Một số luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên luận văn thạc sĩ toán học

Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lí thuyết xácsuất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lí thuyết xác suất là các luật số lớn".. Mục

Mục lục

1.1 Các khái niệm 4

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 4

1.1.2 Hàm phân phối 5

1.1.3 Các loại biến ngẫu nhiên 5

1.1.4 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 7

1.1.5 Các dạng hội tụ 9

1.1.6 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên 10

1.1.7 Kỳ vọng có điều kiện 11

1.1.8 Martingale 12

1.2 Một số bất đẳng thức liên quan 13

1.2.1 Bất đẳng thức Markov 13

1.2.2 Các bất đẳng thức moment 13

1.2.3 Bất đẳng thức Burkholder 15

1.2.4 Bất đẳng thức Davis 15

2 Một số luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên 16 2.1 Các dạng bị làm trội của biến ngẫu nhiên 16

2.2 Quan hệ giữa các dạng bị làm trội 17

2.3 Luật yếu số lớn cho mảng khả tích đều 23

2.4 Luật yếu số lớn cho mảng đôi một không tương quan 28

Lí thuyết xác suất là bộ môn toán nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên,

ra đời vào nửa cuối thế kỉ thứ 17 ở Pháp Mặc dù ra đời muộn nhưng nó

đã phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống conngười Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lí thuyết xácsuất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của

lí thuyết xác suất là các luật số lớn" Luật số lớn được xem là một trong baviên ngọc quý của lí thuyết xác suất Luật yếu số lớn cho tổng các biến ngẫunhiên cùng phân phối có thể tổng quát theo nhiều cách khác nhau Mục đíchcủa luận văn này là thiết lập một số điều kiện hội tụ bị chặn điển hình vàcung cấp một số luật yếu số lớn tương đối tổng quát cho mảng các biến ngẫunhiên

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị, bao gồm các khái niệmbiến ngẫu nhiên, hàm phân phối, các dạng hội tụ, kỳ vọng có điều kiện vàmột số bất đẳng thức liên quan

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này bao gồmcác dạng bị làm trội của biến ngẫu nhiên, luật yếu số lớn cho mảng biếnngẫu nhiên và các kết quả liên quan

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn trựctiếp của PGS.TS NguyễnVăn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới Thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn mà thầy đã dành cho tácgiả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Tác giả cũng xinchân thành cảm ơn PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà cùngcác thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy tác giả trong suốt quá trình học tập.Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD & ĐT Hà Tĩnh, Ban Giám hiệutrường THPT Hà Huy Tập, các đồng nghiệp trường THPT Hà Huy Tập, gia

đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong quá trình học tập và nghiên cứu

Vinh, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Những kí hiệu dùng trong luận văn

N Tập hợp các số nguyên dương

R Tập hợp các số thực

B(R) σ-đại số các tập con Borel của R

(Ω, F, P) Không gian xác suất cơ bản

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 Cho không gian xác suất (Ω, F, P), G là σ- đại số con của

σ- đại số F Khi đó ánh xạ X: Ω −→ R được gọi là biến ngẫu nhiên

G-đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) G-đo được, tức là với mọi B ∈ B(R) thì

X−1(B) ∈ G

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì X

được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên Nếu biến ngẫu nhiên X chỉnhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản

Ví dụ 1.1

Giả sử A ∈ F Đặt

IA(ω) =1 nếu ω ∈ A,

0 nếu ω /∈ A

Khi đó IA là biến ngẫu nhiên đơn giản

Thật vậy, với mọi B ∈ B(R), thì B ⊂ R nên

Suy ra IA là một biến ngẫu nhiên

ánh xạ IA xác định như trên được gọi là hàm chỉ tiêu của A

1.1.2 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.2 Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất; X: Ω −→ R

là biến ngẫu nhiên khi đó, hàm số

Định nghĩa 1.3 Một biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạcnếu nó chỉ nhận một số hữu hạn hoặc đếm được giá trị

Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất cả các giá trị có thể có của

nó có thể được liệt kê bằng một dãy hữu hạn hay vô hạn x1, x2, x3, , xn, Tập hợp các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu làX(Ω)

Bảng phân phối Khi nghiên cứu về biến ngẫu nhiên rời rạc X, ta cần biếttất cả các giá trị của nó cùng với các xác suất tương ứng Các thông tin này

được xác định tiện lợi trong một bảng gọi là bảng phân phối

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, , xn, với cácxác suất tương ứng là P(X = xi) = pi, (i = 1, 2, 3, , n )

Khi đó ta nói X có phân phối đều trên [a, b].

−(x−à)2 2σ2 ; (σ > 0)

Khi đó ta nói X có phân phối chuẩn tham số à; σ2

Ký hiệu X ∼ N(à, σ2)

Đặc biệt, nếu X ∼ N(0, 1) thì p(x) = ϕ(x) = √ 1

2πe−x22

Tính chất Từ định nghĩa, suy ra

1 Với mọi a, b thỏa mãn −∞ ≤ a < b ≤ +∞ ta có

P(a < X < b) =

bZ

ap(x)dx

2 +∞R

−∞

p(x)dx = 1

3 p(x) = F0(x) tại mọi điểm x mà p(x) liên tục

1.1.4 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.5 Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên Khi

đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọngcủa X và ký hiệu EX

Vậy

EX =

Z

ΩXdP

Nếu tồn tại E|X|p < ∞ (p > 0) thì ta nói X khả tích bậc p

Đặc biệt, nếu E|X| < ∞ thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích

Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản X = Pn

i=1aiIAi thì

EX :=

nX

EX := lim

n→∞EXn.Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thì X = X+− X−;

với X+ = max(X, 0) ≥ 0, X− = max(−X, 0) ≥ 0

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R ta có E(CX) = CEX.

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY

+∞ xp(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x)

Tổng quát: Nếu f : R → R là hàm đo được và Y = f(X) thì

−∞ f (x)p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độP (x)

6 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| ≤ Y, EY < ∞ và

Xn → X thì X khả tích, E|Xn − X| → 0 và EXn → EX (khi n → ∞)

ý nghĩa: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xácsuất của biến ngẫu nhiên đó Trong trường hợp X nhận các giá trị với xácsuất như nhau thì kỳ vọng chính là trung bình cộng của nó

Định nghĩa 1.6 Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó, số

DX := E(X − EX)2 (nếu tồn tại) được gọi là phương sai của X

n=1P(|Xn− X| > ε) < ∞.

KÝ hiÖu Xn

L p

−→ X

Héi tô hÇu ch¾c ch¾n cßn ®­îc gäi lµ héi tô víi x¸c suÊt 1;

Héi tô theo trung b×nh cÊp p cßn ®­îc gäi lµ héi tô trong Lp

§Þnh lý 1.1 Xn h.c.c.

−−→ X khi vµ chØ khi víi mäi ε > 0

limn→∞P(sup

Chứng minh (i) Giả sử Xn −−→ X.h.c.c Khi đó, với mọi ε > 0

limn→∞P(sup

Do đó Xn −→ XP khi n → ∞ Đó là điều cần chứng minh

1.1.6 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.8 Họ các biến ngẫu nhiên (Xi)i∈I được gọi là độc lập (độclập đôi một) nếu họ σ- đại số (σ(Xi))i∈I độc lập (độc lập đôi một)

Tính chất: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

E(XY ) = EXEYD(X ± Y ) = DX + DY

Tổng quát: Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

E(X1X2 Xn) = EX1EX2 EXn.Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một thì

D(X1 + X2 + + Xn) = D(X1) + D(X2) + + D(Xn)

1.1.7 Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.9 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X: Ω −→ R làbiến ngẫu nhiên và G là σ- đại số con của F Khi đó biến ngẫu nhiên Y gọi

là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ- đại số G nếu

(i) Y là biến ngẫu nhiên G− đo được;

(ii) Với mỗi A ∈ G, ta có

Ký hiệu: Y = E(X|G) hay Y = EGX

Chú ý:

1 Nếu Y là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P) và G là σ- đại sốcon của F sao cho Y là biến ngẫu nhiên G− đo được, thì ta viết Y ∈ G

2 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên đã cho trên (Ω, F, P) và G là σ- đại

số sinh bởi Y , thì E(X|G) được ký hiệu là E(X|Y ) và được gọi là kỳ vọng

điều kiện của biến ngẫu nhiên X đối với biến ngẫu nhiên Y

3 Nếu X1, X2 , là các biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P)và G là

σ- đại số sinh bởi chúng thì E(X|G) được ký hiệu là E(X|X1, X2, )

4 Nếu X = IA, A ∈ G thì E(X|G) được ký hiệu là P(A|G) và được gọi

là xác suất điều kiện của biến cố A đối với σ- đại số G E(IA|X1, X2, )

được ký hiệu là P(A|X1, X2, ) và được gọi là xác suất điều kiện của biến

cố A đối với biến ngẫu nhiên X1, X2,

Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện

1 Nếu E|X| < ∞ thì tồn tại duy nhất Y = E(X|G) (h.c.c.)

2 Nếu X = c (hằng số) thì

E(X|G) = E(c|G) = c (h.c.c.)

3 Nếu X ≥ Y (h.c.c) thì

E(X|G) ≥ E(Y |G) (h.c.c.)

4 Với mọi hằng số a, b ta có:

E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) (h.c.c.)

5 Nếu X và G độc lập thì E(X|G) = EX

6 E[E(X|G)] = EX (h.c.c.)

7 Nếu X là biến ngẫu nhiên G− đo được thì E(X|G) = X (h.c.c.)

8 Nếu E|XY | < ∞, E|X| < ∞, X ∈ G thì

E(XY |G) = XE(Y |G) (h.c.c.)

1.1.8 Martingale

Giả sử (Xn, n ∈ N) là dãy biến ngẫu nhiên, (Fn, n ∈ N) là dãy tăng các

σ-đại số con của σ- σ-đại số F : F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ Fn ⊂ F Khi đó, nếu

Xn ∈ Fn(∀n ∈ N) thì dãy (Xn, Fn, n ∈ N) được gọi là dãy phù hợp

Định nghĩa 1.10 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, (Xn, n ∈ N) làdãy biến ngẫu nhiên, (Fn, n ∈ N) là dãy tăng các σ- đại số Khi đó dãy(Xn, Fn, n ∈ N) được gọi là

1.2 Một số bất đẳng thức liên quan

1.2.1 Bất đẳng thức Markov

Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó với mọi ε > 0, ta có

P(X ≥ ε) ≤ EX

ε .Chứng minh

(1.2.1) là tầm thường nếu kXk2kY k2 = 0

Vậy có thể giả thiết kXk2kY k2 > 0

Thay a, b trong bất đẳng thức sơ cấp

2|ab| ≤ a2 + b2

bởi X

kXk 2 và Y

kY k 2 tương ứng, sau đó lấy kỳ vọng hai vế ta có

2E |XY |kXk2kY k2
≤ E X

2kXk2 2

+ E Y

2

kY k2 2

Xk2)p/21/p ≤ (E|Zn|p)1/p ≤ Dp

E(

nX

k=1

Xk2)p/21/p(1.2.2)

Khi các biến ngẫu nhiên X1, X2, , độc lập thì (1.2.2) còn được gọi là bất

đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund và nó cũng đúng trong trường hợp

CkS(f )k1 ≤ kf∗k1 ≤ DkS(f )k1.Chứng minh

Xem [6]

Chương 2

Một số luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên

2.1 Các dạng bị làm trội của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1 Cho {kn; n ≥ 1} là dãy số nguyên dương thỏa mãn

lim

n→∞kn = ∞ Mảng biến ngẫu nhiên {Yni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} được gọi là(a) Bị chặn mạnh bởi biến ngẫu nhiên Y nếu

|Yni| ≤ Y (h.c.c) đối với mọi i và n

(b) Bị chặn mạnh theo nghĩa Cesàro bởi biến ngẫu nhiên Y nếu tồn tại

Yni| ≤ γY (h.c.c) với mọi n

(c) Bị chặn yếu bởi biến ngẫu nhiên Y nếu

P(|Yni| > y) ≤ P(Y > y) với mọi y > 0 và với mọi i và n

(d) Bị chặn yếu theo nghĩa Cesàro bởi biến ngẫu nhiên Y nếu tồn tại γ > 0sao cho

1

k n

kn

P

i=1P(|Yni| > y) ≤ γP(Y > y) với mọi y > 0 và với mọi n

(e) Khả tích đều nếu

lima→∞supi,n E|Yni|I{|Yni| > a} = 0

(g) Khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu

lima→∞sup

2.2 Quan hệ giữa các dạng bị làm trội

Mệnh đề 2.1 Một mảng biến ngẫu nhiên {Yni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} bị chặnmạnh thì bị chặn yếu

i=1

|Yni| ≤ knY ⇒ 1

kn

knX

i=1

Yni| ≤ 1

kn

knX

i=1

|Yni| ≤ Y

Suy ra {Yni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} bị chặn mạnh theo nghĩa Cesàro Đó là

điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.3 Mảng biến ngẫu nhiên {Yni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} bị chặn yếuthì bị chặn yếu theo nghĩa Cesàro

Chứng minh

Mảng biến ngẫu nhiên {Yni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} bị chặn yếu nên

P(|Yni| > y) ≤ P(Y > y), mọi y > 0 và mọi i, n

Do đó

knX

i=1P(|Yni| > y) ≤ knP(Y > y).

Suy ra tồn tại γ = 1 sao cho

1

kn

knX

i=1P(|Yni| > y) ≤ P(Y > y),mọi y > 0 và mọi n

Vậy {Yni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} bị chặn yếu theo nghĩa Cesàro

Mệnh đề 2.4 Một mảng biến ngẫu nhiên {Yni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} khả tích

đều thì khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Chứng minh

Mảng biến ngẫu nhiên {Yni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} khả tích đều nên

lima→∞supi,n E|Yni|I{|Yni| > a} = 0

Với mỗi n ta có

1

kn

knX

i=1

E(|Yni|I{(|Yni| > a} ≤ sup

i,n E|Yni|I{|Yni| > a}

Suy ra

lima→∞sup

n

1

kn

knX

i=1E(|Yni|I{(|Yni| > a} = 0

Vậy {Yni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro Đó là điềuphải chứng minh

Định lý 2.1 (Định lý Chandra (1989)) Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn; n ≥ 1}khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏamãn

(a) sup

n

(n−1

nP

k=1E(|Xk|)) < ∞

(b) Với mỗi ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho khi {Ak} thỏa mãn điềukiện

supn

n−1

nX

k=1P(Ak)
< δ (2.1.1)thì

supn

n−1

nX

k=1Z

n−1

nX

k=1Z

k=1E(|Xk|) ≤ a0 + n−1

nX

k=1Z

|X k |>a 0

|Xk|dP ≤ ao + 1

Vậy điều kiện (a) được chứng minh

Bây giờ với ε > 0 tùy ý, lấy a0 > 0 sao cho

supn

n−1

nX

k=1Z

|X |≥a

|Xk|dP
≤ ε

2.

Đặt δ = ε/(2a0) khi đó từ điều kiện (2.1.1) ta có

n−1

nX

k=1Z

A k

|Xk|dP ≤ n−1

nX

k=1P(Ak) + n−1

nX

k=1Z

nX

k=1E(|Xk|)}

Khi đó với mỗi a > 0,

P(|Xk| ≥ a) ≤ a−1E(|Xk|), với mọi k ≥ 1

Vì vậy

n−1

nX

k=1P(|Xk| ≥ a) ≤ K/a, với mọi n ≥ 1

Với ε > 0 tùy ý, từ (b) tồn tại một số δ > 0 sao cho (2.1.1) kéo theo (2.1.2)

k=1Z

|Xk|≥a

|Xk|dP ≤ n−1

nX

k=1Z

kn

knX

i=1P(Ani)
< δ (2.2.1)th×

supn

1

knZ

|X ni |>a 0

|Xni|dP ≤ a0 + 1

VËy ®iÒu kiÖn (a) ®­îc chøng minh

B©y giê víi ε > 0 tïy ý, lÊy a0 > 0 sao cho

supn

|X ni |≥a 0

|Xni|dP
< ε/2.

Đặt δ = ε/(2a0) từ (2.2.1) ta có

1

kn

knX

i=1Z

Ani

|Xni|dP ≤ 1

kn

knX

P(|Xni| ≥ a) ≤ a−1E(|Xni|), với mọi i ≥ 1

|X ni |≥a 0

|Xni|dP < ε

Do đó mảng {Xni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro.Vậy định lý được chứng minh

2.3 Luật yếu số lớn cho mảng khả tích đều

Định lý 2.3 Cho {Xni; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên,trong đó {kn; n ≥ 1} là dãy số nguyên dương thỏa mãn lim

Trường hợp 1:

Với 1 ≤ p < 2 : áp dụng bất đẳng thức Burkholder (khi 1 < p < 2), bất

đẳng thức Davis (khi p = 1) và bất đẳng thức Cr ta có

E|Sn|p ≤ BpE

knX

i=1(Xni− E(Xni|Fn.i−1))2

p/2+ BpE

k n

X

i=1(Xni00 )2

p/2

≤ Bp(knM2)p/2 + BpE

knX

với Bp là hằng số, chỉ phụ thuộc vào p

Ta sẽ chứng minh rằng mảng biến ngẫu nhiên

{|Xni − àni|p; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1}

khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Thật vậy, theo giả thiết ta có

{|Xni|p; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Bây giờ ta áp dụng định lý Chandra cho mảng

{|Xni − àni|p; 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1}

{Ani = (|Xni − àni|p > Mp); 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1}

ta có

supn

n Sn −→ 0Lp khi n → ∞

Do đó

k−

1 p

k n

X

i=1

Xni00 ... data-page="31">

Kết luận< /p>

1 Luận văn giải vấn đề sau:

1.1 Đưa mối quan hệ dạng bị làm trội

1.2 Mở rộng định lí Chandra cho mảng biến ngẫu nhiên

1.3 Cung cấp số luật yếu số lớn cho mảng. .. số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên. 1.4 Nêu số mối liên hệ với kết trước

2 Hướng phát triển luận văn: tiếp tục nghiên cứu kết khác

về luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên

kn−1Skn L

1

−→

Vậy định lý chứng minh

2.4 Luật yếu số lớn cho mảng