Nghiên cứu khí điện tử trong kim loại

m n t đã biết điện tử trong kim loại tuân theo nguyên lý Pauli, phổ năng lợng của nó trong tinh thể là gián đoạn, mặc dù khoảng cách giữa các mức rất nhỏ, hàm phân bố của điện tử ở điều

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khoá luận này, ngoài những nỗ lực của bản thân, tôi nhận đợc sự giúp đỡ chân thành của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý

và đặc biệt là sự nhiệt tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Viết Lan

Qua đây tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo hớng dẫn Th.s Nguyễn Viết Lan, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý, những ngời thân và bạn bè đã giúp đỡ tôi hoàn thành bài khoá luận này

Tuy nhiên, do thời gian có hạn và lần đầu tiên tiếp xúc với công việc nghiên cứu nên bản khoá luận này không tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong đ-

ợc sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn độc giả để khoá luận đạt chất lợng tốt và hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Mục lục

1.1 Thuyết điện tử electron cổ điển ( kim loại ) 4

1.3 Nhiệt dung của khí điện tử trong kim loại 7

2.1 Đóng góp của điện tử vào nhiệt dung của vật rắn 18 2.2 Nhiễu xạ của điện tử trong tinh thể lý tởng 20 2.3 Nhiễu xạ của điện tử trong tinh thể dao động mạng 22

2.5 Tơng tác điện tử - điện tử và che chắn tĩnh 26 2.6 Tơng tác điện tử – phonon và polariton 30 2.7 Kích thích tập thể của khí điện tử 36

CHƯƠNG III : Một số hiện tợng vật lý của khí điện tử

trong kim loại

trình về siêu dẫn nhiệt độ cao làm cho ngành vật lý chất rắn càng thêm nỗi bật.

Vật lý chất rắn là một khoa học hết sức rộng lớn gồm nhiều bộ môn nh: Vật lý bán dẫn, vật lý kim loại và hợp kim, vật lý các chất điện môi, vật lý về các chất sắt điện và sắt từ, Mỗi bộ môn đều có những lý thuyết hấp dẫn và…những ứng dụng hết sức phong phú

Hơn nữa dựa trên mẫu electron tự do ngời ta có thể giải thích nhiều tính chất quan trọng của các kim loại đặc biệt là những kim loại hoá trị một Tuy nhiên, ngay đối với những kim loại phù hợp khá tốt với mẫu electron tự do ( nh Na, Cu, Ag ), cũng không nên bỏ qua ảnh hởng của thế hút tĩnh điện khá mạnh của lõi ion đến sự phân bố điện tích electron

Từ những lý do trên mà chúng tôi chọn đề tài cho tiểu luận này là:

“Nghiên cứu khí điện tử trong kim loại"

Mục đích của luận văn này là trinh bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của vật rắn, đặc biệt là đi sâu vào tìm hiểu khí điện tử trong kim loại

Nội dung của khoá luận này ngoài phần mở đầu, kết luận còn đợc trình bày ở trong 3 chơng

Chơng I : Một số khái niệm mở đầu

Chơng II : Khí điện tử trong kim loại

Chơng III: Một số hiện tợng vật lý của khí điện tử trong kim loại

tử có thể nhận đợc năng lợng của điện trờng chuyển lên mức năng lợng cao hơn, nghĩa là chúng tham gia dẫn điện

Trớc hết ta xét quá trình dẫn điện trong kim loại theo thuyết điện tử kim loại ( cổ điển)

Thuyết điện tử kim loại xem điện tử trong kim loại nh một hệ khí lý ởng gồm các hạt không tơng tác với nhau chuyển động hỗn loạn với vận tốc nhiệt vth thờng xuyên va chạm với các nguyên tử, ion nút mang

Trong điện trờng, điện tử nhận gia tốc a = (−eε/ m*) ; với m* là khối ợng hiệu dụng đợc xem là đẳng hớng và nhận đợc một vận tốc trung bình theo phơng điện trờng vd = a.tth , trong khoảng thời gian chuyển động tự do trung bình Sau mỗi lần va chạm điện tử lại truyền hết năng lợng d thừa lấy đợc từ

l-điện trờng cho mạng tinh thể

tử chứa trong hình trụ nằm giữa hai tiết diện A và B trên hình vẽ (Hình1.1)

A B

S

Hình 1.1: Sơ đồ giải thích mật độ dòng điện

Trong đó S là đáy và độ dài bằng v’d số điện tử đó là : n.vd.S Những

điện tử ở ngoài hình trụ này hoặc đã đi qua điểm B trớc khi xét ( nếu ở bên phải B ) hoặc là không kịp đến điểm B trong vòng 1s ( nếu ở bên trái A)

Từ đây ta tính đợc mật độ dòng điện J, tức là điện lợng đi qua đơn vị tiết diện trong một đơn vị thời gian

J = en n v d = en n àn ε = 2 .*.

m

n t

đã biết điện tử trong kim loại tuân theo nguyên lý Pauli, phổ năng lợng của nó trong tinh thể là gián đoạn, mặc dù khoảng cách giữa các mức rất nhỏ, hàm phân bố của điện tử ở điều kiện cân bằng là hàm Fecmi-Dirắc ở nhiệt độ thấp

điện tử sẽ chiếm dần các mức năng lợng từ thấp đến cao tuân theo nguyên lý Pauli, mức năng lợng điền đầy trên cùng khi T = OK chính là mức năng lợng Fecmi

Từ sự phân bố sắp xếp điện tử nh vậy các điện tử có năng lợng thấp hầu

nh không tham gia dẫn điện nh kiểu một điện tử tự do Chính vì vậy trong lý thuyết chính xác hơn, tuy công thức tính độ dẫn vẫn nh vậy, nhng ý nghĩa đại lợng t có sự khác nhau.

Phơng pháp giải phơng trình động Boltzman cho thấy t trong công thức

độ dẫn (1.1.3) có ý nghĩa thời gian hồi phục lấy trung bình trên các hạt có năng lợng bằng năng lợng Fecmi H, T(F) Điều này chứng tỏ các điện tử có

năng lợng gần năng lợng Fecmi F mới tham gia trực tiếp quá trình dẫn điện vì

có khả năng nhận năng lợng từ điện trờng và chuyển lên mức năng lợng cao hơn

Thuyết electron cổ điển (kim loại) cũng có thể dùng để giải thích quá trình dẫn điện trong bán dẫn nếu ta giả thiết điện tử của chất bán dẫn trong vùng dẫn cũng là một thứ khí lý tởng và lỗ trống trong vùng hoá trị cũng là một khí lý tởng

1.2 Liên kết kim loại:

Sự tạo thành trạng thái kim loại không thể giải thích dựa trên quan điểm liên kết ion hay cộng hoá trị Vấn đề là ở chỗ liên kết ion xuất hiện chỉ giữa các nguyên tử có sự khác nhau rõ rệt trong quá trình điện tử, chẳng hạn giữa các nguyên tử kim loại và halogen Loại liên kết này không thể xuất hiện giữa các nguyên tử kim loại giống nhau có cấu hình điện tử nh nhau

Mặt khác, các nguyên tử kim loại không có đủ lợng các điện tử hoá trị

để tạo thành liên kết hoá trị với các nguyên tử lân cận gần nhất Chẳng hạn, nguyên tử đồng có một nguyên tử hoá trị, có thể tạo thành liên kết hoá trị với một nguyên tử Trong khi đó trong mạng của đồng, mỗi nguyên tử đợc bao quanh bởi 12 nguyên tử lân cận gần nhất phải thuộc liên kết Điều đó dẫn đến

ý nghĩa, phải có liên kết đặc biệt trong kim loại và gọi là liên kết kim loại

Dới đây sẽ khảo sát bản chất của loại liên kết này

Các nguyên tử hoá trị trong các nguyên tử kim loại liên kết yếu với hạt nhân Khi hình thành trạng thái lỏng và rắn, các nguyên tử xích lại gần nhau, các điện tử hoá trị có thể bứt ra khỏi nguyên tử của mình và chuyển động tự

do bên trong mạng, kết quả là bên trong hệ tinh thể kim loại xuất hiện sự phân

bố rất đồng đều của các điện tích âm Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng mật độ

điện tử ở khoảng giữa các nút mạng là không thay đổi, chỉ ở ngay nút mạng, mật độ điện tử tăng do ở đây có sự đóng góp của lớp vỏ bên trong nguyên tử

Trong kim loại, liên kết xuất hiện là do tơng tác giữa các ion dơng và khí điện tử Lực hút giữa các điện tử nằm giữa các ion với các ion này cân bằng với lực đẩy giữa các ion dơng với nhau khi giảm khoảng cách giữa các

ion, mật độ khí điện tử tăng, lực hút tăng lên Mặt khác, lúc này lực đẩy giữa các ion cũng tăng đẩy chúng ra xa nhau đến khoảng cách nào đó lực hút cân bằng với lực đẩy, mạng ở trạng thái ổn định.

Liên kết kim loại về cơ bản giống liên kết cộng hoá trị ở chỗ có các

điện tử hoá trị góp chung nhng trong trờng hợp liên kết cộng hoá trị, các điện

tử góp chung là do đóng góp từ các cặp nguyên tử lân cận gần nhau nhất và chỉ của từng cặp điện tử, nó luôn luôn nằm ở vị trí giữa các nguyên tử Trong trờng hợp của tinh thể cho đóng góp và các điện tử góp chung, mặt khác điện

tử góp chung không định xứ ở nguyên tử của mình mà dịch chuyển tự do trong khắp mạng

1.3 Nhiệt dung của khí điện tử trong kim loại:

Trong kim loại, ngoài ion tạo thành mạng tinh thể dao động quanh vị trí cân bằng cho đóng góp vào nhiệt dung của vật rắn còn có các điện tử tự do với nồng độ cũng nh nồng độ của nguyên tử

Ta có thể chứng minh nhiệt dung của khí điện tử tự do lỡng tử tuân theo

định luật:

el

V

C ~ TThật vậy, theo nguyên lý Pauli thì ngay tại T = OK các điện tử cũng không phải nằm trên cùng một mức năng lợng thấp nhất mà nó lấp đầy một loạt các mức năng lợng Từ mức năng lợng thấp cho đến mức năng lợng cao nhất gọi là mức năng lợng Fecmi

Khi T ≠ OK thì không phải tất cả điện tử đều có thể thay đổi năng lợng của mình bằng cách nhảy lên mức năng lợng cao hơn Vì các mức này nói chung đã bị lấp đầy chỉ có các điện tử nằm ở gần các mức năng lợng Fecmi mới có khả năng này

Giả sử chỉ có các điện tử nằm trên các mức năng lợng kT quanh mức năng lợng Fecmi mới có khả năng thay đổi năng lợng của mình

Khi đó số điện tử này đợc tính bằng kT.g(ε)

0 F

Mỗi điện tử khi chuyển mức năng lợng thì nhận thêm một mức năng

l-ợng là kT Do đó độ biến thiên năng ll-ợng đợc tính theo biểu thức:

∆ ξ = kT g(ε) kT = k2.T2 g(ε)

Nhiệt dung đo ở quá trình đẳng tích đợc tính:

el V

C = 2k2 T g(εF)

el V

Công thức (2.3.1) cho thấy nhiệt dung của khí điện tử tự do nó tỉ

lệ với nhiệt độ tuyệt đối el

V

C ~ T

* Cách tính đầy đủ và chính xác hơn :

Muốn tính nhiệt dung của khí điện tử tự do lỡng tử một cách đầy đủ và

chính xác hơn thì ta cần phải qua các bớc sau đây:

• Bớc1: Tính mật độ trạng thái của khí điện tử và ký hiệu g(ε).

• Bớc2: Tính nhiệt dung của khí điện tử lỡng tử

h

Mỗi một điện tử có một giá trị năng lợng (ứng với 1 giá trị véc tơ sóng

K xác định)

Nếu có N giá trị điện tử thì hệ đó phải có các vectơ sóng K nằm trong

mặt cầu Fecmi, có bán kính KF và bán kính KF đợc xác định theo biểu thức:

2

F

K = 2 m2εF

hTrong đó: εF là năng lợng Fecmi

Mỗi một giá trị của véctơ K thì nó chiếm một thể tích ( )2 3

V

π

Trong đó: V là của toàn bộ tinh thể

Lúc này số điện tử của hệ N sẽ bằng:

N = 2 ( )

3 3

4 .32

Khi đó ta chỉ việc thay trong biểu thức (1.3.3) εF =ε và N’ =N Ta có thể tìm

đợc mật độ trạng thái của điện tử (tức là số trạng thái có trên một đơn vị năng lợng)

N’ =

3/ 2 3/ 2

Mặt khác ta có thể biểu diễn mật độ trạng thái dới dạng đơn giản hơn, bằng cách ta lấy ln hoá 2 vế biểu thức N’ ta đợc:

2

3N' (1.3.7)Nếu điện tử nằm trên bề mặt Fecmi thì (1.3.7) trở thành:

ε f g d - ∫F g( )d

ε

ε ε

0

. (1.3.9)Mặt khác, ta có thể biểu diễn tổng số điện tử của hệ dới dạng:

N = ∞∫ ( ) ( )

0

ε ε

ε g d

f = ∫F g( )d

ε

ε ε

nếu ε ε> F

Nhân cả 2 vế của (1.3.10) với εF và viết nó dới dạng

N εF = ε ε ( ) ( ) ( )ε ε ε

ε

d f g

F

F

F

.

ε

ε ε ε

0

. (1.3.11)Vậy sử dụng biểu thức (1.3.11) ta có thể viết lại (1.3.9) bằng cách cộng vào và trừ đi một lợng N εF :

∆ ξ = ∫∞( − ) ( ) ( ) + ∫ ( − ) [ − ( ) ] ( )

F

F

d g f d

ε ε ε ε ε ε

0

1

.

.

Trong biểu thức (1.3.12) thì số hạng đầu tiên ở vế phải là năng lợng cần thiết để đa các điện tử có năng lợng εF lên các mức năng lợng ε > εF Còn số hạng thứ hai là năng lợng cần thiết để đa các điện tử có năng lợng ε < εF lên mức năng lợng εF Từ công thức (1.3.12) ta có thể tính đợc nhiệt dung của khí

điện tử tự do lợng tử bằng cách ta lấy tích phân của biểu thức ∆ ξ theo T Khi lấy tích phân ta cần chú ý trong biểu thức này chỉ có f(ε) phụ thuộc vào T, có nghĩa là ta phải tính nhiệt dung của điện tử theo biểu thức:

(1.3.13)

≈ ( ) (∞∫ − ) ( )

0

ε ε ε ε

dT

df g

ε

dT

df dT

d

v

kT NK C

kT NK C

Biểu thức (1.3.16) chứng tỏ miền nhiệt độ thấp thì nhiệt dung của khí

điện tử nó tỉ lệ với nhiệt độ Kết quả này so với thực nghiệm thì có thể chấp nhận đợc

Ta có thể thấy là do khí điện tử trong miền kim loại suy biến, số điện tử

đợc kích thích nhiệt ở vùng nhiệt độ cao là rất ít, chỉ khoảng 1% số điện tử, còn lại không hấp thụ nhiệt Vì thế nhiệt dung của khí điện tử rất nhỏ, trên thực tế nhiệt dung của kim loại bằng nhiệt dung của mạng

Hình vẽ 1.3.1

Trên (hình 1.3.1) mô tả sự phụ thuộc nhiệt dung mạng Cm và Ce vào nhiệt độ của hợp kim gồm 20%v + 50%Cr, có nhiệt độ Debai θ = 500k Tức

là, ở gần 0K (H.1.3.1a ) Ce vợt hẳn Cm (Cm < Ce) cho đến T ≈8,5 K.

Khi T > 8,5K bất đẳng thức đổi dấu (Cm < Ce) và sự khác biệt này càng

rõ hơn với sự tăng của T, cho đến T = 25K của hợp kim chủ yếu do đóng góp của nhiệt dung mạng Cm (Tại T = 25K, Cm= 10Ce nh hình 1.3.1.b)

1.4 Sự lấp đầy vùng năng lợng kim loại:

Mỗi vùng năng lợng có một số giới hạn các mức Trên mỗi mức có thể không quá hai điện tử với Spin ngợc nhau Với một số nhất định các điện tử trong vật rắn, chỉ một số vùng năng lợng thấp nhất bị lấp đầy Tùy theo mức

độ lấp đầy của vùng năng lợng mà có thể phân chia tất cả các vật rắn thành hai nhóm: Nhóm thứ nhất bao gồm những vật mà vùng năng lợng đã bị lấp đầy hoàn toàn Nhóm thứ hai gồm các vật có vùng năng lợng chỉ bị lấp đầy một phần (nh hình vẽ 1.4.1) Vùng kiểu này xuất hiện trong các kim loại kiềm

Vùng bị lấp đầy một phần cũng có thể đợc tạo ra do sự phủ của vùng lấp đầy lên vùng bỏ trống hoặc vùng bị lấp đầy một phần, chẳng hạn nh với các nguyên tố của kim loại kiềm thổ (Hình 1.4.1b)

Kim loại chính là những vật rắn có vùng năng lợng bị lấp đầy một phần

Hình 1.4.1

Theo lý thuyết vùng năng lợng, điện tử ở vùng năng lợng cao, trên thực

tế có thể chuyển động tự do trong khắp vật rắn, không phụ thuộc vào vật đó là kim loại Sự chuyển động này thực chất đợc thực hiện bằng sự chuyển ngầm từ nguyên tử này sang nguyên tử khác Mặc dù vậy, tính chất điện của các vật thể mà đặc biệt là điện trở suất của chúng lại rất khác nhau

Chẳng hạn, ở kim loại độ dẫn điện δ ≈ 107 Ω −1m-1, ở chất cách điện

δ < 10-11 Ω −1m−1

Nh thế sự có mặt của các điện tử tự do chỉ là điều kiện cần để xuất hiện

sự dẫn điện của vật rắn, chứ cha phải là điều kiện đủ Để tìm hiểu điều kiện đủ hãy khảo sát tác dụng của trờng ngoài lên điện tử nằm trong vùng năng lợng

bị lấp đầy một phần và hoàn toàn

Chẳng hạn, khi đặt điện trờng ξ vào tinh thể, ngoại lực F = - e.ξ tác dụng lên mỗi điện tử chuyển động ngợc hớng của trờng ngoài và thu đợc gia tốc theo hớng lực tác dụng

Về phơng diện năng lợng, điều này tơng đơng với điện tử chuyển về trạng thái lợng tử mới có năng lợng lớn hơn hay nhỏ hơn Sự chuyển vùng chỉ có thể đ-

ợc thực hiện trong trờng hợp vùng năng lợng mà điện tử đã cho trong đó còn trạng thái cha bị chiếm tức là bị lấp đầy cha hoàn toàn Lúc này, một điện trờng yếu cũng có khả năng truyền cho điện tử xung lợng đủ lớn để nó chuyển lên mức năng lợng còn bỏ trống gần nhất Trong vật này xuất hiện sự chuyển động ngợc hớng của điện tử với trờng ngoài, làm xuất hiện dòng điện Đó chính là những vật dẫn điện tốt

Nh vậy, điều kiện đủ để vật có độ dẫn điện cao là sự có mặt trong phổ năng lợng của vùng năng lợng chỉ bị chiếm một phần (ví dụ ở kim loại điển hình nh trong hình 1.4.1).

1.5 Sự dẫn nhiệt của vật rắn trong kim loại:

Kim loại khác với điện môi, tham gia vào sự truyền nhiệt không chỉ có phonon, mà còn có cả điện tử tự do Vì thế độ dẫn nhiệt của kim loại K bao gồm dẫn nhiệt mạng Km và dẫn nhiệt gây ra bởi điện tử Ke

ε

π

2

2

Ta có: Ke = T

v m

k N

F

.

3

2 2

π

(1.5.2)

+ ở vùng nhiệt độ cao : Trong tất cả các đại lợng ở vế phải của (1.5.2), chỉ có λe phụ thuộc vào nhiệt độ.

Với kim loại sạch, ở nhiệt độ không quá thấp λe đợc xác định bởi tán xạ

của điện tử lên phonon và nó tỉ lệ với số phonon

λe ~

p

n

1

Ngoài ra ở vùng nhiệt độ cao np ~ T ⇒ λe ~ T và Ke = const.

Tức là ở vùng nhiệt độ cao, độ dẫn nhiệt của kim loại nguyên chất không phụ thuộc vào nhiệt độ Ví dụ: với Cu, thì T > 80ữ100K thì độ dẫn nhiệt của nó không phụ thuộc vào nhiệt độ

+ ở vùng nhiệt độ thấp : np ~ T3 Do đó: λe~ 13 K m 12

Trong vùng nhiệt độ thấp, nơi định luật Debai đợc thực hiện, độ dẫn nhiệt của kim loại tỉ lệ nghịch với bình phơng của nhiệt độ tuyệt đối

+ ở vùng nhiệt độ rất thấp:

ở gần độ 0K, nồng độ phonon trong kim loại rất nhỏ Các điện tử tán xạ

chủ yếu lên các tạp chất Lúc này λe ~ 1

t

N ; (Nt: nồng độ tạp chất) chứ không

phụ thuộc vào nhiệt độ → Ke ~ T

Với kim loại sạch, thay các giá trị Ce ≈ 102w/m.độ

Trên hình 1.5.1 mô tả sự phụ thuộc của K e vào T từ lý thuyết và thực nghiệm

Hãy đánh giá đóng góp vào sự dẫn nhiệt của phonon và điện tử

Hình 1.5.1: Mô tả sự phụ thuộc của K e vào T

Điều này có nghĩa là trong kim loại sạch, đóng góp vào sự dẫn nhiệt

đ-ợc xác định do sự dẫn nhiệt của khí điện tử, phần đóng góp của mạng chỉ vài phần trăm: K ≈Ke.

1.6 Sự dẫn điện của vật rắn:

Sự dẫn điện trong kim loại sạch gây ra bởi sự trôi của một loại hạt mang

điện tự do Tuy nhiên trong một số kim loại nh Be, Zn, hạt mang điện tự do…lại là lỗ trống Độ dẫn điện trong kim loại gây bởi điện tử đợc biểu diễn qua công thức : δ = q.n.U

Vì kim loại là vật dẫn suy biến , nồng độ n của điện tử không phụ thuộc vào nhiệt độ Vì thế sự phụ thuộc của δ vào nhiệt độ hoàn toàn do U xác định

Từ đó độ điện dẫn δ và điện trở suất ρ với kim loại sạch:

Hình 2.6 Mô tả sự phụ thuộc của ρ vào T

Trên hình ( 2.6 ) mô tả sự phụ thuộc ρ(T) ở nhiệt độ cao, đồ thị ρ(T)

có dạng đờng thẳng, ở vùng nhiệt độ thấp là parabol bậc 5, ở gần T = 00K chỉ

có cơ chế tán xạ lên nguyên tử tạp chất là chủ yếu

Kết luận:

Chơng này đã tìm hiểu đợc một số khái niệm và tính chất về thuyết electron cổ điển (kim loại), liên kết kim loại, nhiệt dung của khí điện tử trong kim loại và sự lấp đầy vùng năng lợng kim loại cũng nh sự dẫn nhiệt và dẫn

điện của vật rắn

Chơng ii

Khí điện tử trong kim loại 2.1 Đóng góp của điện tử vào nhiệt dung của vật rắn:

Các điện tử trong kim loại luôn dóng góp vào nhiệt dung của hệ Biết

đ-ợc năng lợng ε của hệ ta sẽ tính đợc phần nhiệt dung do đóng góp của các

điện tử

Muốn tính đại lợng này ta sử dụng biểu thức:

6 )

( )

( ).

( )

0 0

ε ε ε

ε ε ε

N F

Nghĩa là kết quả lợng tử (2.1.4) nhỏ hơn kết quả cổ điển (2.1.5) rất nhiều.

Ví dụ: đối với điện tử tự do N( ) 23

Trong các kim loại với nhiệt độ thông thờng hệ số (2.1.6) cỡ 1% Từ

đây ta có thể nói vì sao nhiệt dung của kim loại hầu nh là do đóng góp của dao

động mạng đã đợc xét trong bài định luật Dulông Petit đợc thỏa mãn ở nhiệt

độ cao

Từ (2.1.4) ta cũng thấy Cel tỉ lệ tuyến tính với T ở nhiệt độ thấp thành phần tuyến tính này thờng đợc viết dới dạng:

Cel = γ T (2.1.7)Trong khi các đóng góp của dao động mạng ở nhiệt độ thấp tiến tới không nh T3, nghĩa là nhanh hơn (2.1.7) rất nhiều Đo đợc γ ngời ta có thể nhận dợc thông tin về mặt trạng thái N( )εF trên mức Fecmi Ta có thể hiểu quy luật nh sau:

Xét phân bố Fecmi nh hình 2.1.1

Hình 2.1.1.

Dới tác dụng của nhiệt độ một số điện tử ở mức cao bị kích thích và nhảy lên trên mức εF, thế nhng hiệu ứng này chỉ xảy ra trong vùng năng lợng bậc kT quanh εF, có nghĩa số điện tử nhận thêm một năng lợng cỡ kT

Nh vậy, toàn vật thể nhận thêm năng lợng:

δ ε ~ k2T2 N( )εF (2.1.8)Vậy Cel =

T

∂

∂ε ~2k2T N( )εF (2.1.9)

Với một hệ số nào đó (2.1.9) tơng đơng với (2.1.4) thực chất các xem xét của ta dẫn đến nhận xét Các điện tử sắp xếp ở độ sâu của phân bố Fecmi không chịu ảnh hởng của nhiệt độ Trạng thái của chúng đợc xác định bởi nguyên lý Pauli mà đòi hỏi các điện tử lấp đầy tất cả các mức và không cho phép chúng chồng chất lên nhau trong cùng một mức Vì vậy, mà các điện tử phân bố ở các lớp sâu của tâm lõi không tham gia đóng góp vào nhiệt dung vật rắn khi mà nhiệt độ cha đủ lớn để chúng bị kích thích nhiệt.

2.2 Nhiễu xạ điện tử trong tinh thể lý tởng:

Trong tinh thể tồn tại các ô mạng tại các vị trí R và thế năng thỏa mãn

điều kiện tuần hoàn:

U(rr+Rr) = U(rr) (2.2.1)Giả sử chùm các điện tử nhanh bắn vào tinh thể khi bị nhiễu xạ bởi thế trên sẽ có những chuyển dịch từ 1 trạng thái này sang trạng thái khác Trong gần đúng Born của lý thuyết nhiễu loạn sự chuyển dịch giữa trạng thái đầu ψk

và trạng thái cuối ψk' đợc đặc trng bởi bình phơng của các yếu tố ma trận:

U(r) = ∑

g

r g i

g e

U .r (2.2.3)Khi đó (2.2.3) có dạng:

Mk’k = ∫ ∑g i g r i k r

g r k

U r r r' r

= (2.2.4)

Ug, nếu k r ' = k r + g r

0 , nếu kr' ≠kr+gr

Nh vậy, khi k đợc cố định, thì chỉ có thể thấy các tia nhiễu xạ có k'thỏa mãn điều kiện:

k' = k +g (2.2.5)Trong đó, g là véctơ mạng đảo của tinh thể Ta cần đòi hỏi sự bảo toàn năng lợng, nghĩa là năng lợng của tia nhiễu xạ phải bằng năng lợng của tia đến

Để nghiên cứu sự nhiễu xạ của điện tử trên tinh thể lý tởng ta xây dựng hình cầu Ewald nh (hình 2.2.1) với bán kính OP = k

Hình 2.2.1

Coi 2θ là góc giữa k và k’ ta nhận đợc:

g =2 k sin θ (2.2.6)Các véctơ kr, kr', gr (trên hình 2.2.1) thoả mãn điều kiện nhiễu xạ (2.2.4)

Hình 2.2.2 Mô tả bức tranh nhiễu xạ Bragg

Trên hình (2.2.2) mô tả bức tranh nhiễu xạ Bragg Nh trớc đây đã kết luận rằng độ dài của véctơ mạng đảo tỉ lệ nghịch với khoảng cách d giữa các mạng, nghĩa là:

Trong đó bớc sóng λ = 2 π /k Ta cũng nhận đợc biểu thức (2.2.8) từ

điều kiện tán xạ phù hợp

AB + BC = n.λ (2.2.9)Theo hình (2.2.2) ta có:

AB + BC = dsinθ + dsinθ (2.2.10)

Điều này chứng tỏ từ (2.2.9) và (2.2.10) ta rút ra (2.2.8)

Thay đổi góc tới θ và quan sát các giá trị ứng với các cực đại của cờng

độ sóng phản xạ ta suy ra khoảng cách d giữa hai mặt phẳng mạng gần nhau nhất Một tinh thể có nhiều hệ mặt phẳng song song, mỗi hệ đều có các cực

đại của cờng độ sóng phản xạ Phân tích các kết quả nghiên cứu phản xạ Bragg có thể xác định các hệ mặt phẳng này và khoảng cách giữa hai mặt gần nhất trong mỗi hệ

Xét sự tán xạ trên tất cả các nút mạng Bravais Sự giao thoa của các sóng tán xạ trên tất cả các nút sẽ cho chùm tán xạ cờng dộ cực đại nếu kr và

Đây chính là phơng trình nhiễu xạ Vonlaune

Lý thuyết hình học trên đã bỏ qua một số hiện tợng phức tạp nh sự tơng tác của điện tử với dao động nhiệt của mạng tinh thể mà sẽ đợc xét trong phần tiếp theo Tuy nhiên lý thuyết trong phần này tạo cơ sở cho việc phân tích cấu trúc tinh thể dựa vào nhiễu xạ của tia Rơnghen

2.3 Nhiễu xạ điện tử trong tinh thể với dao động mạng:

Ta xét trờng hợp tơng đối tổng quát khi thế năng không nhất thiết là tuần hoàn:

Giả sử nó là tổ hợp của các thế nguyên tử

r k

er r rn r r r rn r r r

' '

(2.3.2)

Nhận xét : Mỗi tích phân trong tổng lấy đợc trong toàn không gian hoặc

ít nhất trong toàn vật rắn Tuy nhiên thế nguyên tử Va rất giới hạn,cho nên kết quả lấy tích phân có thể phu thuộc nhiều vào tâm Rn của thế năng:

Ta đa vào véctơ tán xạ: K =k'−k (2.3.3) Khi đó (2.3.2) có dạng:

Mk’k = ∑ ( ) − ∫ − ( − ) ( − )

R r k i R k k

e r r rn r rn r r r

.

'

(2.3.4)

Hay: Mk’k = Va(Kr) ∑

n

R K

i n e N

r r

r

r r

.

e

N ∑ − r r =δ r (2.3.7)Nghĩa là nó chỉ khác 0 khi Kr bằng 1 véctơ mạng đảo, cho nên ta có thể viết:

Kr=K1br1+K2br2 +K3br3 (2.3.8)Khi đó (2.3.4) có dạng:

Mk’k = V a( )g δkr' −kr,gr (2.3.9)

Điều này chứng tỏ (2.3.5) là phù hợp Giả sử trong tinh thể các dao

động mạng đợc kích thích và các nguyên tử bị dịch khỏi vi trí lý tởng Rn một giá trị Un, nghĩa là:

n

R K

r

.

exp 1

K

e N

r r

r

* exp

q i q

r r

(2.3.12)Thay (2.3.12) vào (2.3.11) ta đợc từ tổng tất cả các thành phần tính theo

iqR q n

N e

U iK e

1

Trên (H.2.3.1a) véctơ tán xạ k nằm trong BZ nên tổng (2.3.13) chỉ còn

thành phần ứng với Kuur- qr= gr , nghĩa là:

qr= kr'-kr- gr (2.3.16)Quá trình đợc mô tả trên (H.2.3.1b) thoả mãn (2.3.16) đợc gọi là quá trình Unklapp hay quá trình U

Trong cả 2 trờng hợp tồn tại (2.3.14) trong đó giá trị thích hợp của véctơ q đợc xác định hoặc theo (2.3.15) hoặc (2.3.16)

Nếu tập hợp các véctơ của ô mạng đảo bao hàm cả g = 0 thì (2.3.16) luôn đúng Tán xạ có thể xảy ra theo hớng bất kỳ nhng biên độ của nó phụ thuộc vào biên độ của các dao động mạng mà véctơ sóng của chúng thoả mãn các điều kiện đợc đa ra ở trên

Ta xét hàm sóng khi điện tử ở gần mặt tinh thể

Trớc hết ta cần xét sự phân bố các nguyên tử, các ion và mật độ điện tử tại lớp bề mặt

Hình 2.4.1 Mô tả thế năng của tinh thể khi có bề mặt

Trên hình (2.4.1) mô tả thế năng của tinh thể khi có bề mặt Tại đây thế năng đã tăng một lợng bằng công thoát ra φ để điện tử từ mức Fecmi εF thoát

ra ngoài vật thể Việc xác định rõ dạng của bức tờng thế năng mà điện tử phải vợt qua là rất khó

Ta có thể giải quyết bài toán bằng cách nối hàm sóng giảm theo hàm e

mũ, ví dụ: e βx với tổ hợp tuyến tính các hàm Bloch ở trong tinh thể mà nó

gần nh suy biến

Xét bài toán nh sau:

Tuần hoàn theo hớng Z vào sâu trong tinh thể, tức bài toán hệ một chiều

và ta tìm đợc nghiệm chính xác ψ0( )x ứng với mức năng lợng ε 0 (nh hình 2.4.1).Do tinh thể vẫn bảo toàn sự tuần hoàn đối với các hớng song song với mặt xy

Nh vậy, trạng thái định xứ của bài toán hệ 1 chiều ứng với chuỗi các trạng thái mặt dạng Tamm nh sau :

là số lợng tử tốt nữa, có nghĩa là nó không còn là đại lợng bảo toàn Khi đó chỉ

có thành phần song song với bề mặt đợc bảo toàn

tử tán xạ có thể xảy ra không phụ thuộc vào năng lợng hay hớng của chùm hạt tới.

2.5 Tơng tác điện tử - điện tử và che chắn tĩnh:

Ta xét khí điện tử tự do dới tác dụng của một nhiễu loạn không dừng

Nh vậy điện tử ở thời điểm t chịu tác dụng của thế:

t t i r q i t

δ (r ) = r . (2.5.1)

Nghĩa là ta đặt lên hệ một nhiễu loạn với tần số ω và với vectơ sóng q,

Nó tăng dần theo thời gian với hằng số α Khi thế trên tác dụng lên trạng thái:

( )r t k b k q( )t k q

k

r r r

r

+ +



 r r r

r r r

i q

k k

e e U i

q k k

k U q

− + +

−

=

− + +

−

(2.5.3)

Sự thay đổi trên của hàm sóng sẽ dẫn đến sự thay đổi mật độ điện tích

Ta giả thiết là các điện tử chuyển động trong một nền đồng nhất tạo bởi các ion dơng và sự biến đổi mật độ điện tích này bằng:

+ +

− +

−

r q k i q k r k i r q k i q k r k i

e t

r

r

r r r r r r

 r r r r

r r

1

.

1 ,

ψ δρ

b

r r

(2.5.4)

Trong đó: Ta đã bỏ qua các thành phần với 2

b còn lấy tổng theo tất cả các trạng thái có điện tử Thực tế ta phải bổ sung vào (2.5.1) phần liên hợp phức của nó bằng:

+

− + +

−

=

k

t i r q

i e e e

i q

k k

U i

q k k

U

α ω ε

ε α ω ε

ε



 r r r



 r r

phức (2.5.6)

Để tổng quát hoá kết quả trên ta đa vào hàm fo k là xác suất để trạng thái

p trong kim loại không nhiễu loạn đợc lấp đầy, ví dụ là hàm phân bố Fecmi (2.5.1) Đồng thời trong số hạng thứ 2 của (2.5.6 ) ta đổi chỉ số k→k+q thì (2.5.6) đợc chuyển sang dạng:

o

e e e i q

k k

q k f k f U

α ω ε



 r r r

r r r

i q

k R

q k f k f U

e q

α ω ε

ε π

φ



 r r r

r r r

4

U i q

k k

q k f k f g

e

.

4

2

2

α ω ε

ε

π φ



 r r r

r r r

(2.5.11)

Đó là thế năng đợc tạo nên do sự thay đổi phân bố điện tích do tác động của δU Nhng chính thế năng mới này cũng cần đợc xem nh một nhiễu loạn

mà nó ảnh hởng đến sự phân bố các điện tử Để cho tính toán đợc tự hợp thì nhiễu loạn ban đầu phải chứa δφ nghĩa là:

δU( )rr,t = δγ( )rr,t + δφ( )rr,t (2.5.12)Trong đó: δγ : là thế ngoài tác dụng lên hệ

k k

q k f k f q

e

k

o o

.

4

2 2

r r r

( ) ( ) ( ) ( )

i q

k k

q k f k f q

e q

α ω ε

ε

π ω

ε



 r r r

r r r

4 1 ) ,

2

(2.5.16)

Đợc gọi là hằng số điện môi và đây chính là công thức Lindhard

Hằng số điện môi tạo cơ sở cho việc xem xét hàng loạt các hiện tợng vật lý thú vị mà ở đây ta xét trờng hợp là che chắn tĩnh

Ta xét ảnh hởng của một nhiễu tĩnh điện, tức ω = 0

Trớc hết ta nghiên cứu dạng của ε( )q,ro trong lân cận điểm q = 0, khi đó (2.5.16) đợc viết:

ε( ) ( )kr+qr − ε kr ≈qr ∇ ε( )kr (2.5.17)Ngoài ra, ta biết rằng fo(k) chỉ phụ thuộc ε( )k nên có thể viết:

( ) ( ) ( )

0

k

f q q k f k

k q

k q

q

e o

q

o k

r r

r r

r

ε ε

ε π

.

.

4 1

2

= 1 4 .2 2 . ( ) 1 22

q d

N

f q