Các dạng hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị luận văn thạc sỹ toán học

4 1.2 Khæng gian c¡c tªp con cõa khæng gian Banach... LÍI NÂI †ULþ thuy¸t x¡c su§t thèng k¶ l mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu quantrång cõa To¡n håc, nâ câ nhi·u ùng döng trong thüc t¸.

MÖC LÖC

Trang

MÖC LÖC 1

MÐ †U 2

Ch÷ìng 1 ki¸n thùc chu©n bà 4

1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4

1.2 Khæng gian c¡c tªp con cõa khæng gian Banach 5

1.3 Ph¦n tû ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà âng 10

Ch÷ìng 2 ành ngh¾a v  mët sè ành lþ v· sü hëi tö cõa d¢y ph¦n tû ng¨u nhi¶n a trà 13

2.1 C¡c d¤ng hëi tö trong khæng gian c¡c tªp âng 13

2.2 C¡c d¤ng hëi tö cõa bi¸n ng¨u nhi¶n a trà .23

K˜T LUŠN 27

T€I LI›U THAM KHƒO 28

LÍI NÂI †U

Lþ thuy¸t x¡c su§t thèng k¶ l  mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu quantrång cõa To¡n håc, nâ câ nhi·u ùng döng trong thüc t¸ Trong thíi giang¦n ¥y, x¡c su§t a trà ¢ câ b÷îc ph¡t triºn m¤nh m³, thu ÷ñc nhi·u ùngdöng tr¶n nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷: tèi ÷u hâa v  i·u khiºn, h¼nh håcng¨u nhi¶n, to¡n kinh t¸, thèng k¶, V¼ l³ â, x¡c su§t a trà ¢ thu hót süquan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh  to¡n håc Chóng ta câ thº kº t¶n mët sè

nh  to¡n håc ti¶u biºu nghi¶n cùu v· l¾nh vüc n y nh÷: Gerald Beer, CharlesCastaing, Fumio Hiai, Robert Lee Taylor, C¡c k¸t qu£ v· x¡c su§t a trà l mët sü mð rëng thüc sü c¡c k¸t qu£ v· x¡c su§t ìn trà

C«n cù v o nhúng lþ do â, chóng tæi quy¸t ành nghi¶n cùu · t i C¡cd¤ng hëi tö cõa d¢y ph¦n tû ng¨u nhi¶n a trà

Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  nghi¶m kh­c cõaPGS.TS Nguy¹n V«n Qu£ng T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c cõam¼nh ¸n Th¦y Nh¥n dàp n y t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Chõ nhi»mKhoa Sau ¤i håc v  c¡c th¦y, cæ gi¡o trong Khoa To¡n ¢ nhi»t t¼nh gi£ngd¤y v  gióp ï trong suèt thíi gian håc tªp

Cuèi còng t¡c gi£ xin c£m ìn gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b± trong lîp Caohåc 17 - X¡c su§t thèng k¶ ¢ cëng t¡c v  gióp ï trong suèt qu¡ tr¼nh håctªp v  nghi¶n cùu

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸, thi¸usât T¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o

v  b¤n b± º luªn v«n ÷ñc tèt hìn

Vinh, th¡ng 12 n«m 2011

T¡c gi£

Khæng gian ành chu©n (E, k.k) ÷ñc gåi l  khæng gian Banach n¸u (E, k.k)

l  ¦y õ vîi d l  m¶tric sinh bði chu©n k.k, tùc l 

d(x, y) = kx − yk ∀ x, y ∈ E

ành ngh¾a 1.1.2 Gi£ sû X l  tªp b§t ký, E l  khæng gian ành chu©n

v  f : X−→ E nh x¤ f ÷ñc gåi l  bà ch°n tr¶n tªp con A cõa X n¸u tçnt¤i h¬ng sè c sao cho

i) hëi tö tîi h m f tr¶n X n¸u vîi måi ε > 0 v  x ∈ X tçn t¤i n0 = n0(ε, x)sao cho vîi måi n ≥ n0 th¼

f (xn) → f (x) khi n → ∞

Khi â chóng ta kþ hi»u xn −→ xW

ành lþ 1.1.5 i) Gi£ sû X l  khæng gian m¶tric, th¼ tªp A ⊂ X l  tªp

âng khi v  ch¿ khi vîi måi d¢y {xn, n ≥ 1} ⊂ A m  xn → x th¼ x ∈ A

ii) Méi tªp A trong khæng gian m¶tric X l  tªp compact n¸u måi d¢y{xn, n ≥ 1} ⊂ A ·u chùa mët tªp con {xn k : k ≥ 1} hëi tö tîi mët iºmthuëc A

1.2 KHÆNG GIAN CC TŠP CON CÕA KHÆNG GIAN

BANACH

Gi£ sû (X, k.kX) l  khæng gian Banach

1.2.1 Kþ hi»u

i) P0(x) l  hå c¡c tªp con kh¡c réng cõa X

ii) Kkc l  hå c¡c tªp con compact, lçi kh¡c réng cõa X

iii) Kb(X) l  hå c¡c tªp con âng, bà ch°n, lçi kh¡c réng cõa X

iv) Kbc(X) l  hå c¡c tªp con bà ch°n, lçi kh¡c réng cõa X

v) K(X) l  hå c¡c tªp con âng kh¡c réng cõa X.

vi) Tr¶n P0(X) ành ngh¾a hai ph²p to¡n nh÷ sau:

Chùng minh Ta c¦n chùng minh n¸u A, B compact th¼ A + B compact

º chùng minh A + B compact ta chùng minh måi d¢y {zn} ⊂ A + B ·u

câ mët d¢y con hëi tö

i) Gi£ sû {zn} ⊂ A + B khi â tçn t¤i {xn} ⊂ A, {yn} ⊂ B sao cho

x = a1 + b1 : a1 ∈ A, b1 ∈ B

kAkK = H(A, θ) = sup{kxkX : x ∈ A}.

Chó þ 1.2.5 N¸u A, B l  c¡c tªp khæng bà ch°n th¼ H(A, B) câ thº væh¤n

ành lþ 1.2.6 a) Khæng gian (Kb(X)), H) l  khæng gian m¶tric

b) Khæng gian (Kb(X), H) l  khæng gian m¶tric ¦y õ

Hìn núa K(X), Kkc(X), Kbc(X) l  c¡c tªp con âng trong (Kb(X), H)Chùng minh a) Vîi A, B ∈ Kb(X) th¼ 0 ≤ H(A, B) < ∞

V¼ A, B bà ch°n n¶n tçn t¤i m > 0 sao cho

Thªt vªy, l§y a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ta câ

ka − bkX ≤ ka − ckX + kc − bkX.L§y inf vîi b ∈ B ta câ

d(a, B) ≤ ka − ckX + d(c, B)

L§y inf vîi c ∈ C ta câ

d(a, B) ≤ d(a, c) + inf

ành lþ 1.2.7 N¸u X kh£ ly th¼ khæng gian (K(X, H) kh£ ly

Chùng minh L§y mët tªp con D ¸m ÷ñc trò mªt trong X Gåi D l  tªpc¡c tªp con húu h¤n cõa D Khi â D l  ¸m ÷ñc Ta c¦n chùng minh D l trò mªt trong khæng gian K(X)

Vîi méi E ∈ K(X) v  ε > 0, tçn t¤i {xi ∈ E : 1, l} sao cho E ⊂ Sl

i=1

B(xi, ε)

v 

E ∩ B(xi, ε) 6= ∅ vîi i = 1, l,trong â B(xi, ε) l  h¼nh c¦u mð t¥m xi b¡n k½nh ε

V¼ D l  trò mªt trong X n¶n tçn t¤i Eε = {y1, y2, , yl} ⊂ D sao cho

kxk − ykk < ε vîi k = 1, l

M°t kh¡c, vîi méi y ∈ Eε v  xi ∈ N vîi i = 1, l ta câ

1.3 PH†N TÛ NGˆU NHI–N NHŠN GI TRÀ ÂNG

Gi£ sû (Ω, A) l  khæng gian o ÷ñc, X l  khæng gian m¶tric

ành ngh¾a 1.3.1 Mët ¡nh x¤ F : Ω → P0(X) ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ a trà

i) Tªp hñp G(F ) = {(ω, x) ∈ Ω ×X : x ∈ F (ω)} ÷ñc gåi l  ç thà cõa F ii) Vîi méi A ⊂ X, tªp

F−(A) = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ A 6= ∅}

÷ñc gåi l  nghàch £nh cõa tªp A qua ¡nh x¤ F

ành ngh¾a 1.3.2 i) nh x¤ a trà F : Ω → K(X) ÷ñc gåi l  o ÷ñcm¤nh n¸u méi tªp con âng C ⊂X, ta ·u câ F−(C) ∈ A

ii) nh x¤ a trà F : Ω → K(X) ÷ñc gåi l  o ÷ñc y¸u n¸u méi tªp con

mð O ⊂ X, F−(O) ∈ A Mët ¡nh x¤ a trà o ÷ñc y¸u ÷ñc gåi l  bi¸n ng¨unhi¶n a trà

ành lþ 1.3.3 nh x¤ a trà o ÷ñc m¤nh l  bi¸n ng¨u nhi¶n a trà

ành lþ 1.3.4 Gi£ sû (Ω, A) l  khæng gian o ÷ñc, X l  khæng gian kh£

ly Gi£ sû F : Ω−→ K(X) l  ¡nh x¤ a trà ta x²t c¡c i·u ki»n

i) Vîi méi tªp Borel B ⊂ X, F−(B) ∈ A;

ii) Vîi méi tªp âng C ⊂ X, F−(C) ∈ A;

iii) Vîi méi tªp mð O ⊂ X, F−(O) ∈ A;

iv) ω 7→ d(ω, F (ω)) l  h m o ÷ñc vîi méi x ∈ X;

v) G(F ) l  A × BX o ÷ñc Trong â BX l  σ-¤i sè Borel cõa X

Khi â ta câ c¡c k¸t qu£ sau:

1) (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (v)

2) N¸u X ¦y õ v  A ¦y õ vîi ë o σ-húu h¤n th¼ (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii)

⇔ (iv) ⇔ (v)

CH×ÌNG 2

ÀNH NGHžA V€ MËT SÈ ÀNH LÞ V— SÜ HËI

TÖ CÕA D‚Y PH†N TÛ NGˆU NHI–N A TRÀ

2.1 CC D„NG HËI TÖ TRONG KHÆNG GIAN CC TŠP

lim

n→∞S(x∗, An) = S(x∗, A)vîi S(x∗, A) = sup

Chùng minh Thªt vªy, tø d(x, A) = 0 vîi x ∈ A.

Ta câ

d(x, B) = d(x, B) − d(x, A)suy ra

sup

x∈A

d(x, B) ≤ sup

x∈ X(d(x, B) − d(x, A)) (1)M°t kh¡c, cho x ∈ X, y ∈ B v  z ∈ A th¼

kx − ykX ≤ kx − zkX + kz − ykX.L§y infimum vîi måi y ∈ B th¼

d(x, B) = kx − zkX + d(z, B)

≤ kx − zkX+ sup

a∈A

d(a, B)L§y infimum vîi måi z ∈ A th¼

Chùng minh t÷ìng tü ta câ

inf{λ : B ⊂ U (A; λ)} = sup

b∈B

d(b, A)

ành ngh¾a 2.1.4 Gi£ sû {An, A} ⊂ K(X) Khi â, An ÷ñc gåi l  hëi

tö ¸n A theo ngh¾a Mosco n¸u

w- lim sup

n→∞

An = A =s- lim inf

n→∞ An,trong â

i·u n y câ ngh¾a

i) x ∈ w- lim sup An n¸u tçn t¤i d¢y con {An k} ⊂ {An} v  xn k ∈ Ank saocho xn k

2 Kh¡i ni»m s- lim inf

An v  LiAn, LsAn l  nh÷ sau

LiAn ⊂ s- lim inf

Vªy

sup

k≥1

kxkkX = α < ∞

Cho p0 ∈ N sao cho p0 > α, cho k ≥ 1, xk ∈ Ank ∩ p0U th¼

x ∈ w- lim sup

n→∞

(An ∩ p0U )

Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh

b) º chùng minh (b) ta ch¿ c¦n chùng minh vîi p ≥ 1 th¼

2) N¸u S(x∗, An)−→ A(x∗, A) v  K∗ ⊂ X∗ th¼ (H)An−→ A

Bê · 2.1.7.1 x ∈ coA ⇔ hX∗, xi ≤ S(x, A); ∀x∗ ∈ X∗

2 Cho {A, An, n ∈ N} ⊂ Kc(X) v  An hëi tö tîi A theo m¶tric Hausdorff.Khi â

Chùng minh 1 Cho x ∈ A suy ra tçn t¤i xn ∈ An vîi n ∈ N sao cho

kx − xnkX < d(x, An) + 1

n.

Tø ành lþ 2.1.2 ta câ H(An, A) → 0 suy ra d(x, An)→d(x, A) = 0

Vîi måi x ∈ A d¨n ¸n kxn− xkX→0 khi n→∞

Vªy x ∈ s- lim inf

n→∞ An suy ra A ⊂ s- lim inf

n→∞ An.L§y x ∈ w- lim sup

n→∞

An suy ra tçn t¤i d¢y n1 < n2 < v  xn i ∈ Ani saocho (W )xn i→x

Tø Bê · 2.1.7 ta câ hx∗, xnii ≤ S(x∗, Ani) vîi måi x∗ ∈ X∗

M°t kh¡c, tø gi£ thuy¸t (H)An→A v  Bê · 2.1.7 ta câ

lim

n→∞S(x∗, Ani) = S(x∗, A) vîi måi x∗ ∈ X∗.V¼ vªy ta câ (x∗, xn) ≤ S(x∗, An)

Do â vîi måi x ∈ A v  theo Bê · 2.1.7 Suy ra (KM)An = A 

ành lþ 2.1.9 Cho {An, A} ⊂ Kkc(x) v  dimX < ∞ th¼ c¡c m»nh ·sau l  t÷ìng ÷ìng

suy ra s- lim

n→∞xn → x vîi x ∈ s- lim inf An

N¸u x ∈ w- lim sup

Vªy

w- lim

n→∞sup An ⊂ A ⊂ lim inf

n→∞ An.c) Ta chùng minh (1) ⇔ (4):

i) Tø ành lþ 2.1.4 ta câ: n¸u (H)An → A th¼ (W )AN → A

Do S∗ compact trong X∗ suy ra tçn t¤i d¢y i1 < i2 < v  x∗

v  tçn t¤i K ∈ Kkc(X) sao cho An ⊂ K vîi måi n ∈ N

Ta câ vîi måi n ∈ N v  x1, x2 ∈ X∗ th¼

|S(x∗1, An) − S(x∗2, An)| ≤ kx∗1 − x∗2kX∗.kKkK

Suy ra lim

i→∞sup |S(x∗0, An(i) − S(x∗0, A)| > 0 (tr¡i vîi gi£ thi¸t)

ành lþ 2.1.10 Gi£ sû {An} v  {Bn} l  hai d¢y thuëc Kc(X)

1) n¸u A ∈ Kc(X) v  lim sup

n→∞

s(x∗, An) ≤ s(x∗, A) vîi måi x∗ ∈ X∗ th¼w-lim sup

n→∞

An ⊂ A

2) Gi£ sû X l  khæng gian ph£n x¤ ho°c khæng gian kh£ ly Khi â

a) n¸u supnkAnkK < ∞ th¼ w-lim sup

n→∞

An l  mët tªp compact y¸u kh¡créng v  lim sup

n→∞

s(x∗, An) ≤ s(x∗,w- lim sup

n→∞

An) vîi x∗ ∈ X∗.b) n¸u supnkAnkK < ∞ th¼

K¸t hñp vîi Bê · 2.1.7 suy ra x ∈ A

2 a) L§y r = supnkAnkK < ∞ V¼ {x ∈ X : kxkX ≤ r} l  compact v metric hâa ÷ñc theo tæpæ y¸u, n¶n

Vîi x∗ ∈ X∗ th¼ ta câ thº chån ÷ñc mët d¢y {xk : xk ∈ Ank} sao cho

2 b) N¸u z ∈ lim sup

n→∞ w-cl(An+ Bn) th¼ tçn t¤i d¢y {xk ∈ Ank} v  yk ∈ Bnksao cho w- lim

k→∞xk = x

Vîi méi k ≥ 1 chóng ta chån yk ∈ Bnk sao cho

kxk − ykkX ≤ H(Ank, Bnk) + 1

k.

Do d¢y {yk} bà ch°n y¸u n¶n w- lim

k→∞yk = y thuëc v o w- lim

n→∞Bn v d(x,w- lim sup

∪A(A; ε) ∪ Acn Tø ¥y suy ra

A1 ∩ ∪(A; ε)c ∩ An = ∅

V¼ An ⊂ A1 theo gi£ thi¸t n¶n

∪(A; ε)c∩ An = ∅ suy ra An ⊂ ∪(An; ε)

2.2 CC D„NG HËI TÖ CÕA BI˜N NGˆU NHI–N A TRÀGi£ sû (Ω, F,P) l  khæng gian x¡c su§t ¦y õ E l  khæng gian Banachkh£ li, G l  σ-¤i sè con cõa F, B(E) l  σ-¤i sè Borel

ành ngh¾a 2.2.1 Ta nâi ¡nh x¤ X : Ω−→ E l  ph¦n tû ng¨u nhi¶n

G-o ÷ñc, nhªn gi¡ trà trong E n¸u X l  G/B(E) o ÷ñc (ngh¾a l  vîi måi

B ∈ B(E) th¼ X−1(B) ∈ G) Ph¦n tû ng¨u nhi¶n F-o ÷ñc ÷ñc gåi l  ph¦n

tû ng¨u nhi¶n

ành ngh¾a 2.2.2 1 D¢y ph¦n tû ng¨u nhi¶n (Xn) gåi l  hëi tö ¸n ¡nhx¤ X : Ω−→ E n¸u Xn(ω)−→ X(ω) (theo chu©n) vîi måi ω ∈ Ω V  kþ hi»u

Xn−→ X

2 D¢y ph¦n tû ng¨u nhi¶n (Xn) gåi l  hëi tö h¦u ch­c ch­n (h.c.c) ¸n

¡nh x¤ X : Ω−→ E n¸u tçn t¤i tªp N ∈ F sao choP(N ) = 0, Xn(ω)−→X(ω)(theo chu©n) vîi måi ω ∈ Ω\N V  kþ hi»u Xn −→ Xh.c.c

ành ngh¾a 2.2.3 Gi£ sû (Xn) l  d¢y ph¦n tû ng¨u nhi¶n còng x¡c ànhtr¶n khæng gian (Ω, F,P) nhªn gi¡ trà trong (E, B(E)) Ta nâi (Xn) hëi tö ¸n

P (lim kXn+ Yn− X − Y k(ω) = 0) = 1

Vªy

Xn+ Yn −→ X + Y.h.c.c

ành lþ 2.2.5 Xn −→ Xh.c.c khi v  ch¿ khi vîi måi ε > 0



n¶n

Xn −→ X ⇔h.c.c P lim

n→∞kXn− Xk = 0 = 1

⇔ limP(Dn(ε)) = 0 v¼ Dn(ε) l  gi£m Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh 

Nhªn x²t 2.2.6 Tø ành ngh¾a sü hëi tö trong khæng gian K(X) ta suy

ra r¬ng n¸u {Fn} l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà tr¶n c¡c tªp âng,th¼ ta câ

1 Fn hëi tö h.c.c tîi bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà tªp âng F theo metricHausdorff n¸u

Tø ành lþ 2.1.8 ta suy ra

Fn −→ FH h.c.c th¼ Fn

KM

−→ F h.c.c

K˜T LUŠN

Luªn v«n ¢ thu ÷ñc k¸t qu£ sau

1 Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t v· ph¦n tû ng¨u nhi¶n nhªn gi¡trà âng

2 Tr¼nh b y câ h» thèng c¡c kh¡i ni»m v  ành ngh¾a, t½nh ch§t v· sü hëi

tö cõa d¢y ph¦n tû ng¨u nhi¶n trong khæng gian c¡c tªp âng

3 Chùng minh chi ti¸t mët sè ành lþ v· sü hëi tö theo m¶tric Hausdorff,Mosco v  Wijsman Tø â ch¿ ra sü t÷ìng ÷ìng cõa c¡c d¤ng hëi tö n ytrong khæng gian c¡c tªp âng

4 Tø sü hëi tö trong khæng gian K(X) d¨n ¸n k¸t luªn v· sü hëi tö cõad¢y bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà âng theo ngh¾a metric Hausdorff, x¡c su§t,Mosco

5 H÷îng nghi¶n cùu ti¸p theo:

Nghi¶n cùu v· luªt sè lîn èi vîi d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n a trà vîi c¡cd¤ng hëi tö kh¡c nhau

T€I LI›U THAM KHƒO

[1] ªu Th¸ C§p (2000), Gi£i t½ch h m, Nxb Gi¡o döc, H  Nëi

[2] Nguy¹n Xu¥n Li¶m (1996), Tæpæ ¤i c÷ìng, Nxb Gi¡o döc, H  Nëi.[3] Nguy¹n V«n Qu£ng (2008), X¡c su§t n¥ng cao, Nxb ¤i håc Quèc gia

H  Nëi

[4] Ilya Molchanov (2005), Theory of Random sets, Springer, London

[5] S Li, Y Ogura, V Kreinovich (2002), Limit theorems and applications ofset-valued and fuzzy set-valued random variables, kluwer Academic Pub-lishers Group, Dordrecht