Hình thành phương pháp học cho học sinh tiểu học

Một trong những khái niệm đợc xây dựng theo cách đó là khái niệm hàm hầu tuần hoàn yếu.Xuất phát từ định nghĩa và các tính chất của hàm hầu tuần hoàn mà luận văn của Nguyễn Thị Hoài Quyê

trong không gian X, dựa vào Tôpô yếu trên X, ngời ta đã xây dựng các khái niệm tơng ứng: hội tụ yếu, liên tục yếu Một trong những khái niệm đợc xây dựng theo cách đó là khái niệm hàm hầu tuần hoàn yếu.

Xuất phát từ định nghĩa và các tính chất của hàm hầu tuần hoàn mà luận văn của Nguyễn Thị Hoài Quyên đã nghiên cứu, khoá luận này nhằm nghiên cứu định nghĩa và các tính chất của hàm hầu tuần hoàn yếu, xét xem các tính chất của hàm hầu tuần hoàn có còn đúng đối với hàm hầu tuần hoàn yếu nữa không? Từ đó khoá luận nhằm tìm ra mỗi liên hệ giữa hàm hầu tuần hoàn và hàm hầu tuần hoàn yếu, các tiêu chuẩn của hàm hầu tuần hoàn

Nội dung khoá luận gồm hai chơng:

Ch

ơng I: Tóm tắt các khái niệm và tính chất của hàm hầu tuần hoàn

đã đợc nghiên cứu trong luận văn của Nguyễn Thị Hoài Quyên

Ch

ơng II: Gồm ba phần:

Đ1. Khoá luận đa ra định nghĩa và một số tính chất đơn giản của hàm hầu tuần hoàn yếu

Đ2 Khoá luận chứng minh một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn yếu

liên quan đến giải tích điều hoà của các hàm này

Đ3 Tìm ra các tiêu chuẩn của hàm hầu tuần hoàn, xét mối liên hệ giữa

hàm hầu tuần hoàn và hàm hầu tuần hoàn yếu

Đặc biệt khoá luận đã nêu ra ví dụ về hàm hầu tuần hoàn yếu nhng không phải là hàm hầu tuần hoàn ở mục 2.3.4

Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán Trờng Đại Học Vinh dới sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo, gia đình và bè bạn Đặc biệt là sự hớng dẫn

nhiệt tình chu đáo của thầy giáo PGS - TS Tạ Quang Hải Qua đây tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hớng dẫn và các thầy cô trong khoa Toán trờng Đại Học Vinh cùng toàn thể bạn bè và gia đình

Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn.

Vinh, tháng 5/2003

Tác giả

Chơng I

Khái niệm về hàm hầu tuần hoàn

Đ 1 Định nghĩa và một số tính chất đơn giản

I Định nghĩa hầu chu kỳ, hầu tuần hoàn theo nghĩa Borơ.

1.1.1 Định nghĩa Tập số E = {ξ} đợc gọi là trù mật tơng đối trong

- ∞ < x < + ∞ nếu tồn tại số l > 0 sao cho [a, a + l]∩ E ≠φ, ∀ a ∈ R

Ví dụ: Tập 0, ± 1, ± 2 là tập trù mật tơng đối trong R với l = 1

Tập 0, ± 12, ± 22 không trù mật tơng đối trong R vì sup k [(k + 1)2 - k2] = ∞

Xét hàm giá trị phức: f(x) = ϕ(x) + iΨ (x)

ϕ(x) = Re f(x)

Ψ(x) = Im f(x)

1.1.2 Định nghĩa Số T = T(x) đợc gọi là hầu chu kỳ của hàm f với độ

chính xác ε (hay còn gọi là ε - hầu chu kỳ) nếu với mỗi x ∈ R có bất đẳng thức:

| f(x + T) - f(x)| < ε

1.1.3 Định nghĩa Hàm phức liên tục f(x) đợc gọi là hầu tuần hoàn theo

nghĩa Borơ nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một tập trù mật tơng đối các hầu chu kỳ T của f(x) với độ chính xác ε, nghĩa là tồn tại l = l(ε) sao cho mỗi đoạn [a, a +l ]

chứa ít nhất một điểm T sao cho: | f(x + T) - f(x) | < ε với x bất kỳ

Nhận xét

Mỗi hàm tuần hoàn liên tục là hầu tuần hoàn Điều ngợc lại không đúng

Ví dụ Hàm f(x) = sinx + sin 2 là hàm hầu tuần hoàn nhng không x

phải là hàm tuần hoàn

Thật vậy, theo định nghĩa hàm hầu tuần hoàn của hàm f(x), trên đoạn

[-x + a, -x + a + l ] luôn tồn tại ε- hầu chu kỳ T: -x + a ≤ T ≤ -x + a + l

1.1.5: Định lý Nếu E là tập giá trị của hàm hầu tuần hoàn f(x) và F(y)

là hàm liên tục đều trên E thì F(f(x)) là hàm hầu tuần hoàn

II - Các tính chất cơ bản của hàm hầu tuần hoàn:

1.1.6: Định lý Hàm hầu tuần hoàn bị chặn đều trên R

1.1.7: Định lý Hàm hầu tuần hoàn liên tục đều trên R.

1.1.8: Hệ quả Với mỗi ε > 0, tập ε- hầu chu kỳ của hàm hầu tuần hoàn f(x) chứa tập trù mật tơng đối các đoạn thẳng với độ dài η = η(ε), nghĩa là tồn tại

L = L(ε) sao cho trên mỗi đoạn [a, a + L] có đoạn con [α, α + η] mà mỗi điểm ξ

III - Các phép toán về hàm hầu tuần hoàn.

1.1.11 Định lý Tổng của hai hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn 1.1.12 Hệ quả Tổng hữu hạn các hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn 1.1.13 Hệ quả Nếu fi(x) là hàm hầu tuần hoàn( i = 1 n) thì ∑

=

n 1

i αi

fi(x) cũng là hàm hầu tuần hoàn (αi∈ R)

1.1.14 Định lý Tích của hai hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn 1.1.15 Hệ quả Tích của một số hữu hạn các hàm hầu tuần hoàn là hàm

hầu tuần hoàn

1.1.16 Hệ quả Luỹ thừa (nguyên dơng) của hàm hầu tuần hoàn là hàm

hầu tuần hoàn

1.1.17 Bổ đề Nếu f(x) là hàm hầu tuần hoàn và inf |f(x) | = h > 0 thì

)

(

1

x

f cũng là hàm hầu tuần hoàn

1.1.18: Định lý Nếu f(x), g(x) là các hàm hầu tuần hoàn với

inf | g(x)| > 0 thì g f((x x)) cũng là hàm hầu tuần hoàn

IV - Định nghĩa hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa bôcnerơ.

1.1.19 Định nghĩa Hàm f(x) ∈ C (-∞, +∞) đợc gọi là chuẩn tắc nếu họ các hàm {f(x + h)} -∞ < h < + ∞ là compact theo nghĩa hội tụ đều, tức là từ một dãy

{f(x + hn)}, hn∈ (-∞, +∞) có thể trích ra dãy con hội tụ đều trên trục thực

Dễ thấy mỗi hàm chuẩn tắc là bị chặn

1.1.20 Định nghĩa (theo Bôcnerơ) Hàm liên tục f(x) đợc gọi là hàm

hầu tuần hoàn nếu f(x) là chuẩn tắc

1.1.21 Định lý (Sự tơng đơng giữa hai định nghĩa) Hàm hầu tuần

hoàn theo nghĩa Bônerơ là tơng đơng

Đ 2 Đạo hàm và vi phân của hàm hầu tuần hoàn

I - Sự hội tụ đều dãy các hàm hầu tuần hoàn.

1.2.1 Mệnh đề Nếu dãy hàm hầu tuần hoàn f1 (x), f2(x), , fn(x) hội tụ đều

về f(x) trên -∞ < x < +∞ thì nlim→∞ fn(x) = f(x) là hàm hầu tuần hoàn

1.2.2 Hệ quả Mỗi hàm f(x) = nlim→∞ Pn(x) là hàm hầu tuần hoàn, trong đó

Pn(x) có thể xấp xỉ đều bởi đa thức lợng giác:

x i ) n (

1.2.3 Hệ quả Tổng của chuỗi hội tụ đều các hàm hầu tuần hoàn là

hàm hầu tuần hoàn

II - đạo hàm của hàm hầu tuần hoàn.

1.2.4 Mệnh đề Nếu hàm hầu tuần hoàn f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục

đều trên R thì f’(x) cũng là hàm hầu tuần hoàn

III - tích phân của hàm hầu tuần hoàn.

1.2.5 Mệnh đề Nếu hàm f(t) là hàm hầu tuần hoàn thì tích phân

đợc gọi là giá trị trung bình của f(x).

1.3.2 Định lý Với mọi hàm hầu tuần hoàn f(x) và với số a ∈ (-∞, +∞)

1.3.3 Hệ quả Với a = a(T) ta có: → ∞ ∫+

T T a

T a

T

) (

) (

) (

1 lim = M {f(x)}

1 lim

T ( )

2

1 lim

1.3.5 Các tính chất của giá trị trung bình.

1 Nếu f(x) = c = const thì M {c} = c

2 Nếu f(x) ≥ 0 thì M {f(x)}≥ 03.M { f (x)} = M{f (x)}

7 Nếu fn(x) (n = 1,2 ) là các hàm hầu tuần hoàn và fn(x) f(x) trên (-∞, +∞) thì: Lim n→∞ M {fn(x)} = M {f(x)}

1.3.6 Định lý Nếu hàm hầu tuần hoàn f(x) ≡ 0 thì M {f(x)} > 0

Nếu f(x) là một hàm hầu tuần hoàn thì đối với mỗi bộ hữu hạn, λ1,

λ2 λn các số thực khác nhau ta có bất đẳng thức Betxen

∑

= λ ≤

N 1 n

2

(

a {|f(x)|2}

1.3.9 Hệ quả Bất đẳng thức Betxen vẫn còn đúng đối với tập đếm đợc

các số thực λ1, λ2 λn nghĩa là: ∑∞

= 1

2

) (

n

n

a λ ≤ M {|f(x)|2}

Đ 4 Chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn

1.4.1 Bổ đề Với mỗi hàm hầu tuần hoàn f(x), hàm phổ của nó

a(λ) = M {f(x) eiλx }

sẽ khác 0 chỉ trên một tập hữu hạn hoặc đếm đợc các giá trị của λ

1.4.2 Định nghĩa Các giá trị λ để cho a(λ) ≠0, mà các giá trị đó biểu diễn đợc dới dạng dãy hữu hạn hoặc đếm đợc thì đợc gọi là số mũ Fourier của hàm hầu tuần hoàn f(x)

n e n

A hữu hạn hoặc vô

hạn, đợc gọi là chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn f(x), trong đó {An} là phổ của hàm hầu tuần hoàn, còn An = M {f(x) eiλx} đợc gọi là hệ số của chuỗi Fourier

Bậc các số hạng của chuỗi Fourier hàm hầu tuần hoàn nói chung là lấy một cách tùy ý và chỉ phụ thuộc vào việc sắp xếp các phổ {λn} của nó

Chú ý :

Đối với hàm hầu tuần hoàn f(x) = 0 thì phổ là tập φ và chuỗi Fourier trong trờng hợp này không xác định

1.4.4 Định lý Đối với mỗi hàm hầu tuần hoàn f(x) thì tổng các bình

phơng của môđun các hệ số Fourier của nó lập nên một chuỗi hội tụ và có bất

đẳng thức Betxen:

∑ ≤

n

2 n

A M {|f(x) |2}

1.4.5 Hệ quả Các hệ số An của chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn f(x) dần tới 0 khi n→∞ nghĩa là:

n lim A lim M {f(x) eiλx} = 0

1.4.6 Định lý Chuỗi lợng giác f(x) = ∑∞

=

λ

1 n

x i

n e n

C hội tụ đều trên

(-∞, +∞) là chuỗi Fourier của hàm f(x)

x i

n e n

C là chuỗi Fourier của tổng

1.4.8 Hệ quả Tồn tại một hàm hầu tuần hoàn với phổ đếm đợc tuỳ ý 1.4.9 Định lý (xấp xỉ) Nếu f(x) là một hàm hầu tuần hoàn thì đối với

mỗi ε > 0 tồn tại một đa thức lợng giác giới nội:

x i

n ( ) e n C

thoả mãn Sup f ( x )−Pε( x ) ≤ε

x

Trong đó λn có thể lấy nh là số mũ Fourier của hàm f(x)

chơng II

Khái niệm về hàm hầu tuần hoàn yếu

Đ1: Định nghĩa và các tính chất đơn giản của hàm

hầu tuần hoàn yếu

I Các định nghĩa.

Giả sử X là không gian Banach, X *là không gian liên hợp với nó, giá trị của phiếm hàm x *∈ X * lên phần tử x ∈ X *, ký hiệu là x * (x) hoặc (x * , x) Khi đó với các phần tử tuỳ ý 1*, x*2, x*n∈ X* và 1, x2, xn∈ X và các số phức tuỳ

n 1

* k j k n

1 k

n 1

* k

2.1.1 Định nghĩa 1 Giả sử { }x X

1 n

n ∞ ∈

= Dãy { }∞

=1 n n

x đợc gọi là hội tụ yếu (cơ bản yếu) nếu với mọi x *∈ X * , dãy số x * (x n ) hội tụ (cơ bản).

Ngoài ra nếu tồn tại phần tử x ∈X sao cho mọi x *∈ X *ta có

x hội tụ yếu về x, còn x gọi là giới hạn

yếu của dãy { }∞

=1 n n

2.1.2 Định nghĩa 2 Không gian Banach X trong đó mỗi một dãy hội tụ

yếu đều hội tụ yếu về phần tử x ∈ X đợc gọi là không gian hoàn toàn yếu.

Ví dụ.

1 Các không gian Banach phản xạ là hoàn toàn yếu

Thật vậy, giả sử X là không gian Banach phản xạ ⇒ X = X **

Theo định lý Banach - Steinhauss, tồn tại nlim→∞ F x n (x * )= F x (x * )

Vậy X là không gian hoàn toàn yếu

Đặc biệt, không gian Hinbe là hoàn toàn yếu (vì không gian Hinbe là không gian Banach phản xạ)

2 c0 là không gian hoàn toàn yếu

Chứng minh:

Do c 0* ≅ l1

* 1

l ≅ l∞

Nên c0*≅ l∞

Giả sử xn là dãy hội tụ yếu trong c0⇒ x*(xn) hội tụ với mọi x*

⇒ c0 là không gian hoàn toàn yếu.

2.1.3 Định nghĩa 3 Hàm f: J → X đợc gọi là hàm hầu tuần hoàn yếu nếu với ∀x *∈ X * hàm số x * (f(t)) là hàm hầu tuần hoàn liên tục.

Nhận xét:

Định nghĩa này tơng tự với định nghĩa liên tục yếu hoặc hàm đo đợc yếu (khả tổng)

II Các tính chất của hàm hầu tuần hoàn yếu.

2.1.4 f(t) là hàm hầu tuần hoàn thì f(t) là hàm tuần hoàn yếu.

x *

⇒ là hàm hầu tuần hoàn với ∀x *∈ X *

Vậy f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu

2.1.5 f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu thì R f giới nội và tách đợc (R f là miền giá trị của hàm f, R f ={f(t) t∈J}

2.1.7 Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn yếu { }s n là dãy các số thực sao

cho lim x * f(t s n ) g(t)

∞

→ ∀ t∈ J

Khi đó: i) Sự hội tụ này là đều theo t∈ J (1)

ii) Nếu Ωf là bao lồi của R f thì Ωf =Ωg (2)

iii) Sup f(t) Sup g(t)

J t J

Chứng minh.

i) ∀x *∈ X *, x * (f(t))là hàm hầu tuần hoàn Do đó nếu x * (f(t+s n ))hội

tụ với mọi t∈J thì sự hội tụ này là đều theo t Thật vậy:

Giả sử ε >0 bé tuỳ ý Theo định nghĩa hàm hầu tuần hoàn, sẽ tồn tại

δ

δ= là số dơng nói trong định nghĩa hàm liên tục đều x * (f(t)) Trên đoạn [0, L] ta xây dựng lới δ hữu hạn t 1 , t 2 , t m sao cho

m 1

ε ( N N , ε ,

1

i = m với ∀ > 0 ∃ i = i sao cho ∀p : q > N ta có:

5

ε )) (f(t

x ) (f(t

+

Gọi tk là điểm gần t' nhất của lới δ ⇒ − ' < δ

k t

t khi p, q > N ta có:

)) (

( )) (

( )) (

( )) (

(

) (

( ) ( ( )

( ( ) (

(

*

*

* '

k p

k p

p p

q p

s t f x s t f x s

t f x s t f x

s t f x s t f x s

t f x s t f x

+

− + +

+

− + +

+

− +

≤ +

− +

x * (f(t )) x * (f(t ' )) x * (f(t ' )) x * (f(t ))

q q

q p

+

< ε + ε + ε + ε + ε = ε

5 5 5 5 5

Vì N không phụ thuộc vào t nên dãy {x * (f(t+s n ))} hội tụ đều trên J, ∀x∗ ∈ X

p

1 j

j j

p 2 1 j j

n p

1 k

* n n k k

(g(t)) x

) s (f(t x

lim * + n = * đều theo t

Do đó ∀ε >0, tồn tại số tự nhiên nε(cũng phụ thuộc vào x ) sao cho *

⇒ − − ≤ε

∈ x (f(t)) x (g(t s ))

J t

iii) Do g(t) là giới hạn yếu của dãy {f(t+s n )} nên theo định lý Xôbalep

ta có: g(t) lim f(t s ) lim f(t s ) Sup f(t)

J t

n n

Đ2 Giải tích điều hoà các hàm hầu tuần hoàn.

Trong phần này chúng ta giả thiết rằng không gian Banach X là hoàn toàn yếu (chẳng hạn là không gian phản xạ) Chúng ta sẽ chứng minh một vài tính chất của hàm hầu tuần hoàn yếu

2.2.1 f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu ⇒ ∀ λ ∈ J tồn tại giá trị trung

bình

T 2

1 lim e

f(t) M )

T

* T

t i

1 lim T S

S T

t i

f(t) T 2

1 lim dt ) e (f(t) x T 2

1

lim

T T

t i

* n

T T

t i

* t i

*

T 2

1 lim ) (

αHơn nữa: ∀ x *∈ X * giới hạn

1

tồn tại đều theo s Do đó giới hạn (6) tồn tại đều theo s∈ J

2.2.2 f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu ⇒ α (λ)=0 trừ số lớn nhất của

Đối với các hàm hầu tuần hoàn yếu ta có thể mở rộng đa vào tổng Bôcnephayơrơ:

Nm 1

Gọi là đa thức Bôcnephâyơrơ đối với hàm f(t).

2.2.3 f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu Khi đó lim * P m (t) f(t)

Thật vậy, từ (7) ta có

{x (f(t)) e } x ( ( )) M

(f(t)) x

; (λ * = * λit = * α λ

αBiểu thức trên bằng 0 nếu λ ∉{ }λn

1

k m

k e )) ( α , (x ,

k

λ

λ à

P lim * m =

⇒

2.2.4 f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu, α(λ)≡0 thì f(t) = 0

Chứng minh.

Nếu α ( λ ) ≡ 0 thì Pm(t) ≡ 0 ∀ m Do đó (x * , f(t)) ≡ 0 ∀ x * ∈ X ⇒ f(t) ≡ 0.

2.2.5 Các tiêu chuẩn của Bôcnephâyơrơ.

Giả sử f(t) là hàm liên tục yếu, cần và đủ để f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu là từ mỗi dãy { }s có thể trích ra đợc dãy n { }'

x * + n đều có thể trích ra đợc một dãy con hội tụ đều x * (f(t+s ' n ))

⇒ Từ mỗi dãy { }s có thể lấy ra dãy con n { }s' n sao cho dãy f(t+s ' n ) hội tụ yếu đều trên J

Điều kiện cần: Khi chứng minh tính chất 2.1.7 ta đã biết rằng ∀x *∈ X * các

số mũ Fourier cuả hàm hầu tuần hoàn x * (f(t)đều chứa trong tập đếm đợc cố

định { }λn Do đó ta chỉ cần trích dãy { }'

n

s thoả mãn điều kiện: Với k = 1,2

tồn tại giới hạn: lim e iS ' n k

Đ3 Các tiêu chuẩn của hàm hầu tuần hoàn.

2.3.1 Định lý 1 Để hàm giới nội f : J → X là hàm hầu tuần hoàn, điều kiện cần và đủ là:

i, Với mỗi x *∈D , D là tập trù mật khắp nơi trong X * thì hàm vô hớng (x * , f(t)) là hàm hầu tuần hoàn

ii, Hàm f(t) là compact theo nghĩa R là tập compact f

Đặc biệt, để hàm hầu tuần hoàn yếu là hầu tuần hoàn cần và đủ là nó compact.

⇒ hàm vô hớng (x * , f(t))là hàm hầu tuần hoàn

f(t)là hàm hầu tuần hoàn ⇒ f(t)là hàm chuẩn tắc (định nghĩa hàm hầu tuần hoàn của Bôcnerơ) ⇒ từ mỗi dãy {f(t+h n} ⊂R f đều có thể trích ra đợc dãy con hội tụ, R đóng, bị chặn f ⇒ R compact f

Điều kiện đủ: Do D trù mật khắp nơi trong X * nên với mọi x *∈X *, tồn tại dãy { }x • ⊂ D

x f(t)) , (x f(t))

,

(x

J t

* n

*

* n

⇒ (x * , f(t)) là hàm hầu tuần hoàn

⇒ f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu.

Ta có R flà giới nội và tách đợc Không mất tính tổng quát, ta có thể giả

sử chính không gian X là tách đợc, do đó nó đẳng cấu với không gian con của không gian các hàm liên tục trên [0,1] ( vì không gian C[0,1] là khả li), ta gọi không gian đó là Y

Giả sử {y 1 , y 2 , y n } là một cơ sở của không gian Y Với mọi y∈Y

ta có:

y

y

y = α1 1+ +αn nXét dãy các toán tử tuyến tính hữu hạn chiều:

Y Y :

E m →

y  E m y =α1 y 1+ +αm y m

Khi đó ta có E m y→ y khi m → ∞ với ∀y∈Y (11).Hàm f m (t)= E m f(t) (m=1,2 ) nhận đợc các giá trị từ không gian hữu hạn chiều Trong không gian hữu hạn chiều, hội tụ mạnh trùng với hội tụ yếu, do đó tính tuần hoàn của các hàm f m (t) tơng đơng với tính hầu tuần hoàn yếu

f m → khi m →∞ Sự hội tụ này là đều theo t ∈ Jdo có bổ đề sau:

Bổ đề 1 Tính hội tụ mạnh của các toán tử tuyến tính giới nội là đều

Theo định lý Banach - Steinhauss ta có dãy { }A giới nội đều, nghĩa là m

tồn tại l sao cho A m < l ∀m=1 , 2

Giả sử { }y i , (i=1,2, p) là

l 4

ε

- lới hữu hạn của tập compact K, nghĩa

là∀y∈K, tồn tại y j∈{ }y i , (i=1,2, p)sao cho

l 4 y

y− j ≤ ε (12)

Do A n y j →Ay j nên với ε∀ , tồn tại N j (ε)sao cho ∀n>N j

p 1,2,

j 2

Ay y

A n j− j ≤ ε ∀ =

p 1,

max N

=

=

ε ta có ∀ n> n , ∀ j =1,2, p thì

2 Ay

y

A n j− j ≤ ε (13)

Từ (12) và (13) ∀y∈k ta có:

j n j j

n j

n j j

=+

⋅

≤

−+

y A

Sử dụng tiêu chuẩn tổng quát của hàm hầu tuần hoàn đã chứng minh ở

ta trên xét một vài tiêu chuẩn khác

Bổ đề 2 Giả sử f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu và giả sử đối với dãy

{ }s đã cho ta có: n

g(t) )

s f(t lim * n

∞

← đều (14).