Một số lớp môđun đặc trưng bởi điều kiện cốt yếu

°c bi»t Cesim Celik công r§t quan t¥m ¸n mët lîp mæun m méi mæun con cõa nâ câ duy nh§t bao âng-nhúng mæun nh÷ vªy gåi l UC-mæun... Bao âng cõa mët mæun con N trong M luæn tçn t¤i... K¸t

MÖC LÖC

Trang

Möc löc 1

Líi nâi ¦u 2

Danh möc kþ hi»u 5

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð 6

1.1 Mæun con cèt y¸u 6

1.2 Mæun ·u, mæun nûa ìn 7

1.3 çng c§u mæun 7

1.4 Mët sè bê · 8

Ch÷ìng 2 Mët sè lîp mæun °c tr÷ng bði i·u ki»n cèt y¸u 14

2.1 CS-mæun v  CS-y¸u mæun 14

2.2 CESS- mæun v  UC- mæun 17

2.3 Mæun tho£ m¢n i·u ki»n (P ) 21

K¸t luªn 24

T i li»u tham kh£o 25

LÍI NÂI †U

Vi»c nghi¶n cùu c¡c lîp mæun ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m, bði nâ câ r§t nhi·u ùng döng cho vi»c °c tr÷ng v nh thæng qua t½nh ch§t cõa mët lîp x¡c ành c¡c mæun tr¶n chóng

N«m 1977, Chatters v  Hajarnavis ¢ ÷a ra kh¡i ni»m CS-mæun: Cho R l  v nh câ ìn và, mët mæun ph£i M ÷ñc gåi l  mët CS-mæun n¸u måi mæun con cõa M ·u cèt y¸u trong mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

Khæng ch¿ døng l¤i ð lîp c¡c CS-mæun, trong nhúng thªp ni¶n sau â ¢ câ nhi·u h÷îng nghi¶n cùu v· lîp c¡c mæun mð rëng cõa CS-mæun, c¡c k¸t qu£ v  sè l÷ñng c¡c b i b¡o v· nhúng lîp mæun n y l  r§t lîn, nh÷ng trång iºm ð ¥y chóng tæi xem x²t cæng tr¼nh cõa Cesim Celik, khoa to¡n-¤i håc Abant Izzet Baysal-Thê Nh¾ Ký Trong b i b¡o cõa æng l  nhúng k¸t qu£ quan trång v· mët sè lîp mæun mð rëng cõa CS-mæun â l  CESS-mæun, CS-y¸u mæun v  mæun tho£ m¢n i·u ki»n (P ) °c bi»t Cesim Celik công r§t quan t¥m ¸n mët lîp mæun m  méi mæun con cõa nâ câ duy nh§t bao âng-nhúng mæun nh÷ vªy gåi l  UC-mæun

Tuy nhi¶n v§n · m  Cesim Celik công nh÷ chóng tæi quan t¥m hìn c£ l  c¡c CS-mæun v  nhúng mæun mð rëng cõa nâ chóng li¶n h» vîi nhau nh÷ th¸ n o? i·u ki»n n o º chóng trð th nh c¡c lîp mæun t÷ìng ÷ìng Trong b i b¡o cõa m¼nh Cesim Celik

¢ ÷a ra ÷ñc mët sè k¸t qu£ m  chóng tæi cho r¬ng ¥y l  nhúng k¸t qu£ µp:

1) N¸u M l  mët UC-mæun vîi ¸ cèt y¸u th¼ CS-mæun, CESS-mæun v  CS-y¸u mæun l  t÷ìng ÷ìng

2) N¸u M l  mët UC-mæun th¼ CESS-mæun, CS-y¸u mæun

v  mæun tho£ m¢n i·u ki»n (P ) l  t÷ìng ÷ìng

Trong ph¤m vi mët luªn v«n chóng tæi ch¿ tªp trung nghi¶n cùu s¥u ¸n lîp mæun tho£ m¢n i·u ki»n (P ) v  mèi li¶n h» cõa nâ vîi CESS-mæun, CS-y¸u mæun, UC-mæun v  mæun A-nëi x¤ Trong c¡c k¸t qu£ m  Cesim Celik ÷a ra mët sè k¸t qu£ ¢

÷ñc chùng minh, mët sè k¸t qu£ kh¡c ho°c khæng chùng minh ho°c ch¿ l  nhúng gñi þ chùng minh khæng chi ti¸t

Nhi»m vö cõa chóng tæi l  xem x²t v  chùng minh mët c¡ch ch°t ch³ v  chi ti¸t t§t c£ c¡c v§n · m  Cesim Celik ¢ ÷a ra

â l  mët cæng vi»c khæng thüc sü d¹ d ng Tuy nhi¶n chóng tæi

¢ ho n th nh ph²p chùng minh bði c¡c bê ·, c¡c ành lþ v  h» qu£

Luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Düa v o t i li»u tham kh£o ([1],[2]), chóng tæi ¢ tr¼nh b y mët

sè ki¸n thùc cì sð v· mæun con cèt y¸u, mæun con âng, bao

âng cõa mët mæun, °c bi»t º nghi¶n cùu mèi li¶n h» giúa mæun tho£ m¢n i·u ki»n (P ) v  CESS-mæun, CS-y¸u mæun, UC-mæun, chóng tæi ÷a ra mët lo¤t c¡c bê ·, trong â mët sè

bê · chóng tæi ch¿ n¶u k¸t qu£ m  khæng chùng minh, nhúng bê

· cán l¤i ÷ñc chùng minh chi ti¸t v  ch°t ch³

Ch÷ìng 2.Mët sè lîp mæun °c tr÷ng

bði i·u ki»n cèt y¸u Ch÷ìng n y ÷ñc chia l m ba ph¦n

Ph¦n 1 chóng tæi tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v  v½ dö v·: CS-mæun

v  CS-y¸u mæun

Ph¦n 2 chóng tæi tr¼nh b y v· CESS-mæun v  UC-mæun Ph¦n 3 d nh cho vi»c chùng minh chi ti¸t c¡c v§n · m  Cesim Celik ¢ ÷a ra trong b i b¡o cõa æng ¥y l  trång iºm cõa luªn v«n

Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n tø th¡ng 3 n«m 2007 v  ho n th nh t¤i ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS Ngæ Sÿ Tòng Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c cõa m¼nh ¸n th¦y gi¡o h÷îng d¨n, ng÷íi ¢ °t ra v§n ·, th÷íng xuy¶n gióp

ï º tæi ho n th nh luªn v«n n y.

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o thuëc khoa To¡n, tr÷íng ¤i håc Vinh-nhúng ng÷íi th¦y ¢ trang bà cho tæi mët n·n ki¸n thùc cì sð vúng ch­c

Công nh¥n dàp n y, tæi xin c£m ìn c¡c b¤n håc vi¶n cao håc 13 chuy¶n ng nh ¤i sè, khoa Sau ¤i håc, tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n

M°c dò ¢ r§t cè g­ng, song luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng âng gâp quþ b¡u tø c¡c th¦y, cæ gi¡o v  c¡c b¤n çng nghi»p

Vinh, th¡ng 12 n«m 2007

T¡c gi£

CH×ÌNG 1 CC KI˜N THÙC CÌ SÐ

1.1 Mæun con cèt y¸u

Cho R l  v nh têng qu¡t, câ ìn và v  M l  mët R-mæun ph£i, N l  mæun con cõa M

1.1.1 ành ngh¾a ([1]) Mæun con N ÷ñc gåi l  cèt y¸u trong

M v  kþ hi»u l  N 6e M ho°c N ,→∗ M n¸u vîi måi 0 6= X 6 M th¼ N ∩ X 6= 0

Ta quy ÷îc 0 6e M ⇔ M = 0

Nâi c¡ch kh¡c, N ÷ñc gåi l  cèt y¸u trong M n¸u vîi måi mæun A 6 M m  N ∩ A = 0 th¼ A = 0

1.1.2 ành ngh¾a ([1]) N¸u N 6e M th¼ M ÷ñc gåi l  mð rëng cèt y¸u cõa N

1.1.3 ành ngh¾a ([1]) Mæun con N ÷ñc gåi l  âng trong

M, kþ hi»u l  N 6c M n¸u N khæng câ mð rëng cèt y¸u thüc sü trong M

Nâi c¡ch kh¡c, N ÷ñc gåi l  âng trong M n¸u vîi måi mæun con K cõa M m  N 6e K th¼ N = K

1.1.4 ành ngh¾a Mæun con K cõa M ÷ñc gåi l  bao âng cõa mæun con N trong M n¸u K âng trong M v  N 6e K Nâi c¡ch kh¡c, mæun K ÷ñc gåi l  bao âng cõa N trong M n¸u K l  mæun con tèi ¤i trong M sao cho N 6e K

1.1.5 Nhªn x²t Bao âng cõa mët mæun con N trong M luæn tçn t¤i

1.1.6 M»nh · Gi£ sû M l  R-mæun ph£i v  A 6 M Khi

â, luæn tçn t¤i B 6 M sao cho A ⊕ B 6e M Nâi c¡ch kh¡c, måi mæun con luæn tçn t¤i ph¦n bò cèt y¸u

1.2 Mæun ·u-mæun nûa ìn

1.2.1 ành ngh¾a Mæun U ÷ñc gåi l  ·u n¸u U 6= 0 v 

A ∩ B 6= 0 vîi måi mæun con A, B 6= 0

Nâi c¡ch kh¡c, U l  ·u n¸u U 6= 0 v  måi mæun con kh¡c khæng cõa U ·u cèt y¸u trong U

1.2.2 ành ngh¾a Mæun M ÷ñc gåi l  nûa ìn n¸u méi mæun con cõa M ·u l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

1.2.3 Nhªn x²t Gi£ sû M l  mæun nûa ìn Khi â

A 6e M ⇔ A = M

1.3 çng c§u mæun

1.3.1 ành ngh¾a Cho hai mæun M v  N Mët çng c§u

R-mæun f : M → N l  mët ¡nh x¤ f tho£ m¢n i·u ki»n

f (x + y) = f (x) + f (y) v  f(xr) = f(x)r vîi måi x, y ∈ M, r ∈ R N¸u N = M th¼ f ÷ñc gåi l  mët tü

çng c§u cõa M

1.3.2 M»nh ·.Gi£ sû f : M → N l  çng c§u mæun v 

U, V t÷ìng ùng l  mæun con cõa M v  N Khi â

1) f(U) l  mæun con cõa N

2) f−1(V ) = {x ∈ M : f (x) ∈ V } l  mæun con cõa M °c bi»t Im(f) v  Ker(f) l  nhúng mæun con t÷ìng ùng cõa M

v  N

1.3.3 ành lþ (ành lþ thù nh§t v· ¯ng c§u) N¸u B, C

l  hai mæun con cõa A th¼ (B + C)/C ∼= B/(B ∩ C)

1.3.4 ành lþ N¸u C 6 B 6 A th¼ A/B ∼= (A/C)/(B/C)

1.4 Mët sè bê ·

1.4.1 Bê · C¡c kh¯ng ành sau óng cho mët R-mæun ph£i M

(i) A 6e M khi v  ch¿ khi xR ∩ A 6= 0, vîi måi 0 6= x ∈ M

(ii) N¸u A 6 B 6 M th¼

A 6e M ⇔ A 6e B

B 6e M (iii) N¸u A 6e M v  K 6 M th¼ A ∩ K 6e K

(iv) N¸u Ai 6 M , Bi 6 M v  Ai 6e Bi, vîi i = 1, n th¼

n

\

i=1

Ai 6e

n

\

i=1

Bi

°c bi»t, n¸u Ai 6e M vîi måi i = 1, n th¼ Tn

i=1

Ai 6e M K¸t luªn tr¶n nâi chung khæng cán óng cho giao væ h¤n

(v) N¸u A 6 B 6 M v  B/A 6e M/A th¼ B 6e M i·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng

(vi) N¸u f : M → N l  çng c§u mæun v  B 6e N th¼

f−1(B) 6e M Tuy nhi¶n, £nh cõa mæun cèt y¸u nâi chung khæng l  mæun cèt y¸u Ngh¾a l  n¸u A 6e M th¼ ch÷a h¯n

f (A) 6e f (M )

(vii) N¸u Ai, Mi 6 M, Ai 6e Mi vîi måi i ∈ I sao cho

M = P

i∈I

Mi v  tçn t¤i L

i∈I

Ai th¼ X

I

Mi = M

I

Mi M

I

Ai 6e

M

I

Mi

1.4.2 H» qu£

(i) N¸u A 6c M, A 6 B 6e M th¼ B/A 6 M/A

(ii) Cho f : M → N l  ìn c§u mæun N¸u A 6e M th¼

f (A) 6e f (M )

1.4.3 Bê · Gi£ sû K 6 M Khi â c¡c m»nh · sau l  t÷ìng

֓ng

(i) K 6c M

(ii) K l  cüc ¤i trong {L 6 M : L ∩ N = 0}

(iii) N¸u K 6 L 6e M th¼ K/L 6e M/K

Vîi K v  N ð (ii) ta câ K ⊕ N 6e M

1.4.4 H» qu£

(i) N¸u K 6c H 6c M th¼ K 6c M

(ii) N¸u K 6 L 6c M th¼ L/K 6c M/K

(iii) N¸u K 6 L, K 6c M, L/K 6c M/K th¼ L 6c M

1.4.5 Bê ·

(i) N¸u K 6r M th¼ K 6c M

(ii) N¸u K 6r H 6r M th¼ K 6r M

(iii) N¸u K 6 L 6r M th¼ L/K 6r M/K

(iv) N¸u K 6 L, K 6r M, L/K 6r M/K th¼ L 6r M

(v) N¸u Kλ 6r M, vîi måi λ ∈ Λ th¼ T

λ∈Λ

Kλ 6r M (vi) N¸u N 6 M, K 6r M th¼ K ∩ N 6r M

CH×ÌNG 2 MËT SÈ LÎP MÆUN C TR×NG BÐI I—U KI›N CÈT

Y˜U

2.1 CS-mæun v  CS-y¸u mæun

Cho R l  mët v nh câ ìn và v  M l  mët R-mæun ph£i 2.1.1 ành ngh¾a ([2]) Ta gåi têng cõa t§t c£ c¡c mæun con

ìn cõa M l  ¸ cõa mæun M v  kþ hi»u l  Soc(M)

N¸u M khæng câ mæun con ìn th¼ quy ÷îc Soc(M) = 0 Nhªn x²t Soc(M) = T E, trong â E ch¤y kh­p c¡c mæun con cèt y¸u cõa M

2.1.2 ành ngh¾a ([2]) Mæun M ÷ñc gåi l  CS-mæun (closed

is summard) n¸u vîi méi mæun con A cõa M luæn tçn t¤i mæun con X cõa M sao cho A 6e X v  X l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M Ngh¾a l  måi mæun con cõa M l  cèt y¸u trong mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

V½ dö Måi mæun nûa ìn l  CS-mæun

2.1.3 Bê · Mët mæun M l  CS-mæun n¸u v  ch¿ n¸u måi mæun con âng trong M l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

2.1.4 Bê · H¤ng tû trüc ti¸p cõa CS-mæun l  CS-mæun 2.1.5 Bê · N¸u M l  CS-mæun v  K l  mët mæun con

âng cõa M vîi chi·u uniform húu h¤n th¼ K l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

2.1.6 Bê · N¸u M = M1⊕M2 ð ¥y M1 v  M2 l  CS-mæun th¼ M l  CS-mæun khi v  ch¿ khi måi mæun con âng K cõa

M vîi K ∩ M1 = 0 ho°c K ∩ M2 = 0 l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

2.1.7 ành lþ N¸u M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn l  mët têng trüc ti¸p húu h¤n c¡c mæun nëi x¤ l¨n nhau Mi th¼ M l 

CS-mæun khi v  ch¿ khi Mi l  CS-mæun; ∀i = 1, 2, , n

2.1.8 ành ngh¾a ([2]) Mæun M ÷ñc gåi l  CS-y¸u mæun n¸u måi mæun con nûa ìn cõa M l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M V½ dö Mæun M = Z/Z2 ⊕ Z/Z8 l  CS-y¸u mæun

2.1.9 M»nh · Cho M = M1 ⊕ M2 Trong â, M1, M2 l  CS-y¸u mæun v  M1 l  M2-nëi x¤ Khi â M l  mët CS y¸u-mæun

2.2 CESS-mæun v  UC-mæun

2.2.1 ành ngh¾a ([2])

a) Mæun con A ÷ñc gåi l  ph¦n bò cõa mæun con B trong M n¸u A l  mæun con tèi ¤i câ t½nh ch§t A ∩ B = 0

b) Mæun con A ÷ñc gåi l  ph¦n bò trong M n¸u tçn t¤i mæun con B cõa M sao cho A l  ph¦n bò cõa B trong M

2.2.2 ành ngh¾a ([2]) Mæun M ÷ñc gåi l  CESS-mæun n¸u måi ph¦n bò trong M vîi ¸ cèt y¸u l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

Ngh¾a l  vîi måi ph¦n bò A trong M m  Soc(A) 6e A th¼

A 6d M

V½ dö Mæun M = (Z/Z3) ⊕ Q l  CESS-mæun

2.2.3 ành ngh¾a ([2]) Mæun M ÷ñc gåi l  UC-mæun n¸u méi mæun con cõa nâ câ mët bao âng duy nh§t trong M

V½ dö Måi mæun ·u l  UC-mæun

2.2.4 ành ngh¾a ([2]) Cho A l  mët R-mæun, mët mæun N

÷ñc gåi l  A-nëi x¤ n¸u vîi méi mæun con X cõa A, måi çng c§u ϕ : X → N ·u câ thº mð rëng th nh çng c§u ψ : A → N tho£ m¢n ψ.I = ϕ trong â I l  ph²p nhóng ¯ng c§u tø X v o

A

2.2.5 Bê · Vîi méi mæun M, c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng

֓ng

i) M l  UC-mæun

ii) Vîi b§t ký K 6c M v  N 6 M ta câ K ∩ N 6c N

iii) Khæng tçn t¤i R-mæun X vîi mët mæun con thüc sü cèt y¸u Y sao cho mæun (X/Y ) ⊕ X nhóng trong M

2.2.6 Bê · Cho M l  mët UC-mæun N¸u M l  mët CS-y¸u mæun th¼ måi h¤ng tû trüc ti¸p cõa M công l  CS-CS-y¸u

2.2.7 Bê · Cho M = M1 ⊕ M2 l  UC-mæun sao cho

Soc(M1) 6e M1

v 

Soc(M2) = 0 Khi â Hom(K, M1) = 0, trong â

K 6 Mj vîi {i, j} = {1, 2}

2.2.8 H» qu£ Cho M = M1⊕ M2 l  mët UC-mæun sao cho Soc(M1) 6c M1 v  Soc(M2) = 0 Khi â M l  CS-y¸u mæun n¸u v  ch¿ n¸u M1, M2 l  CS-y¸u

2.2.9 H» qu£ Cho M = M1 ⊕ M2 l  mët UC-mæun sao cho Soc(M1) 6e M1 v  Soc(M2) = 0 Khi â M l  CS-mæun n¸u

v  ch¿ n¸u M1 v  M2 l  CS-mæun

2.2.10 Bê · Cho M = Ln

i=1

Mi l  têng trüc ti¸p cõa húu h¤n c¡c mæun con ·u Mi cõa M

Gi£ sû r¬ng vîi ph¦n bò b§t ký K cõa M, tçn t¤i mët ch¿

sè i sao cho: K ∩ Mi 6= 0 N¸u M l  UC-mæun th¼ M l  CS-mæun

2.2.11 Bê · Cho M l  mët mæun sao cho M/Soc(M) l 

ìn th¼ M l  CESS-mæun khi v  ch¿ khi M l  CS-mæun 2.2.12 Bê · ([2]) Måi CS-mæun l  CESS-mæun

Chó þ i·u ng÷ñc l¤i cõa bê · tr¶n nâi chung khæng óng V½ dö Mæun M = (Z/Z3) ⊕ Q l  CESS-mæun nh÷ng khæng

l  CS-mæun

2.2.13 Bê · ([2]) Måi CESS-mæun l  CS-y¸u mæun

Chó þ i·u ng÷ñc l¤i cõa bê · tr¶n nâi chung khæng óng V½ dö Mæun M = (Z/Z2) ⊕ (Z/Z8) l  CS-y¸u mæun nh÷ng khæng ph£i l  CESS-mæun

2.2.14 H» qu£ Cho M l  mët UC-mæun vîi ¸ (Socle) cèt y¸u Khi â c¡c ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng:

i) M l  CS y¸u-mæun

ii) M l  CESS-mæun

iii) M l  CS-mæun.

2.3 Mæun tho£ m¢n i·u ki»n (P )

2.3.1 ành ngh¾a ([2]) Mæun M ÷ñc gåi l  thäa m¢n i·u ki»n (P ) n¸u måi mæun con N cõa M ·u tçn t¤i mët h¤ng tû trüc ti¸p K cõa M sao cho Soc(K) 6 N 6 K

V½ dö Z-mæun Z l  mæun tho£ m¢n i·u ki»n (P )

2.3.2 Nhªn x²t ([2]) CESS-mæun khæng ph£i bao gií công l  mæun tho£ m¢n i·u ki»n (P )

2.3.3 Bê · Cho M l  mët mæun chi·u ·u 2 sao cho Soc(M)

l  mët h¤ng tû trüc ti¸p kh¡c 0 cõa M v  M khæng ph£i l  CS-mæun Khi â:

i) M khæng tho£ m¢n i·u ki»n (P )

ii) M l  CESS-mæun

2.3.4 ành lþ Cho M l  UC-mæun Khi â c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:

i) M tho£ m¢n i·u ki»n (P )

ii) M l  mët CESS-mæun

iii) M l  mët CS y¸u-mæun

2.3.5 H» qu£ Cho R l  mët v nh giao ho¡n Khi â R l  Dedekin khi v  ch¿ khi måi UC-mæun tr¶n R tho£ m¢n i·u ki»n (P )

K˜T LUŠN

Luªn v«n ¢ · cªp v  gi£i quy¸t ÷ñc nhúng v§n · ch½nh sau

¥y

Tr¶n cì sð b i b¡o cõa Cesim Celik, chóng tæi ¢:

1 Xem x²t v  chùng minh mët sè t½nh ch§t cõa CS- mæun v  mët sè lîp mæun mð rëng cõa nâ nh÷: CESS - mæun, CS - y¸u mæun v  mæun tho£ m¢n i·u ki»n (P )

2 Düa v o c¡c t½nh ch§t cõa UC - mæun, luªn v«n ¢ ch¿ ra

i·u ki»n º c¡c lîp mæun nâ tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi nhau

T€I LI›U THAM KHƒO

[1] Anderson.F.W and Fuller.K.R (1974), Rings and Categories

of Moduler, Springer Verlag, New York

[2] Celik, C, Harmanc, A.and Smith, P.F, Ageneralization of CS-modules, Comm.in Alg, 23 (1995), 5445-5460

[3] Dung.N.V, Huynh.D.V, Smith P.F, and Wisbauer, R Extend-ing Modules, Pitman Reseach Notes in Math Longman, 1994 [4] Harmanci, A.and Smith, P.F, Finite direct sums of CS-modules Houalon.J.Math, 19, (1993), 523-532

[5] Huynh.D.V, Dung.N.V and Wishauer, R, A Characterriza-tion of Module with finite uniform dimenCharacterriza-tion, Arch, Math, 57 (1991) 122-132

[6] Kamal, M.A and Mller, B.J.Extending modules over commu.ative domains, osaka J.Math, 25 (1988) 531-538

[7] Mohamed, S.H, and Mller, B.J.Continuous and discrete mod-ules, London.Math Soe, Lecture Notes series 147 Cambridge, 1990

[8] Smith, P.F.Modules for wich ever submodule has a unique closure, in Ring Theory (Editors, S.K.Jain) S.TRizvi, World Sci-entific, Singapore (1993) 303-313