Hệ thống các bài bài tập điện động lực phần tĩnh điện

Nội dung của phơng pháp này là ở chổ chọn các điện tích tởng tợngphụ sao cho các điện tích này cùng với các điện tích đã cho gây ra điện trờng mà đối với trờng này mặt vật dẫn điện đã ch

Lời mở đầu

Điện động lực nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất của điện từ ờng và các hạt tích điện

tr-Những phơng trình cơ bản của điện động lực học là các phơng trìnhMaxwell Nó cho phép ta giải thích đợc các hiện tợng điện từ và nghiên cứu đ-

ợc các hiện tợng điện từ

Điện động lực cũng nh các môn học khác, việc giải các bài tập là hếtsức quan trọng, nó giúp cho học sinh, sinh viên nắm vững hơn về lý thuyết,rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng kiến thức một cách tốt hơn

Các bài tập về điện động lực bao gồm nhiều phần, nhng trong phạm vicủa luận văn này tôi chỉ xin đề cập tới phần tĩnh điện Trong chơng trình đavào giảng dạy, số tiết chữa bài tập của phần này không nhiều Vì vậy nên sinhviên cha có điều kiện hệ thống lại và khắc sâu bài tập, khả năng giải các bàitập tĩnh điện của sinh viên còn hạn chế Vì lí do trên cùng với sự yêu mến môn

Điện động lực nên tôi đã chọn đề tài: “Hệ thống các bài tập điện động lực phần tĩnh điện”

Nhìn chung các bài tập của tĩnh điện đa dạng, phong phú và có nhiềuphơng pháp giải khác nhau Trong phạm vi của luận văn, tôi chỉ trình bàynhững loại bài tập chính và trong mỗi loại đó đợc minh hoạ bằng những phơngpháp giải cơ bản khác nhau

Bằng những kiến thức về Điện đại cơng, Điện động lực, giải tích, bằngcách thu thập các tài liệu có liên quan, với sự giúp đỡ của các thầy cô, anh chịkhoá trớc, của bạn bè và đặc biệt là của cô giáo Lê Thị Thai, tôi đã hoàn thànhluận văn này với những nội dung chính nh sau:

Cuối cùng, với tấm lòng biết ơn sâu sắc tôi xin gửi lời cảm ơn chânthành tới cô giáo hớng dẫn Lê Thị Thai - Ngời đã giúp đỡ tôi rất nhiều về kiếnthức, phơng pháp nghiên cứu và nguồn tài liệu quý giá, đồng thời tôi cũng xin

gửi đến các thầy cô giáo trong khoa, bạn bè đồng nghiệp lời cảm ơn sâu sắc,

đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Vinh, tháng 5/ 2003 Ngời thực hiện : Phan Thị Quý

Phần I: Cơ sở lý thuyết

I Phân loại :

Trờng tĩnh điện có 3 loại bài toán cơ bản:

I.1- Loại 1: cho biết thế của trờng tức là cho biết ϕ=ϕ( )r là hàm củatoạ độ Ta phải tìm sự phân bố điện tích tức là tìm ρ=ρ( )r ;σ=σ( )r : tại mọi

điểm của không gian

I.2- Loại 2: Cho biết sự phân bố điện tích, ta phải tìm ra giá trị của điệntrờng và thế ϕ tại mọi điểm của không gian

I.3- Loại 3: Tìm các lực tác dụng lên điện tích, vật dẫn, đặt trong điệntrờng và tính điện dung, năng lợng

Cùng với 3 loại bài toán trên, trong bài tập về phần tĩnh điện còn

có một số bài toán tính điện tích cảm ứng

+ Đối với trờng của 1 điện tích điểm thì:

i 3 i i i

r4

rqπε

r4

qπε

=ϕ

Trong đó: qi là điện tích điểm thứ i gây ra trờng

ri là khoảng cách từ điện tích điểm thứ i tới điểm ta xét

ε là hằng số điện môi tuyệt đối của môi trờng

+ Đối với trờng của một hệ điện tích điểm thì:

∑ ∑

= n1 i

n

1

i i i

r4

rqE

=

S

dS4

1

;r

rr

dSr4

r

r4

1r

rr

dVr4

1E

1r

dV4

1

Điện thông đi qua một mặt kín bất kỳ bằng tổng đại số các điện tíchnằm trong mặt kín chia cho hằng số điện môi ε

ε

=ε

±Σ

=

ΦΕ qi q hay ΦΕ =∫ = ε

S

qSd

∇2 (phơng trình Poatxông)

Từ hai phơng trình này và sử dụng các điều kiện biên cho phép ta tính

đợc thế và trờng tại mọi điểm

Tuy nhiên để giải đợc phơng pháp này thì ta cần phải sử dụng các

ph-ơng trình Laplaxiên, Građiên trong hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu

2

2

2 2 2

2 2

2

sinr

1sin

sinr

1r

rrr

∂

∂θ+

+θ

∂

ϕ

∂+

1ere

1r

rrr

1

∂

ϕ

∂+α

∂

ϕ

∂+

1ere

∂

ϕ

∂+α

∂

ϕ

∂+

Phơng pháp này áp dụng cho những bài toán tìm trờng của một hay một

số điện tích điểm khi có các mặt biên

Nội dung của phơng pháp này là ở chổ chọn các điện tích tởng tợngphụ sao cho các điện tích này cùng với các điện tích đã cho gây ra điện trờng

mà đối với trờng này mặt vật dẫn điện đã cho trùng với một trong những mặt

đẳng thế của trờng

II.3- Loại 3: Tìm lực tác dụng lên các điện tích , vật dẫn đặt trong điệntrờng và điện dung, năng lợng

II.3.1 Lực tác dụng trong tĩnh điện trờng

- Lực của điện trờng tác dụng lên điện tích điểm :

F=eΕ

- Nếu điện tích đợc phân bố liên tục trong một thể tích V thì:

=∫

VdV

F Ερ

- Lực tác dụng lên một lỡng cực bằng tổng các lực tác dụng lên điệntích âm và điện tích dơng

F=e{Ε( )r+l −Ε( )r}

F=( )p∇ Ε (trong trờng hợp lỡng cực là nhỏ)

Trong đó Ε là cờng độ điện trờng tại nơi có lỡng cực

- Nếu biết biểu thức năng lợng của hệ điện tích thì ta có thể tính lực tácdụng theo:

II.3.2 Tính năng lợng của trờng tĩnh điện

- Năng lợng của trờng tĩnh điện đợc tính theo công thức :

= ∫

VdVD2

1

với (*) năng lợng của điện trờng là năng lợng đợc phân bố liên tục trongkhông gian có điện trờng, (**) năng lợng của điện trờng là năng lợng tơng tácgiữa các điện tích

Trong đó: dVρ là điện tích nguyên tố có thể tích dV, và ϕ là điện thế

do tất cả các điện tích còn lại gây ra tại nguyên tố dV

- Năng lợng của hệ điện tích điểm đợc tính :

= ∑ ϕ

n i i

e2

1W

+ Vì điện thế của mỗi vật dẫn là một hằng số nên đối với vật dẫn thứ i

i i i i iei

2

1dS2

1W

1V

VC2

1W

2 2

2

=

II.3.3 Tính điện dung của vật dẫn

Để tính điện dung của các vật dẫn cô lập hoặc tụ điện ta sử dụng cáccông thức sau:

- Đối với điện dung của vật dẫn cô lập thì

V

q

C= .Trong đó: q là điện tích của vật dẫn

−

Trong đó V1 ,V2 là thế trên hai bản tụ

∗ Ngoài 3 loại bài toán trên thì trong bài tập phần tĩnh điện còn có một

số bài toán tính điện tích cảm ứng

Phơng pháp chủ yếu để giải các bài toán này là dùng thuyết tơng hỗGreen Công thức tổng quát của thuyết này là :

∑ ∑

ϕ

=ϕ

n

1 k

n

1 k

k ' k k

Trong trờng hợp nếu hệ không phải là các vật dẫn mà có một số hoặc tấtcả là các điện tích điểm Khi đó ta phải hiểu ϕk là thế của trờng tại điểm đặt qk

(Trờng này do tất cả các điện tích điểm tạo ra trừ điện tích qk)

Ngoài phơng pháp dùng thuyết tơng hỗ Green để giải ta còn có thể giảibài toán này theo phơng pháp ảnh điện đã nói trên

Đối với phơng pháp ảnh điện thì ta cần thay hệ điện tích đã cho bằng hệhai điện tích q và qc (điện tích cảm ứng ) với giá trị và vị trí của qc cần tìm saocho trờng đợc tạo ra giống hệt với trờng tạo bởi hệ điện tích ban đầu

Phần II: Bài tập

I Loại I :

Bài tập tìm sự phân bố điện tích khi cho biết trờng

Nhìn chung việc giải các bài tập thuộc loại này tơng đối đơn giản bằngcách áp dụng các phơng trình

divD =ρ ; D =εΕ và điều kiện biên D2n-D1n=σ

thì ta sẽ tìm dợc sự phân bố tơng ứng khi biết trờng Khi đã cho thế thì ta tìm

sự phân bố điện tích dựa vào phơng trình Poat xông

Một số công thức vận dụng khi giải bài tập loại này :

1 Trong toạ độ trụ

z

ue

r

ue

∂

∂+

∂

∂+

ur

1r

urrr

1u

2 Trong toạ độ cầu

αθ

usin

1e

d

ur

1er

u

∂

∂+

∂+

sinr

urr

sinsin

r

1u

αθθ

θθ

θθ

Một số bài toán

Bài 1 Thế của trờng tĩnh điện trong chân không

0)(x ax

∂

∂+

0)(x ax

0)(x

Ex

aax

Tại bề mặt x = 0, ta có mật độ điện tích mặt là :

σ =D2n −D1n =ε(Ε2n −Ε1n) =a−( )−a =2a⇒σ =2avậy trờng tạo ra do mặt phẳng tích điện mặt với mật độ điện mặt2a

;a8

3qa

8qr

ar

;r4

q

0

3 0

2 0

ππ

θθ

θθ

∂

ϕ

∂+

2

1sin

sinr

1r

rrr

r

rrr

2 0 0

ερε

1r

4

qr

rrr

1

0 2

0 0

2 2

∂

∂ε

∂

∂

∂

∂ε

−

=ρ

0

3 0

2 2

2 0

q3a

8

qa

8

qrr

rrr

−

=ρ

+θ

∂

∂+

−

sin

1e

rr

1ergrad

ở bài này do trờng có tính đối xứng cầu cho nên thế ϕ chỉ phụ thuộc

vào toạ độ r do đó: ⇒ er

rgrad

−

=+ Về độ lớn có:

2 0 0

1

qr

4

qrr

3 0

2 2

qra

8

q3a

8

qrr

a4

qa

4

qr

a4

qr

4

q

2 2

a r 3 a

r

π

−π

=π

−π

q3π

lna

aa

lna

0

0

r

r

Trong đó a, σ là hằng số, r là khoảng cách đến trục toạ độ 0z cố định.Hãy xác định sự phân bố điện tích tơng ứng

Bài giải:

ở bài này ta thấy trờng ở đây có tính chất đối xứng trụ và thế ϕ chỉ phụthuộc vào toạ độ r Vì thế trong toạ độ trụ ta có:

er

1ere

∂

ϕ

∂+θ

∂

ϕ

∂

⋅+

r

rln

ar

aa

ln

arE

0 0

<

=

⇒

ar

a

a0

E

0

r

r

∂

∂+

1Ddiv

arrr1

a0

Vậy: ρ = 0

- Xác định σ:

Xét tại mặt giới hạn r = a: Sử dụng điều kiện biên ta có:

=

⋅ε

−ε

σε

=ε

−ε

ED

0 0 a r n 0 a r n 0 n n

Vậy trờng đã cho đợc tạo bởi một dây dẫn hình trụ thẳng dài vô hạn cóbán kính a tích điện đều với mật độ điện tích mặt σ

Bài 4: Xác định sự phân bố điện tích tạo ra thế Iukaoa trong chân

không:

r

eq0

a r

ε

=ϕ

−

Bài giải:

Ta thấy trờng đã cho chỉ phụ thuộc vào r, có tính đối xứng cầu Vì vậy

sử dụng phơng trình Poatxông trong hệ toạ độ cầu ta có:

0 2

2

2 2 2

2

1sin

sinr

1r

rrr

∂

ϕ

∂θ+

∂

∂θ+

−

=ρ

r

rrr

2 0

a r

2 a

r

2 2

a r 2

2 0

a r

2 2

0 0

a r 2

2 0

era

qe

a

rr

1qa

r1err

1q

ra

r1errr

1qr

er

rrr

1q

∂

∂

∂

∂ε

=ρ

⇒

*Tính σ: Ta thấy ở bài toán này không có mặt phân cách do đó không có sựphân bố điện tích mặt

Vậy a

r

2 era

q −

−

=ρ

Một số nhận xét:

Qua việc giải một số bài toán điển hình của loại bài toán tìm sự phân bố

điện tích ta nhận thấy rằng giải bài tập loại này không phức tạp lắm Nhìnchung các bớc giải khá rõ ràng:

- Từ giả thiết của bài toán ta xác định đợc các mặt đẳng thế do trờnggây ra để chọn hệ trục toạ độ cho thích hợp

- Từ đó tuỳ theo từng bài toán mà ta sử dụng phơng trình Poatxông

Còn để xác định sự phân bố điện tích theo mật độ điện mặt σ thì ta xác

định σ từ các biểu thức:

;grad

E=− ϕ D→ =εE và từ điều kiện biên D2n - D1n = σ

Hoặc ta cũng có thể xác định ρ và σ theo phơng pháp khác:

- Từ giả thiết của bài toán ta xác định đợc các mặt đẳng thế do trờnggây ra để chọn hệ trục toạ độ cho thích hợp (bớc này giống với phơng pháptrên)

- Từ đó bằng việc áp dụng các biểu thức về phép tính giải tích tơng ứngvới hệ toạ độ đã chọn ta tính đợc cờng độ điện trờng qua E = −gradϕ

- Biết cờng độ điện trờng ta xác định sự phân bố điện tích dựa vào cácphơng trình DivD→ =ρ và D2n - D1n = σ

II Loại II :

Bài tập xác định trờng khi cho biết sự phân bố điện tích

II 1 Ph ơng pháp 1: Tính trờng dựa vào định luật Culông.

Bài 5: Cho một quả cầu bán kính a, tích điện đều với mật độ điện tích

mặt σ Hãy xác định thế và cờng độ điện trờng tạo bởi quả cầu Biết rằng độ

điện thẩm trong và ngoài quả cầu đều bằng ε

Bài giải:

Để giải bài toán này ta tách từ vỏ quả cầu ra một đới cầu đủ mỏng để có thể xem là một vòng thì khi đó đới cầu gây ra tại M một điện thế là

dr 4

dS r

4

dq d

πε

σ

= πε

=

ϕ

ở đây dq là điện tích trên mặt đới cầu có

diện tích dS Trong đó :

θ θ π

= θ π

= π

=2 ddl 2 dad 2 a sin d

2

a

4

q

π

=

σ

Do đó: dq =σ2πa2sinθdθ

r là khoảng cách từ phần mặt cầu đó tới

điểm tính điện thế r= R2 +a2 −2aRcosθ với R=OM

R 2 a

cos aR 2 a R 2 R 4

a cos

aR 2 a R

d sin 2

a d

0

2 2

2

−

− + ε

σ

=

θ

− + ε

σ

= θ

− +

θ

θ ε

σ

= ϕ

=

: Vậy - Khi M ở ngoài quả cầu (R>a) thì R −a =R−a nên: ( )

R 4

q a

R a R R 2

a

σ

= ϕ

- Khi M ở trong mặt cầu R < a ⇒ R −a =a −R nên

x

y

z

o

M r

dθ

dl

θ

d R

(R a a R) 4qaR

2

at

πε

=+

−+ε

σ

=ϕ

Vậy thế ở bên trong quả cầu là nh nhau tại mọi điểm và bằng thế ở trênmặt cầu

- Tính E

R

RR4

qR

RR4

qdR

dR

RdR

dE

0R

Ra4

qdR

dR

R.dR

dE

gradE

Tu

2

n n

t t

−

=

:có

ta

Vậy:

a4

Bài 6: Tình E,ϕ tạo bởi một quả cầu bán kính a, tích điện đều với mật

độ khối ρ, biết rằng độ điện thẩm trong và ngoài quả cầu

dqdE

πε

=

1 drr4

dq = πρ

2

2 1 2

2

r

rr

4

drr4dE

ε

ρ

=πε

πρ

=

- Với điểm M nằm ở bên ngoài quả cầu r > a ta có:

dr 1 o

r1

2

3

a r 2

3 1 a

0 1

2 1 2

ar

3

rdrrrdEE

ρ

=ε

ρ

=ε

ρ

=

rdE

0 1

2 1 2 t

ρε

ρ

=

r3

rr3

+θ

∂

ϕ

∂+

r

1er

rE

3dr

ar

dr3

adr

ε

ρ

=ε

ρ

=+ε

ρ

−

⇒ϕ

=ϕ

2

aCa3

aC6

−ε

ρ

=ϕ

2

a6

r

r3a

2 2

3

Bài 7: Tính cờng độ điện trờng và thế ϕ tại một điểm trên trục của đĩa

tròn bán kính a, tích điện đều với điện tích q Đĩa đợc đặt trong chân không, ở

khoảng cách nào thì điện trờng bằng

04ε

σ trong đó σ là mật độ điện mặt của

đĩa

Bài giải :

Ta chọn hệ trục toạ độ vuông góc có gốc O trùng

với tâm đĩa, mặt phẳng xOy trùng với mặt phẳng đĩa

Trục Oz vuông góc với đĩa Khi đó do tính đối xứng của

sự phân bố điện tích nên điện trờng tại điểm M sẽ có

ph-ơng trùng với trục cuả đĩa hớng ra khỏi đĩa theo chiều

trục z

- Trên đĩa ta lấy một yếu tố diện tích mặt dS có

điện tích dq=σdS , khi đó dq gây ra điện trờng tại M là

E

d Về độ lớn ta có :

2

0r4

dqdE

=

ZdScos

r4

dScos

dE

Với Z là khoảng cách từ tâm O đến M

Mặt khác ta coi yếu tố dS nh một hình chữ nhật có một cạnh dr' và cạnhkia là r'dα Lúc này ta có : dS = r'dr'dα

r >a

r <a

o r'

rZ

=+

−ε

σ

=

=+

+π

πε

σ

=+

απε

σ

=

2 2 0

2 2 0

a

2 2

aZ

Z1

20

a'rZ

12

4Z

)'rZ(

'rZd2

124

Z'

rZ

'dr'rd

4

ZE

Vậy cờng độ điện trờng gây ra tại một điểm trên trục của đĩa là :

σ

Z1

Z

aZd2

12

aZ

ZdZZ

2

dZaZ

Z1

2EdZ

2 2

0 2

2

2 2

0

2 2 0

2 2 0

−+ε

Eε

σ

=

Để tính xem ở khoảng cách nào tức Z=? thì điện trờng

04

Eε

σ

= , ta thaygiá trị này vào kết quả đã tính E ở (*) Lúc này ta có:

2 2 2

2 0

Z1

2

1a

Z

Z1

Eε

Z1

2

E

2 2 0

σ

2

2 2

0

−+ε

σ

=ϕ

Bài 8: điện tích +q phân bố đều trên một vành tròn bán kính a Tâm

của vành tròn trùng với gốc toạ độ O, còn mặt vành trùng với mặt OYZ Tạigốc toạ độ O có đặt một điện tích -q Biết rằng độ điện thẩm của môi trờng làε

a) Hãy tính thế và điện trờng tại điểm P nằm trên trục của vòng tròncách tâm một đoạn là x

b) Điện trờng phụ thuộc vào x nh thế nào nếu x>>a?

B

ài giải:

Điện thế tại P bằng tổng điện thế do vành tròn tích điện q và điện tích -q

ở tâm vành tròn gây ra

- Điện thế do điện tích -q đặt tại tâm vành

tròn gây ra tại điểm P là:

x4

q1

qπ

=λ

Ta coi dq nh là một điện tích điểm gây ra tại

P một thế :

2 2 2

2 2 2

xaa8

dl.qx

a4

dla

2

qr4

dlr

4

dqd

+ε

π

=+πε

⋅π

=πε

λ

=πε

=

ϕ

Vậy điện thế do toàn vòng dây tích điện +q gây ra tại P là:

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

xa4

qa

2xa

1a

8

qdl

xa

1a8

qd

+πε

=π

⋅+

⋅επ

=+

επ

=ϕ

=ϕ+ϕ

=

ϕ

x

1xa

14

1

2 2 2

Từ hình vẽ ta thấy điện tích dq gây ra điện trờng Ed tại P đợc phântích ra thành 2 thành phần : thành phần dE⊥ và thành phần dE// Do tính đốixứng của vành tròn nên ∃dl2 đối xứng với dl1,vì vậy các thành phần dE⊥vuônggóc với trục triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một, các thành phần song song với trục sẽcộng với nhau Vậy điện trờng tại P có phơng trùng với trục 0X có chiều hớng từ

O tới P Do vậy điện trờng tại những điểm trên trục vành dây chỉ phụ thuộc vào x

1x

a

x4

qxE

b) Nếu x >> a, với độ chính xác bậc 2

2x

2

2 3

2 / 3 2

a1x1x

a1x

1x

(Ta sử dụng công thức gần đúng ≈ − α

α

111

a3x2

a31x

1x

a2

11x1

1x

8

ax4

a3x

2

2 2

2 2

3

qa3x

1x2

a3x

14

qx

1x

2

a31x

1x4

qE

=ϕ

x

1xa

14

1

2 2

πε

1x

a

14

qE

Với x>>a:

4

2

x8

qa3E

πε

−

=

Bài 9: Tính điện thế và cờng độ điện trờng tạo bởi lỡng cực điện ở

những điểm cách xa lỡng cực

Bài giải:

Ta xét lỡng cực nh hình vẽ và xét điểm A

ở xa lỡng cực Khi đó ta có điện thế ở điểm

quan sát A bằng tổng do hai thế gây ra:







 −πε

=ϕ+ϕ

=

ϕ

2 1

2 1

1 2 2

1

rr

rr4

qr

1r

14q

2 1 2 1

2 1 2 1

2 2

2 1

r2

rl24

qr

rrr

rrrr4

qr

rrr

rr4

+

−πε

1r

lr4

πε

=πε

−

r

pr

rrp34

1r

rprgrad

1 πε

rrp34

1E

Một số nhận xét về ph ơng pháp 1

Qua việc giải một số bài tập về xác định trờng khi cho biết sự phân bố

điện tích bằng việc áp dụng định luật Culông, ta nhận thấy ở đây có hai dạngchính:

- Dạng 1: Đối với trờng do vật tích điện gây ra( Trong đó vật tích điện

thờng là dạng đặc biệt) thì ta lấy yêú tố dS có điện tích là dq và khi đó ta xác

định đợc điện trờng và thế do yếu tố điện tích dq gây ra tại điểm cần xét Sau

đó lấy tích phân cho toàn bộ hệ tích điện ta sẽ có kết quả cần tìm

- Dạng 2: Đối với trờng do hệ điện tích điểm gây ra thì bằng việc áp

dụng ngay định luật Culông ta sẽ xác định đợc cờng và thế tại điểm cần xét.Nói chung phơng pháp 1 giải đợc hầu hết các bài toán loại này

Tuy nhiên có nhiều bài toán ta vấp phải những phép tính khá phức tạp

II.2.Ph ơng pháp 2 : Tính trờng dựa vào định lý Ôxtrôgratxky-Gauxơ.

Bài 12: Xác định vectơ cờng độ điện trờng và thế ϕ bên trong và bênngoài của lớp phẳng vô hạn có bề dày d và tích điện đều với mật độ điện tíchkhối ρ Biết rằng độ điện thẩm trong và ngoài lớp phẳng đều bằng ε

Do tính đối xứng nh thế nên ta chọn hệ trục tọa

độ Đềcac Oxy có trục Ox vuông góc với mặt phẳng

tích điện, hớng về điểm quan sát, gốc O đặt ở lớp

chính giữa và trục Oy trùng với trục OO'

Để áp dụng định lý O - G ta chọn mặt Gauxơ

là mặt trụ có đáy S chứa điểm M, có đờng sinh là h

(chiều cao của mặt trụ), trong đó h = 2x (với x là

khoảng cách từ điểm M tới trục đối xứng)

Ta có: EdS E dS E dS E dS

xq 2

3 S

2 S

dE dSE

2

2 S

1 S

++

mà E1 = E2 = E do đối xứng với trục OO' nên:

1 S

ES2 dS

ρ

=ε

ρ

=ε

ρ

=

⇒ε

=

∫E dS q 2E S V S1h S12x

1 1 S

1 ⇒ E1 =

ερx

Từ →E = -gradϕ ⇒ ϕ1 = - ∫ ∫ = ρε

ε

ρ

=x

0

2xdx

x

0 - 2 -

b) Đối với điểm M nằm ngoài bản phẳng | x | >

2d

dS

⇒ E2 =

ε

ρ2d

Nh vậy cờng độ điện trờng đối với những điểm nằm ngoài bản phẳngkhông phụ thuộc vào x

- Tính ϕ2

Từ →E = -gradϕ ⇒ ϕ2 = - ∫ = − ∫ ∫x

2 d/

2

2 d/

0 1 x

0

dxE

- dxE

Edx

dx

d2

x d

/2 0

2

2

-

/2

ε

ρε

ρ

⇒ ϕ2 = ε  

ρ - x4

d2

d

E2 =

ε

ρ2

ρ - x4

d2

d

Bài giải:

Vì lý do đối xứng nên véctơ cờng độ điện trờng có phơng đi qua trụchình trụ và những điểm cách đều trục hình trụ thì c-

ờng độ điện trờng nh nhau Nên ta chọn mặt kín

Gauxơ là mặt trụ kín có đờng sinh song song với

đ-ờng sinh của mặt trụ đã cho và bán kính r Trục của

hình trụ trùng với trục của hình trụ có bán kính a, mặt

bên của hình trụ đi qua điểm M cần xét Theo định lý

O-G ta có thông lợng của vectơ cờng độ điện trờng đi

qua mặt trụ:

ε

=

∫EdS qS

⇒

ε

=+

∫E dS E dS E dS q

xq 2

3 S

2 S

q ESEdS

Sd

- Xét điểm M nằm trong hình trụ (r < a):

Vì mật độ chỉ phân bố trên mặt trụ nên bên trong mặt trụ không có điệntích, do đó mặt trụ Gauxơ ta dựng không bao điện tích nào cả ⇒ q = 0

⇒ EnSxq =

ε

q

⇒ En 2π.rh =

εχh

Trong đó χ là mật độ dài cần phải biểu diễn qua σ

Mr

a

⇒

r

r.r

a

Enε

a

Enε

E nằm theo các bán kính vectơ →r và chỉ phụ

thuộc vào tọa độ r, điện thế ϕ cũng vậy

Chọn mặt Gauxơ là mặt cầu có bán kính r, đồng tâm với quả cầu đã cho.Tại mọi điểm trên mặt cầu này, vectơ cờng độ điện trờng →

E đều vuông góc với

mặt cầu và có cùng giá trị

M

aro

EdS SdES

ρ

⇒ Et =

ε

ρ3 r

Để ý đến phơng chiều của E( →r ) ta có: En = →

ε

ρ r3

- Nếu r > a Điện tích chứa trong mặt Gauxơ là: ∫ρ

V

dV = ρ a3

3

4π

Theo định lý O-G ta có: En4πr2 = a3

3

4 πε

ρ

⇒ En = 2

3

r3

aερ

. Do thế liên tục tại mặt phân cách nên có: ϕt(a) = ϕn(a)

ε

ρ6

2a

+ c1 =

a

a3

2a

Do đó: ϕt = -

ε

ρ6

2r

+

ε

ρ2

2a

; ϕn =

r

a3

3

ερ

Vậy: →Et =

ε

ρ3

→

r ; ϕt = -

ε

ρ6

2

r +

ε

ρ2

2a

E→n =

3r3

r

a3ε

ρ → ; ϕn =

r

a3

3

ερ

Bài 15: Một sợi dây thẳng dài vô hạn, tích điện đều với độ dài χ, xungquanh nó là một lớp điện môi ε1 có dạng hình trụ dài vô hạn bán kính R1 Bênngoài lớp đó là lớp điện môi vô hạn đồng nhất với hằng số điện môi là ε2 Lớp

điện môi này có bán kính R (R > R1) Xác định cờng độ điện trờng và thế ϕ tạobởi dây dẫn

Bài giải:

Chọn mặt Gauxơ là mặt trụ có các đáy vuông góc với

dây dẫn, trục của hình trụ trùng với trục dây dẫn Mặt bên

của hình trụ đi qua điểm M, chiều cao hình trụ là ∆z Nếu ta

chọn ∆z đủ nhỏ thì vectơ E sẽ luôn vuông góc với mặt bên

và có độ lớn nh nhau ở mọi điểm trên mặt đó ở hai mặt

đáy vectơ →E nằm song song nên điện thông qua hai mặt

đáy bằng không Do đó:

zRD.2

dS D

dSD DdS

S

∆π

z

M

∆z

- Khi R > R1 th×: E =

R

2πε2χ

Do sự phân bố điện tích có tính chất nh vậy nên trờng do chúng tạo ra cóhớng vuông góc với vật tích điện.

Trên cơ sở đó mà ta đi đến các bớc giải của phơng pháp này:

- Chọn hệ tọa độ thích hợp cho bài toán

- Chọn mặt kín Gauxơ Thờng mặt kín Gauxơ đợc chọn sao cho:

+ Một phần của mặt đó đi qua điểm cần tính E, tại phần mặt đó vectơ E có

độ lớn không đổi và có phơng vuông góc với mặt đó

+ ở một số mặt còn lại vectơ E song song với các mặt đó hoặc bằng

không

- Xét điện dịch thông qua mặt Gauxơ bằng cách áp dụng định lý O - Gdạng tích phân: ∫DdS = q

Từ đó ta tính E và ϕ theo D = εE, E = -gradϕ

Phơng pháp này thờng không áp dụng đối với hệ điện tích điểm và đối với

hệ điện tích phân bố trên các vật hình dạng bất kỳ Bởi vì đối với hệ điện tíchphân bố trên các vật có hình dạng bất kỳ thì ta rất khó chọn đợc mặt kín Gauxơthích hợp để thực hiện đợc phép tích phân

Qua việc giải một số bài toán tìm thế và trờng theo phơng pháp này tanhận thấy nếu nh hệ vật tích điện mà ta xét có thể chọn đợc mặt Gauxơ thích hợpthì giải theo phơng pháp này nhanh, dễ hiểu và ngắn gọn

II.3 Ph ơng pháp 3: Tính trờng dựa vào phơng trình Poatxông.

Bài 16: Hãy xác định điện thế ϕ, cờng độ điện trờng tạo bởi bản songsong tích điện dài vô hạn có chiều rộng 2a Mật độ điện tích trong bản là ρ =const Hằng số điện môi trong và ngoài bản bằng ε

Bài giải:

Vì điện tích đợc phân bố đối xứng với mặt trung bình của bản nên điện thế

và điện trờng cũng đối xứng với mặt đó

- Chọn trục tọa độ nh hình vẽ

Khi đó bản vô tận chia không gian thành 3 miền:

miền I, II, III

- Do bản dài vô tận nên vectơ cờng độ điện trờng

có phơng song song với trục Ox

- Viết phơng trình Poatxông cho 3 miền không