Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN.. Cho đường tròn O bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= 2.Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn O B, C là các tiếp điểm.Một góc xOy có
Trang 1SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010
Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
1 Cho số x (x R; x 0∈ > ) thoả mãn điều kiện: x2 + 12
x = 7
Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + 13
x và B = x5 + 15
x
2 Giải hệ phương trình:
y x
x y
Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax2 + bx c 0 + = (a 0 ≠ ) có hai nghiệm x ,x1 2 thoả
mãn điều kiện: 0 x ≤ ≤1 x2 ≤ 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
Q
=
− +
Câu 3: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: x 2− + y 2009+ + z 2010− = 1(x y z)
2 Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố
Câu 4: (3,0 điểm))
1 Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Một đường thẳng
quaA, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là giao điểm của các
đường thẳng EM và BN Chứng minh rằng: CK ⊥ BN
2 Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= 2.Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng 450
có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E Chứng minh rằng: 2 2 2 DE 1− ≤ <
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P a= + + + + +2 b2 c2 d2 ac bd,trong đó ad bc 1− =
Chứng minh rằng: P≥ 3
Hết
1
Trang 2SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang)
Trang 3Câu ý Nội dung Điểm
1
1
Từ giả thiết suy ra: (x +1
x)2 = 9 ⇒ x + 1
x = 3 (do x > 0)
⇒ 21 = (x +1x)(x2 + 12
x ) = (x3 + 13
x ) + (x +
x
1 ) ⇒ A = x3 + 13
x =18
⇒ 7.18 = (x2 + 2
1
x )(x3 + 3
1
x ) = (x5 + 5
1
x ) + (x +1
x)
⇒ B = x5+ 15
x = 7.18 - 3 = 123
0.25 0.25
0.25 0.25 2
Từ hệ suy ra 1 2 1 1 2 1
x + − = y + − (2)
Nếu 1x > 1y thì 2 1 2 1
− > − nên (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y thế vào hệ ta giải được x=1, y=1
0.5
0.5 2
Theo Viét, ta có: 1 2
b
a + = − , 1 2 c
x x
a
=
Khi đó
2
2a 3ab b Q
2a ab ac
=
2
2 3
b c 2
− + ÷
− +
( Vì a ≠0)
=
2
1 2 1 2
2 3(x x ) (x x )
2 (x x ) x x
Vì 0 x ≤ ≤1 x2 ≤ 2 nên x12 ≤ x x1 2 và x22 ≤ 4
1 2 1 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = = x2 2 hoặc x1 = 0, x2 = 2
Tức là
b 4 a
4
b
a c 0 a
− =
= = − =
⇔ = −
− = =
=
Vậy maxQ=3
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25
0.25
3
1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010
Phương trình đã cho tương đương với:
x + y + z = 2 x 2− +2 y 2009+ +2 z 2010−
⇔ ( x 2− - 1)2 + ( y 2009+ - 1)2 + ( z 2010− - 1)2 = 0
x 2− - 1 = 0 x = 3
y 2009+ - 1 = 0 ⇔ y = - 2008
0.25
0.25 0.25
0.25
3
K M
E
O
C
B D
E
M A
x x
y
Trang 4SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN BÁI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề
Bài 1(2,5 điểm): Cho M x x 1 x x 1
1- Tìm điều kiện để M có nghĩa
2- Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình:
2
=
=
= +
với x, y, z 0>
Bài 3(1,5 điểm):
Tính giá trị của biểu thức A x= 3−6x với x = 3 20 14 2+ +3 20 14 2−
Bài 4(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính
AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự ở M và N
1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng hàng
2- Chứng minh rằng M là trung điểm của HB và N là trung điểm của HC
3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm
Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất cả các bộ ba số (x; y;z)với x, y, z ∈ Z để:
P (x zy)= − 2+6(x zy) x− + 2+16y2−8xy 2x 8y 10+ − + đạt giá trị nhỏ nhất
- Hết
Trang 5-Họ và tên thí sinh: Phòng
thi: SBD:
Họ và tên, chữ ký giám thị 1
Họ và tên, chữ ký giám thị 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN BÁI
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bài 1(2,5 điểm): Cho M x x 1 x x 1
1- Tìm điều kiện để M có nghĩa
2- Rút gọn M (với điều kiện MM có nghĩa)
Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
1-(0,5 đ)
Để M có nghĩa, ta có:
x 0
≥
+ ≠
⇔
x 0
x ( x 1) 0
x ( x 1) 0
≥
− ≠
x 1
>
≠
2-(1,0 đ)
Với x > 0, ≠1 ta có:
2
(x x 1)(x x ) (x x 1)(x x )
M
=
−
= x2 x x2 x x x2 2 x x2 x x
−
= 2x22 2x
−
2(x22 x)
−
=
− = 2 Vậy M = 2
3-(1,0 đ)
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
5
Trang 6Với x > 0, ≠1 ta có: 3 3
Đặt x 1 y
x
+ = >2 (vì x 0, 1> ≠ )
3
1
x
Do đó, từ (1) ta có: 36 6y y= + −3 3y ⇔ y3+3y 36 0− =
⇔ 0 (y= 3−3 ) (3y 9) (y 3)(y3 + − = − 2+3y 9) 3(y 3) (y 3)(y+ + − = − 2+3y 12)+
Với y 3= , ta có x 1 3
x
+ = ⇔ x2−3x 1 0+ = (∆= 9- 4= 5 > 0)
2
+
2
−
= (tmđk) Vậy với x1 3 5
2
+
2
−
= thì M = N
0,25 0,25
0,25
Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình:
2
=
=
= +
với x, y, z 0>
Thế (1) vào (2) ta có z x= 3 (4)
Thế (1) và (4) vào (3) ta có 1 12 23
x = x +x hay x23 x 23
+
= , vì x 0 >
Ta có x2 = +x 2
⇔ x2− − =x 2 0 (a-b+c = 1 +1- 2 = 0)
⇔ x1 =2> 0 , x2 = −1< 0 (loại)
Do x = 2 ⇒ y = 4 > 0, z = 8 > 0
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x; y; z) (2; 4;8)=
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Bài 3(1,5 điểm):
Tính giá trị của biểu thức A x= 3−6x với x= 3 20 14 2+ +3 20 14 2−
Đặt a = 3 20+14 2 , b = 3 20−14 2 , ta có x = a + b
Có x3 = a3 + b3 + 3a2b +3ab2 , vì a3 + b3 = 20 +14 2 +20 -14 2 = 40, nên
x3 = 40 + 3ab(a+b) = 40 + 3abx
Ta lại có ab = 3 20+14 2.3 20−14 2 = 3 (20+14 2)(20−14 2)=3 202 −2.142
= 3 8 =2
Vậy A = x3 - 6x = 40 + 6x – 6x = 40
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 4(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường
kính AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E Các tiếp
tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự ở M và N
1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng
hàng
2- Chứng minh rằng M là trung điểm của HB và N là trung điểm của HC
Trang 73- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm.
1-(1 đ) Có:
DAE
∠ =1v(gt)
ADH
∠ =1v(góc nội tiếp chắn
2
1 (O)) AEH
∠ =1v(góc nội tiếp chắn
2
1 (O))
⇒tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Vì ∠DAE=1v(gt) ⇒ DE là đường kính của (O)
⇒ D,O,E thẳng hàng.
0,25
0,25 0,25 0,25
2-(1,0 đ)
Vì AH⊥BC tại H ⇒ BC là tiếp tuyến của (O)
Ta có MD = MH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ M)
OD = OH =
2
1
AH (vì ADHE là hình chữ nhật) ⇒ OM là đường trung trực của DH
⇒ OM⊥DH
Vì ∠ADH=1v (theo (2)) ⇒ AB ⊥DH tại D
⇒ OM//AB
Vì OA= OH =
2
1
AH (vì ADHE là hình chữ nhật)
Từ (8) và (9) ⇒ OM là đường trung bình của ∆AHB ⇒ MB=MH ⇒ M là trung
điểm của HB
Chứng minh tương tự ta có NH = NC ⇒ N là trung điểm của HC.
3-(1,0 đ)
MD⊥DE tại D (MD là tiếp tuyến của (O) tại D)
NE ⊥DE tại E (NE là tiếp tuyến của (O) tại E)
⇒ MD//NE ⇒ DENM là hình thang vuông, đường cao DE
Gọi diện tích hình thang DENM là SDENM Ta có: SDENM =
2
1 (MD+NE).DE
Vì MD = MH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ M)
NE = NH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ N)
⇒ MD+NE= MN =
2
1
BC (vì MH=MB, NH=NC) Lại có DE = AH (vì ADHE là hình chữ nhật)
Do đó: SDENM =
2
1 2
1 BC.AH =
4
1 AB.AC =
4
1 10.7 = 17,5 (cm2)
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất cả các bộ ba số (x; y; z)với x, y, z ∈ Z để:
P (x zy)= − 2+6(x zy) x 16y 8xy 2x 8y 10− + +2 2− + − + đạt giá trị nhỏ nhất
P = [(x zy− )2 + 6(x zy− ) + 9] + [ (x2 – 8xy + 16y2) + 2(x 4y− ) + 1]
= [(x zy− ) + 3]2 + [(x 4y− )2 + 2(x 4y− ) + 1]
0,25
7
B
D
E A
Trang 8= (x zy− + 3)2 +(x 4y− + 1)2 ≥ 0
P nhỏ nhất khi: x zy 3 0 (1')
x 4y 1 0 (2')
− + =
− + =
Lấy (1’) – (2’) , ta có − +zy 4y 2 0+ = ⇔ (z 4)y 2− =
z 4
=
− (z 4)≠ (1)
Vì y Z∈ nên z 4− = ± ±1; 2, đồng thời theo (1) và (2’) ta có:
z 4− = −1 ⇔ z 3 = ⇒ y= − ⇒2 x = − 9; z 4 1− = ⇔ z 5 = ⇒ y 2= ⇒ x 7 =
z 4− = −2 ⇔ z 2= ⇒>y= − ⇒1 x = − 5; z 4 2− = ⇔ z 6 = ⇒ y 1= ⇒ x 3 =
Vậy với (x; y;z) = [ (−9;−2;3) (, 7;2;5) (, −5;−1;2) (, 3;1;6) ] thì P đạt giá trị nhỏ nhất
(bằng 0)
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Chú ý:
- Thí sinh làm cách khác đúng, hợp lý vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm của bài thi là tổng số điểm của từng bài, điểm của từng bài là tổng số điểm của từng phần (điểm bài thi, điểm từng bài, điểm từng phần của bài không làm tròn số).
Trang 9SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Môn TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao
đề )
Bài 1 ( 1 điểm ):
a) Thực hiện phép tính:
3 5
12 6 3 20 10 3
−
−
− +
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x− x−2008
Bài 2 ( 1,5 điểm ):
Cho hệ phương trình:
= +
=
−
5 my x
2 y mx
a) Giải hệ phương trình khi m= 2
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức
3 m
m 1
y
2
+
−
=
Bài 3 (1,5 điểm ):
a) Cho hàm số x2
2
1
y=− , có đồ thị là (P) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là −2và 1
b) Giải phương trình: x2+ x−2 x2+x =1
Bài 4 ( 2 điểm ):
Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường
thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh: 1
AB
MO CD
MN
2 CD
1 AB
c) Biết SAOB =m2; SCOD =n2 Tính SABCD theo m và n (với SAOB, SCOD,
ABCD
S lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD)
9
Trang 10Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O;
C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song Gọi M
là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp
b) OM ⊥ BC
c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định
Bài 6 ( 1 điểm ):
a) Cho các số thực dương x; y Chứng minh rằng: x y
x
y y
+
≥
b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n4 +4n là hợp số
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Môn TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao
đề
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
I Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải
đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25
II Đáp án:
a) Biến đổi được:
2 2 3
3 5
) 2 2 3 )(
3 5 (
+
=
−
+
0,25 b) Điều kiện x≥2008
4
8031 4
8031 )
2
1 2008 x
(
4
1 2008 )
4
1 2008 x
2
1 2 2008 x
( 2008 x
x
2 + ≥
−
−
=
− +
+
−
−
−
=
−
−
Dấu “ = “ xảy ra khi
4
8033 x
2
1 2008
x− = ⇔ = (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là
4
8033 x
khi 4
0,25
0,25
a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình
= +
=
−
5 y 2 x
2 y x 2
0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 11(1,5đ)
−
=
+
=
⇔
= +
=
−
⇔
2 x 2 y
5
5 2 2 x 5
y 2 x
2 2 y 2 x 2
−
=
+
=
⇔
5
6 2 5 y
5
5 2 2 x
0,25
0,25
b) Giải tìm được:
3 m
6 m 5 y
; 3 m
5 m 2
+
−
= +
+
=
Thay vào hệ thức
3 m
m 1 y
+
−
=
3 m
m 1 3 m
6 m 5 3 m
5 m
2
2
2
2
− + +
+
Giải tìm được
7
4
m=
0,25 0,25 0,25
3
(1,5đ)
a) Tìm được M(- 2; - 2); N )
2
1 : 1 ( −
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và
N nên
−
= +
−
= +
−
2
1 b a
2 b a
2
Tìm được ;b 1
2
1
a= =− Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
1 x 2
1
0,25
0,25
0,25
b) Biến đổi phương trình đã cho thành 3(x2 +x)−2 x2 +x −1=0
Đặt t= x2 +x ( điều kiện t≥ 0), ta có phương trình 3t2 −2t−1=0
Giải tìm được t = 1 hoặc t =
3
1
− (loại) Với t = 1, ta có x2 +x =1⇔x2 +x−1=0 Giải ra được
2
5 1
x= − +
hoặc
2
5 1
0,25 0,25
0,25 Hình vẽ
0,25
11
Trang 12
O
C D
N M
a) Chứng minh được
AD
MD AB
MO
; AD
AM CD
AD
AD AD
MD AM AB
MO CD
0,25 0,50 b) Tương tự câu a) ta có 1
AB
NO CD
NO+ = (2)
AB
MN CD
MN hay 2 AB
NO MO CD
NO MO
= +
=
+ + +
Suy ra
MN
2 AB
1 CD
0,25 0,25
c)
n m S
n m S
S
S S
S OC
OA OD
OB
; OC
OA S
S
; OD
OB S
S
AOD 2
2 2
AOD
COD
AOD AOD
AOB COD
AOD AOD
AOB
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
=
=
Tương tự SBOC =m.n Vậy 2 2 2
ABCD m n 2mn (m n)
0,25 0,25
5
(3đ)
Hình vẽ (phục vụ câu a)
C
D
M
B
A
0,25
a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau
- sđ góc AMB bằng sđ cung AB
Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau
O và M cùng phía với AB Do đó tứ giác AOMB nội tiếp
0,25 0,25 0,25 0,25 b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1)
- M nằm trên đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra OM⊥BC
0,25 0,25 0,25 c) Từ giả thiết suy ra d ⊥ OM
Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AOMB, suy ra góc OMI bằng 900, do đó OI là đường kính của đường
tròn này
0,25 0,25
Trang 13Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn
ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định
Vậy d luôn đi qua điểm I cố định
0,25 0,25
a) Với x và y đều dương, ta có x y
x
y y
+
≥ + (1)
⇔ x3 +y3 ≥xy(x+y)⇔(x+y)(x−y)2 ≥0 (2)
(2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0 Vậy (1) luôn đúng với mọi
0
y
,
0
x > >
0,25 0,25 b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k
là số tự nhiên lớn hơn 0
- Với n = 2k, ta có n4 +4n =( k)4 +4 k lớn hơn 2 và chia hết cho 2 Do
đó n4 +4nlà hợp số
-Với n = 2k+1, tacó
n4 +4n =n4 +4 k.4=n4 +(2.4k)2 =(n2 +2.4k)2 −(2.n.2k)2
= (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 +
22k ] Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2 Vậy n4 + 4n là hợp số
0,25
0,25
13
