Một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điệu địa phương

Mục đích của luận văn là nghiên cứu các tính chất cơ bản của môđun đốiđồng điều địa phương, tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương và thông qua đó đưa ra một số tính chất về

Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị, Noether R Xét hàm tử

xoắn ΓI xác định như sau

ΓI (M) = [

t≥0

(0 :M I t)

với mọi R-môđun M Khi đó, Γ I là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái

trên phạm trù các R-môđun Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Γ I được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với iđêan I và được

kí hiệu là H I i Cho M là một R-môđun Khi đó, H I i (M) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M có giá là I.

Mục đích của luận văn là nghiên cứu các tính chất cơ bản của môđun đốiđồng điều địa phương, tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương

và thông qua đó đưa ra một số tính chất về địa phương hóa và tính hữu hạn

của tập các iđêan liên kết của H I i (M ) Các kết quả của luận văn được viết

dựa theo [2], [3] và một số tài liệu khác có liên quan

Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, luận văn được chia làm 3 chương.Chương thứ nhất trình bày (không chứng minh) các kiến thức cơ sở củaĐại số giao hoán liên quan đến các kết quả và chứng minh trong luận vănvới mục đích giúp người đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn.Chương 2, chúng tôi trình bày về môđun xoắn, hàm tử xoắn, hàm tử đốiđồng điều địa phương và các tính chất cơ bản của chúng

Chương 3, trình bày về môđun đối đồng điều địa phương, tính triệt tiêucủa môđun đối đồng điều địa phương, địa phương hóa và tính hữu hạn của

tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass R (H i

I (M )) của môđun đối đồng điều địa phương H i

I (M).

Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2007 dưới sự hướng dẫn,chỉ dạy tận tình của cô giáo, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này,tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Đồng thời cũng xin được cảm ơncác thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh,

Sở GD và ĐT tỉnh Thanh Hóa, trường THPT Yên Định I, các bạn bè, đồngnghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Vinh, tháng 11 năm 2007

Tác giả

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại (không chứng minh) một số kiếnthức cơ sở phục vụ cho việc chứng minh các kết quả của những chương sau

1.1 Biến đổi tự nhiên

Cho F, G : C −→ D là hai hàm tử hiệp biến từ phạm trù C đến phạm trù

D Một biến đổi tự nhiên θ : F −→ G được cho bởi: ∀C ∈ ob(C), ta có cấu

xạ θ C : F (C) −→ G(C) là cấu xạ trong phạm trù D sao cho với mọi cặp vật

C, C 0 của phạm trù C ta có biểu đồ giao hoán sau

(ii) Hàm tử F được gọi là hàm tử khớp phải nếu từ mọi dãy khớp các R-môđun

−→ A −→ B −→ C −→ 0

ta có dãy khớp các R-môđun

−→ F (A) −→ F (B) −→ F (C) −→ 0 (iii) Hàm tử F được gọi là hàm tử khớp nếu nó vừa khớp trái, vừa khớp

0 −→ A −→ B −→ C −→ 0

ta có dãy khớp các R-môđun

F (A) −→ F (B) −→ F (C) −→ 0 (iii) Hàm tử F được gọi là hàm tử khớp nếu nó vừa khớp trái, vừa khớp

phải

1.3 Lời giải nội xạ

1.3.1 Định nghĩa (i) Một đối phức các R-môđun

I · : 0 −→ I0 −→ I1 −→ I2 −→

được gọi là một đối phức nội xạ nếu I j là môđun nội xạ với mọi j.

(ii) Cho M là một R-môđun Một lời giải nội xạ của M là một đối phức nội xạ I · cùng với một R-đồng cấu α : M −→ I0 sao cho dãy sau là khớp

Kí hiệu lời giải nội xạ của M là M //I ·

1.3.2 Định lí Cho M là một R-môđun Khi đó M luôn có lời giải nội xạ 1.3.3 Định lí Cho M, N là các R-môđun và f 0 : M −→ N là R-đồng cấu.

là ta có biểu đồ giao hoán sau

định bởi R i F (M ) = H i (F (I · )), trong đó H i (F (I · )) = KerF (d i )/ImF (d i−1 ) 1.4.2 Định lí R i F (M ) không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của R-môđun M

1.4.3 Định lí R · F là một δ-hàm tử đối đồng điều, nghĩa là hai điều kiện sau được thỏa mãn

(i) Giả sử

0 −→ M −→ N −→ P −→ 0

cho ta có dãy khớp dài

1.4.6 Định lí R · F = ©R i Fª∞ i=0 là δ-hàm tử đối đồng điều phổ dụng,

1.4.7 Mệnh đề Giả sử R, R 0 là các vành giao hoán; F là hàm tử hiệp

©

1.5 Iđêan nguyên tố liên kết

1.5.1 Định nghĩa.(i) Giả sử R là một vành Ta gọi phổ của R là tập tất

cả các iđêan nguyên tố của R và kí hiệu là Spec(R).

(ii) Giả sử p ∈ Spec(R) là một iđêan nguyên tố của R Ta nói p là iđêan liên kết với R-môđun M nếu p là linh hóa tử của một môđun con xyclic của M, nghĩa là tồn tại v ∈ M \ {0} sao cho p = (0 : R vR) Tập các iđêan nguyên

tố liên kết của M , kí hiệu là Ass R (M ).

(iii) Cho M là một R-môđun Phần tử x ∈ R được gọi là một ước của không trên môđun M nếu tồn tại m ∈ M, m 6= 0 sao cho xm = 0 Tập tất cả các ước của không trên M được kí hiệu là ZD R (M) Vậy

ZD R (M ) = {x ∈ R | ∃m ∈ M \ {0} : xm = 0}

Tập hợp

NZD R (M) = R \ ZD R (M) được gọi là tập hợp các phần tử không là ước của không trên môđun M 1.5.2 Mệnh đề Nếu M là một R-môđun và N là môđun con của M thì

1.6 Dãy chính quy và độ sâu

1.6.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh.

(i) Một dãy x1, x2, , x r các phần tử của R được gọi là dãy chính quy của

M hay còn gọi là M -dãy nếu

có cùng độ dài Độ dài của một dãy chính quy cực đại trong iđêan I được

kí hiệu là grade M (I) Khi I ⊆ ZD R (M) thì grade M (I) = 0 và khi M = 0 thì grade0(I) = ∞.

(iv) Giả sử (R, m) là vành địa phương, Noether và M là hữu hạn sinh Khi đó, grade M (m) được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depthM (hoặc

1.7.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán Một dãy các iđêan nguyên

tố của R

được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.

(i) Cho p là một iđêan nguyên tố của R Cận trên của tất cả các độ dài của

các xích nguyên tố với p0 = p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p).

Nghĩa là

Cho I là iđêan của R, ta định nghĩa ht(I) = inf {ht(p) | p ∈ Spec(R), p ⊇ I} (ii) Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi

là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR Ta có

dimR = sup {ht(p) | p ∈ Spec(R)} (iii) Cho M là R-môđun Khi đó dim(R/Ann R M ) được gọi là chiều Krull của môđun M và kí hiệu là dim R M ( hoặc dimM nếu ta không để ý đến vành R) Như vậy, dimR có thể vô hạn do ht(p) có thể vô hạn và dimM ≤ dimR 1.7.2 Mệnh đề (i) dim(M) = −∞ ⇔ M = 0.

(ii) Nếu N là môđun con của M thì dim(N) ≤ dim(M), dim(M/N) ≤ dim(M).

Cho (I, ≥) là một tập sắp thứ tự có tính chất định hướng Cho (M α)α∈I

là một họ các R-môđun Họ này được gọi là một hệ thuận nếu với mọi

α ≤ β, (α, β ∈ I) thì có các đồng cấu ϕ αβ : M α −→ M β thỏa mãn các tínhchất sau:

(i) ϕ αα = 1d Mα

(ii) Với ∀α ≤ β ≤ γ, (α, β, γ ∈ I) ta có biểu đồ giao hoán sau:

ϕ αγ C!!C C C

Chương 2 Hàm tử đối đồng điều địa phương

Sau đây ta sẽ chứng minh một số tính chất của môđun xoắn

2.1.2 Mệnh đề Giả sử I, J là hai idêan của vành giao hoán Noether R

Chứng minh (i) Kết quả được suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.1.1.

(ii) Với ∀m ∈ Γ J (M) ⇒ ∃n ∈ N : mJ n = 0 Do I ⊆ J nên mI n = 0 Do đó,

Đặt k := n + t Do I, J là các iđêan của R nên (I + J) k ⊆ I n + J t Điều này

kéo theo m(I + J) k = 0 Do đó, m ∈ Γ I+J (M ) và ta có Γ I (M ) ∩ Γ J (M) ⊆

ΓI+J (M ) Vậy ta có Γ I+J (M) = Γ I (M ) ∩ Γ J (M).

2.1.3 Mệnh đề Cho I là iđêan của vành R M và N là hai R-môđun Khi đó

ΓI (M) nên ∃n ∈ N : mI n = 0 Do đó, h(m)I n = h(mI n ) = h(0) = 0, suy ra

Khi đó, với ∀m ∈ Γ I (M ), tồn tại x1, x2, , x k ∈ R sao cho m = m1x1 +

m2x2 + + m k x k Do m ∈ Γ I (M) nên tồn tại n0 ∈ N sao cho mI n0 = 0

Do đó, m1I n0 + m2I n0 + + m k I n0 = 0.

Từ kết quả trên ta có: với ∀m 0 ∈ Γ I (M ), ∃y1, y2, , y k ∈ R : m 0 =

m1y1 + m2y2 + + m k y k Do đó, m 0 I n0 = 0, suy ra m 0 ∈ (0 : M I n0)

Mặt khác, theo Định nghĩa 2.1.1, ta có (0 : M I n ) ⊆ Γ I (M ) Vậy ta có

điều phải chứng minh

(ii) ¸p dụng Bổ đề Artin - Rees, ta có điều phải chứng minh

2.1.5 Bổ đề Giả sử I là iđêan của vành R và M là một R-môđun Khi đó

Lấy x bất kì thuộc I, ta có mx n = (mx n−1 )x = 0 và mx n−1 ∈ M. (2.1)

Nếu mx n−1 6= 0 thì từ (2.1), ta có x ∈ ZD R (M ) Do đó I ⊆ ZD R (M) Nếu mx n−1 = (mx n−2 )x = 0, lập luận tương tự ta có: I ⊆ ZD R (M), hoặc

Do đó tồn tại i ∈ {1, 2, , r} sao cho I ⊆ p i Vì p i ∈ Ass R (M ) nên tồn tại

vậy v ∈ Γ I (M) \ {0}.

Cho I là một iđêan của vành R Ta kí hiệu V (I) = {p ∈ Spec(R) | I ∈ p} 2.1.6 Mệnh đề Giả sử M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R Khi đó ta có

nên theo Bổ đề 1.5.2, ta có p ∈ Ass R (M ) Do M là môđun hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 2.1.4, tồn tại n ∈ N sao cho I nΓI (M) = 0 Do vậy ta có

Ass R(ΓI (M )) ⊆ Ass R (M) ∩ V (I).

Giả sử p ∈ Ass R (M) ∩ V (I) Khi đó có v ∈ M sao cho (0 : R vR) = p Vì

Ass R (M) ∩ V (I) ⊆ Ass R(ΓI (M )).

Vậy Ass R(ΓI (M)) = Ass R (M ) ∩ V (I).

(ii) Giả sử p là một iđêan liên kết tùy ý của M/Γ I (M ) Vì M/Γ I (M ) là

môđun hữu hạn sinh và thỏa mãn ΓI (M/Γ I (M)) = 0 nên theo Bổ đề 2.1.5, tồn tại x ∈ NZD R (M/Γ I (M ))∩I Vì p ⊆ ZD R (M/Γ I (M)) nên theo Bổ đề 1.5.2, x / ∈ p Bằng cách chọn p, ta tìm được phần tử v ∈ M/Γ I (M) sao

cho (0 :R Rv) = p Giả sử v ∈ M sao cho v = v + Γ I (M) thì từ pv = 0 kéo theo pv ∈ Γ I (M) Do M là môđun hữu hạn sinh nên ∃n ∈ N sao cho

I nΓI (M ) = 0 Do đó, p(x n vR) = x n pv ⊆ I nΓI (M ) = 0 Vậy p ∈ (0 : R vx n R) Đảo lại, giả sử I ⊆ (0 : R Rx n v) Khi đó, (Ix n )v = I(x n v) = 0 ∈ Γ I (M), suy ra Ix n v = 0 Do đó Ix n ∈ (0 : R Rv) = p Lại do x / ∈ p nên I ⊆ p.

Như vậy ta đã chỉ ra rằng (0 :R Rx n v) = p và do đó p ∈ Ass R (M) Lại

của các S −1 R-môđun cho bởi: m s 7→ m s , ∀m ∈ Γ I (M ), s ∈ S.

Ta sẽ chỉ ra rằng đơn cấu ρ thỏa mãn

ρ(S −1ΓI (M)) = Γ IS −1 R (S −1 M)

Thật vậy, giả sử u là phần tử bất kì của ρ(S −1ΓI (M )) Khi đó tồn tại

do, m ∈ Γ I (M ) nên tồn tại n ∈ N sao cho I n m = 0 Do đó, (IS −1 R) n u =

I n S −1 R m s = S −1 R I n s m = 0, suy ra u ∈ Γ IS −1 R (S −1 M ) Vậy

ρ(S −1ΓI (M)) ⊆ Γ IS −1 R (S −1 M )

Mặt khác, với ∀u ∈ Γ IS −1 R (S −1 M) ⇒ ∃m ∈ M, s ∈ S : u = m s Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho (IS −1 R) n m

tức là I n =< x1, x2, , x r > Khi đó, với mỗi i ∈ {1, 2, , r} ta có: x s i m2 =

Giả sử t = t1t2 t r Do S đóng kín đối với phép nhân nên t, st ∈ S và

2.1.8 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành R Một R-môđun M được gọi là I-xoắn nếu M = Γ I (M ), nghĩa là với mỗi m ∈ M, tồn tại n ∈ N sao cho mI n = 0

2.1.9 Mệnh đề Giả sử I là iđêan của vành Noether R và M là một

2.1.11 Bổ đề Nếu I là một iđêan của vành Noether R và M là R-môđun

Chứng minh Giả sử J là một iđêan của R Khi đó J là một R-môđun Giả

sử f : J −→ Γ I (M) là một đồng cấu của các R-môđun Do M là môđun nội xạ nên tồn tại R-đồng cấu h : R −→ M sao cho f = h ◦ i, trong đó

i : J −→ R là đồng cấu bao hàm Đặt k := h(1) Ta có

f (b) = (h ◦ i)(b) = h(i(b)) = h(b) = h(b.1) = bh(1) = bk

Do đó f (b) = bk, ∀b ∈ J ⇒ f (J) ⊆ Rk Vì f (J) là môđun con của Γ I (M) nên f (J) là I-xoắn Do vậy, f (J) ⊆ Γ I (Rk) Vì Rk là R-môđun hữu hạn sinh nên tồn tại m ∈ N sao cho

Vậy với mọi u ∈ I m , ∀b ∈ J ta có e f (u + b) = bk.

Vì M là nội xạ nên tồn tại R-đồng cấu e h : R −→ M của các R-môđun sao

cho ef = e h◦ei, trong đó ei : (I m +J) −→ R là đồng cấu bao hàm Đặt e = e h(1) thì với mỗi x ∈ R ta có e h(x) = e h(x.1) = xe h(1) = xe Do đó e h(x) = xe Với mỗi u ∈ I m , u.e = e h(u) = e h(ei(u)) = (e h ◦ei) e f (u) = e f (u + 0) = 0k = 0.

Do đó, I m = 0 và do đó e ∈ Γ I (M ) Ngoài ra với mỗi b ∈ J, ta cũng có

Như vậy ta đã chỉ ra rằng, với mỗi b ∈ J, tồn tại e ∈ Γ I (M) sao cho

2.1.12 Hệ quả Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là một R-môđun

và I-xoắn Khi đó tồn tại đơn cấu M −→ N của các R-môđun sao cho N

là nội xạ và I-xoắn.

Chứng minh Vì phạm trù các R-môđun là phạm trù đủ vật nội xạ nên tồn tại R-môđun nội xạ J và một đơn cấu i : M −→ J Vì Γ I là hàm tử khớptrái nên ta có đơn cấu

ΓI (i) : Γ I (M ) −→ Γ I (J)

Do M là I-xoắn nên Γ I (M ) = M Đặt N := Γ I (J) ta có đơn cấu

ΓI (i) : M −→ N Theo Bổ đề 2.1.11, N là nội xạ Lại do N = Γ I (J) = Γ I(ΓI (J)) = Γ I (N) nên N là I-xoắn.

2.1.13 Hệ quả Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là một R-môđun

trong đó I0 là nội xạ và I-xoắn Theo Bổ đề 2.1.10, Coker(ε) = I0/Im(ε)

là I-xoắn Theo Hệ quả 2.1.12, tồn tại đơn cấu t0 : Coker(ε) −→ I1 sao cho

I1 là R-môđun nội xạ và I-xoắn Xét quy tắc

thì d0 là R-đồng cấu và Ker(d0) = Im(ε) Do vậy ta có dãy khớp

0 //M ε // I0 d0 //I1

trong đó I0 và I1 là nội xạ và I-xoắn Theo Hệ quả 2.1.12, tồn tại đơn cấu

t1 : Coker(d0) −→ I2, trong đó I2 nội xạ và I-xoắn Xét quy tắc

thì d1 là R-đồng cấu và Ker(d1) = Im(d0) Do vậy ta có dãy khớp

0 //M ε // I0 d0 //I1 d1 //I2trong đó I0, I1, I2 là nội xạ và I-xoắn Tiếp tục quá trình trên ta thu được dãy khớp (3.1) Vậy hệ quả được chứng minh.

2.1.14 Hệ quả Cho I là một iđêan của vành Noether R, M là một môđun và I-xoắn Nếu

là một lời giải nôị xạ của M thì

ΓI (I ·) : 0ΓI (d −1)

//ΓI (I0)ΓI (d0)//ΓI (I1)ΓI (d1)// . //ΓI (I i)ΓI (d i)// cũng là một lời giải nội xạ của M.

2.2.1 Định nghĩa Cho R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị Cho M

là một R-môđun và I là một iđêan của R Nếu h : M −→ N là đồng cấu

đồng cấu R-môđun

ΓI (h) : Γ I (M ) −→ Γ I (N) xác định bởi m 7−→ h(m), ∀m ∈ Γ I (M ) Kí hiệu R-mod là phạm trù các

ΓI (M), với mọi R-môđun M là một hàm tử cộng tính, hiệp biến trên phạm

trù các R-môđun Hàm tử ΓI được gọi là hàm tử I-xoắn.

đó ta suy ra: ∀a ∈ I n , f (am 0 ) = af (m 0 ) = am = 0 Lại do f đơn cấu nên

am 0 = 0 ⇒ m 0 ∈ (0 : L I n), nghĩa là ΓI (f )(m 0 ) = m, suy ra m ∈ Im(Γ I (f )).

Do đó Ker(Γ I (g)) ⊆ Im(Γ I (f ))

Vậy Im(Γ I (f )) = Ker(Γ I (g)) và do đó (2.4) là dãy khớp.

2.2.3 Nhận xét Theo Mệnh đề 2.2.2, Γ I là hàm tử khớp trái Tuy nhiên,

ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng ΓI không khớp phải và do đó ΓI không phải là

hàm tử khớp Xét vành các số nguyên Z và iđêan I = 2Z của vành các số

nguyên Z Ta có dãy khớp ngắn các Z-môđun

0 //Z f //Z g // Z/2Z //0

trong đó f, g là các Z-đồng cấu xác định bởi

f (a) = 2a, ∀a ∈ Z g(a) = a + 2Z, ∀a ∈ Z.

Theo Mệnh đề 2.2.2, ta có dãy khớp

0 //ΓI(Z)ΓI (f )//

ΓI(Z) ΓI (g)//

ΓI (Z/2Z)

Tuy nhiên ΓI (g) không toàn ánh Thật vậy, ta có Γ I(Z) = 0 Do đó nếu

không phải là toàn ánh Suy ra ΓI không khớp phải Điều đó kéo theo ΓIkhông phải là hàm tử khớp

2.3.1 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị, Noether R Ta có hàm tử xoắn Γ I là một hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp

trái trên phạm trù các R-môđun Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử

ΓI được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với iđêan I và được

kí hiệu là H i

I Vậy H i

I (·) = R iΓI (·) (i ∈ N).

2.3.2 Nhận xét Do H i

I là hàm tử dẫn xuất phải nên hàm tử đối đồng

điều địa phương H I i có đầy đủ các tính chất của một hàm tử dẫn xuất phải.Sau đây là một số tính chất của hàm tử đối đồng điều địa phương

2.3.3 Mệnh đề Với mỗi i ∈ N, hàm tử đối đồng điều địa phương H i

I là hàm tử hiệp biến, tuyến tính.

tử đối đồng điều địa phương H i

I cũng hiệp biến, tuyến tính

2.3.4 Mệnh đề H0

I (·) = Γ I (·).

Chứng minh Tính chất này được suy từ Mệnh đề 1.4.5.

2.3.5 Mệnh đề Cho I, J là các iđêan của vành R Khi đó

Mặt khác, với mọi x ∈ √ I ∩ √ I, tồn tại m, n ∈ N sao cho x m ∈ I, x n ∈ J.

Do đó x m+n ∈ IJ Điều này kéo theo x ∈ √ IJ và do đó √ I ∩ √ J ⊆ √ IJ.

Cho I là một iđêan của vành R Khi đó ta có hệ ngược {R/I n } n∈N các

R-môđun với các đồng cấu tự nhiên

Hàm tử lim− → n Ext i R (R/I n , ·) là một hàm tử từ phạm trù R-mod đến phạm trù R-mod Định lí sau đây cho ta thấy rằng hàm tử này tương đương tự nhiên với hàm tử đối đồng điều địa phương H i

I (·).

2.3.6 Định lí Giả sử I là iđêan của vành Noether R Khi đó

H I i (·) − → lim ∼ −−→

n∈N

là họ các hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử Hom R (R/I n , ·) Do hàm tử

Hom R (R/I n , ·) là hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái nên theo Định lí 1.4.3 và Mệnh đề 1.4.4, thì F là δ-hàm tử đối đồng điều và Ext i

0, với mọi R-môđun Q và mọi i 6= 0 Vì giới hạn thuận là hàm tử khớp

nên suy ra ©lim−−→

n∈N Ext i

R (R/I n , ·)ªi∈N cũng là δ-hàm tử đối đồng điều và

lim−−→

n∈N Ext i

đồng điều địa phương H I i (·) là hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử xoắn cộng

tính, hiệp biến, khớp trái ΓI (·) Do đó, ¸p dụng Mệnh đề 1.4.7, ta có các

tương đương tự nhiên

n∈N Ext i