Một số tính chất về thứ tự từ trong lí thuyết cơ sở grobner

Trờng đại học vinhKhoa toán ---một số tính chất về thứ tự từ trong lý thuyết cơ sở grệbner khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán Chuyên ngành: đại số - lý thuyết số Cán

Trờng đại học vinh

Khoa toán

-một số tính chất về thứ tự từ trong lý thuyết cơ sở grệbner

khoá luận tốt nghiệp đại học

ngành cử nhân s phạm toán Chuyên ngành: đại số - lý thuyết số

Cán bộ hớng dẫn : PGS.TS Nguyễn thành quang Sinh viên thực hiện: Dơng xuân giáp

Lớp : 44A2 - Toán

Vinh 2007–

Môc Lôc

Trang

Môc lôc 1

Lêi nãi ®Çu 2

§1 Vµnh ®a thøc nhiÒu biÕn 4

§2 Thø tù tõ 10

§3 C¬ së GrÖbner vµ phÐp chia ®a thøc 21

KÕt luËn 31

Tµi liÖu tham kh¶o 32

Lời nói đầu

Toán học hình thức (Symbolic computation), hay còn gọi là Đại số máy tính (Computer Algebra), xuất hiện khoảng ba chục năm nay và gần đây đã trở thành một chuyên ngành độc lập Nó kết hợp chặt chẽ giữa Toán học và Khoa học máy tính Sự phát triển của máy tính đòi hỏi phải xây dựng các lý thuyết toán học làm cơ sở thiết lập các thuật toán và các phần mềm toán học Mặt khác Đại số máy tính cũng tác động tích cực trở lại đối với nghiên cứu toán học lý thuyết Chúng ta đều biết nhờ máy tính và các phần mềm toán học, phần mềm tin học đã giúp dự đoán các kết quả lý thuyết hoặc có đợc các phản ví dụ

Hạt nhân của tính toán hình thức bằng máy tính trong Đại số giao hoán và Hình học Đại số chính là lý thuyết Cơ sở Grệbner Lý thuyết này do nhà Toán học ngời áo Bruno Buchberger đa ra trong Luận án Tiến sĩ của mình năm 1965 dới sự dẫn dắt của ngời thầy là Wolfgang Grệbner Điểm mấu chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết của Buchberger chính là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trờng hợp các đa thức nhiều biến

Cơ sở Grệbner về phơng diện lý thuyết còn đợc khẳng định bằng việc cung cấp chứng minh cho ba Định lý của Hilbert - Định lí về cơ sở, Định lí về xoắn và

Định lí về không điểm

Nghiên cứu một số tính chất của thứ tự từ trong lý thuyết Cơ sở Grệbner chính

là nội dung chính của Khoá luận

Trong Khoá luận này chúng tôi trình bày một số Định nghĩa và tính chất của

lý thuyết Cơ sở Grệbner, nghiên cứu một số tính chất về thứ tự từ – khái niệm mở

đầu trong lý thuyết Cơ sở Grệbner Nó đợc thể hiện qua các mục sau:

Đ1: Vành đa thức nhiều biến.

Đ2: Thứ tự từ.

Đ3: Cơ sở Grệbner và phép chia đa thức

Theo đó với việc đa vào định nghĩa hình nón dơng, chúng tôi đã chứng minh

đợc tính chất “lồi” của nó (xem Định lý 2.4.6) Chúng tôi còn chú trọng nghiên cứu

điều kiện để tích từ điển của các thứ tự là một thứ tự từ (xem Định lý 2.4.7 và Định

lý 2.4.8) và với việc mở rộng giả thứ tự trên tập các từ lên vành đa thức nhiều biến chúng tôi đã chứng minh đó là giả thứ tự tốt (xem Định lý 3.3.5) Đồng thời chúng tôi còn đi vào nghiên cứu các điều kiện để đa thức d trong định lý chia đa thức là duy nhất (xem Định lý 3.4.5 và Định lý 3.4.8) Bên cạnh đó chúng tôi còn đa ra một số phản ví dụ giải quyết ý ngợc lại của một số định lý, tính chất có tính một chiều

Để hoàn thành Khoá luận này tác giả đã nhận đợc sự hớng dẫn, sự chỉ bảo rất tận tình của Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cô giáo trong Khoa Toán Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cô giáo trong Khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong Tổ Đại số đã giúp đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tác giả hoàn thành Khoá luận này cũng nh trong suốt khoá học vừa qua

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý kiến quý báu của các thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 5 năm 2007.

Tác giả

Đ 1 vành đa thức nhiều biến 1.1 Đa thức và bậc của đa thức nhiều biến

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và x1, , xn là các biến

Ơ thì ta viết 1 thay cho xa

n b a b n b a n

x ).( ) = + +

1 1

1 , hay là xa.xb = xa+b tơng ứng phép cộng các bộ số mũ trong nhóm cộng n

Với việc có thể nhóm các từ đồng dạng, ta có thể viết f(x) dới dạng

f(x) = α1 xa1 + + … αpxap (2)trong đó a1, , a… p∈ n

Ơ là các bộ phận số mũ khác nhau

Biểu diễn này là duy nhất và đợc gọi là biểu diễn chính tắc của f(x)

Với i ≤ degf(x), kí hiệu fi là tổng tất cả các từ có bậc tổng thể là i trong biểu diễn chính tắc của f(x)

∈N b c a c

Dễ dàng kiểm tra đợc kết quả của phép cộng và phép nhân đa thức là một đa thức

* Với hai phép toán cộng và nhân đa thức ta có thể kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành một vành giao hoán, có phần tử đơn vị là đơn thức 1 và đợc ký hiệu là

x

α trên R nh là từ

n m

* Chú ý : + Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0

+ Bậc tổng thể của đa thức 0 đợc quy ớc là một số tuỳ ý

+ Trong vành R[xk+1, , xn][x1, , x… k] thì deg ( ) max{ 1 / }

+ Nếu R là miền nguyên thì mọi đa thức f(x), g(x) ∈ R[x] đều có

deg(f(x).g(x)) = degf(x) + degg(x)

và deg(f(x) + g(x)) ≤ max{degf(x), degg(x)},hơn nữa ta có bất đẳng thức chặt ⇔ degf(x) = degg(x) và fdegf(x)= - gdegg(x)

+ R là vành Noether thì R[x] cũng là vành Noether (đó là một dạng tổng quát của

1.2.2 Bổ đề Cho I = (xa/ a∈A) là iđean đơn thức Đơn thức xb ∈ I khi và chỉ

khi xb chia hết cho một đơn thức xa với a∈A nào đó.

Chứng minh: + Nếu xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A nào đó thì xb∈I

+ Nếu xb ∈ I thì tồn tại hi ∈ K[x] và a(i)∈A, i = 1, , s sao cho x… b =

) 1

. a i i s i

x h

∑

Xem hi nh tổng hữu hạn các từ và khai triển vế phải của đẳng thức trên ta thấy mỗi từ của nó phải chia hết cho xa(i) nào đó Sau khi giản ớc, một trong số các từ đó

còn lại và phải bằng xb; cho nên xb phải có tính chất của những từ đó, tức là xb chia hết cho xa(i) nào đó mà a(i) ∈ A

1.2.3 Bổ đề Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K[x] Khi đó các điều kiện sau là

tơng đơng:

(i) f ∈ I

(ii) Mọi từ của f thuộc I

(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

Chứng minh : + Hiển nhiên (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i)

+ Ta chỉ cần chứng minh (i) ⇒ (iii) là đủ Lí luận tơng tự nh chứng minh Bổ đề

1.2.2 ta có f ∈ I ⇒ f = ∑

−

s i

i a

i x h

1

) , trong đó I = (xa ; a∈A), A ⊆ n

Ơ , a(i)∈A, hi∈K[x] Khai triển vế phải ta có mỗi từ của f chia hết cho xa(i) với a(i)∈A nào đó Mà mọi đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I, do đó mỗi từ của f là tích của một đơn thức thuộc I và một phần tử thuộc K ⇒ (iii)

1.2.4 Hệ quả Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức là bằng nhau nếu

Chứng minh: + Chiều thuận suy ra ngay từ Bổ đề 1.2.3

+ Ta chứng minh chiều ngợc lại Gọi A là tập tất cả các đơn thức của các đa thức trong I ⇒ I = (A) ⇒ I là iđêan đơn thức

1.2.6 Bổ đề Dickson Mọi iđêan đơn thức I = (xa ; a∈A) bao giờ cũng viết đợc

dới dạng I = (xa(1), , x… a(s)), trong đó a(1), , a(s)∈A Nói riêng I là hữu hạn sinh Chứng minh : Suy ra từ Định lý Hilbert về cơ sở

2.2.7 Thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu.

Theo Bổ đề 1.2.2 và Bổ đề Dickson suy ra mỗi iđêan đơn thức I chỉ có một tập sinh tối tiểu gồm các đơn thức Tập sinh này đợc gọi là tập sinh đơn thức tối tiểu của I Mỗi đơn thức trong tập sinh này đợc gọi là đơn thức sinh của I

Sau đây là thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu {u1, , u… s} khi biết một tập sinh hữu hạn đơn thức {m1, , mr} của iđêan đơn thức I :

ƯCLN(m,m') = min{ , } min{ , }

1 1 1 a n b n

n b

x

+ Cho I =(m1, , mr) và J =(n1, , n… s) là hai iđêan đơn thức Khi đó I ∩ J cũng là iđêan đơn thức và I ∩ J = (BCNN(mi , nj )/1≤ i ≤ r, 1≤j ≤ s).

Đ2 Thứ tự từ 2.1 Thứ tự, giả thứ tự

+ Cho X là tập khác rỗng Quan hệ (2 ngôi ) trên X là một tập con R của tích

Đềcác XxX Để thuận tiện, ta thờng viết xR y thay cho (x, y) ∈R và dùng ký hiệu

~, ≡, ≤, để chỉ … R ).

+ Quan hệ R trên tập X đợc gọi là một thứ tự (bộ phận) nếu nó thoả mãn ba điều kiện sau đây đối với mọi x, y, z ∈ X:

(i) xR x (tính chất phản xạ)

(ii) Nếu xR y và yR z thì xR z (tính chất bắc cầu)

(iii) Nếu xR y và yR x thì x = y (tính chất phản đối xứng)

Thông thờng để chỉ thứ tự bộ phận ta ký hiệu bởi ≤ , ≥

+ Nếu R là một thứ tự bộ phận thì quan hệ ngợc R -1 = {(x, y)/(y, x) ∈ R } cũng là thứ tự bộ phận và gọi là thứ tự ngợc của R Ta dùng ≥ để chỉ thứ tự ngợc của thứ tự

≤ tơng ứng và ngợc lại

+ Trên X cho một thứ tự bộ phận ≤ thì ta nói X là tập đợc sắp

Nếu x, y ∈ X mà x ≤ y hoặc y ≤ x thì ta nói x, y so sánh đợc với nhau, nếu trái lại ta nói x, y không so sánh đợc với nhau

Quan hệ thứ tự ≤ trên X đợc gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp phần tử của

X đều so sánh đợc với nhau và ta nói X là tập đợc sắp hoàn toàn

+ Quan hệ chỉ thoả mãn tính chất phản xạ (i) và bắc cầu (iii) ở trên đợc gọi là giả thứ tự

2.2.1 Định nghĩa Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M-tất cả các

đơn thức của vành K[x] thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Với mọi m ∈ M, 1 ≤ m

2.3 Thứ tự theo trọng và tích từ điển của các thứ tự (bộ phận)

2.3.1 Định nghĩa + Hàm trọng số λ trên vành K[x] là một phiếm hàm tuyến tính Ă n →Ă

Hàm trọng số nguyên là hàm trọng số mà λ( n

 ) ⊆ Â

+ Thứ tự theo trọng liên kết với λ là thứ tự bộ phận ≤λ trên M xác định bởi xa <λ xb

nếu và chỉ nếu λ(a) < λ(b)

+ Ta nói hàm trọng số λ tơng thích với thứ tự từ ≤ nếu m1 <λ m2 kéo theo m1< m2

+ Cho ≤1, ,…≤s là các thứ tự bộ phận trên tập X Tích từ điển R ≤ của các thứ tự này

là quan hệ đợc xác định ∀x, y∈X , xR< y ⇔ Tồn tại 1≤ i ≤ s để x, y không so sánh

đợc với nhau theo ≤1, , … ≤i-1 và x <i y

2.3.2 Ví dụ: + Các hàm deg(a) = a1+ + a… n (gọi là hàm bậc tổng thể ) và hàm

+ Vấn đề ngợc lại là một kết quả chính của Robbiano: "Mọi thứ tự từ là tích từ điển

của tối đa n thứ tự theo trọng Tích từ điển của n thứ tự theo trọng liên kết với n hàm trọng số độc lập tuyến tính là một thứ tự từ, nếu hàm trọng số đầu tiên không

λ(m1) ≠λ(m2)

(ii) m1, m2 không so sánh đợc với nhau theo ≤λ khi và chỉ khi m1 ≠ m2 hoặc

λ(m1) = λ(m2)

(b) Cho ≤λ là thứ tự theo trọng Khi đó λ(1) = 0

2.4.2 Định lý Cho ≤ là một thứ tự từ Khi đó nếu m 1m 2 thì m 1 ≤ m 2 Tuy nhiên điều ngợc lại thì không đúng.

Chứng minh: Giả thiết m1m2 suy ra tồn tại m∈ M sao cho m2 = m.m1 Theo

điều kiện (i) của định nghĩa thứ tự từ ta có 1 ≤ m Lại theo điều kiện (ii) của định nghĩa thứ tự từ ta có m1.1 ≤ m1 m hay là m1 ≤ m2

Điều ngợc lại không đúng Thật vậy, chẳng hạn ta xét cho thứ tự từ điển ≤lex : Gọi m1 = x1.x2 , m2 = x1 Rõ ràng m1≤lex m2 nhng m2 không chia hết cho m1

2.4.3 Định lý Cho ≤ là một thứ tự từ và m 1 < m 2

Nếu ≤ là thứ tự từ phân bậc thì giữa m 1 , m 2 chỉ có hữu hạn đơn thức.

Nếu ≤ là thứ tự từ bất kỳ thì giữa m 1 , m 2 có thể có vô hạn đơn thức.

Chứng minh: + Gọi n1 = deg(m1), n2 = deg(m2) ⇒ n1, n2∈Ơ và n1 ≤ n2 (bởi vì nếu ngợc lại n2 < n1⇔ deg(m2) < deg(m1) ⇔ m2 < m1 : trái giả thiết)

Đơn thức m ở giữa m1, m2; tức là m1 < m < m2 Khi đó deg(m1)≤deg(m)≤deg(m2) ⇔ n1 ≤ deg(m) ≤ n2 Giả sử m = xa với a = (a1, , a… n) có

n1≤ deg(xa) ≤ n2 ⇔ n1≤ a1 + a2 + + an≤ n2

Tuy nhiên tập các bộ số mũ a = (a1, ,an) sao cho n1 ≤ a1 + a2 + + an ≤ n2 là hữu hạn nên tập các đơn thức m nằm giữa m1, m2 là hữu hạn

+ Nếu ≤ là thứ từ từ bất kỳ giữa m1, m2 có thể có vô hạn đơn thức

Thật vậy, chẳng hạn ta xét cho thứ tứ tự từ điển ≤lex :

Chọn m1 = x1, m2 = x13 thì ta có m1 < m2

Ta có m = x12.x2n với n ∈Ơ thoả mãn m1 < m < m2

Rõ ràng m xác định nh vậy là vô hạn

2.4.4 Định lý Cho ≤ là một thứ tự từ sao cho x1 > x2 > > x… n Khi đó với mọi

s ≥ 2 ta đều có x1s > x2s > > x… ns

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh x1s >x2s là đủ Thật vậy, ta sẽ chứng minh khẳng định tổng quát hơn x1s-i x2i > x1s-j x2j, ∀0≤ i <j ≤ s và sau đó cho i = 0 và j = s

là đợc

Điều nói trên sẽ đợc chứng minh nếu ta chứng minh đợc x1m x2 < x1m+1x2n-1

Do x1 > x2 và điều kiện (ii) của Định nghĩa 2.2.1 về thứ tự từ nên

Chứng minh: (i) +) Trớc hết ta chứng minh cho p, q ∈ Â +

Với mọi u, v ∈ P≤⇒ u = a - b, v = c - d sao cho xa > xb và xc > xd

⇒ pu + qv = p(a - b) + q(c - d) =(pa + qc) - (pb + qd ) Do ≤ là thứ tự từ và theo Hệ quả 1.4.3 thì xa > xb kéo theo (xa)p≥ (xb)p (dấu "=" chỉ xảy ra khi và chỉ khi p = 0) Tơng tự ta có (xc)q > (xd)q (dấu "=" chỉ xảy ra khi và chỉ khi q = 0)

Theo điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.2.1 về thứ tự từ thì do xpa ≥ xpb và

xqc ≥ xqd nên xpa.xqc ≥ xpb.xqc≥ xpb.xqd hay là xpa+qc > xpb+qd (do dấu"=" chỉ xảy ra khi

và chỉ khi p = q = 0 là vô lý), tức là (pa + qc) - (pb + qd) ∈ P≤ suy ra pu + qv ∈ P≤

⇒ Khẳng định đã đợc chứng minh cho trờng hợp p, q ∈Â +

+) Bây giờ ta sẽ chứng minh cho p, q ∈Ô +

k u s

r qv

pu+ = . + =( . ). +( . )

Â

Theo chứng minh trên bài toán đúng cho p, q ∈Â +nên áp dụng cho r.h, s.k ta

có (r.h)u +(s.k)v ∈ P≤⇒ (r.h)u +(s.k)v = g - l thoả mãn xg > xl

⇒ pu+qv= g sh−l

., ,

,

( 1 1 2 2

h s

l g h

s

l g h s

Ta cần chứng minh xa > xb là đủ (khi đó theo định nghĩa pu + qv ∈ P≤)

Nếu xa = xb⇒ a = b ⇒ g = l : mâu thuẫn với xg > xl

Nếu xa < xb : Theo Hệ quả 1.4.3 ta có (xa)t < (xb)t ⇔ xta < xtb

⇒ xe.xta < xe.xtb (do ≤ là thứ tự từ, trong đó e = ( e1, , e… n )) ⇒ xt.a + e < xt.b + e

⇒ xg < xl : vô lý

Do ≤ là thứ tự từ nên ≤ là thứ tự toàn phần nên chỉ có thể là xa > xb

(ii) u∈ P≤⇒ u = a – b, trong đó xa > xb

Giả sử -u ∈ P≤ suy ra -u = c - d thoả mãn xc > xd

⇒ 0 = u +(-u) = (a+c) - (b+d) suyra xa+c = xb+d

Điều này mâu thuẫn với xa+c = xa.xc > xb.xc > xb.xd = xb+d⇒ -u∈ P≤

2.4.7 Định lý Tích từ điển của một thứ tự theo trọng nhận 1 làm phần tử cực

tiểu và một thứ tự từ là một thứ tự từ

Chứng minh: Gọi ≤λ là thứ tự theo trọng nhận 1 làm phần tử cực tiểu, ≤ là thứ

tự từ và R≤ là tích từ điển của ≤λ , ≤

*) Trớc tiên ta chứng minh R≤ là thứ tự toàn phần:

+) Tính phản xạ: m R≤m với mọi m∈ M (do Định nghĩa 1.3.1 về tích từ điển ) +) Tính bắc cầu: Giả sử m1R≤ m2, m2R≤ m3 với mọi m1, m2, m3∈ M.

Nếu xảy ra ít nhất m1= m2 hoặc m2 = m3 ta có ngay điều phải chứng minh; cho nên

+ Khả năng 2: m2, m3 không so sánh đợc với nhau theo thứ tự ≤λ và m2 <m3

Khi đó theo Nhận xét 1.4.1.a thì λ(m2) = λ(m3) Ta có ngay λ(m1) < λ(m3) nên theo Định nghĩa 1.3.1 thì m1 <λ m3 ⇒ m1 R< m3 (theo Định nghĩa1.3.1)

* Trờng hợp 2: m 1 , m 2 không so sánh đợc với nhau theo ≤λ và m 1 <m 2

Theo Nhận xét 1.4.1.a thì λ(m1) =λ(m2) Từ m2 R< m3 nên có các khả năng sau xảy ra:

+ Khả năng 1: m2 <λ m3

Khi đó theo Định nghĩa 1.3.1 thì λ(m2) < λ(m3) ta có ngay λ(m1) < λ(m3)

⇒ m1 <λ m3 ⇒ m1 R< m3

+ Khả năng 2: m2, m3 không so sánh đợc với nhau theo thứ tự ≤λ và m2 < m3

Khi đó theo Nhận xét 1.4.1.a thì λ(m2) = λ(m3) Nh vậy λ(m1) = λ(m3), do ≤ là thứ tự từ nên nó thoả mãn tính bắc cầu m1 < m3 , do đó m1 ≠ m3 nên m1, m3 không

so sánh đợc với nhau theo thứ tự ≤λ (theo Nhận xét 1.4.1.a) và m1 < m3

⇒ m1 R< m3

Nói tóm lại R≤ thoả mãn tính bắc cầu

+) Tính phản đối xứng :

Giả sử m1R≤m2, m2R≤ m1 và m1 ≠ m2; tức là m1 R< m2, m2R< m1 Theo tính chất bắc cầu đã chứng minh ở trên thì m1 R< m1, điều này là vô lý vì không thể xảy

ra m1 <λ m1 hoặc m1 < m1

+ Tính toàn phần :

Điều này ta có ngay do ít nhất ≤ là thứ tự toàn phần(vì ≤ là thứ tự từ) nên R≤

là thứ tự toàn phần

* ) Bây giờ ta chứng minh R≤ thoả mãn hai điều kiện về định nghĩa thứ tự từ

+ Điều kiện (i): Với mọi m ∈ M, do ≤λ là thứ tự theo trọng nhận 1 làm phần tử cực tiểu nên λ(1) ≤λ(m) Có các khả năng sau xảy ra: