Một số yếu tố hình học đại số trong hình học xạ ảnh luận văn thạc sĩ toán học

Cụ thể, chúng tôi trình bày các định nghĩa và các tính chất cơ bản của vành giao hoán, tập đại số, iđêan, cấu xạ trong tôpô Zariski... Một vành V có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có

MỤC LỤC

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Phần 1 Vành giáo hoán ….……… … ………… 4

Phần 2 Tập đại số 7

Phần 3 Iđêan .15

Phần 4 Cấu xạ trong tôpô Zariski … 26

Chương 2 Một số yếu tố hình học đại số trong hình học xạ ảnh Phần 1 Hình học xạ ảnh trong ngôn ngữ hình học đại số …….……… 34

Phần 2 Tập đại số trong không gian xạ ảnh 40

Phần 3 Một số ví dụ về tập đại số và iđêan trong toán học phổ thông …… 43

Phần 4 Phân loại xạ ảnh, đại số, khả vi và tôpô một số hình trong không gian xạ ảnh ……… ……… 48

Kết luận ……… 51

Tài liệu tham khảo ……… 52

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học đại số là môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm được điều này người ta đã dùng các phương trình để mô tả các hình học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức Hình học đại số hiện đang đóng một vai trò trung tâm trong toán học hiện đại và có những mối liên hệ với rất nhiều chuyên ngành khác, như Giải tích phức, Số học, Tôpô

Có thể thấy hầu hết các hình hình học trong hình học phổ thông, Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh và nhiều hình thường xét trong các ngành toán học khác… đều là các tập đại số

Việc nghiên cứu các yếu tố hình học đại số trong các hình học khác, như Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh, là rất cần thiết để ta hiểu sâu sắc hơn

về các hình học này Vì thế với mong muốn hiểu biết tốt hơn về hình học đại số, ứng dụng của nó trong các hình học khác và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS

Nguyễn Huỳnh Phán nên tôi chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI

SỐ TRONG HÌNH HỌC XẠ ẢNH”

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan đến nội dung của chương sau Cụ thể, chúng tôi trình bày các định nghĩa và các tính chất cơ bản của vành giao hoán, tập đại số, iđêan, cấu xạ trong tôpô Zariski

Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn !

Vinh, tháng 09 năm 2012

Tác giả luận văn

1.1 Định nghĩa Tập hợp V được gọi là vành nếu trên nó có hai phép toán hai

ngôi kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu “+” và “.” Và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thõa mãn:

1 V cùng với phép cộng là một nhóm Aben;

2 V cùng với phép nhân là một nữa nhóm;

3 Phép nhân phân phối với phép cộng: Với các phần tử tùy ý x, y, z  V ta có

x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx

Phần tử trung lập của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) của một phần tử x thì kí hiệu là -x và gọi là đối của

x Nếu phép nhân giao hoán thì V gọi là vành giao hoán Nếu phép nhân có phần

tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần tử đơn vị của V thường kí hiệu là 1, khi đó

ta gọi V là vành có đơn vị

Phần tử x của vành V giao hoán, có đơn vị là 1, gọi là khả nghịch nếu tồn tại

y  V sao cho xy = 1 Khi đó x còn gọi là ước của đơn vị Tập tất cả các ước của đơn

vị trong V lập nên một nhóm

Nếu a = bc trong V thì ta nói b là ước của a; hay b chia hết a; hay a chia hết cho b; hay a là bội của b

1.2 Ước của không; Miền nguyên

1.2.1 Ước của không Phần tử a  V, a ≠ 0 gọi là ước của 0 nếu có b  V,

b ≠ 0 thõa mãn quan hệ ab = 0

1.2.2 Miền nguyên Một vành V có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị,

không có ước của 0 được gọi là một miền nguyên

Phần tử không khả nghịch f của miền nguyên V gọi là bất khả quy nếu có phân

tích f  gh thì hoặc g hay h là phần tử khả nghịch

1.3 Vành con Giả sử V là một vành, A là một bộ phận của V thõa mãn

x + y  A và xy  A với mọi x, y  A Khi đó A được gọi là một vành con của

vành V; nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành

1.4 Iđêan Vành con A của vành V được gọi là iđêan nếu thõa mãn điều kiện

xa  A và ax  A với mọi x  V, a  A

1.5 Vành thương. Cho V là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan của vành V Qua I, ta có quan hệ tương đương trên V cho bởi:

x, y  V Khi đó: x ~ y  x - y  I

Do đó, ta có tập thương V I :{x + I | x  V} là vành và gọi là vành thương

với hai phép toán:

1/ xI  yI x yI, x y V,  ;

2/ xIyIxyI, x y V, 

1.6 Đồng cấu

1.6.1 Định nghĩa

1/ Một đồng cấu vành là ánh xạ từ vành X đến vành Y, f : X → Y sao cho

f(a + b) = f(a) + f(b) và f(ab) = f(a)f(b) với mọi a, b  X

2/ Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X

3/ Nếu đồng cấu vành f là một đơn ánh thì f được gọi là một đơn cấu vành, một

(i) Có một đồng cấu duy nhất: f : X/Kerf  Y sao cho tam giác sau:

là giao hoán, nghĩa là f = f p

(ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Im f = f(X)

3/ Với mọi đồng cấu f : X  Y từ vành X đến vành Y, ta có f(X)  X/Kerf

1.6 Trường Miền nguyên K trong đó mọi phần tử khác không đều có phần tử

nghịch đảo trong vị nhóm nhân được gọi là trường

Vậy một vành K giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử là một trường nếu và chỉ nếu K\{0} là một nhóm đối với phép nhân của K

1.7 Định nghĩa Trường K gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức thực sự (nghĩa là

có bậc dương) đều có nghiệm trong K

X Y f

p X/Kef

f

Phần 2 TẬP ĐẠI SỐ

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại các định nghĩa, các tính chất về vành đa thức, tập đại số, tôpô Zariski và chứng minh chi tiết một số tính chất mà trong các tài liệu tham khảo đã không chứng minh hoặc bỏ qua

2.1 VÀNH ĐA THỨC

2.1.1 Định nghĩa Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và n là một số nguyên

không âm Vành đa thức A[ x1, x2, , xn] của n biến x1, x2, , xn trên A được định nghĩa theo quy nạp như sau:

A[ x1, x2, , xn] : A[ x1, x2, , xn-1][xn] Tức là A[ x1, x2, , xn] là vành đa thức của biến xn trên vành A[ x1, x2, , xn-1]

1 ,r 2 , r n≠ 0 được gọi là các hệ tử của đa thức và các

biểu thức x1r1 x2r2 xnrn kèm theo gọi là các đơn thức của f

2.1.2 Bậc của đa thức

Với f  A[X], đặt degf : max{r1 + r2 + + rn | r

1 ,r 2 , r n≠ 0} nếu f ≠ 0 và đặt

degf  - nếu f  0 Khi đó degf được gọi là bậc của f

Nếu degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng

f = a1x1 + a2x2 + … + anxn + an+1,

8trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không

Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là, coi

Chứng minh Mọi đơn thức của fg đều có dạng uv với u là đơn thức của f và v là

đơn thức của g Gọi umax, vmax lần lượt là các đơn thức bậc lớn nhất của f, g theo

thứ tự nêu trên Với mọi u ≠ umax và v ≠ vmax ta có uv < umaxvmax, do đó

uv ≠ umaxvmax Gọi c, d  A là các hệ tử tương ứng của umax, vmax Vì c, d ≠ 0 nên cd ≠ 0 Khi đó cdumaxvmax là hạng tử của fg

Do đó: deguv degumaxvmax = degumax + degvmax = degf + degg

Vậy degfg = degf + degg

2.1.6 Mệnh đề Nếu A là miền nguyên thì A[X] là miền nguyên và các phần tử

khả nghịch của A[X] là các phần tử khả nghịch của A

Chứng minh Giả sử f, g là các đa thức khác 0 trong A[X] Khi đó degf, degg 0 nên degfg  0 và do đó fg ≠ 0 Vì vậy A[X] là miền nguyên

9Tiếp theo, nếu fg = 1 thì degfg = degf +degg = 0, suy ra degf = degg = 0; do đó f,

g là những phần tử khác 0 của A Vì vậy f, g là những phần tử khả nghịch của A

2.1.7 Nhận xét Nếu K là một trường thì

1/ Với mọi f, g  K[X] ta luôn có

deg(fg) = degf + degg

2/ K[X] là miền nguyên vì fg ≠ 0 nếu f, g ≠ 0

3/ K là tập các phần tử khả nghịch của K[X] vì fg ≠ 1 nếu f  K hoặc g  K

2.1.8 Nghiệm của một đa thức

Cho A là vành giáo hoán có đơn vị và

Khi đó điểm a được gọi là nghiệm của

f nếu f(a) = 0 và ta cũng nói f triệt tiêu tại a

Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f : Kn  K; a  f(a), gọi là ánh

xạ đa thức

2.1.9 Bổ đề Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử Nếu f(a) = 0 với

 a  K n thì f = 0

Chứng minh

+) Nếu n = 1 thì f là đa thức một biến nên nếu f là đa thức bậc d ≥ 1 thì f chỉ có

hữu hạn nghiệm điều này mẫu thuẫn với f(a) = 0, a  Kn

+) Nếu n > 1, giả sử f chứa biến xn khi đó ta viết f dưới dạng

f = f0 + f1xn + f2xn + + fdxnd; trong đó f0, f1, , fd  K[ x1, x2, , xn-1] và

fd ≠ 0 Suy ra tồn tại bộ số (a1, a2, , an-1) sao cho f(a1, a2, , an-1) ≠ 0

Do đó f0(a1, a2, , an-1) + f1(a1, a2, , an-1) xn + + fd(a1, a2, , an-1)xnd là đa thức một biến của xn có bậc d nên có hữu hạn nghiệm, mà đa thức này triệt tiêu với mọi a thuộc K với K vô hạn phần tử (vô lí) Vậy f = 0 Từ đó suy ra điều phải chứng minh

2.1.10 Nhận xét Bổ đề không còn đúng nếu K là một trường hữu hạn Chẳng

hạn K = {1,2, ,n } thì đa thức f = (x-1)(x-2) (x-n) là một đa thức khác

0 nhưng triệt tiêu trên toàn bộ K

2.1.11 Hệ quả Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử Cho f và g là hai đa

thức trong K[X] Nếu f(a) = g(a) với mọi a  K n thì f = g

Trong luận văn này, từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn

2.2 TẬP ĐẠI SỐ

2.2.1 Định nghĩa Cho K là trường, tập con V Kn gọi là tập đại số nếu nó là

nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X]

2.2.2 Ví dụ

1/ Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm

2/ Mọi điểm a = (a1, a2, , an) đều là tập đại số vì a là nghiệm duy nhất của hệ phương trình:

1 1

2 2

0 0

2.2.3.1 Định nghĩa Cho f  K[X] Ký hiệu Z(f) = {a  Kn : f(a) = 0}, tức là Z(f)

là tập nghiệm của đa thức f Khi đó:

1/ Z(f) =  nếu f là đa thức hằng khác 0 (degf = 0)

2/ Z(f) = Kn nếu f = 0 (degf  )

3/ Z(f) được gọi là siêu mặt của không gian Kn nếu degf > 0

Đăc biệt degf = 1 thì Z(f) gọi là một siêu phẳng

2.2.3.2 Ví dụ Trong K[x, y], cho f = x2 – y, thì Z(f) = { (a, a2) ; a  K } Nó là một parabol

Z(S) = 

fS Z(f) thế thì Z(f) là một tập đại số và vì vậy mọi tập đại số đều là giao

của các tập dạng Z(f), khi này ta cũng nói Z(S) là tập đại số của tập các đa thức S

2/ Giả sử S1 và S2 là hai tập đa thức trong K[X] Nếu S1  S2 thì Z(S1)  Z(S2)

3/ Tập nghiệm của họ các đa thức bậc nhất (n ẩn) được gọi đa tạp tuyến tính

2.2.3 Bổ đề Cho S 1 và S 2 là hai tập các đa thức trong K[X]

Đặt S = {fg │f  S 1 , g  S 2 } Ta có: Z(S 1 )  Z(S 2 ) = Z(S)

Chứng minh

+) Z(S1)  Z(S2)  Z(S)

Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý a  Z(S1)  Z(S2) thì a  Z(S1) hoặc a  Z(S2)

- Nếu a  Z(S1) thì f(a) = 0 với f  S1, suy ra (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với

g  S2 suy ra f(a) = 0 hoặc g(a) = 0, do K là trường vì thế a  Z(S1) hoặc

a  Z(S2) nên a  Z(S1)  Z(S2)

Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

2.2.4 Bổ đề Cho {S i } i  I là một họ các tập đa thức trong K[X] Khi đó:

141/  là tập đại số

2/ Kn là tập đại số

3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số

4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số

5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số

6/ Tương ứng Z: K[X]  Kn, cho bởi S  Z(S) là một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin Kn

7/ Nếu S 1  S 2 thì Z(S 1 )  Z(S 2 ) ;

8/ Z(0) = K n ;

9/ Z(f) =  với 0  f  K

Từ nhận xét trên ta có kết quả sau

2.2.8 Định lí Họ tất cả các tập đại số trong không gian afin K n lập nên một tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng)

2.3 Tô pô Zariski

2.3.1 Định nghĩa Họ TZ = {U | U = Kn \V, V là tập đại số} lập thành một tôpô trên không gian afin Kn và gọi là tôpô Zariski

2.3.2 Mệnh đề.(về một số tính chất đơn giản của tôpô Zariski)

3/ Khi K =   , (trường số thực, trường số phức), các tập đại số trong  n, n với

tôpô thông thường trên  n, n là các tập đóng vì Z(S) = 

fS f-1(0) trong đó f-1 là ngược ảnh của {0} của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là tập đóng trong K

4/ Hai tập mở (với tôpô Zariski trong K n ) không rỗng của K n luôn giao nhau;

Thật vậy, Với mọi f, g ≠ 0 thì ta luôn có Z(f)  Z(g) = Z(fg) ≠ Kn Do đó

D(f)  D(g) = (Kn \ Z(f))  (Kn \ Z(g)) = Kn \ (Z(f)  Z(g)) ≠ 

5/ Mọi tập mở Zariski không rỗng đều là tập trù mật (đối với tôpo Zariski);

6/ Không gian afin K n với tôpô Zariski không phải là không gian Hausdorff

Kết luận 5/ và 6/ suy từ 4/ vì nếu Z(S) là tập mở khác rỗng thì mọi tập mở khác rỗng khác đều giao với nó, cho nên mọi lân cận của mọi điểm trong Kn đều giao khác rỗng với Z(S), nghĩa là Z(S) là tập trù mật trong Kn

Phần 3 IĐÊAN

Trong phần này, chúng tôi trình bày tính chất (có chứng minh chi tiết), các

phép toán về iđêan và các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng

và được gọi là iđêan của tích I x J;

4/ IJ  I  J và nói chung hai iđêan này khác nhau;

5/ M(I + J) = MI + MJ vói mọi iđêan I, J, M

3/ Phần tử đơn vị 1  I khi và chỉ khi I = V;

4/ I ≠ V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;

5/ Cho S  V Kí hiệu: S  {a f1 1a f2 2 a f n n|a iV f, iS i,  1, 2, , }n

Lúc đó S là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người ta gọi là iđêan sinh bởi S Đặc biệt khi S có hữu hạn phần tử thì S  f f1, 2, ,f n , nếu S có một phần tử thì

S  f  fh h V được gọi là iđêan chính

3.3 Ví dụ Cho I = (x, y2) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai ẩn K[x, y], ta có

1/ I + J = x y, vì I = {xf + y2g | f, g  K[x, y], J = {yh | h  K[x, y]} nên

Chứng minh

Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I S là iđêan sinh bởi S

Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập đại

số của iđêan I Thật vậy:

Ta có: S  I nên Z(S)  Z(I) (1)

Ta chứng minh Z(S)  Z(I): Lấy phần tử bất kỳ a  Z(S) thì f(a) = 0, f  S Suy ra g(a) = 0 với g  I vì g h f1 1h f2 2 h f n n;h iK X[ ], f iS,  i 1, 2, ,n và

fi(a) = 0 với mọi i = 1, 2, , n Do đó a  S(I) (2)

Vậy từ (1) và (2) suy ra Z(S) = Z(I) (đpcm)

3.5 Bổ đề Cho I và J là hai iđêan tùy trong K[X] Khi đó:

1/ Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ);

2/ Z(I)  Z(J) = Z(I + J)

Chứng minh

1/ Đặt S = {fg| f  I, g  J}

Ta có S  IJ  I  J  I, J  Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I), Z(J)

 Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I)  Z(J)

Mặt khác Z(S) = Z(I)  Z(J)

Vậy Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ)

2/ Do I, J  I + J nên Z(I), Z(J)  Z(I + J) Suy ra Z(I)  Z(J)  Z(I + J)

Mà Z(I)  Z(J) = Z(I  J), IJ  IJ  Z(I + J) = Z(I  J)

Vậy Z(I + J) = Z(I)  Z(J)

3.6 Định lí Cho V là tập con của K n Khi đó tập

I V: {f  K[X] | f(a) = 0 với mọi a  V} là iđêan của K[X] và là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V; I V gọi là iđêan của tập điểm V trong K[X]; V  Z(I V ) Khi

V = {a} thì ta viết I V = I a

Chứng minh Để chứng minh IV là iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau:

i) Với mọi f, g  IV thì f + g  IV:

Thật vậy: Do f, g  IV nên f(a) = 0 và g(a) = 0 với a  V, suy ra

(f + g)(a) = f(a) + g(a) = 0 với a  V Do đó f + g  IV (đpcm)

ii) Với mọi f  IV và h  K[X] thì fh  IV:

Vì f  IV nên f(a) = 0 với a  V Do đó (fh)(a) = f(a)h(a) = 0 với a  V

Vậy fh  IV

Kết luận: IV là iđêan trong K[X]

Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập IV cảm sinh hai ánh xạ Z và I được cho trong sơ đồ sau

194/ Nếu V  K2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x2 thì IV = (x2 – y) ;

5/ Nếu V là d- phẳng trong Kn mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng

3/ Để cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, …., 0) Mọi đa thức

f  K[X] đều viết được dưới dạng

f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + b

với b K Nhưng f(0, 0,…,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có dạng

f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn,

nghĩa là khi và chỉ khi f  (x1, x2 ,…., xn ) Vậy I0 = (x1, x2 ,…., xn )

4/ Ta chỉ cần chứng minh IV  (x2 – y) Coi mọi đa thức f  K[x, y] là đa thức của ẩn y với hệ số trong K[x] Tương tự như thuật toán Euclide ta có thể viết

3.8 Bổ đề Cho I là iđêan, thế thì I cũng là iđêan và I  I = I Nếu I = I

thì I gọi là iđêan căn

Chứng minh Lấy f, g  I , nghĩa là fr , gs I Khi đó

là fh  I Cuối cùng ta thấy fg  I

3.9 Bổ đề Cho V  K n , khi đó I V là iđêan căn

Chứng minh Ta cần chứng minh IV = IV

Thật vậy: Ta có IV  IV , bây giờ ta sẽ chứng minh IV  IV

Lấy phần tử bấy kỳ f  IV thì fm  IV với m > 0 nào đó Suy ra:

fm(a) = 0 với a  V, m > 0  f(a) = 0 với a  V

 f  IV  IV  IV Vậy IV là iđêan căn (đpcm)

3.10 Mệnh đề Giải sử I, J là các iđêan trong K[X] Khi đó:

Ta cần chứng minh IJ  IJ  I  J, bằng cách lấy phần tử tuỳ ý

f  I  J  f  I , f  J Khi đó tồn tại m, n   * sao cho fm  I, fn  J

Do đó fmn  IJ, nên f  IJ Suy ra IJ  I  J

1/ IW  IV: Lấy phần tử bất kỳ f  IW thì f(a) = 0 với a  W

 f(a) = 0 với a  V vì V  W  f  IV  IW  IV (đpcm)

2/ Để chứng minh IV  IW = IVW ta sẽ chứng minh IV  IW  IVW và

IV  IW  IVW

+) IV  IW  IVW Lấy tùy ý f  IV  IW suy ra





fIV fIW 





f(a)=0,aV f(b)=0,bIW

Vậy IV + IW  IVW (đpcm)

3.12 Định nghĩa Giao của một họ các tập đại số chứa V là tập đại số nhỏ nhất

chứa V và được gọi là bao đóng của V Kí hiệu là: V

3.13 Bổ đề Cho V là một tập tùy ý trong K n Khi đó:

1/ V Z I( V)

2/ I V I V

Chứng minh

1) Để chứng minh V Z I( V)ta sẽ chứng minh V Z I( V) và V Z I( V):

2) Chứng minh I V I V

Do V V nên I V I V Vì thế để chứng minh I V I V ta cần chứng minh I V I V

Thật vậy: Lấy phần tử bất kỳ f  IV Khi đó f(a) = 0 với a  V và V Z I( V) nên

f(a) = 0 với a  V Suy ra fI V tức là I V I V

24Tương tự ta cũng có: V W Z I( VW)

Bây giờ ta sẽ chứng minh: Z I( VW) Z I( VW) hay I VW I VW

Do V W V W nên I VW I VW Ta cần chứng minh I VW I VW

Thật vậy: Lấy phần tử bất kỳ fI VW thì f(a, b) = 0 với a  V, b  W

 f(a, Y) = 0 trên W  f(a, Y)  IW

 f(a, b’) với b’Z I( W)  W

Tương tự ta được f(X, b’)  IV  f(a’, b’) = 0 với a’Z I( V) V

Vậy f(a’, b’) = 0 với a’V , b’W suy ra f  I VW, tức là I VW I VW

Kết luận: V W V W

3.16 Nhận xét

1/ Nếu V là tập đại số thì V = V và ta có V = Z(IV)

Nghĩa là tập đại số V được xác định hoàn toàn bởi idean IV Vì vậy, IV còn gọi là

iđêan định nghĩa của tập đại số V

Z, I là các song ánh ngược nhau Do đó có thể chuyển việc nghiên cứu các tập đại

số sang nghiên cứu các iđêan dạng IV Hơn nữa, họ tất cả các iđêan IV dạng

{I ; V Kn

V  là tập đại số}

lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với tôpô Zariski trong Kn Do đó cần nghiên

cứu kỹ các iđêan dạng IV

1/ iđêan 0 là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên ;

2/ iđêan 0 của vành đa thức K[X] trên trường K là nguyên tố ;

3/ Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh

I  I Nhưng điều này là hiển nhiên vì I nguyên tố Dưới đây ta có một tiêu chuẩn để iđêan căn là nguyên tố

3.17.3 Bổ đề iđêan căn I  A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là giao của 2 iđêan lớn hơn thực sự

Chứng minh Giả sử I nguyên tố và I = J1 J2 thì J1J2  I Do đó J1 và J2 không thể chứa những phần tử không thuộc I, cho nên J1  I Và J2  I Đảo lại, nếu I không nguyên tố, thì tồn tại f, g  I mà fg  I Đặt J1 = I f và , 

J2 = I g , thì rõ ràng I ,   J1 J2 Lấy h  J1 J2 thì tồ tại m sao cho

hm  (I, f)(I, g) Từ đây suy ra h2m  (I, f)(I, g) = I2 + (f)I + (g) I + (fg)  I,

do đó h  I Vì vậy I = J1 J2 với j1 và J2 thực sự chứa I

3.18 Định nghĩa (tập bất khả quy) Tập đại số gọi là bất khả quy nếu nó không phân

tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự

3.19 Mệnh đề Cho f là đa thức bất khả quy trong K[X] Nếu I Z(f) = (f) thì Z(f) là tập bất khả quy

Chứng minh Vì f bất khả quy nên (f) là ifean nguyên tố Do vậy Z(IZ(f)) = Z((f))

là tập bất khả quy.(đpcm)

Phần 4 CẤU XẠ TRONG TÔPÔ ZARISKI

Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niện cơ bản và các tính chất về

vành toạ độ, cấu xạ trong tôpô Zariski

4.1 Vành toạ độ

4.1.1 Định nghĩa Cho V  Kn, hàm F : V  K gọi là hàm đa thức nếu tồn tại

đa thức f sao cho F = f , nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a |V  V.

4.1.2 Chú ý Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa độ, vì khi

đổi tọa, tính “đa thức” của F vẫn được bảo tồn

4.1.3 Ví dụ Vành tọa độ của mọi d - phẳng đẳng cấu với vành đa thức d - biến

4.1.4 Định nghĩa Ký hiệu K[V] là tập hợp tất cả các hàm đa thức trên V Do

tổng và tích các hàm đa thức lại là hàm đa thức nên K[V] là một vành giao hoán,

có đơn vị là hàm F = 1 Ta gọi K[V] là vành tọa độ của V.

4.1.5 Ví dụ Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là hàm hằng

Vì vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là trường K

Một hàm đa thức có thể được cho bởi nhiều đa thức khác nhau Tuy nhiên, do

|V |

f g V suy ra f – g  IV, nên ta có khái niệm sau

4.1.6 Định nghĩa Cho I là iđêan thực sự của vành A và f, g  A Ta nói f đồng

dư với g trên I nếu f – g  I

Rõ ràng quan hệ đồng dư trên là một quan hệ tương đương trên A Lớp tương

đương chứa f là tập

f + I : { f + h | h  I}

Định nghĩa trên tập thương A/I theo quan hệ này hai phép toán

(f + I ) + (g + I) = (f+g) + I