Một số ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị

Để có được các nhóm đồngđiều kì dị, chúng ta cần xây dựng các phức kì dị cho mỗi không gian tôpô Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán và các Th

MỤC LỤC

1 Các kiến thức cơ sở của lý thuyết đồng điều kì dị 4

1.1 Đơn hình chuẩn 4

1.2 Phức hợp đơn hình kì dị 6

1.3 Đồng điều kì dị 9

1.4 Đồng điều kì dị thu gọn và các trường hợp đặc biệt 11

2 Một số ứng dụng của lý thuyết đồng điều kì dị 19 2.1 Đối đồng điều kì dị của một không gian tôpô 19

2.2 Một số ứng dụng của lý thuyết đồng điều kì dị 21

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đồng điều được bắt đầu phát triển vào những năm đầu củathế kỷ 20 H.Poincaré đã đưa ra các khái niệm về dây chuyền, các chu trìnhđồng điều của một số không gian con của không gian R Các khái niệm đóđặt nền móng cho sự phát triển của lý thuyết đồng điều Sau đó các kháiniệm này được mở rộng cho các không gian tôpô bất kỳ Về nghiên cứu cácnhóm đồng điều, có thể tìm thấy trong các công trình của các nhà toán họcS.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, A.Kolmogorov Cáccông trình của P.S.Alexandrov, Cech, Alexander đã giải quyết được vấn đềtrọng tâm của lý thuyết đồng điều, cụ thể là tính bất biến của các nhómđồng điều kỳ dị của các đa diện S.Eilenberg và Steenrod là những người đầutiên đã xây dựng hệ tiên đề cho một lý thuyết đồng điều trên phạm trù cáccặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết này trong mối quan hệ chặt chẽvới đại số đồng điều và lý thuyết phạm trù

Bên cạnh lý thuyết đồng điều kỳ dị, các nhà toán học còn nghiên cứu vàphát minh ra nhiều lý thuyết đồng điều khác Ví dụ như : lý thuyết đồngđiều của phức hợp đơn hình, lý thuyết đồng điều của CW- phức hợp, lýthuyết đồng điều phổ, lý thuyết đồng điều và đối đồng điều Cech Lý thuyếtđối đồng điều Alexander, lý thuyết đối đồng điều bó, K- lý thuyết Hiệnnay tôpô đại số nói chung và lý thuyết đồng điều nói riêng đã trở thànhnhững công cụ vô cùng hiệu quả trong việc nghiên cứu và phát triển củanhiều ngành toán học hiện đại như Hình học vi phân, Hình học đại số, Tôpô

vi phân, Giải tích phức, Giải tích hàm, Lý thuyết phạm trù, Đại số đồng

điều và cả những ngành của vật lý lý thuyết.

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Chúng tôi trình bày các khái niệm cơ sở của lý thuyết đồngđiều kì dị Để chứng minh cho ích lợi của các phức chúng tôi mô tả ngắngọn về đồng điều kì dị của các không gian tôpô Để có được các nhóm đồngđiều kì dị, chúng ta cần xây dựng các phức kì dị cho mỗi không gian tôpô

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS

Lê Quốc Hán và các Thầy Cô trong bộ môn Đại số và Khoa Toán, KhoaĐào Tạo Sau Đại học đã dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua.Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu và tập thể giáo viên TrườngTHPT Tân Kỳ 3 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụhọc tập

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sựchỉ bảo của các Thầy Cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp

Vinh, tháng 10 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU

KÌ DỊ

1.1 Đơn hình chuẩn

1.1.1 Định nghĩa Đơn hình chuẩn q chiều (hay q - đơn hình chuẩn) ∆q

là một tập con của không gian Rq+1 gồm các điểm (x0, x1, , xq) thoả mãncác điều kiện:

i) xi ≥ 0, i = 0, 1, , qii)

Hiển nhiên ∆0 là một điểm, ∆1 là một đoạn thẳng, ∆2 là một tam giácđều, ∆3 là một tứ diện đều Các điểm ej = (0, , 0, 1, 0, , 0) (số 1 nằm

ở vị trí thứ j) nằm trong ∆q; chúng được gọi là các đỉnh của đơn hình ∆q

1.1.2 Định nghĩa Ánh xạ f : ∆q → Rq+1 được gọi là một ánh xạtuyến tính nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính (theo nghĩa thông thường)

F : Rq+1 → Rn sao cho F trùng với f trên ∆q, tức là F |∆q = f

Dễ thấy với q + 1 điểm tuỳ ý P0, P1, , Pq ∈ Rn luôn tồn tại duy nhấtmột ánh xạ tuyến tính f : ∆q → Rn sao cho f (el) = Pl , cụ thể ánh xạ f

được xác định qua công thức :

mà εj(ei) = ei với i < j, εjei = ei+1 với i ≥ j

Từ định nghĩa trên ta thấy: Ảnh của ánh xạ εjq (tức là εjq(∆q−1)) gồm cácđiểm x = (x0, x1, , xq) ∈ ∆q sao cho xj = 0; nó được gọi là mặt thứ j

của đơn hình ∆q Hợp tất cả các mặt của đơn hình ∆q được gọi là bờ củađơn hình ∆q, kí hiệu là ∆˙q hay ∂∆q Nó gồm các điểm của đơn hình ∆q có

1.2 Phức hợp đơn hình kì dị

Bây giờ ta sẽ xây dựng một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô đếnphạm trù các phức hợp dây chuyền Hàm tử đó sẽ được gọi là phức hợp đơnhình kì dị

1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô Đơn hình kì dị qchiều (hay q - đơn hình kì dị), q ≥ 0, của không gian tôpô X là một ánh xạliên tục từ đơn hình chuẩn ∆q vào không gian X

Ta kí hiệu SqX là nhóm Abel tự do được sinh bởi tâp hợp tất cả các đơnhình kì dịq chiều của không gian tôpôX Các phần tử của nhóm đó được gọi

là các dây chuyền kì dị q chiều của không gian X Do đó, mỗi dây chuyền

kì dị q chiều c ∈ SqX được biễu diễn một cách duy nhất dưới dạng một tổhợp tuyến tính hữu hạn của những đơn hình kì dị q chiều σ của không giantôpô X với hệ số nguyên cσ, tức là

Chứng minh Đối với bất kì một đơn hình kì dị σ ta có:

Vậy đồng cấu ∂∂ tầm thường trên cơ sở σ, từ đó ta có ∂∂ = 0

Phức hợp dây chuyền SX nói trên được gọi là phức hợp đơn hình kì dịcủa không gian tôpô X

• Nếu f : X → Y là một ánh xạ liên tục và σ : ∆q → X là một đơn hình

kì dị của không gian tôpô X thì hợp thành f.σ : SqX → SqY là một đơnhình kì dị của một không tôpô Y Từ đó ta có thể định nghĩa một đồng cấu:

Sqf : SqX → SqY

σ 7→ f.σ

Nếu i : A → X là nhúng thì ánh xạ nhúng SA → SX là một đơn cấu,

và vì thế SA có thể xem là một phức hợp con của phức hợp SX Phức hợpthương S(X, A) = SX/SA được gọi là phức hợp đơn hình kì dị (tương đối)của cặp (X, A) Nếu j : SX → S(X, A) là phép chiếu chính tắc thì ta códãy khớp ngắn của các phức hợp dây chuyền :

O → SA −→ XSi −→ S(X, A) −→ Oj (1.1)

Dãy này chẻ ra ở mọi chiều:

SqX = SqAMSq(X, A)

Thật vậy, cơ sở σ : ∆q → X của nhóm SqX gồm hai phần: các đơn hình kì

dị nằm trong A và các đơn hình kì dị không nằm trong A Phần thứ nhấttạo thành cơ sở của nhóm SqA, còn phần thứ hai tạo thành cơ sở của nhóm

Sq(X, A) Ta chú ý rằng S(X, ∅) = SX

Ánh xạ f : (A, X) → (Y, B) là ánh xạ liên tục f : X → Y sao cho

f (A) ⊂ B Ánh xạ này cảm sinh biểu đồ giao hoán sau:

1.3 Đồng điều kì dị

1.3.1 Định nghĩa Nhóm đồng điều kì dị của không gian tôpô X, tươngứng của cặp không gian tôpô (X, A) là nhóm đồng điều của phức hợp đơnhình kì dị SX, tương ứng của phức hợp đơn hình kì dị S(X, A)

Ta kí hiệu:HX = HSX, H(X, A) = HS(X, A) Các nhóm H(X, A), HX

cũng được gọi lần lượt là nhóm đồng điều tương đối của không gianX mod

A, nhóm đồng điều tuyệt đối của không gian X

Dây chuyền z ∈ SX được gọi là một chu trình mod A, nếu ∂z ∈ SA

được gọi là bờ mod A nếu z = ∂x + y với x ∈ SX, y ∈ SA Dễ thấy nhóm

đồng điều kì dị tương đối Hq(X, A) đẳng cấu với nhóm thương của nhóm

các chu trình q chiều mod A theo nhóm các bờ q chiều mod A Đối với bất

kì ánh xạ f : (X, A) → (Y, B), ánh xạ Sf : S(X, A) → (Y, B) cảm sinh

đồng cấu

Hf = f∗ : H(X, A) → H(Y, B)

Như vậy đồng điều kì dị cho ta một hàm tử phạm trù các cặp không gian

tôpô Topp vào phạm trù các nhóm phân bậc Hàm tử này là hợp thành của

Dãy khớp đồng điều được sinh ra từ dãy khớp (1.3)

−→ H∂∗ q+1A−→ Hi∗ q+1X −→ Hj∗ q+1(X, A)−→ H∂∗ qA −→i∗

i ∗

−→ HqX −→ Hj∗ q(X, A) → (1.4)được gọi là dãy khớp đồng điều của cặp (X, A)

Đối với bất kì ánh xạ f : (X, A) → (Y, B), ta có biểu đồ giao hoán:

trong đó, các dòng đều khớp

• Bây giờ xét bộ ba (X, A, B), B ⊂ A ⊂ X

Nhúng I và phép chiếu j cho ta dãy khớp ngắn của các phức hợp dâychuyền:

O → S(A, B) −→ S(X, B)i −→ S(X, B) −→ Oj (1.5)Dãy khớp đồng điều kết hợp với dãy khớp (1.5):

→ Hq+1(A, B) −→ Hi∗ q+1(X, B) −→ Hj∗ q+1(X, A)−→∂∗

∂ ∗

−→ Hq(A, B) −→ Hi∗ q(X, B) → j∗ (1.6)được gọi là dãy khớp đồng điều của bộ ba (X, A, B)

Khi B = ∅ thì dãy khớp (1.6) trở lại dãy khớp (1.4)

1.4 Đồng điều kì dị thu gọn và các trường hợp đặc biệt

• Giả sử P là không gian tôpô chỉ có một điểm Khi đó với mỗi q ≥ 0,tồn tại một đơn hình kì dị duy nhất Tq : ∆q → P Hiển nhiênTqεj = Tq−1

Ker(γ∗Y)

1.4.1 Định nghĩa Nhóm đồng điều kì dị thu gọn của không gian tôpô

X là hạt nhân của đồng cấu γ∗ : HX → HP, kí hiệu là HXe Như vậy:

1.4.2 Mệnh đề Đối với mỗi cặp không gian tôpô (X, A), A 6= ∅, A ⊂ B

tồn tại dãy khớp:

−→ e∂∗ Hq+1A −→ ei∗ Hq+1X −→ Hj∗ q+1(X, A) −→ e∂∗ HqA −→ ei∗ HqX −→ γ∗

Dãy khớp trên được gọi là dãy khớp đồng điều thu gọn của cặp khônggian tôpô (X, A).

• Giả sử X là một không gian tôpô.Ta xét ánh xạ dây chuyền

η = ηX : SX → (Z, O)

biến mỗi đơn hình 0 chiều vào 1 ∈ Z

Ánh xạ này liên quan mật thiết với ánh xạ γ : X → P nói trên, cụ thể

η = ηXγX Dễ thấy ηX : SP → (Z, O) là một tương đương đồng luân và

Kerη∗ = Kerγ∗ = eHX

• Từ không gian một điểm ta sẽ nghiên cứu nhóm đồng điều của các tậplồi của không gian Rn Mệnh đề sau đây sẽ chứng tỏ nhóm đồng điều thugọn của chúng là tầm thường

1.4.3 Mệnh đề Nếu X là một tập lồi khác rỗng của không gian Rn thìánh xạ η : SX → (Z, O) là một tương đương đồng luân, đặc biệt ta có

P = Pq : SqX → Sq+1X

σq 7→ P.σq

ở đây P.σq : ∆q+1 → X là đơn hình kì dị q + 1 chiều được xác định bởi côngthức:

(∂1.P0)∂0 = (P0.σ0)ε0 − (P0.σ0)ε1 = σ0 − ( bP η)(σ0)

⇒ ∂0.P0 = Id − ( bP η)0 (1.13)Từ(1.12) và (1.13) suy ra P = {Pq} : SX → SX là đồng luân Id ' bP η.Vậy chọn s = −P

1.4.4 Hệ quả Đối với mỗi tập rỗng Y ⊂ Rn, đồng cấu ∂∗ : Hq(Rn, Y ) →e

Vì X là không gian liên thông cung, nên với mỗi đơn hình kì dị 0 chiều

∂0 : ∆0 → X, có thể dựng một đơn hình kì dị 1 chiều (tức một con đường)

Chuyển qua nhóm đồng điều ta có:

0 = [∂πz] = [z] − [ bP ηz] = [z] − bP η∗[z], z ∈ Z0X

⇒ ( bP∗)0(η∗)0 = Id.H0X (b)

Từ (a) và (b) suy ra: H0X ∼= H0(Z, O) = Z

1.4.6 Mệnh đề Giả sử X là một không gian tôpô với các thành phầnliên thông cung Xλ, λ ∈ A; giả sử A ⊂ X là một không gian con của X

và Aλ = A ∩ Xλ Khi đó các nhúng iλ : (Xλ, Aλ) → (X, A) cảm sinh đẳngcấu:

Chứng minh Ta kí hiệu qua S (tương ứng Sλ) là tập hợp các đơn hình kì

dị của không gian X (tương ứng Xλ) Bởi vì ảnh của mỗi đơn hình ∆q đềuliên thông cung (do ∆q liên thông cung), nên nó nằm hoàn toàn trong một

Đều này có nghĩa

1.4.8 Định nghĩa Giả sử A là một không gian của không gian tôpô X

và giả sử i : A → X là ánh xạ nhúng Không gian A gọi là cái co rút của X

nếu tồn tại ánh xạ liên tục r : X → A sao cho ri = Id Khi đó r gọi là ánh

xạ co

Ví dụ

1) Mỗi điểm P của không gian X đều là cái co rút của X

2) Giả sử B là một không gian tôpô tuỳ ý và Q ∈ B Khi đó, rõ ràng A

đồng phôi với A × Q ⊂ A × B (A là không gian tôpô) và ánh xạ:

r : A × B → A × Q(a, b) 7→ (a, Q)

là một ánh xạ co

Như thế ta có thể coi mỗi nhân tử là cái co rút của tích trực tiếp của cáckhông gian

1.4.9 Định nghĩa Không gian con A của không gian tôpô X được gọi làcái co rút lân cận (trong X) nếu nó là cái co rút của một lân cận trongkhông gian X.

Nhận xét: Mỗi cái co rút của không gian X đều là cái co rút lân cận trong

X, nhưng điều ngược lại không đúng; chẳng hạn, nếu X là đoạn thẳng đơn

vịI = [0, 1], Alà tập hợp hai đầu mút của I, tức A = {0, 1}, thì rõ ràngA làcái co rút của lân cậnU = [0, 1

2] ∪ [

1

2, 1], nhưng Akhông là cái co rút của X.Thật vậy, nếu A là cái co rút của X thì tồn tại ánh xạ liên tục r : X → A,nhưng X liên thông, suy ra mâu thuẫn

Bây giờ giả sử A là cái co rút của X và r : X → A là một ánh xạ co Khi

Điều đó cho ta kết quả sau :

1.4.10 Mệnh đề Nếu A là một cái co rút của không gian tôpô X thìdãy khớp đồng điều của cặp (X, A) được phân chia thành các dãy khớpngắn:

O ∂−→ H∗=0 qA −→ Hi∗ qX −→ Hj∗ q(X, A) → O

và các dãy khớp đó đều chẻ ra bởi ánh xạ r∗

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ

2.1 Đối đồng điều kì dị của một không gian tôpô

Như ta đã biết, nếu G là một nhóm Abel thì tồn tại hàm tử phản biếnkhớp bên trái AGG = Hom(∗, G) : AG → AG được xác định bởi các tươngứng:

a) A 7→ AGG(A) = Hom(A, G)

b) Nếu α : A → A0 thì

AGG(α) = Hom(α, G) : Hom(A0, G) → Hom(A, G)

là một đồng cấu sao cho (Hom(α, G))(β) = β0α với mọi β ∈ Hom(A0, G)

Ta có thể định nghĩa một hàm tử phản biến từ phạm trù các phức hợp dâychuyền của các nhóm Abel ∂AG vào phạm trù các phức hợp đối dây chuyềncủa nhóm Abel Giả sử G là một nhóm Abel cố định nào đó, ta kí hiệu hàm

tử nói trên là Hom(., G) : ∂AG → δAG và được xác định như sau:

Nếu (C) ∈ ∂AG thì (C∗) = Hom((C), G) với (C∗)n = Hom(Cn, G)(kíhiệu Cn = (C∗)n còn δn : Cn → Cn+1 là đồng cấu Hom(∂n+1, G), tức là

δn(α) = α0∂n+1 Dễ thấy(C∗)là một phức hợp đối dây chuyền vàHom(., G)

là một hàm tử phản biến

Bây giờ giả sử F là một trong các hàm tử S,  : T op → ∂AG Nếu G

là một nhóm Abel nào đó, lấy hợp thành của hàm tử F(S hay ) với hàmphản biến Hom(., G) : ∂AG → δAG ta được hàm phản biến FG∗(SG∗, ∗G) :

T op → δAG, đặt tương ứng mỗi không gian tôpô X với một phức hợpđối dây chuyền SG∗X(hoặc ∗GX) và đặt tương ứng mỗi ánh xạ liên tục

f : X → Y với ánh xạ đối dây chuyền Hom(Sf, G) : SG∗Y → SG∗X (hoặc

Hom(f, G) : ∗GY → ∗GX)

Ta chú ý rằng: SnX = Hom(SnX, G) (tương ứngnX = Hom(nX, G))

và (Hom(Sf, G))n = fn : SnY → SnX (tương ứng (Hom(, G))n = fcn :

nY → nX) được xác định qua công thức fn(α) = αSf = αfn (tươngứng fcn(α) = αf = αfcn)

Lấy hợp thành hàm phản biến SG∗ (tương ứng ∗G) với hàm tử hiệp biếnđồng điều H ta được mệnh đề sau:

2.1.1 Mệnh đề Tồn tại một hàm tử phản biến từ phạm trù Top vàophạm trù GAG, đặt tương ứng mỗi không gian tôpô X với nhóm Abelphân bậc H(SG∗X) (hoặc H∗(∗GX))

Ta kí hiệu Hn(X; G) là nhóm Hn(SG∗X) và gọi là nhóm đối đồng điều

kì dị chiều n với hệ số trong nhóm G, của không gian tôpô X

Kí hiệu Hcn(X; G) là nhóm Hn(∗GX) và gọi đối đồng điều kì dị lậpphương n chiều với hệ số trong nhóm G, của không gian tôpô X

• Bây giờ, giả sử (X, A) ∈ T opp Như ta đã biết, tương ứng (X, A) →SX/SA = S(X, A) cảm sinh một hàm tử hiệp biến từ phạm trù Toppvào phạm trù ∂AG Lấy hợp thành hàm tử đó với hàm tử Hom(., G) :

∂AG → σAG ta được một hàm tử phản biến H∗(., G) : T opp → GAG,đặt tương ứng mỗi cặp không gian tôpô (X, A) với nhóm Abel phân bậc

H∗[Hom(S(X, A); G)] Nhóm phân bậc này kí hiệu H∗(X, A; G) và gọi lànhóm đối đồng điều toàn thể của cặp không gian tôpô (X, A) với hệ sốtrong G Thành phần bậc n của nhóm được kí hiệu là Hn(X, A; G) và gọi

là nhóm đối đồng điều chiều n của cặp (X, A) với hệ số trong nhóm G

Đổi vai trò giữa các phức hợp dây chuyền (SX, SA) và (X, A), mộtcách tương tự, ta cũng định nghĩa được các nhóm đối đồng điều kì dị lậpphương, với hệ số trong nhóm Abel G, của cặp không gian tôpô (X, A).

• Bây giờ, giả sử (X, A) → T opp Khi đó ta có dãy khớp ngắn chẻ ra

O → SA → SX → S(X, A) → O

Do đó ta có dãy khớp:

O → Hom(S(X, A), G) → Hom(SX, G) → Hom(SA, G) → O

Dãy này cho ta dãy khớp các nhóm đối đồng điều

→ Hn(X, A; G) → Hn(X; G) → Hn(A; G) δ

n (X,A)

Chú ý : Trong các định nghĩa các nhóm đối đồng điều kì dị được trìnhbày ở trên, nếu G = Z ta được các nhóm đối đồng điều kì dị với hệ sốnguyên, nếu G là một K–môđun ta được các môđun đồng điều kì dị

2.2 Một số ứng dụng của lý thuyết đồng điều kì dị

2.2.1 Bổ đề Nếu K là một tập con lồi compact trong không gian Rn và

K chứa hình cầu Bn, thì cặp (Bn, ˙Bn = Sn−1), (K, ˙K) đồng phôi

Chứng minh Nếu x ∈ K và 0 ≤ t < 1 thì tx nằm trong một nón mở cóđỉnh x và đáy B˙n Nón này nằm trong K (vì K là tập lồi), suy ra tx thuộc

phần trong K˙ của K Do đó, mỗi tia xuất phát từ điểm O chỉ chứa đúngmột điểm của bờ K˙ của K Vậy ánh xạ

2.2.2 Hệ quả a) In = [0, 1] × [0, 1] × × [0, 1] ≈ Bn

b) (Bn, Sn− 1) ≈ (∆n, ˙∆n) ở đây ≈ kí hiệu đồng phôi

Chứng minh a) Rõ ràng In đồng phôi với [−1, 1] × [−1, 1] × × [−1, 1].Mặt khác, theo bổ đề ở trên thì [−1, 1] × [−1, 1] × × [−1, 1] đồng phôivới Bn, ta có điều phải chứng minh

b) Giả sử nhúng ι : ∆n → Rn được xác định bởi ι(ei) = ei với i < n,

ι(ei) = −

n−1

P

i=0

ei Rõ ràng ι(∆n) ≈ ∆n và ι(∆n) là tập lồi chứa một hình cầu

nào đó có tâm tại 0 = ( 1

2.2.3 Bổ đề Cho ∆n là đơn hình chuẩn n chiều Giả sử