Sử dụng công cụ toán học thiết lập phương trình cho bài toán vật lý

khi chọn các hệ trục toạ độ khác nhau gắn với hệ quy chiếu quán tính tanhận đợc các phơng trình vi phân đợc gọi là hệ phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm, sau khi tách phân chú

LỜi NÓI ĐẦu

Toán học là một nghành khoa học không những phục vụcho sự phát triển của chính nó mà đặc biệt đã trở thành công

cụ cho việcphát triển các nghành khoa học khác, trong đó cóvật lý Cho nên cũng có sự khác nhau trong viêc dạy và họcđối với những người chuyên nghiên cứu toán và những người sửdụng toán như một công cụ để nghiên cứu các vấn đề khoa học Trong phương pháp toán cho vật lý có sự giao thoa giữa toán

và lý , do đó nó đã và đang được giảng dạy rộng rãi trong cáctrường đại học nhằm trang bị cho người học những kiến thứctoán và kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để nghiên cứuvật lý

Trên tinh thần đó cũng như xuất phát từ thực tếbản thân và thăm dò ý kiến của sinh viên nghành vật lý Tôinhận thấy rằng , nếu chúng ta không nắm vững các kiến thứctoán học và sử dụng thành thao nó thì sẽ gặp rất nhiều khókhăn trong nghiên cứu vật lý

Trong khuôn khổ khóa luận này tôi muốn trình bày về vấnđề” Sử dụng công cụ toán học để thiết lập phương trình cho bàitoán vật lý “ Tôi hy vọng rằng nó sẽ góp phần hỗ trợ cho sinhviên nghành vật lý khi tìm phương trình mô tả quy luật của bàitoán vật lý

Với những kiến thức về phương pháp toán lý ,giải tích….Cùng với việc tìm tòi thu thập tài liệu , tôi đã hoan thành khóaluận này với các nội dung sau :

Phần I : Những kiến thức toán học

Phần II : Sử dụng công cụ toán học để thiết lậpphương trình

cho bài toán vật lý

Chương I : phương trình chuyển độngcủa chất điểm

Chương II : Phương trình truyền sóng Chương III : Phương trình truyền nhiệt Đây là giai đoạn đầu của người mới tập sự làm nghiêncứu khoa học với kiến thức còn nhiều hạn chế vốn kinh nghiệmcòn ít và quỹ thời gian có hạn … Nên khóa luận chắc chắn sẽ

có nhiều thiếu sót, rất mong đựoc sự quan tâm đóng góp ý kiếncủa các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên để khóa luậndược hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáoNguyễn Tất Thư đã giúp đỡ tôi rất nhiều về kiến thức , phươngpháp , và tài liệu nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn các thây

cô giáo trong khoa vật lý và bạn bè đã giúp đỡ tôi hoàn thànhkhóa luận này

Vinh , tháng 5 năm 2005 Tác giả

x dy

( f

1

1 2

1 2

trong đó : P(x) và Q(x)là những hàm số liên tục của x (hoặc là hằng số ).

x Q

) (

) (

Do đó u = dx C

x v

x Q

y1 = e(+i)x , y2 = e(-i)x  nghiệm tổng quát y = c1 e(+i)x + c2 e(-i)x

hay : y = ex ( c1 cos x + c2 sin x )

c) k1 , k2 thực và k1 = k2 = -p/2 khi đó ta đợc một nghiệm riêng y1 = eklx và cóy2 = x eklx độc lập tuyến tính với y1 = eklx  nghiệm tổng quát của (1.7) là :

Nghiệm tổng quát của phơng trình không đẳng cấp có thể viết dới dạng tổng quát của một nghiệm riêng y nào đó của (1.11) với nghiệm tổng quát y của phơng trình đẳng cấp tơng ứng: y" + p y'+q y

Phơng trình đẳng cấp tơng ứng của (1.11) có nghiệm tổng quát dạng :

+ Trong một số trờng hợp đặc biệt của vế phải ta có thể không dùng phơng pháp biến thiên hằng số để giải phơng trình đó

Tr

ờng hợp 1 : Vế phải của (1.11) : f(x) =Pn (x) e x , trong đó Pn (x) là đa thức bậc n

đối với x,là số thực tuỳ ý khi đó (1.11) có dạng :

Giả sử k1, k2 là nghiệm của (1.16) khi đó có 3 khả năng sau có thể sảy ra

*) nếu  không trùng với nghiệm của (1.16) tức là   k1 ,   k2 , do đó hàm

số Qn (x) ở vế trá của (1.14) khác không nên bậc đa thức ở vế trái của (1.15)

cùng bậc với đa thức Pn (x) ở vế phải Do vậy ta tìm đợc nghiệm riêng của

(1.13) có dạng :

y = Qn (x) ex ( trong đó Qn (x) cùng bậc với Pn (x) )

dùng phơng pháp hệ thức bất định sẽ xác định đợc Qn (x) tức là tìm đợc y

**)  trùng với nghiệm đơn của phơng trình (1.16) :  =k1  k2

trong trờng hợp này ta có hệ số của Qn (x) ở vế trái của (1.14) bằng không nên

bậc đa thức ở vế trái n-1 Để vế trái có bậc của đa thức bằng bậc của đa thức ở

vế phải ta tìm nghiệm riêng của (1.11) dới dạng : ỹ = xQn(x) ex

trong đó : Qn (x) cùng bậc với Pn (x) , và dùng phơng pháp hệ số bất định để xác định

Qn (x) giống nh ta làm ở trên

***)  trùng với nghiệm kép của phơng trình đặc trng tức là :

 = k1 = k2 = -p/2

khi đó hệ số của Qn (x) và Q'n(x) ở vế trái của (1.15) bằng không nên bậc của đa thức

ở vế trái bằng n-2.Do đó ta tìm nghiệm riêng của (1.13) dới dạng

y =x2 Qn(x) ex và sau đó cũng làm theo cách ở *)

Tr

ờng hợp 2 : f(x) = P1(x) e x cos x + P2(x) ex sin x

Trong đó P1(x), P2(x) là đa thức của x: ,là các số thực ,  0 ( vì nếu  = 0 thì quay trở về trờng hợp 1) khi đó phơng trình (1.11) có dạng

t

u a

nhiệt dẫn ộ

Đ

d.phơng trình Sichrodinger: -

t i x V m

2.2 phơng trình tách biến giải một số phơng trình đạo hàm riêng

Ta dùng phơng pháp tách biến để khử bớt một hoặc một số hạng riêng để thu đợc một phơng trình với ít biến hơn Xét hai bài toán sáu:

a) Sợi dây đàn hồi dao động

Phơng trình: 22 1 22

t a x

T X

X

2

'' ''

T X

X

2

'' ''

2 2

y

u x

u a t

y

V x

Nh vậy, để tìm u(x,y.t) , bây giờ ta tìm T, X , Y

B .Một số khái niệm và định lý về chuổi hàm , chuỗi Fourier

II chuỗi hàm

1 một số khái niệm

u1 (x) + u2 (x) + … U Un (x) + … U… U u ( x)

k k

k k

đó có nghĩa là với mọi  > 0 cho trớc , bé tuỳ ý , ta có thể tìm đợc một số N sao cho khi n>N ta có  u(x) –sn(x) <  số N nói chung phụ thuộc vào x

Nếu   > 0 cho trớc , có thể tìm đợc một số N không phụ thuộc vào x sao chon>N ta có  u(x) –sn(x) <   x  một khoảng nào đó , ta nói rằng chuổi hàm (1.22) hội tụ đề trong khoảng ấy

Tiêu chuẩn hội tụ của chuổi hàm

Nếu  x  a,b ta có uk (x)  ak, trong đó ak là những số dơng và nếu chuỗi

+ Nếu hàm (x) liên tục và có đạo hàm liên tục từng khúc trong khoảng

,- , có các giá trị tại hai mút bằng nhau () = (-) thì chuổi Fourier của

Các chuỗi hàm hội tụ có các tính chất sau :

a) Nếu các hàm uk (x) liên tục , chuỗi hàm u ( x)

k k

) ( )

x

a n x

a x

a

dx x u dx

x u dx

Ngời ta nói rằng với các điều kiện đă nêu ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuổi : u ( x)

k k

u’(x) = u’1(x) + u’2(x) + … U + u’k(x) +… U

ta nói rằng với các điềukiện trên, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi

Nếu định nghĩa sự hội tị đều của chuỗi cuat hàm nhiều biến thì các mệnh đề

đã phát biểu trên cũng có thể mở rộng cho trờng hợp các hàm nhiều biến

Nếu hàm dới đầu tích phân f(x,y) liên tục trong hình chữ nhật

axb,cyd  thì f(x,y) là một hàm liên tục của y trong [c,d]

nếu ngoài ra f’(x,y) cũng liên tục trên hình chữ nhật trên thì ta nói  y [c,d]

I(y) = 

b

a

dx y x

f( , )

Khi đó ta nói rằng có thể lấy đạo hàm dới đấu tích phân biểu thức (1.24)

a)Giả sử hàm f(x,y) xác định với xa, y [c,d] và giả sử tồn tại tích phân

I (y) = 



a

dx y x

F(A,y) =  f(x,y) dx,  A>a

Nói cách khác với mọi  > 0 cho trớc, có thể tìm đợc mọt số N sao cho khi A >

f( , ) - 

A

a

dx y x

f( , ) = 



a

dx y x

f( , ) < 

số n nói chung phụ thuộc vào  và y

Nếu   > 0 cho trớc có thể tìmđợc một số N không phụ thuộc vào y sao cho ta

f( , ) < 

Với  y  [c,d], ta nói rằng tích phân (1.25) hội tụ đều với y [c,d]

- Tiêu chuẩn hội tụ đều :

Nếu  x  a, y  [c,d] ta có : f (x,y)    (x), trong đó  (x) khả tích trong

đoạn [,] thì tích phân (1.25) hội tụ đều đối với y [c,d]

f' ( , ) Khi hàm dới dấu tích phân f(x, y) dẫn tới vô cùng tại một điểm trong haimút a và b Trong trờng hợp này ta cũng có những kết quả tơng tự nh đối vớidấu tích phân (1.25)

c Nếu hàm (x) liên tục trên toàn trục x, có thể khai triển thành chuỗiRourier trong mọi khoảng (-1, 1) và thoả mãn điều kiện:

1

 () sind (1.26)Tích phân (1.25) trong đó A(), B() đợc tính bởi (1.26) đợc gọi là tíchphân Fourier của hàm (x)

II Chuỗi Fourier

Đợc gọi là chuỗi hàm lợng giác, trong đó a0, a1, b1, a2, b2, , an, bn là các

Dựa vào tính chất của hàm, các cận của tích phân trong (1.27) có thể lấy từ

0 đến 2 hoặc từ a đến a + 2 với a là hằng số bất kỳ

Giả sử : f(x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 liên tục trên -,  Khi

đó các hàm số trong công thức (1.27) tồn tại và đợc gọi là hệ số Fourier củahàm f(x), chuỗi hàm lợng giác có hệ số xác định bởi công tác (1.27) đợc gọi làchuỗi Fourier của hàm f(x)

Từ đây suy ra:

i) Nếu f(x) là tổng của chuỗi hàm lợng giác họi tụ đều trên -,  thì chuỗi

đó là chuỗi Fourier của hàm f(x)

ii) Không tồn tại hai chuỗi hàm lợng giác khác nhau hội tụ đều trên

-,  về cùng một hàm số

Nói cách khác: nếu hàm số f(x) đợc khai triển đợc thành chuỗi hàm lợnggiác hội tụ đều trên -,  thì khai triển đó là duy nhất

Trong trờng hợp chuỗi Fourier hội tụ về chính hàm số đó ở tất cả những

điểm mà hàm số đó liên tục thì khi đó ta nói rằng hàm f(x) đợc khai triển thànhchuỗi Fourier

2 Một số tính chất của chuỗi Fourier.

Ngời ta đã chỉ ra đợc với một số điều kiện nào đó thì hàm f(x) đã cho cóthể khai triển thành chuỗi Fourier Chúng ta sẽ nêu ra đây một số điều kiện

Định lý 1: (định lý Dirichlet)

Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2, trên -,  hàm liên tục hoặc cómột số điểm gián đoạn loại một, còn đoạn -,  có thể chia ra thành một sốhữu hạn các đoạn nhỏ sao cho hàm f(x) đơn điệu trong mỗi đoạn này.

Khi đó: Chuỗi Fourier của hàm f(x) sẽ hội tụ với mọi x tại những điểm liêntục của hàm f(x) sẽ có tổng bằng f(x), còn những điểm gián đoạn của nó thìchuỗi có tổng bằng:

2

) 0 ( ) 0 (x  f x

f

Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) sẽ hội tụ đều trên mọi đoạn bất ỳ nằmtrong những khoảng liên tục của hàm f(x)

Định lý 2: Nếu hàm f(x) có chu kỳ 2, f(x) cùng với đạo hàm củanó f'(x)

là các hàm liên tục (hoặc chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một) trên

-,  thì chuỗi Fourier của f(x) sẽ hội tụ lại mọi giá trị x của đoạn đó, thêmvào đó ở các điểm liên tục của hàm f(x) tổng của chuỗi bằng f(x), còn các điểmgián đoạn tổng của chuỗi bằng:

2

) 0 ( ) 0 (x  f x

 Đối với hàm này ta cũng thu đợc kết quả nh đã nói ở trên, cụ thể là: trừ các

điểm gián đoạn và các mút -,  ta có thể triển khai hàm số thành chuỗiFourier:

 (an cosnx + bnsin nx)Với an bn đợc xác định bởi công thức:

) (

n n

l

x n b x n a

a x

l

Cuối cùng: trong một số trờng hợp đặc biệt thì khai triển Fourier của hàm

đã cho có thể chỉ chứa một hàm số sin hoặc cosin, đó là trờng hợp các hàm đãcho là chẵn hay lẻ

( dx x f

(x dx f x dx f

Bởi vậy: Nếu f(x) chẵn và khả vi từng khúc trong -,   thì f(x) sin n(x)

Với:

S D NG CễNG C TO N Ử DỤNG CễNG CỤ TOÁN ỤNG CễNG CỤ TOÁN ỤNG CễNG CỤ TOÁN ÁN HỌC THI T L P PH ẾT LẬP PHƯƠNG ẬP PHƯƠNG ƯƠNG NG

TRèNH CHO Bài toán Vật lý

Chơng I: Phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm

1 Cơ sở lý thuyết

1.1 Phơng trình cơ bản của động lực học

Khảo sát chất điểm M có khối lợng m chịu tác dụng của lực F chuyển

động trong hệ quy chiếu quán tính với gia tốc a thoả mãn phơng trình sau:

1.2 Các dạng phơng trình vi phân chuyển động cho chất điểm

khi chọn các hệ trục toạ độ khác nhau gắn với hệ quy chiếu quán tính tanhận đợc các phơng trình vi phân đợc gọi là hệ phơng trình vi phân chuyển

động của chất điểm, sau khi tách phân chúng ta nhận đợc phơng trình chuyển

động của chất điểm

Từ phơng trình (1 - 1) có thể viết phơng trình vi phân chuyển động trongcác dạng khác nhau Dới đây ta nêu tóm tắt trong bảng một số dạng phơng trình

vi phân chuyển động thờng gặp của chất điểm

r d

ax = 2

2

x dt

x d



ay = 2

2

y dt

y d



mx = X

m y = Y

m z = Z

az = 2

2

z dt

z d

S

(trên quỹ

đạo định ớng)

S d

a = 1 ( 2 .)



r dt

d r

m (r. r.2) = Fr

) ( 2 .



r dt

d r

- Trên thực tế tuỳ theo bản chất của lực tác dụng F mà những yếu tố xác

định lực ở vế phải các phơng trình trên đây là không đổi hoặc là những hàm đối với thời gian, đối với vận tốc, đối với vị trí của chất điểm Những lực đó xác

định dạng của phơng trình vi phân nhận đợc và do đó tơng ứng với mỗi loại

ph-ơng trình ta có các phph-ơng pháp tích phân khác nhau

Hệ phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm là lực phơng trình vi phân cấp hai, do đó khi tích phân hệ phơng trình ấy ta nhận đợc nghiệm tổng quát tổng quát của bài toán dới dạng các hàm của thời gian chứa các hằng số tích phân Nghiệm tổng quát xác định một lớp chuyển động có thể xảy ra bao gồm chuyển động thực của chất điểm Để xác định nghiệm cứng với chuyển

động thực xảy ra ta cần xác định hằng số tích phân trong nghiệm tổng quát nhờ

điều kiện đầu của bài toán

v N

Đó là những điều kiện xác định vị trí và vận tốc của chất điểm ở thời điểm

to nào đò đợc gọi là các điều kiện đầu của bài toán Thờng ta lấy t0 = 0 Nghiệmcủa (1-1)nhận đợc gọi là nghiệm riêng của bài toán

Các b ớc để giải bài toán ng ợ c:

- Khảo sát chất điểm ở một vị trí bất kỳ và đặt các lực tác dụng lên nó.Viết phơng trình chuyển động thích hợp và các điều kiện đầu của bài toán

- Tích phân phơng trình nhận đợc để có nghiệm tổng quát của bài toán.Trên cơ sở điều kiện đầu cho, xác định các hằng số tích phân để cuối cùng nhận

đợc nghiệm riêng của bài toán

2 Bài giải mẫu:

Trong các bài toán dới đây ta phân biệt thành các chuyển động thẳng vàchuyển động cong của chất điểm Việc tích phân phân phơng trình chuyển độngphụ thuộc dạng của lực tác dụng nên ta phân loại các chuyển động theo dạnglực tác dụng Dới đây ta chỉ xét một số trờng hợp đơn giản: lực hằng, lực phụthuộc thời gian, lực thuộc vị trí, lực thuộc vận tốc chất điểm, hoặc tổ hợp cácyếu tố này

A Bài toán chuyển động thẳng.

Đối với các chuyển động của chất điểm có quỹ đạo thẳng bao giờ cũngchọn ngay đờng thẳng quỹ đạo của chất điểm làm trục Ox Khi ấy phơng trình

vi phân chuyển động cùng với điều kiện đầu của chất điểm của chuyển động

đ-ợc viết: mx'' = Fx

x' (0) = v0 (1 - 3)

x (0) = x0Fx: là hình chiếu trên trục Ox của hợp lực tác dụng lên chất điểm

Bài toán 1: Một đoàn tàu chuyển động trên một đờng thẳng nằm ngang

với vận tốc không đổi v0 Vào một thời điểm nào đó ngời ta tắt máy và hãm tàulại Lực hãm và cản tác dụng lên tàu bằng 1/10 trọng lợng của nó Hãy xác địnhchuyển động của tàu từ khi tắt máy và hãm

Bài giải: Khảo sát đoàn tàu nh

một chất điểm có khối lợng m.

Các lực tác dụng lên chất điểm gồm:

trọng lực P, phản lực pháp tuyến N , lực cản ngay F

Chọn trục hớng theo phơng ngang, gốc O là điểm mà từ đó tàu đợc tắt máy

và bắt đầu hãm, với thời điểm lúc đó t0 = 0

Theo (1 - 3) phơng trình vi phân chuyển động cùng với điều kiện đầu đợcviết nh sau: mx'' = - F

x' (0) = v0x(0) = 0

Để xác định c1; c2 ta thay điều kiện đầu vào đợc: c1 = v0, c2 = 0

=> Phơng trình chuyển động của chất điểm là:

x = v0t -

20

2

gt

Nhận xét: Từ kết quả nhận đợc ta thấy đoàn tàu chuyển động chậm dần

đều với vận tốc đầu là v0 và gia tốc là

v v g

v

0 0 0

Bài toán 2: Một chất điểm có khối lợng m chịu tác dụng của một lực

theo phơng ngang x là X = Psinkt

Trong đó P và k là hằng số đã biết Tìm chuyển động của chất điểm biếtrằng lúc ban đầu t0 = 0 thì chất điểm ở vị trí x0 và có vận tốc là v0.

Bài giải: Khảo sát chất điểm theo phơng ngang dới tác dụng của lực X.

Chọn trục Ox theo phơng ngang, O là điểm gốc Gọi x là hoành độ của chất

điểm

Ta viết phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm cùng với điều kiện

đầu đã cho nh sau:

mx'' = Psin ktx'(0) = v0x(0) = x0Giải phơng trình theo điều kiện đầu:

) t0

2 Dao động điều hoà: x = -

m k

P

2 sin kt

Bài toán 3: Vật A có khối lợng m đặt trên lò xo có hệ số cứng c, chuyển

động theo phơng thẳng đứng dới tận dụng lực dài hàm điều hoà của thời gian, S

= Hcost Và lực cản nhớt tỷ lệ với bậc nhất của vận tốc, R = v (C, H, ,  lànhững hằng số) Tại thời điểm đầu vật nằm ở vị trí cân bằng tĩnh Tìm phơngtrình chuyển động của vật A Cho m = 0,196 kg H = 15,7 KN;  = 60 rad/s; c

= 19,6 N/cm;  = 25 Ns/m

Bài giải: Khảo sát chuyển động của vật A

(xem là chất điểm) theo phơng thẳng đứng dới

tác dụng của các lực gồm: trọng lực P, lực đàn

hồi lò xo F lực cản R và lực kích động S

Chọn trục x hớng thẳng đứng xuống gốc O

ứng với vị trí cân bằng tĩnh (khi không gắn vật A

đầu mút lò xo ở vị trí O1; O1O = S0 đợc gọi là độ

giãn tĩnh của lò xo) phơng trình vi phân chuyển

động dọc trục Ox của cột A là: mx'' = P - C (x+ S0) - x + Hsin t

Trong trờng hợp này có thể xem chất điểm A chịu tác dụng của hợp lực làhàm của thời gian, vận tốc và vị trí

Vì tại vị trí cân bằng tỉnh trọng lực cân bằng với lò xo, tức là P = CS0 nên

có thể viết phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm A trong dạng:

x'' + 2hx' + k2x = H sin tTrong đó: h =

Nh đã biết từ lý thuyết phơng trình vi phân chuyển động của vật A códạng nh sau:

x = e-ht (c1cosk1t + c2sin k1t) +  cos (t - )

0



F R

Trong đó c1, c2 là các hằng số tích phân đợc xác định từ các điều kiện đầux(t0) = x0; x'(t0) = x'0 còn:

k1 = k 2 h2 ; B = 2 2 2 2 2

4 ) (k    h 

H

;  = arctg 22 2

r k h

Dao động của vật A trong trờng hợp này đợc gọi là dao động cỡng bức cócản Với các số liệu bài toán ta tính đợc:

k =

190 , 0

7 , 15

Trong trờng hợp không kể đến sức cản của mụi trường (h  0)

Phơng trình vi phân chuyển động của vật A cú dạng: x'' + k2x = H cos t.Nghiệm phơng trình này sẽ là: x = c1coskt + c2sin kt + B0 cos (t - )

 = 0 nếu k >  và  =  nếu k< , các hằng số tích phân c1, c2 đã xác định từ

điều kiện đầu

Dao động của A trong trờng hợp này gọi là dao động cỡng bức không cản,

nó gồm các thành phần: thành phần đầu là dao động với tần số dao động tự do,còn thành phần thứ hai dao động với tần số dao động của lực kích động, thànhphần sau cũng đợc gọi là dao động cỡng bức trong chế độ bình ổn

B Bài toán chuyển động cong

Có thể gặp các chuyển động của các vật đợc coi nh một chất điểm mà quỹ

đạo của nó là một đờng cong phẳng hoặc đờng cong bất kỳ trong không gian.Nếu quỹ đạo là phẳng thì ta chọn ngay cung đó làm cung quy chiếu xy Khi đóphơng trình vi phân chuyển động trong toạ độ để có các dạng:

mx'' = 



n i k X

Với các điều kiện đầu: x'(0) = x'0 ; x(0) = x0

y'(0) = y'0; y(0) = y0Nếu đờng cong quỹ đạo không nằm trên một mặt phẳng thì phải viết cả 3phơng trình vi phân chuyển động tung toạ độ đề các (hay trong toạ độ thích hợpkhác) Trong đó có chứa 3 toạ độ về đạo hàm của chúng

Nói chung đó là lực phơng trình vi phân phi tuyến Khi ấy phải tìmnghiệm gần đúng Tuy nhiên trong trờng hợp chuyển động khảo sát là tổng hợpcủa 3 chuyển động thẳng độc lập ta có thể giải từng phơng trình và có thể nhận

đợc nghiệm đúng của bài toán theo các trờng hợp đã khảo sát ở trên

Bài toán 3: Một viên đạn đợc bán đi trong trọng trờng đều với vận tốc

đầu v0, nghiêng với phơng ngang góc  khối lợng viên đạn là m, gia tốc trọngtrờng là g, lực cản không khí tác dụng lên viên đạn là R = - mgkv trong đó k

là hằng số tỷ lệ đã biết.Viết phơng trình chuyển động của viên đạn

B i giải à : Xem viên đạn nh một

chất điểm chuyển động dới tác dụng của

trọng lực Pvà lực cản không khí R = mgkv

Chọn hệ trục toạ độ đề các nh sau: Gốc O

trùng với miệng nòng súng trục Oy hớng

của viên đạn và trục oy, trục oz thẳng góc với các trục ox và oy, tức là thẳnggóc với v0

Phơng trình vi phân chuyển động dạng vectơ : ma = p  R (a)

Chiếu (a) lên các trục toạ độ:

mx'' = - mgk x = - mgkx'

my'' = - p - mgky = - mg - mgky'

mz'' = - mgkvz = - mgkz'

x'' = -gkx'y'' = - gk (

k

1

+ y') (b)z'' = - gkz'

Chọn gốc thời gian là lúc đạn ra khỏi nòng súng, ta có các điều kiện đầu

nh sau: x'(0) = v0cos ; y'(0) = v0sin ; z'(0) = 0

x(0) = 0 ; y(0) = 0 ; z(0) = 0 (c)

Hệ phơng trình (b) gồm ba phơng trình độc lập, vậy có thể tích phân riêngtừng phơng trình theo các điều kiện đầu tơng ứng

Trớc hết ta tìm x = x(t) nhờ tích phân phơng trình (b)1: x'' = -gkx'' Nhờ phơng pháp hạ cấp rồi phân ly biến ta đợc:

gkdt x

dx gkx dt

Bài toán 5: Một chất điểm M chuyển động dới tác động của một lực đàn

hồi tỷ lệ thuận với khoảng cách từ xa đến điểm cố định O, F = - k2mr trong

đó r là bán kính véc tơ của điểm M, m là khối lợng chất điểm, k2 – hằng số

A F

* Bài giải: Khảo sát chất điểm M chuyển động dới tác dụng của trọng lực

P và lực đàn hồi F hớng về điểm O cố định

Chọn hệ trục toạ độ đề các nh sau: gốc hệ tục là điểm O cố

định mà lựa đàn hồi tác dụng lên chất điểm ra

hớng vào, trục Ox có hớng nằm ngang từ trái sang phải, trục

Oy hớng thẳng đứng lên trên

Viết phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm xa

tuy dạng véc tơ

ma = p + Fhoặc sau khi rút gọn và sắp xếp lại ta đợc:

Để tìm chuyển động của chất điểm ta tớch phõn các phơng trình vi phân

(1) và (3) với các điều kiện đầu:

Phơng trình (2) là phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ

số hằng số Nghiệm tổng quát của nó có dạng:

x = c1cos kt + c2sin kt (5)Trong đó: c1 , c2 là hằng số tích phân Để xác định c1, c2 ta tính:

x' = - c1ksinkt + c2k coskt (6)Sau đó thay điều kiện đầu (4) và (5) và (6) tìm đợc c1 = A, c2 = 0 Do đó ta

có: x = Acoskt (7)

Phơng trình vi phân (3) khác phơng trình (2), vì (3) là phơng trình không

thuần nhất, nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất tơng ứng:

y' + k2y = 0 (8)Nghiệm của phơng trình này cũng có dạng: y1 = c3 coskt + c4 sinkt (9)

Vế bên phải của phơng trình (3) là không đổi, cho nên nghiệm riêng của nó cò

dạng y2 = c, trong đó c là hằng số Để tìm c ta thay y2 vào (3) dễ dàng tìm đợc:

y2 = - 2

k g

(10)

Vậy nghiệm y của phơng trình (3) có dạng:

y = c3 coskt + c4 sinkt - 2

k

g

(11)Các hằng số c3, c4 đợc xác định bởi các điều kiện đầu (4)

Khi thử tham số t trong phơng trình chuyển động ta nhận đợc phơng trình quỹ

đạo:

1

2 0

2 2 2

g y A x

Đây là phơng trình ekíp với tâm có toạ độ 

Bài giải: Khảo sát chuyển động của viên đạn, nó đợc xem nh chất điểm.

Lực tác dụng lên viên đạn chỉ có trọng lực

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz, có gốc O ứng với vị trị ban đầu của viên đạn,trục Oz hớng thẳng đứng lên, còn trục Oy hớng theo phơng ngang sao cho vậntốc ban đầu v0 nằm trong mặt phẳng Oyz Chọn gốc thời gian ứng với vị trí ban

đầu

Phơng trình vi phân chuyển động của viên đạn có dạng: mx'' = 0; my'' = 0; mz''

= - mg điều kiện đầu của chuyển động sẽ là:

x (0) = 0; x'(0) = 0; y(0) = 0

y'(0) = v0cos; z(0) = 0; z'(0) = v0sin

Khi tích phân phơng trình vô nghiệm chuyển động của viên đạn ta đợc:x' = c1, x = c1t + c2; y' = c3; y = c3t + c4

Nh vậy viên đạn sẽ chuyển động trong mặt

phẳng đứng chứa véc tơ vậntốc ban đầu v0

Dễ dàng chỉ ra rằng quỹ đạo của

viên đạn là đờng Parabon qua gốc

2 1

2

1

v tg

x

M p

v

O

L