Bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn nhiệt phi tuyến

Vì thế, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa chonghiệm chính xác của bài toán và đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chính xác và nghiệmchỉnh hóa.. Chương 1:

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

k · k2 : chuẩn trên không gian L2(R)

k · kH 2 (R) : chuẩn trong không gian H2(R)

|k · |k : chuẩn sup trên không gian C([0, T ]; H2(R)).R(x) = 1 + x2+ x4

 : sai số dữ liệu có giá trị dương

a : tham số chỉnh hóa phụ thuộc vào sai số dữ liệu

LỜI NÓI ĐẦU

Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát bài toán ngược đã được nêu ra từ lâu Bàitoán ngược được quan tâm vì ứng dụng thực tế trong lĩnh vực địa lí, cơ học, xử lý ảnh Một trong những bài toán ngược được xét đến là bài toán ngược thời gian cho phương trìnhparabolic Hơn nữa, khi xét sự truyền nhiệt trong vật thể một trong các yếu tố quyết định

là vật liệu của vật thể Mỗi vật liệu có một hệ số dẫn nhiệt khác nhau và các vật liệu thì có

sự biến đổi theo thời gian và môi trường do sự ăn mòn, oxy hóa Trong thực tế, dữ liệu thunhập được do việc đo đạc và xử lý qua máy tính hay một số thiết bị hỗ trợ nào đó, nên khôngtránh khỏi những sai số, dù sai số của dữ liệu là rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt rấtlớn về nghiệm Vì thế, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa chonghiệm chính xác của bài toán và đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chính xác và nghiệmchỉnh hóa Do đó, trong đề tài này, chúng tôi xét

" BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN NHIỆT PHI TUYẾN."

Đề tài này chia thành hai chương

Chương 1: Chỉnh hóa và ước lượng sai số cho bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyếnvới hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian

Đây là phần chính yếu, cốt lõi nhất của đề tài với các nội dung sau: Chứng minh tính duynhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa, chứng minh tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa,ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa

Chương 2: Ví dụ minh họa cho kết quả chỉnh hóa

Trong những năm gần đây, bài toán truyền nhiệt ngược đã được nhiều tác giả quan tâmnhư Lattes và Lions [10], Showalter [8], Tautenhahn và Schr¨oter [9], Đinh Nho Hào [2] Cụthể, Showalter đã dùng phương pháp tựa toán tử để khảo sát bài toán giá trị cuối năm 1974(trong [8]) Năm 1996, Tautenhahn và Schr¨oter nghiên cứu bài toán truyền nhiệt ngược thờigian (trong [1]) và đã đưa ra ước lượng sai số tối ưu cho bài toán (trong [9]) Gần đây, trong

năm 2007, Fu, Xiong và Qian đã sử dụng phép biến đổi Fourier cho bài toán truyền nhiệtngược và đã đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ Tuy nhiên, cáctác giả trên chỉ xét bài toán parabolic với hệ số hằng Gần đây, có vài bài báo xem xét về bàitoán truyền nhiệt ngược với hệ số không là hằng.

Cụ thể, trong [7], các tác giả xét bài toán ngược cho phương trình parabolic với hệ số phụthuộc vào thời gian, nghĩa là tìm nhiệt độ u(x, t) thỏa mãn

a(t)ut(x, t) = uxx(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ),u(x, T ) = g(x), x ∈ R,

với a(t), g(x) là các hàm cho trước sao cho a(t) > 0, ∀t ∈ [0, T )

Hơn nữa, các tác giả đã đưa ra ước lượng sai số dạng H¨older tại thời điểm ban đầu t = 0

và dạng logarit tại thời điểm t > 0 giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa Trong [2],Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa cho bài toán parabolicngược với hệ số phụ thuộc thời gian

(

ut+ A(t)u = 0, 0 < t < T,ku(T ) − f kH ≤ , f ∈ H,trong đó H là một không gian Hilbert và A(t) (0 < t < T ) là toán tử dương tự liên hợp không

bị chặn từ D(A(t)) ⊂ H đến H và f là hàm dữ liệu cho trước Trong [2], các tác giả xem xétbài toán sau (trong [2] trang 8)

(

ωt+ B(t)ω = 0, 0 < t < T,ω(T ) = f, α > 0,trong đó

Trong [2], họ đã chứng minh được bài toán trên là bài toán chỉnh và đưa ra được dạngH¨older của ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác (xem trong [2], định

lý 3.4) với một số giả thiết đòi hỏi (xem trong [2], điều kiện 3.1, 3.2 trang 7) của hàm A Đếnnay có nhiều bài báo nghiên cứu về bài toán parabolic ngược với hệ số là hằng (xem [3]-[5],[9]).Mặt khác, rất ít bài báo nghiên cứu trong trường hợp hệ số phụ thuộc vào thời gian (như[2],[7]) Vì thế, trong đề tài này chúng tôi xét bài toán nhiệt ngược với hệ số dẫn nhiệt phụthuộc vào cả hai biến không gian, thời gian đồng thời nguồn nhiệt ở vế phải là một hàm phituyến phụ thuộc vào u, ux, uxx Đây là một bài toán khá tổng quát và chưa được nghiên cứunên chúng tôi nhận thấy bài toán có tính mới mẻ và cần được khảo sát chỉnh hóa.

Chương 1

Các kết quả chỉnh hóa

Trong chương này, chúng tôi trình bày chứng minh tính tồn tại duy nhất nghiệm và tính

ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa đồng thời ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác vànghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo đạc

I Các kết quả chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược với nguồn nhiệt phi tuyến

1.1 Phát biểu và biến đổi bài toán

Chúng tôi xét bài toán parabolic ngược như sau

Ngoài ra, chúng ta giả sử k(t) = lim

x→∞a(x, t) và đặtb(x, t) = a(x, t) − k(t),

eξ2(η(s)−η(t))F (ϕ(u, ux, uxx))(ξ, s)ds



eiξxdξ,

trong đó, ta chọn hàm a thỏa mãn a → ∞ khi  → 0

1.2 Tính tồn tại duy nhất nghiệm

Đầu tiên, chúng ta có định lí 1.2.1 khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toánchỉnh hóa (1.9) Để cho đơn giản hơn, chúng tôi định nghĩa

trong đó K = √

3(L + 2q) và ||| · ||| là chuẩn sup trong C ([0, T ] ; H2(R))

Chúng ta chứng minh (1.10) bằng phương pháp quy nạp Với k = 1, ta có

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta được đánh giá

Áp dụng giả thiết quy nạp, ta được

√k! T

kRk2(a)eka2η(T )k|u − vk|

Chúng ta xét ánh xạ W : C([0, T ]; H2(R)) → C([0, T ]; H2(R)) Với

Tk

√k!K

Kết thúc chứng minh

ku(., t) − v(., t)kH 2 (R)≤√2ea2(η(T )−η(t))pR(a)eK2T2R(a ), (1.11)trong đó a → ∞ khi  → 0.

eξ2(η(T )−η(t))[F (g)(ξ) − F (g)(ξ)]

F (g)(ξ) − F (g)(ξ)

F (g)(ξ) − F (g)(ξ)

... LUẬN

Đề tài đạt kết sau:

1) Chỉnh hóa tốn parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc vào thời gian vàkhông gian nguồn nhiệt phi tuyến phụ thuộc vào u, ux, uxx

2)... gk2 ≤  u, v hai nghiệm chỉnh hóa thỏa (1.9) tương ứng với liệu

xác... η(t)+pCα,m0

,

trong m1(t) = min{β, η(t) +m2}

ii) Với a=

ln

ln

Từ Định lí 1.3.1, Định lí 1.3.2 ii) (1.25),