Phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi trong dạy học đại số ở trường THCS luận văn thạc sỹ giáo dục học

Tình hình rèn luyện, phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi trong dạy học đại số ở trường trung học cơ sở.. Tình hình rèn luyện phát triển tư duy toán học của học sinh khá, gi

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

-Trần tố cẩm Phát triển t duy toán học của học sinh khá, giỏi trong dạy học đại số ở trờng thcs chuyên ngành: lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán mã số : 60.14.10 luận văn thạc sĩ giáo dục học Ngời hớng dẫn khoa học: TS nguyễn văn thuận vinh - 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU

1

1 Lớ do chọn đề tài

1

2 Mục đích nghiên cứu

3

3 Đối tượng nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Giả thiết khoa học 4

7 Dự kiến đóng góp của đề tài 4

8 Cấu trúc của luận văn

5

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1.Tư duy 5

1.1.1 Khái niệm 5

1.1.2 Những đặc trưng của tư duy 6

1.1.3 Đặc điểm của tư duy 8

1.1.4 Tác dụng của tư duy 11

1.1.5 Các loại hình tư duy 11

1.2 Tư duy toán học 15

1.2.1 Khái niệm 15

1.2.2 Vai trò của tư duy toán học 15

1.2.3 Những thành phần của tư duy toán học 16

1.3 Tình hình rèn luyện, phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi trong dạy học đại số ở trường trung học cơ sở Nguyên nhân 18

1.3.1 Tình hình rèn luyện phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi trong dạy học đại số ở trường trung học cơ sở nội tại 18

1.3.2 Nguyên nhân 18

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS 20

2.1 Biện pháp 1: Khai thác triệt để những tình huống có thể rèn luyện cho học

sinh khả năng suy diễn 20

2.2 Biện pháp 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh năng lực kết hợp hữu cơ giữa dự đoán và suy diễn trong quá trình giải quyết vấn đề 27

2.3 Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh biết tiến hành việc phân chia các trường hợp riêng trong quá trình giải Toán 38

2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh năng lực liên tưởng và huy động kiến thức trong quá trình tìm kiếm cách giải quyết vấn đề 50

2.5 Biện pháp 5: Sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức Đồng thời, rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng sử dụng phương tiện này trong quá trình giải Toán 57

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 61

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 62

3.1 Mục đích thực nghiệm 62

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 62

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 62

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 63

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 65

3.3.1 Đánh giá định tính 65

3.3.2 Đánh giá định lượng 67

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 74

KẾT LUẬN 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 76

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Đất nước ta đang trên đường đổi mới, cần có những con người phát triển toàn diện, năng động vá sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi

sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi mới sự nghiệpgiáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mớiphương pháp dạy học trong đó có phương pháp dạy học bộ môn toán.

Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản ViệtNam ( Khóa VIII, 1997 ) khẳng định: “… Phải đổi mới phương pháp giáo dục và đào tạo,khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học

…”

Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam, điều 24.2 đã ghi “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạocủa học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp

tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lạiniềm vui hứng thú học tập cho học sinh”

Nhận định về phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông trong những năm gầnđây, các nhà toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết: “…Kiến thức, tư duy, tínhcách con người chính là mục tiêu của giáo dục Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường tưduy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức…” Từ năm 2002, môn Toán THCS được đổimới về chương trình, về sách giáo khoa, về phương pháp dạy học, về kiểm tra đánh giá.Tuy nhiên, thực trạng dạy và học Toán ở các trường Trung học cơ sở hiện nay vẫn còncách dạy người thầy đưa ra kiến thức ( khái niệm, định lý ) rồi giải thích, chứng minh, còntrò thì cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý để từ đó học thuộc, ghi nhớ

áp dụng vào tính toán, chứng minh,… một cách máy móc, rập khuôn các bài toán do giáoviên đề ra Cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán khó kể cảcác bài toán không mấy gì là khó vẫn được giáo viên ở một số trường Trung học cơ sởhiện nay sử dụng Điều này có thể giúp cho học sinh làm đúng kết quả những bài toántheo khuôn mẫu có sẳn chứ chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ cho học sinh màcòn làm cho học sinh xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản

Lời chỉ giáo của V I Lênin: “ Không có chân lý trừu tượng, chân lý bao giờ cũng

cụ thể” là một tiền đề quan trọng để chúng ta có thể bước đầu đi vào việc nghiên cứu, rènluyện và phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh ngay từ cấp học Trung học cơ

sở

Khác với khoa học thực hiện như Vật lý, Hóa học, Sinh học,…, trong Toán học,một mệnh đề dù được kiểm nghiệm với rất nhiều trường hợp vẫn không được công nhận làđúng nếu chưa được chứng minh bằng các lập luận suy diễn có căn cứ Tư duy suy diễn

lôgic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học Chính vì vậy, một trong cácnhiệm vụ cơ bản của việc dạy học toán là bồi dưỡng cho học sinh cách suy nghĩ, cách suyluận đúng đắn, tức là rèn luyện cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với lôgic.

Nhìn chung môn Toán ở cấp Trung học cơ sở có tính trừu tượng thấp, kiến thức đểrèn luyện năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học không xuất hiện

ở dạng tường minh như ở cấp Trung học phổ thông Kiến thức để rèn luyện năng lực tưduy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh ở cấp Trung học cơ sởvẫn xuất hiện ở dạng ẩn tàng xuyên suốt trong qua trình dạy học môn Toán Do đó chúng

ta có thể rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toánhọc trong quá trình dạy học toán ở trường Trung học cơ sở Thực tiễn sư phạm cho thấynăng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh Trung học cơ

sở còn chưa được quan tâm rèn luyện và phát triển Nguyên nhân dẫn đến điều này có phảichăng là do giáo viên Trung học cơ sở chưa ý thức được tầm quan trọng, hoặc chưa cónhững biện pháp thích hợp để rèn luyện năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngônngữ toán học cho học sinh?

Có nhiều tài liệu về phương pháp dạy học toán và có một số công trình nghiên cứuliên quan đến tư duy lôgic cũng nhấn mạnh yêu cầu rèn luyện và phát triển tư duy lôgic và

sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh là một trong các nhiệm vụ quan trọngcủa dạy học toán ở trường phổ thông

Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi trong dạy học đại số ở trường THCS"

II Mục đích nghiên cứu:

Mục đích của đề tài là nghiên cứu để đưa ra một số thành tố đặc trưng đối với nănglực tư duy toán học của học sinh khá giỏi trong dạy ở trường Trung học cơ sở Đồng thờixây dựng một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện năng lực này cho học sinh và nângcao chất lượng dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở

III Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số thành tố đặc trưng của năng lực tư duytoán học và việc áp dụng các biện pháp rèn luyện tư duy toán học và áp dụng của tư duytoán học vào dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở cho học sinh khá, giỏi.Xâydựng một số biện pháp nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh khá giỏi Để từ đó

vận dụng các biện pháp này vào dạy học đại số nhằm mục đích nâng cao chất lượng dayhọc toán.

IV Nhiệm vụ nghiên cứu:

4.1 Tư duy toán học, năng lực toán học, tư duy lôgic, ngôn ngữ toán học

4.2 Một số thành tố đặc trưng cơ bản của tư duy toán học

.4.3 Một số biện pháp thực hiện “phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏitrong dạy học đại số ở trường Trung học cơ sở"

4.4 Thực nghiệm sư phạm

V Phương pháp nghiên cứu:

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu, tìm hiểu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan đến tư duytoán học

Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài

Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài

5.2 Phương pháp nghiên cứu thực tế :

Sơ bộ tìm hiểu và rút ra một số nhận xét việc “ Phát triển tư duy toán học cho họcsinh khá giỏi" qua dạy học toán ở trường Trung học cơ sở Lê Văn Thiêm thành phố HàTĩnh và một số trường Trung học cơ sở ở các phường lân cận qua dự giờ, điều tra, phỏngvấn giáo viên và học sinh

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tiến hành một số giờ dạy thực nghiệm sư phạm ở một số trường Trung học cơ sở ởthành phố Hà Tĩnh Kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm, so sánh đối chiếu giữa lớpthực nghiệm và lớp đối chứng có cùng trình độ học vấn tương đương nhằm minh họabước đầu những biện pháp đã được đề ra trong luận văn

VI Giả thuyết khoa học:

Trên cơ sở nội dung chương trình sách giáo khoa và bộ tài liệu hướng dẫn thực hiệnchuẩn kiến thức,tài liệu nâng cao, chuẩn kĩ năng bộ môn toán hiện hành, nếu trong dạyđại số giáo viên chú ý phát triển tư duy toán học cho học sinh khá , giỏi phát triển đượcnăng lực toán học cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường THCS thì sẽ góp phầnnâng cao hiệu quả dạy học toán ở nhà trường Trung học cơ sở

VII Những đóng góp của đề tài:

7.1 Về lý luận:

Góp phần làm sáng tỏ nội dung “ Phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏitrong dạy học đại số ở trường THCS”

Với đóng góp nhỏ ở trên, hy vọng luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho cácgiáo viên trẻ mới vào nghề khi thực hiện nhiệm vụ nâng cao chất lượng dạy và học môntoán ở trường Trung học cơ sở

VIII CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:

Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp nhằm góp phần Phát triển tư duy toán học của học sinhkhá, giỏi trong dạy học đại số ở trường THCS

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Theo Từ điển Giáo dục học: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, cho

phép phản ảnh được bản chất và các mối quan hệ của sự vật khách quan mà con ngườikhông nhận biết được bằng tri giác và cảm giác trực tiếp hoặc bằng biểu tượng Tư duysinh ra trong quá trình tương tác giữa con người và thế giới bên ngoài Thế giới kháchquan tác động vào tư duy của con người thông qua những nhu cầu, những vấn đề phát sinh

và những hành động giải quyết các vấn đề ấy Khi suy nghĩ, con người sử dụng nhữngkiến thức đã có và bằng những hành động nhận thức cơ bản thường dùng như: phân tích,tổng hợp, tập hợp, so sánh, phân loại, hệ thống hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, … đểkhám phá ra điều mới trong những điều đã biết, từ đó thu nhận được những hiểu biết mới.Hành động nhận thức làm phát hiện ra những đặc điểm và các mối quan hệ ẩn chứa trong

sự vật khách quan và cho ra kết quả của tư duy dưới dạng các khái niệm, phán đoán, vàsuy lý về những đặc tính và quan hệ sự vật Những kết quả của tư duy được biểu đạt bằngngôn ngữ dưới dạng các từ và câu, và vì vậy ngôn ngữ trở thành cái vỏ của tư duy, trởthành một phương tiện quan trọng để nhận thức sự vật khách quan “

Một thực tế hiện nay là chưa có một định nghĩa về tư duy mang tính khái quát thểhiện đầy đủ tính chất, đặc điểm, vai trò của tư duy Ăngghen là người nghiên cứu rất sâusắc về tư duy nhưng cũng không đưa ra được định nghĩa về tư duy Để định nghĩa tư duy,chúng tôi nhận thấy các nhà tâm lý học trong nước cũng như nước ngoài, mỗi người cómột cách hiểu riêng của mình Chẳng hạn, theo cách hiểu của X L Rubinstêin: “ Tư duy– đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàndiện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể Tư duy là sự

thâm nhập vào những tầng mới của bản thể, là giành lấy và đưa ra ánh sáng những cái chođến nay vẫn giấu kính trong cõi sâu bí ẩn: Đặt ra và giải quyết vấn đề của thực tại và cuộcsống, tìm tòi và giải đáp câu hỏi thực ra nó là như thế nào, câu trả lời đó là cần thiết đểbiết nên sống thế nào cho đúng và cần làm gì?“ A Spiếckin lại cho rằng: “ Tư duy củacon người, phản ánh hiện thực, về bản chất là quá trình truyền đạt gồm hai tính chất: Mộtmặt, con người hướng về vật chất, phản ánh những nét đặc trưng và những mối liên hệ củavật ấy với vật khác Một mặt, con người hướng về xã hội để truyền đạt những kết quả của

tư duy của mình’’ Hay : “ Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ

- quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần haykhái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thựctiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó’’

Tư duy của con người mang bản chất xã hội – lịch sử, có tính sáng tạo, có khả năngkhái quát và sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện Tư duy con người được quy định bởi cácnguyên nhân, các yêu cầu của quá trình phát triển lịch sử - xã hội, chứ không dừng lại ởmức độ tư duy bằng các thao tác chân tay hay bằng một chương trình đã được lập sẳn Cóthể nói một cách khái quát, các nhà tâm lý học Mác-xít, trên cơ sở của chủ nghĩa duy vậtbiện chứng, đã khẳng định: Tư duy là sản pjẩm cao cấp của một dạng vật chất hữu cơ có

tổ chức cao, đó là bộ não con người Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phươngtiện ngôn ngữ, sản phẩm có tính chất xã hội cao để nhận thức tình huống có vấn đề, đểtiến hành các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóanhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lý, những quy luật – những sản phẩm kháiquát của tư duy

1.1.2 Những đặc trưng của tư duy:

Một số đặc trưng cơ bản của tư duy đó là:

Thứ nhất: tư duy là một dạng hoạt động tri thức diễn ra trong ý thức con người, có

nguồn gốc thực tiễn Dạng hoạt động này có cơ cấu gồm các hành động và thao tác của trí

óc Những hành động và thao tác trí óc có nguồn gốc từ những hành động và thao tác thựctiễn trong lao động của con người, lao động xét như là phương thức tồn tại phổ biến củacộng người Chính nhận thức đã phản ánh lao động vào trong bộ não người, cải biến đi ở

trong đó các hành động và thao tác trí óc Sự phát triển của lao động quyết định sự xuấthiện và hoàn thiện các hành động, các thao tác trí óc trong tư duy của con người, ngược lại

sự phát triển của tư duy con người cũng có tác dụng hoàn thiện các hành động và thao tácthực tiễn trong lao động của học

Thứ hai: tư duy là một dạng nhận thức nảy sinh khi có những hệ thống tri thức làm

tiền đề Các tri thức tiền đề đều được đem lại bởi nhận thức, nhưng để được đưa vào quátrình tư duy nào đó, chúng phải có nội dung hoạt động và phù hợp với lôgic hoạt động củalao động, tức là phù hợp với tính quy luật của những hành động và thao tác thực tiễn củalao động Tư duy sảb sinh ra tri thức dựa trên hệ tri thức có trước làm tiền đề, chỉ có thể cónhận thức mà chưa có tư duy Nếu chỉ dựa trên một số hữu hạn những tri thức làm tiền đềthì quá trình tư duy sẽ có lúc phải dừng lại Cho nên để tư duy liên tục diễn ra thì phảithường xuyên bổ sung thêm những tri thức mới, những tài liệu mới được đem lại bởi nhậnthức trên cơ sở vận động của hiện thực và sự phát triển của lao động

Thứ ba: với tư cách là hệ tri thức hoạt động sản sinh ra tri thức, tư duy con người đòi

hỏi một bộ máy công cụ và phương tiện nấht định Không có bộ máy này thì hệ tri thứckhông thể đi vào hoạt động và vì thế, cũng không có tư duy Các công cụ của tư duy, nhưkhái niệm, phán đoán, suy lý, là những hình thức mà trong đó, tri thức được tập trung, tổchức lại và đi vào hoạt động Tư duy còn đòi hỏi các phương tiện để cố định lại, kháchquan hóa và truyền bá tri thức Chính các tín hiệu, dấu hiệu, ngôn ngữ là những phươngtiện của tư duy con người, trong đó ngôn ngữ là phương tiện phổ biến và hữu hiệu nhất.Ngôn ngữ tham gia vào các quá trình tư duy với tư cách là cái chứa đựng các nghĩa biểuđạt cho sự vật mà thoạt đầu, có hình thái vật chất bên ngoài với chức năng phát âm thôngbáo, về sau chức năng này giảm dần và chuyển thành lời nói bên trong, có chức năngchuyên chở các ý nghĩ Mặc dù vậy, sự phát triển của tư duy cũng không làm cho hìnhthức vật chất bên ngoài của ngôn ngữ mất đi mà ngược lại, nó luôn được duy trì và pháttriển

Thứ tư: tư duy xuất hiện khi mà trong cuộc sống, con người vấp phải những vấn đề

nào đó và do đó, nó luôn có ít lượng nhất Tư duy không diễn ra nếu con người không vấpphải những vấn đề trong cuộc sống của họ và với tư cach là hoạt động tri thức, tư duy

không thể không có đối tượng Khi có một vấn đề thực tiễn hay nhận thức mà với nhữngtri thức cũ hay cách làm cũ, con người không giải quyết được hoặc giải quyết không cóhiệu quả thì quá trình tư duy diễn ra với tư cách là sự huy động khối tri thức mà họ đã lĩnhhội được để tìm ra các giải pháp mới Do các giải pháp này là những giải pháp cho hoạtđộng, nên tư duy chỉ có thể tìm ra chúng trong quá trình nhận thức những đối tượng nhấtđịnh Cùng với việc tìm ra các giải pháp cho hạot động của con người, tư duy còn tạo racho họ những tri thức mới.

Thứ năm: tư duy là một chức năng của não người và với tư cách này, nó là một quá

trình tự nhiên, song mặt khác, tư duy cũng không tồn tại bên ngoài xã hội, bên ngoài khốikiến thức và các phương thức hoạt động mà loài người đã sáng tạo ra và tích lũy được.Mỗi con người cụ thể trở thành chủ thể tư duy không chỉ vì họ có bộ não, mà quan trọnghơn là vì, trong quan hệ xã hội – giao tiếp, họ nắm được ngôn ngữ và thông qua ngôn ngữ,

họ lĩnh hội được các tri thức, các công cụ, các thao tác lôgic do loài người sáng tạo ra Và

do vậy, tư duy là một chức năng của bộ não người có tính xã hội – lịch sử, là một sảnphẩm của lịch sử xã hội

1.1.3 Đặc điểm của tư duy:

Thuộc bậc thang nhận thức cao – nhận thức lý tính – tư duy có những đặc điểmmới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau:

+ Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những tình huống có vấn đề: khi gặp những hoàncảnh, những tình huống mà vốn hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của conngười không đủ để giải quyết, lúc đó con người rơi vào “ hoàn cảnh có vấn đề’’ ( hay gọi

là “tình huống có vấn đề" ) khi ấy con người phải vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết và

đi tìm cái mới, hay nói khác đi, con người phải tư duy

+ Tư duy có tính khái quát: tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung,những mối quan hệ, quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng Do vậy tưduy mang tính khái quát

+ Tư duy có tính gián tiếp: ở mức độ nhận thức cảm tính, con người phản ánh trựctiếp sự vật, hiện tượng bằng giác quan của mình, và ta cũng chỉ có được những hình ảnh

cảm tính về các sự vật, hiện tượng đó Trong tư duy, con người phản ánh thế giới mộtcách trực tiếp – phản ánh bằng ngôn ngữ.

+ Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và ngôn ngữ cóquan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất với nhau Sựthống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tưduy Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy trong sự diễn biến của quá trình tưduy nhờ sự tham gia của hệ thống tín hiệu thứ hai ( ngôn ngữ ) mà con người tiến hànhcác thao tác tư duy, cuối cùng sản phẩm của quá trình tư duy là những khái niệm, phánđoán, suy lý được biểu đạt bằng từ, ngữ, câu,

“ Đặc điểm điển hình của tư duy của con người là mối quan hệ không thể chia cắtđược giữa tư duy và ngôn ngữ Để nhận thức, tư duy của con người chỉ có thể thực hiệnthông qua ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của tư duy của con người khác vớitính chất thuần túy sinh vật của hoạt động tâm lý của động vật’’

+ Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt đầu từ nhậnthức cảm tính, dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫnchứa đựng những thành phần cảm tính ( cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan, ) X L.Rubinstêin khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng,tưa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy’’ Tư duy và nhận thức cảm tính thuộc hai mức

độ nhận thức khác nhau, nhưng không tách rời nhau, có quan hệ chặt chẽ bổ sung chonhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận thức thống nhất và biện chứng Ngược lại,

tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác và tri giác, làmcho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của conngười tính lựa chọn, tính ý nghĩa

+ Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư duy cónảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhauđược minh họa bởi sơ đồ sau ( do nhà Tâm lý học Liên Xô ( cũ ) K K Plantônôv đưa

ra ):

12

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thiết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hóa

+ Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra bằng cáchchủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham giavào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, sosánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…

1.1.4 Tác dụng của tư duy:

“ Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tư duy để nhậnthức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó tronghoạt động thực tiễn của mình”

1.1.5 Các loại hình tư duy:

Có rất nhiều loại hình tư duy như tư duy lôgic, tư duy biện chứng, tư duysáng tạo, tư duy kinh nghiệm, tư duy lý luận,… Vế bản chất tư duy chỉ có một, đó là sựviệc hình thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các phần tử ghi nhớ Sự phân chiacác loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu hơn và vận dụng tốt tư duy trong hoạt độngcủa hệ thần kinh

Có nhiều cách phân loại tư duy Sau đây là một số cách phân loại tư duy:

1.1.5.1 Cách phân loại thứ nhất: phân loại dựa trên lịch sử hình thành và phát triển tư duy

thì có thể chia thành 3 loại tư duy:

a/ Tư duy trực quan-hành động: là loại tư duy bằng các thao tác cụ thể, tay chân,hướng vào việc giải quyết một số tình huống cụ thể, trực quan

b/ Tư duy trực quan-hình ảnh: là loại tư duy mà việc giải quyết các vấn đề dựa vàocác hình ảnh của sự vật, hiện tượng

c/ Tư duy trừu tượng ( tư duy ngôn ngữ - lôgic ) là loại tư duy phát triển ở mức caonhất, chỉ có người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm, cácmối quan hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện

Ba loại tư duy nói trên có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung và chi phối lẫn nhau,trong đó tư duy trực quan-hành động, tư duy trực quan-hình ảnh là hai loại tư duy có trướclàm cơ sở cho tư duy trừu tượng

1.1.5.2 Cách phân loại thứ hai: phân loại dựa vào lôgic hình thức và lôgic biện chứng thì

có 2 loại tư duy:

a/Tư duy hình thức: là loại tư duy dựa vào lôgic hình thức

Lôgic hình thức là khoa học nghiên cứu những hình thức của tư duy ( kháiniệm, phán đoán, suy luận, chứng minh ) từ khía cạnh kết cấu lôgic hay hình thức, tức là

bỏ qua nội dung cụ thể của các đối tượng, chỉ tách ra những phương thức liên hệ giữa các

bộ phận của nội dung mà thôi Lôgic hình thức chỉ quan tâm đến các đối tượng dưới dạngtĩnh, cô lập Nhiệm vụ chính là xây dựng các quy tắc, quy luật mà sự tuân thủ là điều kiệncần thiết để đạt đến những kết quả chân thực trong quá trình thu nhận tri thức

Sau đây là một số quy luật cơ bản của lôgic hình thức:

+ Quy luật đồng nhất: nói rằng tính xác định của tư tưởng là điều kiện tồn tại củanó: A = A

+ Quy luật không mâu thuẫn: A và A không thể đồng thời cùng đúng

(A  A)

+ Quy luật bài trung: hai phán đoán A và A không thể đồng thời cùng sai

A

A  + Quy luật có lý do đầy đủ: mỗi luận điểm muốn được coi là hoàn toàn đáng tincậy, thích hợp cho việc chứng minh, phải là luận điểm đã được chứng minh tức là phảibiết các lý do đầy đủ nhờ đó nó được coi lại chân thực

AB B,A

+ Quy luật phản đảo: A  B  B  A

Cuối thế kỉ XIX, bước ngoặt chủ yếu của sự phát triển lôgic hình thức là lôgic toán( hay lôgic ký hiệu ) nhờ áp dụng những phương pháp hình thức của toán học, dựa trênviệc sử dụng ngôn ngữ đặc thù của các ký hiệu và các công thức

Trong lôgic toán, tư duy có nội dung lôgic ( những quá trình lập luận và chứngminh )

b/ Tư duy biện chứng: là loại tư duy dựa vào lôgic biện chứng

Lôgic biện chứng nghiên cứu những quy luật chung nhất của sự phát sinh phát triểncủa tư duy, giúp chúng ta nắm vững sự vật

Là một bộ phận của nhận thức, lôgic biện chứng vận động theo quy luật của phépbiện chứng, của nhận thức và quy luật đặc thù của bản thân nó Có thể nêu lên một số quyluật sau đây:

* Những quy luật của phép biện chứng là những quy luật của lôgic biện chứng.+ Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập vạch ra nguồn gốc của sựphát triển Ăngghen viết: “… trong bản thân các sự vật và các quá trình, có một mâu thuẫnkhách quan … sự sống trước hết chính là ở chỗ một sinh vật trong mỗi lúc vừa là nó vừa

là một cái khác Như vậy sự sống cũng là một mâu thuẫn tồn tại trong bản thân các sự vật

và các quá trình, tự đế ra và tự giải quyết không ngừng, và khi mâu thuẫn đã hết thì sựsống cũng không còn nữa và cái chết xảy ra Cũng như chúng ta đã thấy rằng trong lĩnhvực tư duy cũng vậy, chúng ta không thể thoát khỏi mâu thuẫn? Chẳng hạn như mâu thuẫngiữa năng khiếu nhận thức vô tận bên trong của con người với sự tồn tại thực tế của năngkhiếu ấy trong những con người bị hạn chế bởi hoàn cảnh bên ngoài… Mâu thuẫn nàyđược giải quyết trong sự tiếp nối của các thế hệ”

+ Quy luật từ lượng đổi dẫn đến chất đổi vạch ra hình thái của sự phát triển Khixem xét mọi sự vật hiện tượng như những “độ”, trong đó tính quy định về chất bao giờcũng phụ thuộc vào “ một số lượng”, mặc dù có thể xê xích trong những giới hạn nhấtđịnh Đặc biệt yết tố nhảy vọt, tức là sự đứt đoạn của cái liên tục trong sự phát triển Lêninviết: “Sự chuyển biến biện chứng khác sự chuyển biến không biện chứng ở chỗ nào? Ởbước nhảy vọt, ở tính mâu thuẫn, ở sự đứt đoạn của tính liên tục, ở sự thống nhất giữa tồntại và không tồn tại”

+ Quy luật phủ định của phủ định vách ra chiều hướng của sự phát triển Nhữnghình thức phủ định cũng có muôn hình muôn vẻ theo các hình thức khác nhau của tư duycũng như các hoạt động lôgic cụ thể, cái trực tiếp bị cái gián tiếp phủ định, cái cụ thể bị

cái trừu tượng phủ định, cái cảm tính và cái lý tính, cái đơn nhất và cái phổ biến, cái quynạp và cái diễn dịch, cái phân tích và tổng hợp… mỗi một phủ định đều bao hàm cả việcduy trì cái tích cực và xóa bỏ cái tiêu cực và phát triển một cách biện chứng từ cái tích cựcấy.

* Quy luật nhận thức: Lôgic biện chứng không những tuân theo quy luật của phépbiện chứng, mà còn tuân theo và thể hiện quy luật của nhận thức trong toàn bộ quá trìnhhình thành và phát triển của tư duy lôgic Lý luận nhận thức không những vạch ra nguồngốc và bản chất của nhận thức, mà còn vạch ra quy luật phát triển của nhận thức và Lênin

đã thể hiện trong luận đề có tính quy luật sau: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừutượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” Đó là con đường nhận thức chân lý của sựnhận thức hiện thực khách quan

1.1.5.3 Cách phân loại thứ ba: phân loại dựa vào tính chất, kết quả của quá trình tư duy

thì có thể chia thành 3 loại tư duy:

a/ Tư duy tích cực: là loại tư duy dựa vào tính tích cực nhận thức của học sinh trongquá trình học tập “ Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạt động của học sinh, đặc trưngbởi khác vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nổ lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức”

b/ Tư duy độc lập: là loại tư duy dựa vào tính độc lập nhận thức của học sinh trongquá trình học tập Theo Anistôva, B P Êxipov “ Tính độc lập là năng lực cá nhân họcsinh tham gia hoạt động mà không có sự can thiệp từ bên ngoài” Theo nghĩa rộng, bảnchất của tính độc lập nhận thức là sự chuẩn bị về mặt tâm lý cho sự tự học… Theo nghĩahẹp: Tính độc lập nhận thức là năng lực, nhu cầu học tập và tính tổ chức học tập, cho phéphọc sinh tự học

c/ Tư duy sáng tạo: là tư duy tạo ra được cái gì mới Tuy nhiên, học sinh trong quátrình sáng tạo, tạo ra cái mới không phải chủ yếu đối với xã hội mà là đối với chủ quanmình, nhưng cái mới ấy đồng thời cũng có ý nghĩa xã hội, bởi vì khi đó cá nhân được hìnhthành và biểu lộ

1.1.5.4 Cách phân loại thứ tư: phân loại dựa vào dấu hiệu cấu trúc khác nhau của hiện

thức

a/ Tư duy hình tượng: là tư duy biến đổi cấu trúc của tri giác Những dấu hiệu cấutrúc của hiện thực trong trường hợp này là những quan hệ của các đối tượng và nhữngthuộc tính cảm tính của chúng trong tri giác ( trong đó có cả dấu hiệu như “gần hơn-xahơn” “nhỏ hơn-lớn hơn” “giống nhau – không giống nhau” Tư duy đi theo con đường

xây dựng lại cấu trúc thị giác, trong đó lời giải bài toán tìm được nhờ biến đổi hình dạngcủa hình không phải sử dụng các khái niệm toán học trừu tượng).

b/ Tư duy thực hành: là tư duy dựa vào những mối liện hệ và những thuộc tính chứcnăng và những hoạt động của các sự vật mà con người đã biết qua kinh nghiệm

c/ Tư duy khoa học: là tư duy dựa vào những quy luật và những thuộc tính kháchquan, bản chất do khoa học xác định Những tri thức về các mối quan hệ của các sự vậtđược củng cố trong cấu trúc của các khái niệm và luận điểm khoa học, còn tư duy đượcthực hiện bằng con đường liên kết những khái niệm và những phán đoán này với nhau vànhững biến đổi tương ứng của chúng

d/ Tư duy lôgic: là tư duy thay thế các hoạt động với các sự vật có thực bắng sự vậndụng các khái niệm theo quy tắc của lôgic học Những dấu hiệu cấu trúc của hiện thực mà

tư duy dựa vào là các quan hệ của các khái niệm như: quan hệ giữa giống và loài, chủ ngữ

và vị ngữ, phủ định và khẳng định, liên kết và phân ly, cái riêng và cái chung, cái trừutượng và cái cụ thể,… những tri thức về các quan hệ của các sự vật được củng cố trongcấu trúc lôgic của tư duy còn bản thân tư duy được thể hiện trong việc sử dụng các cấutrúc này để xây dựng và biến đổi các khái niệm

e/ Tư duy khái quát: là tư duy dựa vào hoạt động khái quát hóa Khái quát hóa làthao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào đó có ngoại diên dẹp sang kháiniệm hay tính chất có ngoại diên rộng hơn bao gồm các đối tượng ban đầu

1.1.5.5 Cách phân loại thứ năm: dựa vào các dấu hiệu đặc thù của đối tượng tư duy, ví dụ

như trong tư duy toán học ta chú ý tới tư duy hàm, tư duy thuật toán,… Khi xuất phát từngôn ngữ toán học ta có tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp,…

1.2 Tư duy toán học:

1.2.1 Khái niệm:

“Tư duy toán học được hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứngtrong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay trong quá trình áp dụng toánhọc vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốc dân,… Thứ hai, tư duy toán học cócác tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụngcác phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế gới hiện thực, cũng nhưbởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng”

“Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạng không gian vànhững quan hệ số lượng của thế giới hiện thực Hình thức của tư duy toán học là kháiniệm, phán đoán, suy luận, chứng minh” ( Nguyễn Văn Lộc - Tr16,27)

1.2.2 Vai trò của tư duy toán học:

Giáo dục toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp, nhằm đạt các mục tiêu: a/ Truyền thụ cho học sinh một hệ thống nhất định những kiến thức cơ bản củaToán học;

b/ Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng và kỹ xảo toán học;

c/ Phát triển tư duy toán học của học sinh

“ Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn đề thứ nhất và vấn đề thứhai trong số các vấn đề trên, sẽ tự nó kéo theo việc giải quyết vấn đề thứ ba Có nghĩa làcho rằng, sự phát triển tư duy toán học diễn ra một cách tự phát trong quá trình giảng dạyToán Trong một chừng mực nào đó, điều này có thể đúng, nhưng chỉ trong một chừngmực nào đó mà thôi”

“ Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt độngtóan học học của học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách cóphương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệthống các kiến thức và kỹ năng toán học”

1.2.3 Những thành phần của tư duy toán học:

Các thành phần chủ yếu của tư duy toán học gồm:

1) Tư duy cụ thể;

2) Tư duy trừu tượng;

3) Tư duy trực giác;

4) Tư duy hàm;

5) Tư duy biện chứng;

6) Tư duy sáng tạo;

7) Các phong cách toán học của tư duy

Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể được tách thành:

 Tư duy phân tích;

 Tư duy lôgic;

 Tư duy lược đồ không gian

Theo nhà toán học nổi tiếng A Ia Khinshin thì những nét độc đáo của tư duy toánhọc là:

1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;

2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích;

3) Phân chia rành mạch các bước suy lậun;

4) Sử dụng chính xác các ký hiệu ( mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa xác địnhchặt chẽ );

5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận

Theo nhà Tâm lý học V A Cruchetxki: “ Những năng lực toán học được hiểu lànhững đặc điểm tâm lý cá nhân ( trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứngnhững yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc nhưnhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng,sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học”

Theo nhà Tâm lý học V A Cruchetxki, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toánhọc ở lứa tuổi học sinh như sau:

1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học:

Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm được cấu trúc hìnhthức vcủa bài toán

2) Về mặt chế biến thông tin toán học:

a) Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ khônggian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu số; năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán học

b) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và cácphép toán của Toán học

c) Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tươngứng; năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn

d) Tính linh hoạt mềm dẻo của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học

e) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, tính đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lýcủa lời giải

f) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng thay đổi phương hướng của quá trình tư duy,năng lực chuyển tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo ( trong suy luận toánhọc)

3) Về mặt lưu trữ thông tin toán học:

Trí nhớ toán học ( tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học; về các đặc điểmđiển hình; về các sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc,đường lối giải toán)

4) Về thành phần tổng hợp khái quát:

Khuynh hướng toán học của trí tuệ

Các thành phần nêu trên quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫn nhau và hợpthành một hệ thống duy nhất, một cấu trúc toàn vẹn của năng lực toán học.

1.3 Tình hình rèn luyện, phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi trong dạy học đại số ở trường trung học cơ sở Nguyên nhân.

dạy học đại số ở trường trung học cơ sở:

Qua phiếu phỏng vấn, trao đổi với giáo viên và qua dự giờ một số giáo viên ở cáctrường trung học cơ sở ở thành phố Hà Tĩnh, chúng tôi nhận thấy tình hình rèn luyện tưduy toán học ở trường trung học cơ sở như sau:

a) Khi dạy các kiến thức toán học, một số giáo viên chỉ trình bày, giới thiệu các kiến thức

đó, mà không giải thích để học sinh hiểu rõ bản chất của kiến thức toán học

b) Trong quá trình học toán, học sinh ít được rèn luyện vận dụng các kiến thức toán học đãhọc để giải quyết các đề trong thực tế cuộc sống ( dù rằng ở Trung học cơ sở các bài toándạng này rất nhiều ) nên khi gặp những bài toán thực tế, học sinh thường bị lúng túngkhông biết giải như thế nào

c) Trong dạy học toán, học sinh ít được tạo cơ hội để tự mình suy luận những vấn đề màbản thân học sinh có thể suy luận được Bên cạnh đó học sinh cũng ít được diễn đạt nhữngkiến thức toán học theo ý riêng của mình mà chủ yếu là rập khuôn trong sách giáo khoahoặc theo những gì giáo viên cho học sinh ghi

d) Nhìn chung trong quá trình học toán học sinh bộc lộ những yếu kém về tư duy lôgic và

sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học Điều này dẫn đến tính thiếu chính xác trong quátrình lập luận khi giải toán, trong việc phát biểu kiến thức toán học dưới dạng ngôn ngữ tựnhiên cũng như ngôn ngữ toán học

Từ những điều nói trên, chúng ta có thể nhận thấy rằng tình hình rèn luyện tư duytoán học của học sinh ở trường trung học cơ sở chưa được giáo viên quan tâm đúng mứcvới ý nghĩa và tầm quan trọng của nó

1.3.2 Nguyên nhân:

Tình hình rèn luyện tư duy toán học cho học sinh ở trường trung học cơ sở nhưphần trên đã trình bày là có nhiều hạn chế Qua tìm hiểu trực tiếp chúng tôi nhận thấy cómấy nguyên nhân sau đây:

1 Giáo viên chưa hiểu tư duy toán học một cách đầy đủ

2 Giáo viên chưa thấy tầm quan trọng của tư duy toán học trong quá trình dạy họctoán.Giáo viên chưa biết rõ biện pháp, cách thực hiện rèn luyện tư duy toán học cho họcsinh là như thế nào.

3 Giáo viên ngại khối lượng kiến thức trong một tiết dạy khá nhiều ( tuy có giảmtải )

4 Trình độ học sinh nói chung chưa đồng đều, ít chịu suy nghĩ mà chỉ tập trungnghe, ghi và nhớ Hơn nữa giáo viên cũng thường hay chú ý đến kết quả đúng khi học sinhlàm bài, ít chú ý đến quá trình trình bày của học sinh Đây là hậu quả của tính trạngphương pháp dạy học được đổi mới nhưng chưa triệt để, đồng bộ hiện nay

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI

TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS

2.1 Biện pháp 1: Khai thác triệt để những tình huống có thể rèn luyện cho học sinh khả năng suy diễn

2.1.1 Nhận xét về dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay, tác giả Nguyễn Bá Kim

viết: “Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, việc dạy học theo kiểu thuyết trình

tràn lan vẫn đang ngự trị” [17, tr 111] Thử liên hệ với thực trạng vấn đề rèn luyện kỹ

năng suy diễn cho học sinh THCS trong dạy học môn Toán, thì sẽ thấy sự xác đáng của lời

Hai là, thầy giáo thường “bao biện”, tiến hành những bước suy diễn mà học sinh cần

và có thể tự mình giải quyết được.

Ba là, có những bước suy diễn mà với thầy giáo thì rất “tầm thường”, bởi thế, nhầm

tưởng rằng với HS thì cũng như vậy, do đó lướt qua rất nhanh, không để cho HS suy nghĩ

“Thực ra không phải như vậy, trước khi trình bày một kiến thức nào đó thì thầy giáo đãlàm việc với nó khá nhiều lần rồi, nhưng còn đối với HS, thì đây là lần đầu tiên được tiếpxúc với nó”

Bốn là, chưa sử dụng được một hệ thống câu hỏi và bài tập hợp lý, mềm dẻo và linh hoạt với từng đối tượng HS Nhiều bài tập còn trùng lặp về dạng, chỉ đòi hỏi áp dụng theo

công thức Còn thiếu những câu hỏi và bài tập rèn luyện kỹ năng suy luận diễn dịch, chưakhai thác triệt để những tình huống có thể phát triển khả năng suy diễn cho HS

Năm là, chưa khai thác tốt mối liên hệ giữa các chủ đề kiến thức với nhau thông qua

những bước suy diễn không đến nỗi phức tạp “Lôgic của Toán học không chỉ bao gồmcác cách diễn đạt và chứng minh riêng lẻ, mà còn ở tính hệ thống và hoàn chỉnh của nó”[37, tr 59]

Theo Nguyễn Bá Kim: “Tri thức không phải là điều có thể dễ dàng cho không Đểdạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường không thể trao ngay cho HS điều thầy muốndạy, cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để HSchiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo” [17, tr 144].Các tác giả A V Pêtrôvxki - L B Itenxơn [23, tr 60] cũng thể hiện quan điểm nhưvậy

Do đó, muốn hình thành và phát triển kỹ năng suy diễn cho HS, không thể chỉ đơnthuần thầy giáo tiến hành các bước suy diễn để HS theo dõi, không thể chỉ nêu những câu

hỏi và ra những bài tập không tương thích với mục đích phát triển kỹ năng suy diễn Lý

thuyết tình huống đã khẳng định: “Một môi trường không có dụng ý sư phạm là không đủ

để chủ thể kiến tạo được tất cả các kiến thức mà xã hội mong muốn họ lĩnh hội được” [17,

tr 211]

Chúng ta biết rằng, dạy Toán là dạy hoạt động toán học [36, tr 12] “Mỗi nội dungdạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Phát hiện được những hoạtđộng tiềm tàng trong một nội dung cụ thể là cụ thể hoá được mục đích dạy học nội dung

đó, chỉ ra được cách thực hiện mục đích này, đồng thời vạch được một con đường đểngười học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những mục đích dạy học khác Cho nên,điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác được những hoạt động tiềm tàng trongnội dung để đạt được mục đích dạy học Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ hữu cơgiữa mục đích, nội dung và phương pháp dạy học” [17, tr 120, 121]

2.1.2 Để phát triển khả năng suy diễn cho HS, cần:

a) Tạo ra nhiều cơ hội, nhiều tình huống để HS được tập dượt, được tiến hành các

hoạt động suy diễn Cần khai thác trên mọi nội dung, trong dạy khái niệm; dạy định lý; dạy giải bài tập Không bỏ lỡ những tình huống cho dù với thầy giáo là rất dễ, “không gán

ép sơ đồ lôgic của một trí óc đã hiểu được môn học cho một trí óc đang đấu tranh để hiểuđược nó” (J Dewey)

Giáo viên xây dựng công thức cho câu còn lại và hướng dẫn học sinh tự ra đề và tựlàm dạng này

b) Với một số tính chất; hệ quả có thể suy ra một cách trực tiếp từ định lý trước đó,

mà không phải trải qua nhiều bước suy diễn, thì nên để HS độc lập chiếm lĩnh

Viện sĩ A Đ Alêcxanđrôv đã phát biểu rằng: “Nếu chúng ta muốn dạy tư duy lôgicthì phải dạy chính nó chứ không phải dạy lập luận có sẵn Vì vậy, các cách diễn đạt và cáccách chứng minh phải được xem như là các bài tập về tư duy lôgic Tự mình lĩnh hội đượcmột vài kết luận nho nhỏ cũng có ích hơn nhiều, lí thú hơn nhiều so với học thuộc nhữnglập luận xa lạ” [37, tr 59]

V A Cruchetxki: “Nếu HS biết không phải một trăm, mà chỉ năm chục định lý thôi,nhưng khi cần thiết biết tự chứng minh nốt năm chục định lý kia, thì sẽ tốt hơn”

Xét thêm một ví dụ khác: sau khi học Bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm

c) Chú trọng khai thác những tình huống, mà ở đó, hoạt động suy diễn sẽ dẫn tới

những áp dụng để giải quyết một số vấn đề có liên quan Đồng thời lưu ý vấn đề gợi động

cơ và truyền thụ tri thức phương pháp trong những trường hợp này.

Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học môn Toán được thể hiện ở các tưtưởng chủ đạo sau đây:

- Cho HS thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tươngthích với nội dung và mục đích dạy học;

- Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;

- Dẫn dắt HS chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện vàkết quả của hoạt động;

- Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học [17, tr 27]

Nói riêng, việc tập luyện cho HS các hoạt động suy diễn nên vận dụng Quan điểm

hoạt động được thể hiện qua các tư tưởng chủ đạo nói trên.

Sau khi dạy HS định nghĩa giá trị tuyệt đói của một số thì từ định nghĩa các em cónhận xét gì về dấu của giá trị tuyệt đối một số?

(Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số là số đo khoảng cách từ điểm đó đến điểm 0trên trục số)

Học sinh có thể chưa trả lời được trị tuyệt đối của một số thì không âm thì giáo viên

có thể dùng câu hỏi dẫn dắt độ dài đoạn thẳng mang dấu gì?

Đến đây học sinh sẽ trả lời được độ dài đoạn thẳng là một số dương Cũng từ địnhnghĩa giáo viên xây dựng cho học sinh các nhận xét quan trọng về giá trị tuyệt đối

Sau khi các em giải bài tập dạng đơn giản trên với học sinh khá, giỏi giáo viên có thể

ra một số bài tập ở dạng cao hơn

Ví dụ3: Tìm x

a) 2x 1 = 2x-1

b) 2x 1= x+2

c) x 2 1= 2x+1

Học sinh dựa vào kiến thức đã hoc sẽ đưa các cách giải khác nhau

Ở bài a học sinh chỉ cần sử dụng tính chất a = a Nếu a ≥o 0

Sau đó xét 2 trường hợp rồi đi đến kết quả

Có thể một số em khác sẽ giải vì 2x  1 0 với  x nên x + 2 ≥o 0 => x ≥o -2

Với điều kiện đó ta có  22x x   11 x x2 2 rồi đi đến kết quả

Ví dụ 4 : Tìm GTNN của các biểu thức:

A = x2 +2x + 3

B = x2+ (x2 + 2)2 + 2

C = x2 + 4xy - 4 y + 5y2 - 2x + 3

Khi học sinh học xong HĐT thì các em có thể làm các bài tập trên

Rõ ràng mức độ của 3 bài trên là từ dễ đến khó giáo viên gợi ý để học sinh có thểđưa về bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu

a, A = x2 + 2x + 3 = (x+1)2 + 2 ≥o 2 vì (x+ 1)2 ≥o 0

vậy Amin=2 khi và chỉ khi x=-1

Nhưng ở bài b học sinh dễ mắc sai lầm

Vì x2 ≥o 0 , (x+1)2 ≥o 0 => B ≥o 2 Vậy nên B = 2 nhưng dấu bằng không xẩy ra

Từ đó hướng dẫn các em chuyển và dạng của bài a

Để củng cố, có thể cho khá giỏi giải chẳng hạn các bài toán sau:

1) Tìm m sao cho phương trình x2 + x + m = 0 có nghiệm duy nhất

2) Tìm a để phương trình x  1  x = a có nghiệm duy nhất

(Nếu x0 là nghiệm thì 1 - x0 cũng là nghiệm, suy ra x0 = 1 - x0, suy ra a = 2.Ngược lại, nếu a = 2 thì cũng dễ thấy rằng phương trình có nghiệm duy nhất)

Đối với HS khá, giỏi, có thể cho họ giải Bài toán sau:

3) Tìm k để phương trình 1  x 2 + 23 1 x 2 = k có nghiệm duy nhất

Ví dụ5: Khi dạy về hàm số đồng biến, nghịch biến, có thể cho HS trả lời câu hỏi:

- Giả sử f(x) là hàm số đồng biến trên (a; b), có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai

số x1, x2 khi biết rằng hai số này thuộc (a; b) và f(x 1 ) = f(x 2 )?

Liên quan đến câu hỏi này, thầy giáo cần hình dung trước tình huống sau đây:

Một số HS, do không nắm vững khái niệm, không nắm vững các quy tắc suy luận nên

đã “nhanh nhảu” cho kết quả x1 = x2

Rất có thể họ đã lập luận như sau: Nếu x1 = x2 thì f(x1) = f(x2), mà f(x1) = = f(x2 ),nên x1 = x2 (!?)

Thực ra, kết quả x1 = x2 là đúng nhưng suy luận thì không đúng Những HS này đã

lầm tưởng rằng có “quy tắc” suy luận:

A

B , B

A 

Thầy giáo cần phải căn cứ vào nhận thức của mình về đặc điểm của từng HS trong lớp để đoán biết được trong những em trả lời x1= x2, em nào có khả năng đã phạm phải

sai lầm và có cách chấn chỉnh kịp thời.

Xin trở lại vấn đề động cơ và truyền thụ tri thức phương pháp qua ví dụ này: sau khi

HS khẳng định rằng x1 = x2 , thầy giáo có thể nhấn mạnh:

Như vậy phương trình f(x) = m, với f(x) đồng biến trên (a; b), m là một số cố định,

không thể có quá một nghiệm trong (a; b) Nhờ vào nhận xét này, ta có thể giải được một

số phương trình theo cách nhẩm nghiệm và khẳng định sự duy nhất của nghiệm.

Để khắc sâu, có thể cho HS giải chẳng hạn bài toán sau:

1) Giải phương trình x  x  1 = 1

2) Tìm x sao cho x3 + 2x - 12 = 0

Cần lưu ý điểm sau:

Để phù hợp với trình độ của HS khá giỏi lớp 9 và phù hợp với đặc thù cách giải

phương trình, chỉ nên đưa những phương trình mà việc nhẩm nghiệm không khó lắm

2.2 Biện pháp 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh năng lực kết hợp hữu cơ giữa

dự đoán và suy diễn trong quá trình giải quyết vấn đề

2.2.1 Khi xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễn lôgic, cụ thể là dùng Phương

pháp tiên đề: xuất phát từ những khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy

tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm và chứng minh các mệnh đề khác [17, tr 43]

Nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi vàphát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và

“quy nạp”

Nhà toán học và là nhà sư phạm nổi tiếng người Mỹ - G Pôlya - đã phát biểu rằng:

“Toán học được coi như là một môn khoa học chứng minh Tuy nhiên, đó mới chỉ là mộtkhía cạnh của nó Toán học hoàn chỉnh, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, đượcxem như chứng minh thuần tuý, chỉ bao gồm các chứng minh Nhưng Toán học trong quátrình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành Bạnphải dự đoán về một định lý toán học trước khi bạn chứng minh nó Bạn phải dự đoán về ýcủa chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết ( ) Nếu việc dạy Toán phản

ánh ở mức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào, thì trong việc giảng dạy đó,phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý” [25, tr 6].

Các tác giả của Giáo dục học môn Toán nhận xét: “Trong việc giảng dạy và học tập

môn Toán, việc tách rời giữa suy luận quy nạp và suy diễn là một nguyên nhân rất cơ bảncủa việc kìm hãm sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh” [10, tr 90]

Tuy nhiên, “trong việc dạy Toán ở nhà trường hiện nay, do chỉ chú ý truyền thụ kiếnthức mà không chú ý dạy cho HS ‘‘tìm tòi” kiến thức nên các phương pháp thực nghiệm,quy nạp bị coi rất nhẹ” [29, tr 98]

Lời nhận xét trên đây của Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đã phần nào cho thấy thựctrạng dạy học Toán của trường phổ thông hiện nay

Thật vậy, phải thừa nhận rằng, hiện nay có nhiều giáo viên tâm huyết với nghề, luôntrăn trở để có được những bài giảng sinh động, hiệu quả Nhưng vẫn không ít giáo viên

chưa cải tiến được phương pháp dạy học của mình - kiểu dạy học cũ - hiệu quả không

cao Theo kiểu dạy học đó, dường như không có những pha để HS dự đoán Đương nhiên

họ cũng có cái “lý” riêng: Nếu để HS dự đoán thì sẽ tốn nhiều thời gian, khối lượng kiếnthức truyền thụ được sẽ bị hạn chế (!?)

Thực ra, cho HS dự đoán, tìm tòi, mò mẫm đúng là có tốn thời gian thật, nhưng “sẽđược đền bù nhanh chóng khi tư duy độc lập của HS đã được phát triển” [3, tr 115]

Kiểu dạy học cũ đưa đến kết quả là, HS thường gặp khó khăn, thậm chí bó tay trước những bài toán tìm tòi (toán tìm quỹ tích trong Hình học; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

trong Đại số, )

Cần lưu ý thêm một tồn tại nữa trong phương pháp dạy học của nhiều giáo viên - sự

“áp đặt” đối với những thao tác như kẻ đường phụ; biến đổi, thêm, bớt biểu thức; phân

chia thành những trường hợp riêng; - những điều mà lẽ ra giáo viên cần cho HS hiểu vì

sao lại làm như thế.

Ví dụ sau đây sẽ góp phần làm rõ thêm những điều vừa nói ở trên:

Ví dụ 1: - Xét dãy số: 1,2,3 100

Hãy dự đoán xem tích 2 số nào trong 100 số trên là lớn nhất với điều kiện tổng của

2 số là 101

Bằng tính toán ta đã thấy 1.100< 2.99 < 3.98 <

Vậy ta có thể dự đoán giá trị lớn nhất là 50.51

Em nào có thể tổng quát bài toán để chứng minh

Từ giả thiết ta liên tưởng đến a = c, b = d

Từ (4) (a - d)(a+d) = (c-b)(c+b)

Mà a-d = c-b ≠ 0 => a + d = b + c

kết hợp giả thiết : a + b = c + d => a = c bài toán được chứng minh

Ví dụ 3:

Khi dạy bất đẳng thức, có thể cho HS giải Bài toán:

“Giả sử x và y là 2 số thay đổi nhưng luôn luôn thoả mãn điều kiện x + y = 6,

x  4 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + y2”

Thực tiễn sư phạm cho thấy, quá nhiều HS không giải được bài này

Bên cạnh đó, cũng có nhiều HS giải như sau:

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiakôvski cho 2 bộ số (1; 1) và (x; y) ta có:

(1x + 1y)2

 (12 + 12)(x2 + y2)  (x + y)2  2(x2 + y2)  x2 + y2

 2

1

(x + y)2 Nhưng x +

y = 6 nên x2 + y2 18 Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 + y2 là 18

Sai lầm của lời giải này là HS chưa sử dụng hết các điều kiện ràng buộc của bài toán,

chưa hiểu một cách thấu đáo rằng: nếu biểu thức A luôn có giá trị  a thì chưa đủ để kết

luận giá trị nhỏ nhất của nó là a (khi chưa khẳng định được dấu “=” có thể xẩy ra).

Chúng ta còn thấy nhiều HS giải Bài toán này như sau:

Trước hết, họ chứng minh x2 + y2 18 (cũng chứng minh như trên), sau đó họ đi tìm

x và y thoả mãn điều kiện đã nêu trong bài toán sao cho x2 + y2 = = 18 Do nhận thấy hệ

x

4

x

6 y

Thực ra, nếu A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng a thì vẫn có thể A còn luôn lớn hơn hoặcbằng một số b nào đó lớn hơn a, mặc dầu A không thể bằng a nhưng lại có thể bằng b

Nếu HS có thói quen mò mẫm, dự đoán, thì họ sẽ biết thử một số trường hợp, từ đó hình thành nên một điều dự đoán - mà điều dự đoán ấy sẽ làm cơ sở cho việc tìm ra lời

giải của bài toán:

Ta cho (x; y) một số cặp giá trị, tự nhiên nhất là hãy lần lượt cho x nhận các giá trị từ

= 20

Tiếp theo, một cách ngẫu nhiên ta xét x = 4,1; khi đó y = 1,9 và ta có

x2 + y2 = 20,42

Tiếp nữa ta xét x = 4,5; khi đó x2 + y2 = 22,5

Có thể lấy thêm một số trường hợp nữa, có trường hợp x là số nguyên và cũng có cả trường hợp x là số thập phân.

Ta nhận thấy rằng, dường như x càng lớn thì x 2 + y 2 cũng càng lớn Mặt khác, x càng

lớn tức là x - y càng lớn Vì vậy, ta có dự đoán rằng nếu x - y càng lớn thì x 2 + y 2 cũng càng lớn.

Nhưng đó vẫn chỉ là dự đoán! Làm sao có thể khẳng định hoặc bác bỏ được điều dựđoán này? Ta hãy thử biểu diễn x2 + y2 (là biểu thức mà ta đang quan tâm) qua các đạilượng: x + y (cái xuất hiện trong giả thiết) và x - y (là cái có liên quan đến dự đoán củachúng ta)

Đương nhiên là, để xuất hiện các lũy thừa bậc 2, ta cần thực hiện phép bình phươngđối với x + y và x - y để có được (x + y)2 và (x - y)2 Với ý nghĩ cần phải biểu diễn x 2 + y 2

thông qua (x + y) 2 và (x - y) 2 , ta nhận ra rằng

2

) y x ( ) y x ( y x

2 2

2



toán ban đầu: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + y2

Vì (x + y)2 = 36 nên yêu cầu của bài toán được chuyển thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

1

(x - y)2 + 18 Với những điều kiện ràng buộc trong bài toán, ta luôn phải lưu ý rằng x 

4, y  2 Sự lưu ý đó cho phép ta nhận thấy: Giá trị nhỏ nhất của (x - y)2 là 4, và cuối cùng

đi đến khẳng định: Giá trị nhỏ nhất của x 2 + y 2 bằng 20.

Trên đây mô phỏng lại quá trình tìm tòi của một em HS có “óc dự đoán” khi đứng

trước Bài toán Sự mò mẫm, dự đoán đã giúp em đó phát hiện và giải quyết vấn đề mộtcách hoàn chỉnh - điều mà nhiều em khác đã không thể làm được!

Nhìn lại lời giải có thể thấy rằng, khâu mấu chốt nhất, cái “nút” chính là ở chỗ: biết

biểu diễn

2

) y x ( ) y x ( y x

2 2

2



 Tại sao có rất nhiều cách biểu diễn x2 + y2, ta không

dùng, mà lại dùng đến cách đó? (là bởi vì, chính quá trình dự đoán đã gợi ý lên điều đó)

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, khi dạy HS giải bài toán này, có

không ít giáo viên đã chủ động nêu ra sự biểu diễn ấy một cách độc đoán Nghĩa là, lập

tức viết ngay lên bảng:

Ta có

2

) y x ( ) y x ( y x

2 2

Đương nhiên thầy giải đúng, nhưng không phải là tốt về phương diện phương pháp

dạy học G Pôlya đã từng nhận xét: “Khi đọc sách Toán có hai điều mong muốn: thứ nhất

là xác nhận được bước chứng minh đang đọc là đúng, thứ hai là điều rõ được mục đíchcủa bước đó

Người nghe thông minh khi nghe giảng Toán cũng có điều mong muốn như vậy.Một ông thầy hay một tác giả thông minh phải có ý thức về hai điều đó Tất nhiên cầnphải viết và nói đúng, nhưng như thế chưa đủ Một sự suy lý trình bày đúng trong sáchhay trên bảng vẫn có thể khó hiểu và chẳng có bổ ích gì, nếu như người đọc và người nghekhông thể hiểu tác giả làm cách nào để có được sự chứng minh như vậy” [26, tr 152-153].Nếu trước khi giải bài toán này, học sinh chưa được giải một bài nào có dạng tương

tự, thì khi dạy giải bài toán, tuỳ hoàn cảnh cụ thể, nên sử dụng hình thức thuyết trình phát

hiện và giải quyết vấn đề [17, tr 189] hoặc vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề [17, tr.

189]

2.2.2 Trở lại với vấn đề những yêu cầu và biện pháp cần thực hiện để phát triển cho

HS năng lực dự đoán

Để phát triển cho HS năng lực dự đoán, cần:

a) Có quan điểm, thái độ đúng mực với việc tập luyện cho học sinh dự đoán.

Như đã phân tích, trong dạy học Toán không thể hoàn toàn bỏ qua việc tập luyện cho học sinh dự đoán Tuy nhiên, cũng không nên thái quá đối với vấn đề này Không phải khi nào cũng cho HS phải dự đoán, không phải trong mọi vấn đề thì “hàm lượng” của dự đoán đều như nhau Có những vấn đề thầy giáo yêu cầu HS độc lập dự đoán, nhưng cũng

có những vấn đề thầy giáo thuyết trình quá trình mò mẫm, dự đoán của bản thân và chỉ

yêu cầu HS hiểu được Lại có vấn đề HS phải độc lập dự đoán, nhưng kết quả của việc dự

đoán chỉ dừng lại ở mức sơ bộ, chưa thực sự triệt để

Có thể tham khảo ý kiến của P I Pitcatxixtưi và B I Côrôtiaiev trong cuốn Tổ chức

hoạt động của HS trong giờ học [41]: Không phải mọi thông tin được lĩnh hội đều thích

hợp với việc dự đoán Chẳng hạn, các loại thông tin như thuật ngữ, tên gọi của các đốitượng, hiện tượng là không thích hợp với dự đoán Thích hợp với dự đoán chỉ là nhữngthông tin khoa học nào phản ánh các mối liên hệ và quan hệ giữa các hiện tượng và quá

trình, các cách thức và các thủ pháp phát hiện ra chúng và có thể được sắp đặt trên cơ sởtuân thủ một lôgic xác định.

G Pôlya cũng phát biểu rằng: “Tôi không tin rằng có một phương pháp bảo đảmtuyệt đối việc học thông thạo các dự đoán” [25, tr 7]

Ta hãy xét một số ví dụ:

dẫn dắt gì thêm, thì trong một điều kiện thời gian hạn chế, dường như đối với HS là điều

quá sức

Thật vậy, ta biết rằng tổng đó bằng

6

) 1 n 2 )(

1 n (

n  

Nhìn vào kết quả cũng đủ để thấy

rằng, để HS độc lập dự đoán là điều không khả thi.

nhiều em trả lời: Đó là số chính phương Tuy nhiên, để biết cụ thể là bình phương của cái

gì thì cần có thêm những gợi ý, dẫn dắt.

b) Do bản chất của dự đoán là “bấp bênh”, nên cần làm cho HS hiểu rằng: dự đoán

không thay thế được cho chứng minh, cần làm cho HS ý thức được để có được một lời giải hoàn chỉnh, sau bước dự đoán còn cần phải tiến hành chứng minh.

Trong những điều kiện thích hợp, có thể cho HS biết một vài mẩu chuyện nhỏ về lịch

sử Toán học và về các nhà toán học Chẳng hạn về P Fermat và Định lý Fermat lớn; về

Giả thuyết Goldbach Cũng liên quan đến Fermat có thể kể cho HS về việc ông đã dự đoán

Chẳng hạn, đối với HS lớp 8.9, sau khi học phần hằng đẳng thức,bất đẳng thức,hàm

đa thức giáo viên có thể cho các em làm các ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Cho đa thức P(x) = x 4 + ax2 + cx + d

Biết : P(1) = 10

P (2) = 20

P(3) = 30

Tính P (12) + P(-8)

Một số học sinh nhìn vào giải thiết bài toán là:

P(1) = 10 = 1.10 P(2) = 20 = 2.10P(3) = 30 = 3.10

Sẽ dự toán P(12) = 12.10 = 120

P(-8) = (-8).10 = -80Nên P(12) + P(-8) = 40 (nhưng thực tế kết quả bài toán không phải như vậy.Giáo viên có thể giúp đỡ học sinh giải bài này

Giải: Xét đa thức Q (1) = P (1) - 10 = 10 - 10 = 0

Q (2) = P (2) - 20 = 20 - 20 = 0

Q (3) = P (3) - 30 = 30 - 30 = 0Suy ra x = 1, x = 2, x = 3 là ba nghiệm của đa thức, Q(x) do đó Q(x) chia hết cho(x-1) (x-2) (x-3) Vì vậy Q(x) có dạng

Ta có min 2A = (2 + 2 + 2) + 3

2(2 + 2 + 2) = 15Nếu xảy ra đồng thời

Điều này đạt được với x = y = t

Vậy min A = 15/2 khi x = y = t

Chú ý: Nếu ngay từ đầu, ta viết

62

Rồi kết luận min A = 6 là sai, vì không tồn tại x,y,t để A = 6

Sau khi HS giải xong các bài trên (hoặc giáo viên giúp đỡ HS giải), thầy giáo nhấn

mạnh rằng: Việc dự đoán trong quá trình giải Toán là điều rất quan trọng, tuy nhiên, điều

dự đoán không phải bao giờ cũng đúng Cần phải có ý thức kiểm tra lại những điều dự

đoán, nếu không thì có thể gặp phải những sai lầm.

c) Trong quá trình tập luyện cho HS dự đoán, cần biết động viên, khích lệ HS nhưng

đồng thời cũng thể hiện rõ mối quan hệ biện chứng giữa quy nạp và suy diễn.

Nhiều khi thầy giáo yêu cầu HS phải dự đoán về một vấn đề nào đó, rất có thể họ đưa

ra một câu trả lời mà thầy giáo biết là không đúng Khi đó, không nên bác bỏ một cách

độc đoán, không nên nói những câu như “Em đã đoán sai!” Thay vào đó, thầy giáo nên

chỉ ra một phản ví dụ để giúp HS điều chỉnh lại hướng dự đoán của bản thân “Chỉ có sự hoạt động được giáo viên thường xuyên khích lệ, nhưng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò

mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đưa tới sự độc lập về trí tuệ” (J Piaget).Nhưng mặt khác, nếu thầy giáo biết rằng HS đã dự đoán đúng, thì cũng không nên

nói ngay rằng: “Em đã dự đoán đúng!” Thay vào đó, thầy có thể nói: “Em có thể kiểm

tra lại dự đoán của mình thêm một lần nữa không? bằng việc tiếp tục thử thêm một trường hợp nữa chẳng hạn?”.

Ví dụ: Khi hướng dẫn HS giải bài toán: Cho 2 số x và y thay đổi nhưng luôn luôn

thoả mãn điều kiện: x + y = 7, x  4 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2

Có thể hỏi HS:

+ Hãy cho (x; y) các cặp giá trị cụ thể, chẳng hạn (4; 3), (5; 2), (6; 1), (7; 0), (8; - 1)

rồi tìm các giá trị A tương ứng, em có dự đoán gì về diễn biến của A?.

Chúng ta mong đợi HS sẽ trả lời: Nếu x càng lớn thì A cũng càng lớn

+ Đấy mới chỉ là điều dự đoán, cứ tạm thời xem nó như là một giả thuyết Trong đề bài ta thấy có 2 số x và y, có thể nói gì về x - y khi x càng lớn?

- Rõ ràng là, vì x + y không đổi nên khi x càng lớn thì y càng nhỏ và x - y cànglớn

Thầy giáo sẽ không để HS dừng lại ở đó, mà tiếp tục yêu cầu HS phải biểu diễn x2 +

y2 qua x + y và x - y để đi đến một lời giải chặt chẽ.

Cần nói thêm rằng, trước khi đặt một câu hỏi, thầy giáo đều mong đợi một câu trả lời nào đó Tuy nhiên, không phải bao giờ câu trả lời của HS cũng đúng như mong đợi Khi

đó, căn cứ vào hoàn cảnh cụ thể (thời gian, trình độ HS, đặc điểm của vấn đề, ), thầy giáo có thể dẫn dắt thêm hoặc tạm thời hạ thấp yêu cầu, đảm bảo phù hợp với Lý thuyết của L X Vưgôtxki về Vùng phát triển gần nhất

Chẳng hạn, khi HS gặp khó khăn trong việc biểu diễn x2 + y2 qua x + y và x - y, có

thể dẫn dắt thêm: Hãy để ý đến bậc của x 2 + y 2 , bằng cách nào có thể làm xuất hiện bậc này?.

“Trong tình huống dạy học, sự giúp đỡ của thầy cần được kiềm chế tối đa có thể được

và thực hiện dần dần với liều lượng tăng dần tuỳ theo mức độ cần thiết” [17, tr 220]

d) Làm cho HS ý thức được ý nghĩa của hoạt động dự đoán.

Qua phân tích ở các phần trên, chúng ta đã thấy được vai trò của hoạt động dự đoán

trong dạy Toán và học Toán Tuy nhiên, chưa hẳn HS đã ý thức được điều này, và do đó

họ cũng không biết tiến hành hoạt động dự đoán trong những tình huống thích hợp.

Để HS ý thức được ý nghĩa của hoạt động dự đoán, sau khi HS giải quyết xong một

vấn đề nào đó ít nhiều có liên quan đến dự đoán, thầy giáo nên nhấn mạnh hiệu quả của

hoạt động dự đoán đối với việc giải quyết vấn đề đặt ra

Chẳng hạn, sau khi HS giải xong Bài toán “Tìm 2 số x, y thoả mãn điều kiện x + y =

6, x  4 sao cho x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất” bằng cách: “Biểu diễn x2 + y2 =

2

) y x

36 2





 36 2 4 = 20, dấu “=” xẩy ra khi x = 4, y = 2 Vậy giá trị

nhỏ nhất bằng 20”, thầy giáo có thể bình luận thêm rằng: Khâu then chốt của lời giải vừa

qua là ở chỗ ta biết biểu diễn x2 + y2 dưới dạng

2

) y x ( ) y x







Sở dĩ ta biết biểu diễn

như vậy, đó là vì, ta có dự đoán rằng x2 + y2 sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi mà x - y nhỏ nhất,

nói cách khác đó là khi mà x với y gần nhau nhất.

Việc làm trên đây thực chất là gợi động cơ kết thúc hoạt động Theo tác giả Nguyễn

Bá Kim: “Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác trong hoạt độnghọc tập như các cách gợi động cơ khác Mặc dầu nó không có tác dụng kích thích đối vớinội dung đã qua hoặc hoạt động đã thực hiện, nhưng nó góp phần gợi động cơ thúc đẩyhoạt động học tập nói chung và nhiều khi việc gợi động cơ kết thúc ở trường hợp này lại là

sự chuẩn bị gợi động cơ mở đầu cho những trường hợp tương tự sau này” [17, tr 140]

e) Chú ý thích đáng đến những bài tập tìm tòi và dự đoán.

Cùng với các quan điểm của G Pôlya, ta cũng lưu ý đến ý kiến của các tác giả như:

Hoàng Chúng trong Phương pháp dạy học Hình học ở trường THCS [3], A A Stôliar trong Giáo dục học Toán học [36], Iu M Kôliagin, V A Oganhexian và G L Lukankin trong Phương pháp giảng dạy Toán ở trường phổ thông [33], P M Ecđnhiev trong Dạy

học Toán trong trường phổ thông [42], Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia

Cốc trong Giáo dục học môn Toán [10].

“Bên cạnh những bài tập chỉ đòi hỏi chứng minh những chân lý mà đề bài đã nói rõ,

do đó HS chỉ cần đến suy diễn, cần coi trọng những bài tập trong đó điều gì phải chứng minh cũng chưa rõ lắm, HS phải tự xác lập điều ấy thông qua mò mẫm, dự đoán, nghĩa là phải vận dụng quy nạp trước khi vận dụng đến suy diễn (toán tìm quỹ tích, toán tìm hệ

thức giữa một số biến nào đó, ) Sáng tạo trong Toán học là một loạt suy diễn và quy nạp

kế tiếp nhau” [10, tr 90] Chẳng hạn, có thể thay thế các bài toán: