Một số tính chất về đường vectơ độ cong trung bình

Một số tính chất về trường vectơ độ cong trung bình và ứng dụng.. Một hướng nghiên cứu bài toán cực tiểu thể tích của các đa tạp contrên đa tạp Riemann là sử dụng trường vectơ độ cong tr

mục lục

Trang

Mở đầu 1

Chương 1 Đa tạp Riemann 3

I Đa tạp Riemann 3

II Đa tạp Symplectic 6

III Các cấu trúc tương thích 9

Chương 2 Một số tính chất về trường vectơ độ cong trung bình và ứng dụng 19

I Trường vectơ độ cong trung bình của đa tạp con 19

II Biến phân thể tích .27

III Đa tạp con cực tiểu 35

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

mở đầu

Hiện nay, việc tìm kiếm các đa tạp con có thể tích cực tiểu trên đatạp Riemann đã và đang được nhiều nhà toán học trên thế giới quantâm, chẳng hạn D.Grmoll, W.Klinggenberg, W.Meyer,

Một hướng nghiên cứu bài toán cực tiểu thể tích của các đa tạp contrên đa tạp Riemann là sử dụng trường vectơ độ cong trung bình củacác đa tạp con Khái niệm này được trình bày trong các nghiên cứucủa H.Blainle Lowson

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát các tính chất của trườngvectơ độ cong trung bình và mối liên hệ của nó với tính cực tiểu của

đa tạp con trên đa tạp Riemann

Luận văn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1 Đa tạp Riemann

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản,các tính chất của đa tạp Riemann và các điều kiện để đa tạp Riemann

là đa tạp K¨ahler Chương này được xem như phần kiến thức chuẩn bị

để thuận lợi cho việc trình bày chương hai

Chương 2 Một số tính chất về trường vectơ độ cong trung

bình và ứng dụng

I Trường vectơ độ cong trung bình của đa tạp con

Trong phần này, chúng tôi trình bày trường vectơ độ cong trungbình và các tính chất về trường vectơ độ cong trung bình của đa tạpcon

II Biến phân thể tích

ở đây, bằng việc sử dụng trường vectơ độ cong trung bình của đatạp con, chúng tôi chứng minh công thức biến phân thể tích và một

số tính chất của đa tạp K¨ahler.

III Đa tạp con cực tiểu.

Trong mục này, chúng tôi trình bày phép chứng minh tính cực tiểu

của đa tạp con chẵn chiều của đa tạp K¨ahler và trình bày một số dạng đa tạp con cực tiểu của đa tạp K¨ahler.

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo, PGS-TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịpnày chúng tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và cảm ơn cácthầy giáo trong tổ hình học đã giảng dạy, chỉ bảo cho tôi trong suốtthời gian học tập và nghiên cứu

Cũng nhân dịp này chúng tôi gửi lời cảm ơn các thầy giáo trongkhoa Toán, khoa sau đại học, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2007.

Tác giả

chương 1 đa tạp riemann

Trong suốt luận văn này, chúng ta luôn giả thiết M là một đa tạp khả vi có cơ sở đếm được và với hệ bản đồ {U α , ϕ α } α∈I.

Như chúng ta đã biết, một cấu trúc Riemann g trên M là sự đặt tương ứng mỗi điểm p ∈ M với một ánh xạ g p thoả mãn:

⊕ g p là tích vô hướng trong T p M

⊕ g là ánh xạ khả vi theo p, nghĩa là g(X, Y ) là hàm số khả vi với

mọi X, Y ∈ B(M ).

I Đa tạp Riemann

1.1 Định nghĩa Một đa tạp khả vi M được gọi là đa tạp Riemann nếu trên nó đã được trang bị một cấu trúc Riemann g và kí hiệu là (M, g).

1.2 Ví dụ Giả sử ϕ là hàm số khả vi và luôn dương trên E n Ta

đặt g(X, Y ) = ϕ.XY ; ∀X, Y ∈ B(E n ) Khi đó (E n , g) là một đa tạp

Riemann

Thật vậy, ta cần kiểm tra các điều kiện để g là một cấu trúc Riemann trên E n

• Trước hết ta chứng minh g p là tích vô hướng trong T p E n ; ∀p ∈ E n

Thật vậy, với mọi X p , Y p , Z p ∈ T p E n ; ∀α, β ∈ F (E n) ta có:

+ g p (X p , Y p ) = ϕ(p)X p Y p

= ϕ(p)Y p X p

= g p (Y p , X p)+ g p (αX p + βY p , Z p ) = ϕ(p)(αX p + βY p )Z p

= αϕ(p)X p Z p + βϕ(p)Y p Z p

= αg p (X p , Z p ) + βg p (Y p , Z p)

+ g p (X p , X p ) = ϕ(p)X p X p

= ϕ(p)(X p)2 ≥ 0

+ g p (X p , X p ) = 0 ⇔ X p = 0

• Tiếp theo ta chứng minh g khả vi theo p với mọi p ∈ E n, tức là ta

cần chứng minh g(X, Y ) là hàm số khả vi với mọi X, Y ∈ B(E n) Thật

vậy, với mọi X, Y ∈ B(E n ); X =

Do X, Y khả vi nên X i , Y i khả vi; ∀i = 1, n

Do ϕ là một hàm số khả vi trên E n nên g(X, Y ) là hàm số khả vi với mọi X, Y ∈ B(E n)

Vậy (E n , g) là một đa tạp Riemann 2

1.3 Mệnh đề (Xem [1]) Mọi đa tạp khả vi M luôn có thể trang

bị được một cấu trúc Riemann

Chứng minh Giả sử {E i } m i=1 là cơ sở chính tắc (E i = ∂x ∂

là phân hoạch đơn vị tương ứng với cấu trúc khả vi {U α , ϕ α } α∈I) Khi

đó g là một cấu trúc Riemann trên M Thật vậy, ta kiểm tra các điều

kiện sau

⊕ Trước hết, ta chứng minh g p là một tích vô hướng trên T p (M);

∀p ∈ M Thật vậy, với mọi X p , Y p , Z p ∈ T p M; ∀β, γ ∈ F (M ) ta có:

⊕ Tiếp theo ta chứng minh g là hàm số khả vi theo p với mọi p ∈ M ,

tức là ta cần chứng minh g(X, Y ) là hàm số khả vi với mọi X, Y ∈

Ta lại có ψ α khả vi với mọi α ∈ I.

Từ đó suy ra g(X, Y ) là hàm số khả vi với mọi X, Y ∈ B(M ).

Vậy luôn tồn tại một cấu trúc Riemann g trên M 2

II Đa tạp Symplectic

1.4 Định nghĩa

a) 2-dạng ω trên đa tạp khả vi M được gọi là dạng Symplectic nếu

thoả mãn các điều kiện sau:

b) Đa tạp khả vi M được gọi là đa tạp Symplectic nếu trên nó đã

được trang bị dạng Symplectic

Khi đó (R2n , ω) là đa tạp Symplectic Thật vậy, ta cần chứng minh ω

là dạng Symplectic, tức là ta cần kiểm tra các điều kiện sau:

⊕ Dễ dàng chứng minh được ω p là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng

với mỗi p ∈ R 2n nên ω là 2-dạng trên R 2n

Từ đó với mỗi f ∈ T ∗

p(R2n ) tồn tại X p ∈ T pR2n sao cho eω p (X p ) = f

Ta suy ra eω p là toàn ánh với mỗi p ∈ R 2n

Vậy (R2n , ω) là đa tạp Symplectic 2

Nhận xét Nếu (M, ω) là đa tạp Symplectic thì dimM là chẵn Thật vậy, giả sử dimM = m Khi đó dimT p M = m; ∀p ∈ M

Do ω là dạng Symplectic nên ω p là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng

trên T p M, ∀p ∈ M Khi đó (xem [9]) tồn tại cơ sở

1.6 Định nghĩa Giả sử (M, ω) là đa tạp Symplectic 2n-chiều và

i : Y → M là phép nhúng đóng Khi đó Y được gọi là đa tạp con

Lagrang của M nếu và chỉ nếu i ∗ ω = 0 và dimY = 12dimM

1.7 Ví dụ Cho R4 với hệ tọa độ địa phương (x1, x2, x3, x4)

ω = dx1 ∧ dx3 + dx2 ∧ dx4 là 2 dạng trên R4

G = {(x1, x2, x2, x1)|(x1, x2) ∈ R2}

Khi đó G là đa tạp con Lagrang của R4

Thật vậy, ta cần kiểm tra các điều kiện để G là đa tạp con Lagrang

của R4

• Theo ví dụ 1.5 trong trường hợp n=2 ta chứng minh được (R4, ω)

là đa tạp Symplectic

• dimG = 2 = 12dimR4

• i : G → R4

(x1, x2, x2, x1) 7→ (x1, x2, x2, x1)

là phép nhúng vì i khả vi, i ∗ đơn ánh và i đồng phôi lên ảnh

Do i(G) là tập đóng trong R4 nên i là đóng.

• Cuối cùng ta cần phải chứng minh i ∗ ω = 0 Thật vậy, với mọi X(X1, X2, X3, X4), Y (Y1, Y2, Y3, Y4) ∈ B(R4) ta có:

i ∗ X = (X1, X2, X2, X1)

i ∗ Y = (Y1, Y2, Y2, Y1)Khi đó

i ∗ ω(X, Y ) = ω(i ∗ X, i ∗ Y )

= (dx1 ∧ dx3 + dx2 ∧ dx4)(i ∗ X, i ∗ Y )

= (X1Y2 − Y1X2) + (X2Y1 − Y2X1)

= 0.

Vậy G là đa tạp con Lagrang của (R4, ω) 2

III Các cấu trúc tương thích

1.8 Định nghĩa Cho đa tạp khả vi M , ánh xạ J p : T p M −→

T p M; p ∈ M được gọi là cấu trúc hầu phức trên M nếu thoả mãn

Chứng minh Giả sử (U, V, ϕ : U → V ) là một bản đồ phức bất

kì của đa tạp 2m-chiều M với hệ tọa độ địa phương (z1, , z m) =

(x1 + iy1, , x m + iy m ); x j , y j ∈ R với mọi j = 1, m Tại p ∈ U

Và cấu trúc J xác định như trên là cấu trúc hầu phức trên M 2

M cũng được gọi là đa tạp phức nếu M là đa tạp khả vi được trang

• Dễ dàng chứng minh được ánh xạ J là ánh xạ tuyến tính.

• Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh J2 = −id Thật vậy, với mọi

Từ đó suy ra J là cấu trúc hầu phức trên R4.

Vậy R4 là đa tạp có cấu trúc hầu phức J 2

1.11 Định nghĩa

a) Cho (M, ω) là đa tạp Symplectic, J là cấu trúc hầu phức trên M ,

g là cấu trúc Riemann trên M Khi đó bộ ba (ω, g, J) được gọi là bộ

Khi đó (R4, ω, J, g) là đa tạp K¨ahler.

Thật vậy, ta cần kiểm tra các điều kiện sau:

• Dễ dàng chứng minh được g là cấu trúc Riemann trên R4 và ω là

dạng Symplectic.

• M là đa tạp có cấu trúc hầu phức J (theo ví dụ 1.10)

• Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh bộ ba (ω, g, J) là bộ ba tương thích,

Vậy (R4, ω, J, g) là đa tạp K¨ahler 2

1.13 Mệnh đề Giả sử M là đa tạp K¨ahler 2n-chiều với liên thông Lêvi-Sivita ∇ và bộ ba tương thích (ω, g, J) ta ký hiệu

Thật vậy, giả sử {E1, , E n } là hệ độc lập tuyến tính trong B(M)

thoả mãn

g(E i , E i ) = 1; ∀i = 1, n

ω(E i , E j ) = 0; ∀i, j = 1, n Theo 1.11 thì M có bộ ba tương thích nên

Từ đó ta suy ra {E1, , E n , JE1, , JE n } là cơ sở của B(M).

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề

Theo bổ đề ta có thể giả sử {E1, , E n , JE1, , JE n} là cơ sở của

B(M) Khi đó, với mỗi

ii) (∇ X J)(Y )đ/n∇ X (JY ) − J(∇ X Y ) = 0.

trong đó ∇ là liên thông Lêvi-Sivita và J là cấu trúc hầu phức trên

M.

Chứng minh

∗) Điều kiện cần: Giả sử M là đa tạp K¨ahler Khi đó, theo 1.11 thì

M là đa tạp Symplectic và có bộ ba tương thích nên

• Bây giờ ta cần chứng minh ∇ là liên thông Riemann, tức là ta cần

chứng minh điều kiện (ii) thỏa mãn Thật vậy, không mất tính tổngquát ta chỉ cần chứng minh điều kiện (ii) đúng đối với các trường

vectơ cơ sở X1, X2, X3 ∈ B(M) thoã mãn:

• Dễ dàng nhận thấy ω là song tuyến tính vì tính tuyến tính của cấu

trúc hầu phức J và tính song tuyến tính của mêtric g

• Ta chứng minh ω là đóng Thật vậy, không mất tính tổng quát ta

chỉ cần chứng minh dω = 0 thoả mãn đối với các trường véc tơ cơ sở

⇒ e ω p là đơn ánh với mỗi p ∈ M

⊕ Với mỗi f ∈ T p ∗ M thì tồn tại X p ∈ T p M sao cho f (Y p ) = ω p (X p , Y p ); ∀Y p ∈

T p (M).

⇒ f (Y p) = eω p (X p )(Y p ); ∀Y p ∈ T p (M )

⇒ f = e ω p (X p)

Từ đó với mỗi f ∈ T p ∗ (M) tồn tại X p ∈ T p M sao cho e ω p (X p ) = f Ta

suy ra eω p là toàn ánh với mỗi p ∈ M 2

chương 2 một số tính chất về trường vectơ độ cong trung bình và ứng dụng

Trong suốt chương này, chúng ta luôn giả thiết (M, g) là đa tạp mann (m + k)-chiều với liên thông Lêvi-Sivita ∇; (M, g) là đa tạp Riemann con m-chiều của (M, g) với liên thông Lêvi-Sivita ∇ cảm sinh từ ∇.

Rie-N(M) là tập tất cả các trường vectơ của B(M) mà vuông góc với

B(M).

I Trường véc tơ độ cong trung bình của đa tạp con

Như chúng ta đã biết: với mỗi X, Y ∈ B(M) ta có

j=1 là cơ sơ trực chuẩn của T p M ).

Khi đó: − H → p được gọi là vectơ độ cong trung bình của đa tạp con M tại p.

2.2 Định nghĩa Ánh xạ − → H : p 7→ − → H p được gọi là trường vectơ

độ cong trung bình của đa tạp M.

2.3 Ví dụ Siêu mặt T trong R4 được cho bởi tham số hoá:

r : R3 → R4

(u, v, t) 7→ (cos u, sin u, v, t)

• Ta có cơ sở của T p (T ); p(u, v, t) ∈ R3

Thật vậy, giả sử {N10 , , N k 0 } là cơ sở trực chuẩn của N(M ) khác với

cơ sở trực chuẩn {− N →1, , − N → k} Ta cần chứng minh:

2.5 Mệnh đề − H → p không phụ thuộc vào việc chọn trường mục tiêu

của B(M).

Chứng minh Ta cần chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 1 Với mỗi p ∈ M , giả sử {E l (p)} m l=1 và { eE l (p)} m l=1 là hai cơ sở

của không gian T p M, trong đó e E l (p) =

m

X

j=1

c jl E j (p); ∀l = 1, m Gọi A = (a lj ), B = (b lj ) và C = (c lj ) lần lượt là ma trận của h i đối

với {E l}m l=1, { eE l}m l=1 và ma trận chuyển cơ sở từ {E l}m l=1 vào { eE l}m l=1

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề.

Suy ra − → H ip = T rB ip không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở trực chuẩn

của T p (M ); ∀i = 1, k Theo nhận xét 2 trong mệnh đề 2.4, với mỗi

II Biến phân thể tích

Giả sử M là đa tạp Riemann m-chiều, định hướng, có biên trong

M Trong bản đồ địa phương (U α , ϕ α ) với trường mục tiêu {E i}m

i , ta

ký hiệu g ij = g(E i , E j ) và đặt g = det(g ij ) Biểu thức √ gdx1 ∧ dx2 ∧ ∧ dx m xác định m-dạng vi phân trên M và được gọi là dạng thể tích chính tắc trên M.

Bây giờ ta xét f : M → M là một phép nhúng đóng và phép đồng luân F : I × M → M , ở đây I = [−1, 1] thỏa mãn:

Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta cần chứng minh bổ đềsau:

Bổ đề Giả sử (A(t)) = (a ij (t)); t ∈ I là một họ nhẵn các ma trận vuông cấp m sao cho A(0) = I m (ma trận đơn vị) Khi đó:

W (e1, e2, , e m) = 1Khi đó ta có

det(A(t)) = W (A(t)e1, , A(t)e m)và

Bây giờ ta trở lại với việc chứng minh mệnh đề.

Ta có A(t) = RM dV t nên suy ra

dA

dt =

d dt

Gọi ∇ là liên thông Lêvi-Civita trên M, U α là bản đồ của p trên M

Ta chọn {E1, , E m }∈ B(U α) sao cho

a) {E1, , E m} là hệ trực chuẩn theo từng điểm với mêtric cảm sinh

dV t = pg(t)ω1 ∧ ω2 ∧ ∧ ω m

dg kk

dt (0)dV0

là J−bất biến, tức là J(T p (M )) ⊂ T p (M ) với mỗi p ∈ M.

2.8 Mệnh đề Mọi đa tạp con chẵn chiều của đa tạp K¨ahler là

đa tạp K¨ahler với metric cảm sinh.

Chứng minh Giả sử (M, J, g) là đa tạp K¨ahler, (M, J, g) là đa tạp con chẵn chiều của đa tạp K¨ahler (M, J, g) Ta cần chứng minh (M, J, g) là đa tạp K¨ahler, theo mệnh đề 1.14 ta chỉ cần chứng minh

2.9 Mệnh đề Giả sử (M, J, g) là đa tạp con chẵn chiều của đa tạp K¨ahler (M, J, g) Khi đó:

B X,JY = JB X,Y = B JX,Y ; ∀X, Y ∈ B(M ).

Vậy B X,JY = JB X,Y = B JX,Y ; ∀X, Y ∈ B(M ) 2

2.10 Mệnh đề Giả sử M là đa tạp K¨ahler và M là đa tạp con thực 2m-chiều được định hướng của M Với mỗi điểm p ∈ M ký hiệu

dV p là dạng thể tích được cảm sinh bởi metric trên M Khi đó dạng K¨ahler của M trên T p M thỏa mãn:

Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu X = ±JY , tức là nếu và chỉ nếu X

và Y cách nhau một không gian con phức 1-chiều.

Xét dạng K¨ahler ω của M hạn chế trên T p (M) Vì ω là phản xứng nên tồn tại cơ sở trực chuẩn { ε1, , ε 2m } của T p (M) để ma trận chuyển

III Đa tạp con cực tiểu.

2.11 Định nghĩa Đa tạp con M của M được gọi là đa tạp con cực

tiểu nếu trường vectơ độ cong trung bình − → H trên M bằng 0.

2.12 Ví dụ Cho R4 với hệ toạ độ địa phương (x1, x2, x3, x4) và

(J, ω, g) được cho như trong ví dụ 1.12.

về chứng minh độ cong trung bình của đa tạp con M bằng 0.

2.13 Mệnh đề M là đa tạp con cực tiểu của đa tạp M nếu và chỉ nếu thể tích của M đạt cực trị trong mọi biến phân của M giữ

⇒ V ol(M ) đạt cực trị trong mọi biến phân của M giữ nguyên biên.

• Nếu V ol(M ) đạt cực trị trong mọi biến phân của M giữ nguyên biên

thì dA dt | t=0 = 0

⇒ − → H = 0 (vì E 6= 0).

⇒ M là đa tạp con cực tiểu 2

2.14 Mệnh đề (Xem [7]) Mọi đa tạp con chẵn chiều của đa tạp

Vậy mọi đa tạp con của đa tạp K¨ahler là cực tiểu 2

Nhận xét Nếu đa tạp R2n được trang bị cấu trúc hầu phức chính

Từ đó ta có thể đồng nhất cấu trúc hầu phức chính tắc J với i ∗

2.15 Mệnh đề Giả sử Cn là đa tạp K¨ahler với cấu trúc hầu phức

∂z ) ∈ B(M); ∀k = 1, n

⇒ J(B(M )) ⊂ B(M).

Suy ra M là đa tạp con của đa tạp K¨ahler C n

Theo mệnh đề 2.14 ta suy ra M là đa tạp con cực tiểu của C 2 2.16 Ví dụ Xét ánh xạ ψ : C → C2 được cho bởi

ψ(z) = (z2, z5)

Khi đó, M = ψ(C \ {0}) là đa tạp con cực tiểu của C2

Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh được các hàm

kết luận

Trong luận văn này chúng tôi đã đạt được những kết quả như sau:

? Tập hợp và chứng minh chi tiết một số tính chất về đa tạp mann, đa tạp K¨ahler, công thức biến phân thể tích, dạng cơ bản thứ

Rie-hai trên đa tạp con và trường vectơ độ cong trung bình của một siêumặt (Mệnh đề 1.13; 1.14; 2.6; 2.8)

? Chứng minh trường vectơ độ cong trung bình không phụ thuộc

vào cách chọn trường mục tiêu (Mệnh đề 2.5)

? Phát biểu và chứng minh (Mệnh đề 2.9) về tính chất của dạng cơ

bản thứ hai trên đa tạp con của đa tạp K¨ahler

? Chứng minh tính cực tiểu của các đa tạp con của đa tạp K¨ahler.

Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu tính cực tiểu thểtích của các siêu mặt trong lớp các siêu mặt cùng biên và cùng nhómđồng điều

tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Khu Quốc Anh (2003), Nguyễn Doãn Tuấn (2003), Lý thuyết liên

thông và hình học Riemann, NXB Sư phạm.

[2] Henri Cartan (1980), phép tính tích phân các dạng vi phân, NXB

ĐH Và THCN

[3] Gromoll, W.Klingenberg, W.Meyer (1997), Hình học Riemann

toàn cục, Bản dịch tiếng Việt, Thư viện ĐHV.

[4] Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Thị Dung (2001), Trường vectơ độ

cong trung bình của một siêu mặt trong đa tạp Riemann, TBKH

số 26, Đại học Vinh

[5] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB giáo dục.

[6] Hoàng Tụy, Nguyễn Xuân My, Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái

(1979), Mở đầu một số lý thuyết hiện đại của Tôpô và đại số, tập

2, NXB ĐH THCN.

Tiếng Anh

[7] H.Blaine Lawson, Jr, Lecture on minimal Submanifolds, Copyright

1980

[8] H.Blaine Lawson, Jr and Reere Harey (1982), Calibrated

Geomet-ric, Acta Math.

[9] Ana Cannas da Silva, Lecture on Symplectic Geometry (2000).