĩa bởi (2.2)tương ứng với các dữ liệu cuối g và h trong L2(0, π), thì

(2.6)và

(2.7)trong đó

gm =2π

exp−m2(F (t) + α) β+ exp {−m2(F (T ) + α)}(gm− hm)

Do đó, ta có

kv(·, t) − w(·, t)k ≤ βqpT(t−T )+α kg − hk (2.10)Kết thúc chứng minh 

< ∞thì ta có với mọi t ∈ [0, T ]

ku(·, t) − v

(·, t)k ≤ (1 + A1)q2 T+qαp2 t+pα ,trong đó v(x, t) là nghiệm chỉnh hóa định nghĩa bởi (2.2) tương ứng với dữ liệunhiễu g(x)

Chứng minh định lí

Cho u được định nghĩa bởi (2.2) với dữ liệu chính xác g Áp dụng bất đẳngthức tam giác, ta có

ku(·, t) − v(·, t)k ≤ ku(·, t) − u(·, t)k + ku(·, t) − v(·, t)k (2.11)Xét ku

Do (2.13) và (2.14) và sử dụng bổ đề 2.1.2.3, ta được

|um(t) − um(t)| =

Tiếp theo, định lí sau đây cho chúng ta ước lượng sai số giữa nghiệm chínhxác của bài toán (1.4)-(1.6) và nghiệm chỉnh hóa (2.17) tương ứng với dữ liệunhiễu g

Định lý 2.2.2.2 Đặt β() = q, g, gex ∈ L2(0, π) thỏa mãn kgε− gk ≤ ε Nếu

u là nghiệm chính xác của bài toán (1.4)-(1.6) thỏa mãn Q = 2 ku(., 0)k2 < ∞

2

+ exp{m2F (s)}a(s)uxx(x, s)

2idxds < ∞.thì ta có với mọi t ∈ [0, T ),

ku(g)(., t) − u(., t)k ≤ C1q2 Tp2 t,trong đó C1 = 1 +√

Q + M và u(g)(., t) được cho bởi (2.17) tương ứng với dữliệu nhiễu g

≤ βqTpt

Z

0

exp{m2F (s)} (ut(x, s) − a(s)uxx(x, s))

dx

...

T với t > Tuy nhiên, sai số  t

T khônghội tụ Hơn nữa, t gần thời điểm ban đầu t = sai số hội tụ chậm