Các phương pháp giải bài tập cơ học lí thuyết phần động lực học vật rắn

Lời mở đầuChúng ta đã biết: Động lực học vật rắn là một phần quan trọng của cơhọc lý thuyết nhằm nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của các vậtthể dới tác dụng của lực.. Khối tâm

Lời mở đầu

Chúng ta đã biết: Động lực học vật rắn là một phần quan trọng của cơhọc lý thuyết nhằm nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của các vậtthể dới tác dụng của lực Động lc học nghiên cứu chuyển động của các vật thểmột cách toàn diện nhằm thiết lập các mối quan hệ có tính chất quy luật giữahai đại lợng

+ Các đại lợng đặc trng cho tác dụng lực

+ Các đại lợng đặc trng cho chuyển động của vật thể

Trong quá trình học tập, khi nghiên cứu về cơ học vật rắn, chúng ta códịp làm quen với 2 phơng pháp:

đề mới mẻ nên chúng ta thờng hiểu vấn đề cha đợc sâu sắc, do đó trong khi giảibài tập thì học sinh thờng sử dụng phơng pháp cơ học véc tơ Điều này dẫn đếnmột số khó khăn vớng mắc khi giải các bài tập có số bậc tự do lớn Nhng khi đãlàm quen với cơ học giải tích thì vấn đề đó trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn

Trong quá trình học tập, do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu tìmhiểu đợc tất cả các vấn đề là một điều khó có thể thực hiện đợc, đặc biệt là

việc giải các bài tập Vì thế tôi chọn đề tài: “ Các phơng pháp giải bài tập cơ

học lý thuyết phần động lực học vật rắn ”

Hy vọng rằng nội dung của đề tài này sẽ giúp cho ngời đọc có cáchnhìn tổng quát hơn khi giải một bài toán Hiểu thêm về u điểm của cơ học giảitích

Nội dung của đề tài bao gồm những vấn đề sau:

- Phần I: Cơ sở lý thuyết

- Phần II: Bài tập về động lực học vật rắn.

- Phần III : Kết luận

Chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong và xin chân thành cảm ơn sự góp ý quý báu của độc giả

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo lê thị thai đã hớng dẫn

và đóng góp cho tôi nhiều ý kiến quý báu Giúp tôi hoàn thành luận văn này./

Sinh viên: võ thị nga

Phần I: CƠ Sở Lý Thuyết

I. Lý thuyết về cơ học véc tơ áp dụng cho việc giải các bài tập.

1 Các định luật cơ bản của Newton.

M

i k n

k M

M

e k M

M

i k M

M

e k T

T

dA dA

dA dA

dT

1 1

1

0 1

0 1

0 1

0 1

0

e

A T

T

1 1

0 1

c Định lí chuyển động của khối tâm.

Khối tâm của cơ hệ chuyển động nh một chất điểm mang khối lợng củacả hệ và chịu tác dụng của một lực đợc biểu diễn bằng véc tơ chính của cácngoại lực tác dụng lên cơ hệ ấy

W

1trong đó: M : khối lợng của hệ

d Định lí biến thiên và định luật bảo toàn mô men xung lợng.

Đạo hàm theo thời gian của mô men xung lợng của cơ hệ đối với mộttâm hay một trục bằng tổng mô men đối với tâm hay trục ấy của các ngoại lựctác dụng lên cơ hệ

e k F M dt

L

d

1 0

với: L0 r m v: mô men xung lợng của hệ đối với 0

M : mô men của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với tâm O

Nếu tổng mô men của tất cả các ngoại lực đối với tâm O bất kì bằng 0thì mô men động lợng của hệ đối với tâm đó không đổi cả về hớng và giá trị

r m v const

L0   

II lý thuyết về cơ học giải tích áp dụng cho việc giải các bài tập

1 Các khái niệm về cơ hệ không tự do.

a Liên kết và phơng trình liên kết.

Cơ hệ không tự do là tập hợp các chất điểm mà chuyển dộng của chúng

bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học và động học cho trớc, độc lập với

điều kiện đầu chuyển động và các lực tác dụng đợc gọi là các liên kết về mặttoán học, các liên kết đợc biểu thị bởi những phơng trình và bất phơng trìnhgọi là những phơng trình liên kết

) , , , , ,

(t x k,y k z k x k y k z k

trong đó:

: , , k k

x Là các toạ độ đề các của chất điểm Mk thuộc cơ hệ

k k

+ Liên kết dừng và liên kết không dừng

Nếu phơng trình liên kết không chứa rõ thời gian t:

) , , ,

,

(x k,y k z k x k y k z k

f    = 0 (3)thì liên kết đợc gọi là dừng Còn nếu phơng trìnhliên kết chứa rõ thời gian t thì liên kết đợc gọi là không dừng

+ Liên kết Holonom và không Holonnom

Nếu phơng trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc hoặc chứanhững yếu tố ấy nhng nhờ các phơng pháp tích phân có thể nhận đợc các ph-

ơng trình liên kết tơng đơng không chứa các yếu tố vận tốc thì liên kết đợc gọi

là Holonom

f(t,xk,yk,zk) = 0 = 1,S<3N (4)

Ngợc lại nếu phơng trình liên kết chứa các yếu tố vận tốc mà bằng cácphơng pháp tích phân không loại trừ đợc các yếu tố đó ra khỏi các phơng trìnhliên kết thì liên kết đợc gọi là không Holonom

Cơ hệ với liên kết Holonom gọi là cơ hệ Holonom, còn nếu trong cácliên kết có liên kết không Holonom thì cơ hệ đợc gọi là cơ hệ không Holonom

b Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của hệ.

Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là tập hợp các di chuyển vô cùng bé của cácchất điểm thuộc cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà các liên kết đặtlên cơ hệ cho phép

điều kiện để  r k với k = 1,N là một di chuyển khả dĩ của cơ hệHolonom là:

r r

k k

k k

z z

f y y

f x x

Là số tối đa các di chuyển khả dĩ độc lập tuyến tính của cơ hệ, nghĩa làbằng số biến phân độc lập của các toạ độ

Số bậc tự do của cơ hệ chịu liên kết Holonom bằng:

j = 1 ,N Các toạ độ đề các của các chất điểm đều có thể đợc biểu diễnqua các toạ độ suy rộng

k q q

k q q

k q q

Nếu {qj} là các toạ độ suy rộng đủ thì s = 0 vậy, m = r

Tức là số bậc t do của cơ hệ Holonom bằng số toạ độ suy rộng đủ

d Lực suy rộng.

- Công của lực trong di chuyển khả dĩ gọi tắt là công khả dĩ của lực

- Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ r k Công khả dĩ của lực



k zk k yk k kx k

N

z F y F x F r

F F

k ky i

k kx i

k k i

q

z F q

y F q

x F q

r F

đợc gọi là lực suy rộng tơng ứng với toạ độ suy rộng q i

Chú ý:

Đối với hệ hôlonômvà các toạ độ suy rộng là đủ thì q j trong (12) độclập với nhau Còn trong trờng hợp toạ độ suy rộng thừa, các q j có quan hệphụ thuộc (10).

Trong trờng hợp cơ hệ là bảo toàn và hàm thế năng có dạng

thì

j j

q

U Q







Bản chất vật lý của lực suy rộng phụ thuộc vào bản chất vật lý của toạ

độ suy rộng tơng ứng Nếu toạ độ suy rộng là độ dài thì lực suy rộng là lực,nếu toạ độ suy rộng là góc thì lực suy rộng là ngẫu lực

* Dới đây là một số phơng pháp tính lực suy rộng

+ Phơng pháp 1:

Tính lực suy rộng theo định nghĩa (13)

Trớc hết tìm hình chiếu các lực trên các trục toạ độ đề các, cùng biểuthức của toạ độ điểm đặt lực theo toạ độ suy rộng từ (7) sau đó tính các đạohàm của các toạ độ đề các theo các toạ độ suy rộng rồi thay các đại lợng tìm

đợc vào (13)

+ Phơng pháp 2:

Tính tổng công khả dĩ của các lực trong toạ độ đề các, sau đó biểu diễncác di chuyển khả dĩ qua các biến phân của toạ độ suy rộng theo biểu thức (8)qua đó chúng ta viết biểu thức công khả dĩ trong dạng (12) Các hệ số đứng tr-

ớc các biến phân của các toạ độ suy rộng sẽ là các lực suy rộng ứng với cáctoạ độ suy rộng

0

; ;

0

; 0

1

1 2

i

i q q

q

q q

tức là cho hệ một di chuyển khả dĩ trong đó chỉ có toạ độ qi thay đổi,còn các toạ độ khác không đổi Tính tổng công khả dĩ của các lực trong dichuyển khả dĩ này, ký hiệu A F qi

khi đó lực suy rộng Qi bằng:  

i

i F i

q

q A Q

Nếu tổng công nguyên tố của các lực liên kết trong mọi di chuyển khả

dĩ của hệ đều bằng không thì liên kết đặt lên hệ gọi là liên kết lý tởng

- Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó không gian là

đồng nhất, đẳng hớng Các tính chất vật lý của hệ cô lập sẽ không thay đổi đốivới phép tịnh tiến toàn bộ cơ hệ trong không gian Chất điểm tự do là một hệcô lập Hàm Lagrăng chứa đựng mọi tính chất vật lý của nó sẽ không thay đổikhi chất điểm tịnh tiến trong không gian Điều này có nghĩa là hàm Lagrăngcủa chất điểm tự do không phụ thuộc vào bán kính véc tơ xác định vị trí củachất điểm Tính đồng nhất của thời gian có nghĩa là tất cả các thời điểm khácnhau là tơng đơng với nhau Vì vậy hàm Lagrăng của chất điểm cô lập sẽkhông phụ thuộc tờng minh vào thời gian Hàm Lagrăng của chẩt điểm bâygiờ chỉ phụ thuộc vào vận tốc của nó

Tính chẩt đẳng hớng của không gian có nghĩa là tất cả các phơng củakhông gian là tơng đơng nhau về mặt vật lý Vì vậy hàm Lagrăng của chất

điểm cô lập không phụ thuộc vào phơng của véc tơ vận tốc v mà chỉ phụthuộc vào độ lớn của vận tốc, nghĩa là phụ thuộc vào v2: L=L(v2)

Để tìm dạng của hàm Lagrăng ta dùng nguyên lý tơng đối của Galilê.Nếu hệ quy chiếu quán tính k’ chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tinh kvới vận tốc v (v=cons) thì theo định lý công vận tốc:

V v v V v

v '   '  

theo nguyên lý tơng đối của Galilê, các phơng trình chuyển động của chất

điểm trong hai hệ quy chiếu k và k’ phải giống nhau Khi chuyển k  k’ thì L L’

Hàm L’ khác hàm L một đạo hàm toàn phần theo thời gian của mộthàm fr,t bất kỳ, nghĩa là:L’=L+ f  r t

trong đó a=const không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính k hay k’

và hoàn toàn đặc trng cho chất điểm chuyển động

Nh vậy, mỗi hạt chuyển động hoàn toàn tự do và hàm Lagrăng của chất

điểm thứ i sẽ không chứa tốc độ của hạt khác Kết hợp với tính chất cộng đ ợccủa động năng của hệ cô lập ta có thể viết

i i N

i

L L

1

2 1

T: gọi là động năng của cơ hệ

Nh vậy hàm Lagrăng của một hệ cô lập gồm các hạt không tơng tác vớinhau bằng tổng động năng của các chất điểm trong cơ hệ

c Hàm Lagrăng của một hệ cô lập gồm các hạt tơng tác với nhau.

Trờng hợp các chất điểm của cơ hệ cô lập tơng tác với nhau thì ta thêmvào biểu thức (*) một hàm đặc trng cho tơng tác giữa các chất điểm của cơ hệ

Ta kí hiệu hàm này là - U và gọi U là thế năng tơng tác giữa các chất điểm củacơ hệ

Đối với hệ cô lập, do tính đồng nhất của thời gian, hàm Lagrăng của hệkhông phụ thuộc tờng minh vào thời gian và do đó hàm U cũng không phụ

thuộc vào thời gian Mặt khác do tính đồng nhất của không gian, hàm L của cơ

hệ sẽ không thay đổi khi tịnh tiến toàn bộ cơ hệ một véc tơ r tuỳ ý Khi đócác bán kính véc tơ xác định vị trí của các chất điểm mi, mk của hệ sẽ biến đổi

nh sau:

i i i

i r r r

r  ,    ; r k  r k, r k  r k; , ,

k i k

i r r r

r    = bất biến

Do vậy hàm Lagrăng của cơ hệ cô lập chỉ phụ thuộc vào hiệu (r  i r k ),

và do tính chất đẳng hớng của không gian nên hàm U không phụ thuộc vàochiều của các véc tơ (r  i r k ) mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn của chúng

Vậy hàm L của hệ cô lập N chất điểm tơng tác với nhau có dạng:

L= m V U r r 

2

1

k i

2 i

Vớiq , A q B: Là toạ độ suy rộng tơng ứng của các hệ con A, B

TA,TB: Là động năng của hai hệ con A, B

Giả sử đã biết quy luật chuyển động của hệ con B tức là biết sự phụthuộc của q B,q,B vào t: q B q B t , qB qB t

Thì ta nói rằng hệ A chuyển động trong trờng ngoài biến đổi sinh bởi hệ

3 Ham Lagrăng loại II.

- Phơng trình tổng quát của động lực học trong dạng véc tơ:

r r m

trong đó: F k : Là lực hoạt động lên chất điểm Mk

mk, rk: Là khối lợng và véc tơ điịnh vị của chất điểm Mk

+ Đối với cơ hệ chịu liên kết Holonom giữ, dừng và lý tởng, chúng ta

có phơng trình Lagrăng loại II:

i

i i

U Q q

T q

phơng trình (19) có thể viết dới dạng:

i i i

Q q

L q

trong đó :L=T-U là hàm Lagrăng

+ Trong trờng hợp tất cả các lực tác dụng lên cơ hệ đều là các lực có thếthì phơng trình chuyển động của hệ có dạng:

i

Q q

- Chọn vị trí ban đầu của vật làm gốc của hệ trục toạ độ.

- Chọn trục ox hớng theo chiều chuyển động khi vật chuyển động trênmặt phẳng nghiêng, các lực tác dụng lên vật bao gồm:

Chiếu (1), (2) lên phơng chuyển động:  F ms Psin  mW c (1’)

1 x m 2

1

với  là vận tốc góc của đĩa

2 c 2

2 c

2 2

4

3 R

x 2

mR 2

1 x m 2

L dt

2

g x

chuyển động dới tác dụng của trọng lực của chúng

Xác định gia tốc góc của ròng rọc, bỏ qua khối lợng

của ròng rọc và dây buộc

Giải:

* Phơng pháp cơ học véc tơ.

Giả sử vật 1 đi xuống,vật 2 đi lên

áp dụng định lý mô men xung lợng đối với cơ hệ:

P r P

 2 2 2 2 2 r22

g

P v g

P r P

2 2 2 1

g

P r g

2 1

dt

d g

r P r P

2 1 1

2 2 1 1

r P r P

r P r P g dt

2

1

x m

T 

- Động năng của vật 2:

2 1 1

2 2

2 2 2 2

2

1 2

2 1 1

2

1 2

m

T he

Thế năng của hệ: Chọn gốc thế năng tại O

2 1 2 1 1 2 2 1 1

r

r x P x P x

P x P

1 1

L dt

P r

r P x

x r

r m x m x

1

2 2 1 1

r

r P P x r

r m x

2 1 1

2 2 1 1

r P r P

P r P r x

P r P r

2 2 2

2 1 1

2 2 1 1





Bài 3: Môt vật A có trọng lợng P đợc kéo lên từ trạng thái đứng yên nhờtới B là đĩa tròn đồng chất có bán kính R, trọng lợng Q và chịu tác dụng củangẫu lực có mô men M xác địnhgia tốc của vật A

ngẫu lực có mô men M và các nội lực

Trong đó chỉ có ngẫu lực có mô men M và trọng lực P sinh công, còn

Q không sinh công vì điểm đặt cố định, các nội lực cũng không sinh công

- áp dụng định lý biến thiên động năng:

   P A M A

T

trong đó: T0  0 vì ban đầu cơ hệ đứng yên

QR J

2

§éng n¨ng cña hÖ:

2 2

A B

A

V g

Q P T T

gọi A k là tổng công của tất cả các ngoại lực:

 M A P M Ps A

với S là quãng đờng dịch chuyển của vật A

s P R

M Ps R

s M

V g 2

Q P

M dt

dV V g

2

; V A dt

M dt

dV g

Q P

A A

* Phơng pháp cơ học giải tích

Cơ hệ khảo sát gồm: - Vật A chuyển động tịnh tiến

- Tời B quay quanh trục cố định

Hệ có một bậc tự do, chọn toạ độ suy rộng q=s

Động năng của hệ:

2 2

2 4

1 2

2 2

2

A A

A B

A

V g

Q P g

QV PV

T T

do

2

s g

Q P 2 T s V

2 A

s M s P M

T dt

Các đạo hàm riêng: s

g

Q P 2 s

M s g

Q P

W A





 2 2

Bài 4

Một hệ thống chuyển tải gồm 2 trục là các trụ đặc tròn đồng chất cótrọng lợng Q bán kính R quay quanh các trục quay riêng cố định O1, O2 vàbằng tải là đoạn dây khép kín không dãn có khối lợng m, các gầu xúc có trọnglợng P1,,P2 Trục quay O1 chịu tác dụng của ngẫu lực M=const Tìm vận tốccủa gầu xúc theo đoạn đờng di chuyển, cho biết ban đầu hệ đứng yên

Giải

* Phơng pháp cơ học véc tơ

Khảo sát cơ hệ gồm

Hai trục quay,băng tải

Hai gầu xúc A,B

- Lực tác dụng lên cơ hệ: Các lực sinh công

P1, P2, M, còn các trọng lực của 2 trục quay và

băng tải không sinh công vì điểm đặt của chúng

đứng yên

- Động năng của hệ:

bangtai B

2 2

1 2

2 2 2

2 2 1 2 2

2

1 2

1 2

2

1 2

2 2

2

1

V m g

P P Q mV

R g

Q V

g

P V g

P R

P P Q 2

1

1 2 2 2

M P P dt

dv v m g

P P Q

1

mg P P Q

M R P P dt

dv W

1 2

mg P P Q

M R P P dt

dv W

1 2

1 v m g

P P Q 2

M P P

- lùc suy réng:

R

M P P s

T dt

M P P P s W R

M P P s m g

P P Q

2 1

1 2 1

2 2

Kh¶o s¸t c¬ hÖ gåm tay quay, thíc vÏ

Vµ c¸c con ch¹y A,B

2

1 2

1



C C

2

2 2 cos 2

 

a g

Q P

Q 4 P 3 dt

d M dt

d a g

Q 4 P

0 a Q 4 P 3

g M dt

T    

Tìm lực suy rộng tơng ứng toạ độ suy rộng 

Công nguyên tố của hệ: AQ jq j Do chỉ có mô men quay thựchiện công nên khi cho hệ 1 di chuyển khả dĩ d thì công nguyên tố là:

a g

Q P



2 4 3

M a

g

Q P





 

1 T m W

P   (1)

2 2 2

T    ms  (2)



J M R T R

1g T m W

m   m1g T1 m1W

2 2 2

2 F m gsin m W

T  ms     T2  m2gsin   m2g cos  m2W



J M R T R

T1  2  c 

2

3 2

1

W m R

M T







2 1 2

2 1

m m m W R

M g

m g

m g

R

Mcosmsin

mmgW

3 2 1

c 2

2 1

3 2 1

2 2

1

m m m

R

M m

m m g W

2

1

V m

1 2

2

1 2

1 2

2 1

2 2

2 2 3 2 2

2 1

m m m S R

S R m S

m S

m

+ Tính lực suy rộng theo toạ độ suy rộng s

Cho hệ một di chuyển khả dĩ s Công nguyên tố của các lực trong dichuyển khả dĩ s là:

m g

m g m s

Phơng trình Lagrăng: Q s

s

T s

T dt

m m g s 2

m m

2 2

1

3 2

R

M cos

m sin

m m g s W

3 2 1

c 2

2 1

Thanh đồng chất AB có chiều dài là a, đặt trong mặt phẳng thẳng đứng

và nghiêng một góc  so với phơng nằm ngang Thanh tựa đầu A lên đờngtrơn thẳng đứng còn đầu B trợt trên mặt nhẵn nằm ngang, sau đó để thanh rơi

tự do không có vận tốc đầu Hãy xác định gia tốc góc của thanh

a

V c  với  là vận tốc góc của thanh

áp dụng định lý biến thiên động năng:

 P A A T

T  0   (*)

trong đóT0 = 0 vì v0= 0

2 12 4

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

 sin 2

g cos

2

a g dt

d 12

ma 4

ma dt

dA dt

ma 12

ma 8

ma 2

J mV 2

1 T

2 2 2 2 2

2 2 2 2

c 2 c

a mg L

g cos

2

a mg 3

g



Bài 8:

Một cơ cấu hành tinh đặt trong mặt phẳng chuyển động từ trạng thái

đứng yên nhờ một ngẫu lực có mô men không đổi M đặt vào tay quay OAquay quanh trục cố định O làm cho bánh 2 là một đĩa tròn đồng chất có bánkính r2 và trọng lợng P lăn không trợt đối với bánh 1 có bán kính r1 cố định.Xem tay quay OA là thanh đồng chất có trọng lợng Q Bỏ qua lực cản xác

định gia tốc góc của tay quay

A