Mở rộng luật yếu số lớn kolmogorov feller

2 Mð rëng luªt y¸u sè lîn Kolmogorov- Feller.. 132.2 Mð rëng luªt y¸u sè lîn Kolmogorov-Feller... Luªt sè lîn ¦uti¶n cõa J.. Mð rëng luªt y¸u sè lîn Kolmogorov-Feller ¥y l nëi dung ch½nh

2 Mð rëng luªt y¸u sè lîn Kolmogorov- Feller 132.1 Luªt y¸u sè lîn Kolmogorov- Feller 132.2 Mð rëng luªt y¸u sè lîn Kolmogorov-Feller 22

MÐ †U

Luªt sè lîn âng mët vai trá r§t quan trång trong Lþ thuy¸t X¡c su§t.Luªt sè lîn l  m»nh · kh¯ng ành trung b¼nh sè håc cõa c¡c bi¸n ng¨unhi¶n hëi tö theo x¡c su§t Luªt m¤nh sè lîn l  m»nh · kh¯ng ành trungb¼nh sè håc cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n hëi tö h¦u ch­c ch­n Luªt sè lîn ¦uti¶n cõa J Becnoulli ÷ñc cæng bè n«m 1713 V· sau, k¸t qu£ n y ÷ñcPoisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, mð rëng Tuy nhi¶n ph£i ¸nn«m 1909 luªt m¤nh sè lîn mîi ÷ñc E Borel ph¡t hi»n K¸t qu£ n y ÷ñcKolmogorov ho n thi»n n«m 1926

Luªt sè lîn Kolmogorov-Feller ¢ ÷a ra i·u ki»n c¦n v  õ º thüchi»n luªt y¸u sè lîn cho tr÷íng hñp c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥nphèi m  khæng ái häi ký vång tçn t¤i Tr¶n cì sð åc v  t¼m hiºu t ili»u tham kh£o, chóng tæi nghi¶n cùu · t i Mð rëng luªt y¸u sè lînKolmogorov-Feller

Luªn v«n gçm 2 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi ÷a ra c¡c kh¡i ni»m bi¸n ng¨u nhi¶n, c¡c

sè °c tr÷ng cõa bi¸n ng¨u nhi¶n, mët sè kh¡i ni¶m hëi tö cõa d¢y c¡c bi¸nng¨u nhi¶n, t½nh ëc lªp, ëc lªp æi mët, kh¡i ni»m v· luªt sè lîn çngthíi chóng tæi tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc v  bê · º phöc vö cho chùngminh c¡c ành lþ trong Ch÷ìng 2

Ch÷ìng 2 Mð rëng luªt y¸u sè lîn Kolmogorov-Feller

¥y l  nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, bao gçm 2 ti¸t Ti¸t 2.1 chóng tæitr¼nh b y chi ti¸t l¤i ành lþ 2.1.5 (Luªt y¸u sè lîn Kolmogorov -

Feller)v  ành lþ 2.1.6 trong [4] Ti¸t 2.2 chóng tæi tr¼nh b y ành lþ 2.2.5,

ành lþ 2.2.6 l  k¸t qu£ mð rëng Luªt y¸u sè lîn Kolmogorov - Feller.Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n tªnt¼nh cõa PGS TS Nguy¹n V«n Qu£ng Nh¥n dàp n y cho ph²p t¡c gi£ b y

tä líi c£m ìn s¥u s­c nh§t tîi PGS TS Nguy¹n V«n Qu£ng, ng÷íi th¦y ¢tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªnv«n T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi PGS TS Phan ùc Th nh, TS Nguy¹nTrung Háa, PGS TS Tr¦n Xu¥n Sinh çng thíi t¡c gi£ xin ch¥n th nhc£m ìn ban chõ nhi»m khoa To¡n, c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa To¡n ¢ nhi»tt¼nh gi£ng d¤y Cuèi còng t¡c gi£ c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng THPT T¥n

Ký, gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l  c¡c b¤n trong lîp Cao håc

16 - X¡c su§t thèng k¶ To¡n håc ¢ cëng t¡c, t¤o i·u ki»n gióp ï t¡c gi£trong suèt thíi gian håc tªp v  ho n th nh luªn v«n

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúngthi¸u sât T¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc nhúng líi ch¿ b£o quþ b¡u cõa c¡cth¦y cæ gi¡o v  b¤n åc

Vinh, th¡ng 12 n«m 2010

T¡c gi£

CH×ÌNG 1

KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong to n bë luªn v«n ta luæn gi£ sû ( Ω, F , P ) l  khæng gian x¡c su§t

cè ành

1.1 Kh¡i ni»m bi¸n ng¨u nhi¶n

1.1.1 ành ngh¾a Gi£ sû G l  σ - ¤i sè con cõa σ- ¤i sè F Khi â ¡nhx¤ X : Ω → R ÷ñc gåi l  bi¸n ng¨u nhi¶n G- o ÷ñc n¸u nâ l  ¡nh x¤

Khi â IA l  bi¸n ng¨u nhi¶n ìn gi£n

1.2 C¡c sè °c tr÷ng cõa bi¸n ng¨u nhi¶n

1.2.1 ành ngh¾a Gi£ sû X : (Ω, F ,P) → (R, B(R)) l  bi¸n ng¨u nhi¶n.Khi â t½ch ph¥n Lebesgue cõa X theo ë o P (n¸u tçn t¤i) ÷ñc gåi l  k¼vång cõa X v  k½ hi»u l  EX Vªy

xp(x)dx n¸u X li¶n töc câ h m mªt ë p(x).

Têng qu¡t: N¸u f :R → R l  h m o ÷ñc v  Y = f (X) th¼

f (x)p(x)dx n¸u X li¶n töc câ h m mªt ë p(x)

1.2.3 ành ngh¾a Gi£ sû X l  bi¸n ng¨u nhi¶n Khi â,

sè DX := E(X −EX)2 (n¸u tçn t¤i) ÷ñc gåi l  ph÷ìng sai cõa X

1.2.4 Nhªn x²t Tø ành ngh¾a tr¶n v  t½nh ch§t cõa k¼ vång, suy ra r¬ngph÷ìng sai DX cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X câ thº tçn t¤i ho°c khæng tçn t¤i v n¸u tçn t¤i th¼ câ thº ÷ñc t½nh theo cæng thùc

(x −EX)2p(x)dx n¸u X li¶n töc câ h m mªt ë p(x)

1.3 Mët sè kh¡i ni»m hëi tö cõa d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n

Gi£ sû {Xn, n ≥ 1} l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n còng x¡c ành tr¶n khænggian x¡c su§t (Ω, F , P )

1.3.1 ành ngh¾a D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {Xn, n ≥ 1} ÷ñc gåi l  hëi

tö theo x¡c su§t ¸n bi¸n ng¨u nhi¶n X (khi n → ∞) n¸u vîi måi ε > 0 ta

·u câ

lim

n→∞P (|Xn − X| > ε) = 0

Kþ hi»u Xn −→ X.P

1.3.2 ành ngh¾a D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {Xn, n ≥ 1} ÷ñc gåi l  hëi

tö h¦u ch­c ch­n ¸n bi¸n ng¨u nhi¶n X (khi n → ∞) n¸u

|Xm− X| > ε
Khi â Dn(ε) ↓ (khi

n t«ng) v  Ω \ Dn(ε) = Dn(ε) =

∞Tm=n

∞[n=1

Dn(1/k)

∞[n=1

Dn(1/k)) = 1

⇔ P

∞[n=1

Dn(1/k)) = 1 ∀k = 1, 2

⇔ P

∞

\n=1

÷ñc gåi l  σ-¤i sè sinh bði X

Hå húu h¤n {Fi, 1 ≤ i ≤ n} c¡c σ-¤i sè con cõa F ÷ñc gåi l  ëc lªp n¸u

P

n

\i=1

Ai

!

=

nYi=1

P (Ai),

èi vîi måi Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) b§t ký Hå væ h¤n {Fi, i ∈ I} c¡c σ-¤i sècon cõa F ÷ñc gåi l  ëc lªp n¸u måi hå con húu h¤n cõa nâ ëc lªp Håc¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {Xi, i ∈ I} ÷ñc gåi l  ëc lªp n¸u c¡c σ-¤i sè sinhbði chóng {F (Xi), i ∈ I} ëc lªp Hå c¡c bi¸n cè {Ai, i ∈ I} ÷ñc gåi l 

ëc lªp n¸u hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {IA , i ∈ I} ëc lªp

1.4.2 ành ngh¾a Hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {Xi, i ∈ I} ÷ñc gåi l  ëclªp æi mët n¸u Xi v  Xj ëc lªp vîi måi i 6= j, i, j ∈ I.

1.5 Mët sè kh¡i ni»m v· Luªt sè lîn

Gi£ sû {Xn, n ≥ 1} l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n còng x¡c ành tr¶n khænggian x¡c su§t ( Ω, F , P ) °t Sn = X1 + X2+ · · · + Xn

1.5.1 ành ngh¾a D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {Xn, n ≥ 1} ÷ñc gåi l  tu¥ntheo Luªt y¸u sè lîn n¸u

Sn − ESnn

P

−→ 0

D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {Xn, n ≥ 1} ÷ñc gåi l  tu¥n theo Luªt y¸u sèlîn têng qu¡t n¸u tçn t¤i hai d¢y sè an, n ≥ 1, bn, n ≥ 1, 0 < bn ↑ ∞ saocho

σi2.

(ii) N¸u P( max

1≤k≤n|Xk| ≤ c) = 1 th¼

P( max

1≤k≤n|Sk| ≥ ε) ≥ 1 − (ε + c)

2 nPi=1

σ2i

Chùng minh (i) °t

A1 = (|S1| ≥ ε)

A2 = (|S1| < ε; |S2| ≥ ε)

Ak = ( max

1≤i≤k−1|Si| < ε; |Sk| ≥ ε)

ESn2IAk =

nXk=1

E[Sk + (Sn − Sk)]2IAk

=

nXk=1

ESk2IAk +

nXk=1

E(Sn − Sk)2IAk + 2

nXk=1

ESk(Sn− Sk)IAk

=

nXk=1

ESk2IAk +

nXk=1

E(Sn − Sk)2IAk ≥

nXk=1

ESk2IAk

≥

nXk=1

ε2EIAk = ε2

nXk=1

P(Ak) = ε2P(A)

â l  i·u ph£i chùng minh.

(ii) Ta câ

ESn2IA = ESn2 −ESn2IA ≥ ESn2 − ε2P(A)

= ESn2 − ε2 + ε2P(A) (1.1)Tr¶n Ak, ta câ |Sk−1| ≤ ε, |Sk| ≤ |Sk−1| + |Xk| ≤ ε + c n¶n

ESn2IA =

nXk=1

ESn2IAk =

nXk=1

ESk2IAk +

nXk=1

E(Sn − Sk)2IAk

≤ (c + ε)2

nXk=1

P(Ak) + D(Sn)

nXk=1

1.6.4 H» qu£ Gi£ sû {Xn, n ≥ 1} l  d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp,

EXn = 0 (∀n = 1, 2, ) Khi â vîi måi ε > 0, ta câ

(i) P( max

n≤m≤k|Sm − Sn| > ε) ≤ ε12

kPm=n+1

DYm =

kXm=n+1

DXm

Tø â suy ra (i) º chùng minh (ii), ta °t

Bk = ( max

n≤m≤k|Sm − Sn| > ε)

Khi â (Bk, k > n) l  d¢y t«ng c¡c bi¸n cè v 

∞[k=n+1

DXm

= 1

ε2

∞Xm=n+1

DXm

CH×ÌNG 2

MÐ RËNG LUŠT Y˜U SÈ LÎN KOLMOGOROV- FELLER

2.1 Luªt y¸u sè lîn Kolmogorov- Feller

2.1.1 èi xùng hâa N¸u bi¸n ng¨u nhi¶n X câ h m ph¥n phèi F chóngtæi k½ hi»u h m ph¥n phèi cõa −X l  −F T¤i c¡c iºm li¶n töc cõa F chóng

ta câ

−F (x) = 1 − F (−x)

v  ành ngh¾a h m −F nh÷ th¸ l  duy nh§t H m ph¥n phèi F ÷ñc gåi l 

èi xùng n¸u−F = F ( Khi h m mªt ë f tçn t¤i ta công câf (−x) = f (x)).Gi£ sû X1 v  X2 l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còng câ h m ph¥n phèi F.Khi â X1 − X2 câ h m ph¥n phèi èi xùng F0 cho bði

°c bi»t, n¸u 0 l  mët median cõa Xi th¼

P(|X1 − X2| > t) ≥ 1

2P(|X1| > t) (2.3)Chùng minh Bi¸n cè ð v¸ tr¡i cõa (2.1) khæng thº x©y ra trø khi |X1| > 12t

ho°c |X2| > 12t v  do â (2.1) óng Bi¸n cè ð v¸ tr¡i (2.2) khæng thº x©y

ra n¸u X1 > t + a, X2 ≤ a, v  công nh÷ vªy X1 < −t − a v  X2 ≥ −a Vªy

ta câ (2.2)

2.1.3 Bê · N¸u X1, X2, , Xn l  ëc lªp v  câ ph¥n phèi èi xùng th¼

Sn = X1 + X2+ · · · + Xn câ ph¥n phèi èi xùng v 

P(|X1+ X2 + · · · + Xn| > t) ≥ 1

2P(max |Xi| > t) (2.4)N¸u Xi câ h m ph¥n phèi F th¼

P(|X1 + X2+ · · · + Xn| ≥ t) ≥ 1

2(1 − e

−n[1−F (t)+F (−t)]

) (2.5)Chùng minh Gi£ sû M l  bi¸n ng¨u nhi¶n b¬ng bi¸n ng¨u nhi¶n ¦u ti¶ntrong c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n X1, , Xn câ gi¡ trà tuy»t èi lîn nh§t v  °t

T = Sn − M C°p (M, T ) l  ph¥n phèi èi xùng, tê hñp trong bèn c°p

(±M, ±T ) công câ còng ph¥n phèi Rã r ng

P(M > t) ≤ P(M > t, T ≥ 0) +P(M > t, T ≤ 0) (2.6)Hai biºu thùc ð v¸ ph£i l  b¬ng nhau theo x¡c su§t, v  công nh÷ vªy

i·u n y d¨n ¸n (2.5) bði v¼ 1 − x < e−x khi 0 < x < 1

2.1.4 Bê · Gi£ sû X1, X2, , Xn l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp °t

Sn = X1 + X2 + · · · + Xn, Yk,n = XkI{|Xk| ≤ n}, k = 1, 2, , n

(Yk,n −EYk,n)
2

n2x2

nXk=1

Xk 6=

nXk=1

Yk,n) ⊂

n[k=1

(Xk 6= Yk,n)

Do â

P(Sn 6= Sn0) = P(

nXk=1

Xk 6=

nXk=1

Yk,n)

≤

nXi=1

P(Xk 6= Yk,n)

=

nXk=1

P(|Xk| > n)

= nP(|X1| > n)

K¸t hñp (2.9) ta câ (2.10)

2.1.5 ành lþ (Luªt y¸u sè lîn Kolmogorov - Feller) Gi£ sû

{Xn, n ≥ 1} l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥n phèi

nZ

−n

x2dF (x)

= 2n

nZ

0

x2dF (x)

= 2n



− n2(1 − F (n)) + 2

nZ

i·u ki»n c¦n: Nh÷ chóng tæi ¢ giîi thi»u ð möc 2.1.1 bi¸n ng¨u nhi¶n Xk0

thu ÷ñc trüc ti¸p bði èi xùng hâa tø Xk Têng cõa chóng Sn0 câ thº nhªn

÷ñc bði èi xùng hâa tø Sn − nµ Gi£ sû a l  mët median cõa bi¸n ng¨unhi¶n Xk Sû döng c¡c b§t ¯ng thùc (2.1), (2.2) v  (2.5) chóng ta câ

2.1.6 ành lþ Gi£ sû {Xn, n ≥ 1} l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp

còng ph¥n phèi v  {bn, n ≥ 1} l  d¢y sè thüc d÷ìng t«ng ¸n +∞, vîi

k = 1, 2, , n, n ≥ 1 °t

Sn = X1+ X2 + · · · + Xn, Yk,n = XkI{|Xk| ≤ bn},

Sn0 =

nXk=1

Yk,n , v  µn =

nXk=n

EYk,n

Xk=1

P(|Xk| > bn) → 0 khi n → ∞, (2.11)

1

b2n

nXk=1

(Yk,n −EYk,n) > bnε

= P

nXk=1

Yk,n −E(

nXk=1

Yk,n) > bnε

≤ 1

b2nε2D(

nXk=1

Yk,n)(Do b§t ¯ng thùc Chebyshev)

= 1

b2nε2

nXk=1

DYk,n → 0 khi n → ∞(Do (2.12))

Xk 6=

nXk=1

Yk,n)

≤ P(

n[k=1

(Xk 6= Yk,n))

≤

nXk=1

P(Xk 6= Yk,n)

≤

nXk=1

R2

dx

n→+∞2c

nR2

dx xlnx =

−∞

f (x)dx]

= n[1 −

nZ

−∞

f (x)dx +

−nZ

Vªy d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {Xn, n ≥ 1} tu¥n theo luªt y¸u sè lînKolmogorov-Feller

2.1.8 V½ dö Gi£ sû {Xn, n ≥ 1} l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còng câ

h m mªt ë

f (x) =

 1 2x 2 n¸u |x| > 1,

−∞

12xdx +

+∞

Z

1

12xdx

1Z

+∞

12xdx +

+∞

Z

1

12xdx

+∞

Z

1

12xdx.

1

12xdx −

a n +1Z

1

12xdx) = −

12

v 

lim

n→+∞(

a n +1Z

1

12xdx −

a nZ

1

12xdx) =

12

Nh÷ vªy k¼ vång khæng tçn t¤i, v  i·u ki»n õ cõa ành l½ 2.1.5

E(Yk,n −EYk,n)2(d¢y bn = nlnn, n = 1, 2 )

≤ 1

b2n

nXk=1

EYk,n2

= 1

b2 n

nXk=1

E(Xk2I(|Xk| ≤ bn))

= 1

b2 n

nXk=1

0

x2 12x2dx

= n

b2n

b nZ

0

dx = n

bn =

1lnn → 0 khi n → ∞

Theo ành l½ 2.1.6 ta câ

Snnlnn

p

−→ 0 khi n → ∞

Nâi c¡ch kh¡c, luªt y¸u v¨n óng vîi d¢y {bn = nlnn, n ≥ 1} Nh÷ vªy quac¡c v½ dö tr¶n ta th§y r¬ng, n¸u d¢y{Xn, n ≥ 1}c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªpcòng ph¥n phèi khæng thäa m¢n i·u ki»n tP(|Xk| > t) → 0 khi t → ∞

th¼ câ thº luªt y¸u sè lîn v¨n óng i·u n y gñi þ chóng ta i ¸n thi¸t lªpc¡c luªt y¸u sè lîn têng qu¡t hìn luªt y¸u sè lîn Kolmogorov - Feller

2.2 Mð rëng luªt y¸u sè lîn Kolmogorov-Feller

Trong chùng minh chóng tæi câ sû döng mët sè t½nh ch§t cõa h m h mbi¸n êi ·u v  chªm, chóng tæi ÷a ra ành ngh¾a h m n y º sû döng chochùng minh ành l½

2.2.1 ành ngh¾a Gi£ sûa > 0 Mët h m d÷ìng, o ÷ñcutr¶n[a, ∞)gåi

l  bi¸n êi ·u ¸n væ còng vîi sè mô ρ, −∞ < ρ < ∞, k½ hi»u u ∈ RV(ρ),

u(tx)u(t) → xρ khi t → ∞ vîi måix > 0

N¸u ρ = 0th¼ u÷ìc gåi l  h m bi¸n êi chªm ¸n væ còng, k½ hi»u u ∈ SV

Ch¯ng h¤n c¡c h m sau ¥y l  c¡c h m bi¸n êi ·u ¸n væ còng

(1 − an)n → 1 khi n → ∞ ⇐⇒ nan → 0 khi n → ∞ (2.17)Hìn núa, δ ∈ (0; 1), nan < δ(1 − δ) < 1 vîi n õ lîn th¼

(1 − δ)nan ≤ 1 − (1 − an)n ≤ nan

(1 − δ). (2.18)Chùng minh i·u ki»n õ l  hiºn nhi¶n

i·u ki»n c¦n, gi£ sû (1 − an)n → 1 khi n → ∞ Tø (2.16) chóng ta câ ,khi n → ∞,

2.2.4 Bê · Gi£ sû X1, X2, , Xn c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còngph¥n phèi , EXn = 0 , v  h¬ng sè A > 0, sao cho sup

n

|Xn| ≤ A Khi â,

ta câ

nXk=1

cho n → ∞ ta câ i·u ph£i chùng minh

2.2.6 ành lþ Gi£ sû {Xn, n ≥ 1} l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còngph¥n phèi, Sn = X1+ X2+ · · · + Xn, n ≥ 1, vîi x > 0, b ∈ RV(1ρ), vîi méi

ρ ∈ (0, 1] gi£ sû b(x) = x1ρl(x), trong â l ∈ SV °t bn = b(n), n ≥ 1.Khi â

Chùng minh i·u ki»n õ Ta kiºm tra i·u ki»n (2.11) v  (2.12) cõa ànhl½ 2.1.6 Do gi£ thi¸t cõa i·u ki»n õ ta câ ngay (2.11), b¥y gií ta kiºmtra (2.12)

EX12I{bk−1 < |X1| ≤ bk}

≤ n

b2n

nXk=1

b2kP(bk−1 < |X1| ≤ bk)

= n

b2n

nXk=1

k2ρ(l(k))2P(bk−1 < |X1| ≤ bk)

≤ C n

b2n

nXk=1

 kXj=1

nXj=1

j(2ρ )−1(l(j))2P(|X1| > bj−1)

n(2ρ )−1(l(n))2

n−1Xj=0

j(2ρ )−2(l(j))2jP(|X1| > bj) → 0 khi n → ∞

(Do

nXj=1

s k,n

Xks



≤

nXk=1

nXk=1

Yk,ns

bn

> ε

b n , 1 ≤ k ≤ n} l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n câ giîih¤n ·u p döng bê · 2.2.4 , b§t ¯ng thùc L²vy v  t½nh ìn i»u cõa

kPj=1

Y s j,n

b n

nPk=1

Y s k,n

b n

> ε



1 − 2P

nPk=1

Y s k,n

b n

> ε

,

Chó þ r¬ng luªt y¸u công óng cho d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ch°t cöt,

lim

n→∞sup

nXk=1

D Yk,n

bn

= 12

nXk=1

D Y

s k,n

0 n¸u |x| ≤ 1.Kiºm tra i·u ki»n (2.19) ta câ

nP(|X1| > bn) = n

∞Z

(nlnn)1

ρ

|x|1+ρdx, (vîi d¢ybn = (nlnn)1ρ ∈ RV(1

ρ))

= 1lnn → 0 khi n → ∞,

Do â theo ành l½ 2.2.6 ta câ

Sn(nlnn)ρ1

p

−→ 0 khi n → ∞

K˜T LUŠN

K¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc

· t i nghi¶n cùu v· mð rëng Luªt luªt y¸u sè lîn Kolmogorov - Feller

· t i mð rëng ÷ñc Luªt rëng luªt y¸u sè lîn Kolmogorov - Feller C¡ck¸t qu£ ¤t ÷ñc l  ành lþ 2.2.5, ành lþ 2.2.6

T€I LI›U THAM KHƒO

[1] Nguy¹n V«n Qu£ng (2008), X¡c su§t n¥ng cao, NXB ¤i håc Quèc gia

[9] Allan Gut (2004)An Extension of Kolmogorov  Feller Weak Law

of Larger Number with An Application to the ST.Petersburg Game.Vol 17 No 3 Journal of Theoretical Probability

2.2 M rởng luêt yáu số lợn Kolmogorov- Feller

Trong... ữủc

à ti nghiản cựu và m rởng Luêt luêt yáu số lợn Kolmogorov - Feller

à ti m rởng ữủc Luêt rởng luêt yáu số lợn Kolmogorov - Feller CĂckát quÊ Ôt ữủc l nh lỵ 2.2.5, nh lỵ... minh chúng tổi cõ sỷ dửng mởt số tẵnh chĐt cừa hm hmbián ời Ãu v chêm, chúng tổi ữa nh nghắa hm ny  sỷ dửng chochựng minh nh lẵ

2.2.1 nh nghắa GiÊ sỷa > Mởt hm dữỡng, o ữủcutrản[a,