Rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học bài tập toán ở trường trung học phổ thông

Biện pháp 1: Tạo ra môi trờng để mọi thành viên đều đợc pháttriển, vấn đề phù hợp với khả năng giải quyết của học sinh và có cơ hội thảo luận nhóm...44 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sin

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn khoa học của Thầy giáo

TS Nguyễn Đinh Hùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới Thầy - ngời đã trực tiếp tận tình giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận văn.

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Lý luận

và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán, trờng Đại học Vinh, thầy Nguyễn Anh Tuấn trờng CĐSP Nghệ An đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An, Ban giám hiệu cùng bạn bè đồng nghiệp trờng THPT Phan Thúc Trực, đã tạo

điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó !

Đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

Viết tắt Viết đầy đủ

PH và GQVĐ : Phát hiện và giải quyết vấn đề

GQVĐ : Giải quyết vấn đề

Mở đầu 1

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 6

1.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 6

1.1.1 Cơ sở khoa học của phơng pháp dạy học PH và GQVĐ 6

1.1.2 Những khái niệm cơ bản về dạy học PH và GQVĐ 7

1.1.3 Đặc trng của PP DH phát hiện và GQVĐ 11

1.1.4 Những hình thức và các cấp độ của dạy học PH và GQVĐ .17

1.1.5 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 19

1.2 Dạy học giải bài tập toán 20

1.2.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán 20

1.2.2 Dạy học sinh phơng pháp giải bài tập toán 22

1.3 Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng GQVĐ trong dạy học bài tập Toán ở trờng THPT 24

1.4 Khả năng rèn luyện kỹ năng GQVĐ cho học sinh thông qua dạy học bài tập toán 26

1.5 Kết luận Chơng 1 29

Chơng 2 một số biện pháp s phạm góp phần rèn luyện kỹ năng gqvđ cho học sinh trong dạy học bài tập toán ở thpt 30

2.1 Kỹ năng giải quyết vấn đề 30

2.1.1 Khái niệm kỹ năng 30

2.1.2 Quá trình giải quyết vấn đề 32

2.1.3 Kỹ năng GQVĐ 34

2.2 Một số biện pháp s phạm nhằm rèn luyện kỹ năng GQVĐ cho học sinh trong dạy học bài tập toán ở trờng THPT 44

2.2.1 Định hớng trong việc xây dựng các biện pháp 44

Biện pháp 1: Tạo ra môi trờng để mọi thành viên đều đợc phát

triển, vấn đề phù hợp với khả năng giải quyết của

học sinh và có cơ hội thảo luận nhóm 44

Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện các thao tác t duy trong quá trình giải toán 58

Biện pháp 3: Vận dụng các quan điểm của duy vật biện chứng vào dạy học toán 70

Biện pháp 4: Rèn luyện cho HS khả năng liên tởng và huy động kiến thức trong quá trình giải toán 82

Biện pháp 5: Sử dụng hợp lý các phơng tiện trực quan giúp học sinh PH và GQVĐ 90

2.3 Kết luận chơng 2 99

Chơng 3 thực nghiệm s phạm 100

3.1 Mục đích thực nghiệm 100

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 100

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 102

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 104

Kết luận 105

Tài liệu tham khảo 106

mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết Trung ơng 2 khoá VIII của Đảng đã khẳng định: “Cuộc

cách mạng về phơng pháp giáo dục phải hớng vào ngời học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trờng phổ thông, ”

Điều 24 - Luật Giáo dục nớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam

(năm 1998) quy định: ph“ ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”

Vì vậy, phơng hớng đổi mới phơng pháp dạy học là làm cho học sinhhọc tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Phải làm saotrong mỗi tiết học học sinh đợc suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt

động nhiều hơn Đây chính là tiêu chí, là thớc đo đánh giá sự đổi mới phơng phápdạy học

1.2 Trong những năm gần đây, một số PPDH hiện đại đã đợc đa vào nhà

trờng phổ thông nh: Dạy học theo lý thuyết hoạt động, Dạy học phân hoá, Dạyhọc khám phá, Dạy học kiến tạo, Các phơng pháp dạy học này đã và đang đápứng đợc phần lớn những yêu cầu đợc đặt ra Tuy nhiên, chỉ với một số phơngpháp đã đợc sử dụng thì vấn đề nâng cao hiệu quả dạy học, phát huy tính chủ

động của học sinh vẫn cha đợc giải quyết một cách căn bản Vì thế việc nghiêncứu và vận dụng các xu hớng dạy học có khả năng tác động vào hoạt động củahọc sinh theo hớng tích cực hóa quá trình nhận thức là điều thực sự cần thiết

Đi sâu vào việc đổi mới phơng pháp dạy học, cần thiết phải đẩy mạnhviệc nghiên cứu lý luận, tìm hiểu những lý thuyết dạy học của các nớc khác cóchứa đựng những yếu tố phù hợp với thực tiễn giáo dục nớc ta Một trongnhững xu hớng dạy học mới đang gây sự chú ý cho các nhà nghiên cứu lý luậndạy học đó là ''Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề''

Về mặt lý luận, vận dụng quan điểm này trong dạy học toán ở trờng phổthông có thể đợc coi là một một trong những phơng pháp dạy học tích cực

“Thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện

vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đó mà tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng” [22, tr 199].

Phơng pháp DH phát hiện và GQVĐ ra đời từ thập kỷ 60 (thế kỷ XX),

đến nay đã và đang đợc sử dụng nh một PP DH tối u, có khả năng phát huy tínhtích cực của ngời học Đặc biệt trong công cuộc đổi mới chơng trình SGK vàPPDH hiện nay, dạy học nhằm bồi dỡng và phát triển năng lực phát hiện vàgiải quyết vấn đề cho học sinh không chỉ mang tính thời đại mà thực sự trởthành một nhu cầu cấp thiết

1.3 Theo Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn: Dạy toán là dạy kiến thức, t duy

và tính cách, trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếukhông có kỹ năng thì sẽ không phát triển đợc t duy và cũng không đáp ứng đ-

ợc nhu cầu giải quyết vấn đề (dẫn theo [29, tr.1])

Tác giả Trần Khánh Hng cho rằng: “Kỹ năng là một trong những yêu

cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài tập”, còn Nguyễn Bá Kim viết: “Nó

là cơ sở để thực hiện các phơng diện mục đích khác” (dẫn theo [29, tr.1]) Nh

vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn luyện cho học sinh các kỹ năngtrong dạy học toán

1.4 ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động Toán học Đối với

học sinh, giải toán có thể xem là một hình thức chủ yếu của hoạt động Toánhọc Các bài toán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiệu quả vàkhông thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tduy, hình thành kỹ năng, ứng dụng Toán học vào thực tiễn

Dạy học giải bài tập toán là một quá trình t duy Trong đó xuất hiện cácthao tác trí tuệ: Tổ chức và động viên kiến thức; bổ sung và nhóm lại; tách biệt

và kết hợp Nhờ đó mà học sinh biết tự mình xem xét vấn đề, tự mình tìm tòicách giải quyết vấn đề, từ việc thực hiện các phép biến đổi, chứng minh, kiểmtra lại kết quả, bắt chớc bài toán

Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến rèn luyện kỹ năng,

chẳng hạn luận văn thạc sỹ của Nguyễn Huy Thao (2006): “Rèn luyện cho học

sinh khá giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có tham số trong dạy học toán ở trờng THPT”., luận văn thạc sỹ

của Nguyễn Thị Minh: “Rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông một số

kỹ năng cần thiết trong dạy học Đại số, Giải tích”, luận văn thạc sỹ của

Nguyễn Văn Nam: Rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng tiến hành các hoạt“

động trí tuệ trong giải toán Đại số và Giải tích , ” nhng cha có một công trìnhnào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh trongdạy học bài tập toán

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận vănlà:“Rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học bài tập toán ở trờng THPT”

2 mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc tổ chức dạy học theo định ớng PH và GQVĐ nhằm rèn luyện kỹ năng GQVĐ cho học sinh khi dạy họcgiải bài tập Toán ở THPT

h-3 nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ góp phần làm rõ những vấn đề sau:

3.1 Dạy học PH và GQVĐ trong môn toán, kỹ năng GQVĐ trong dạy

học bài tập toán

3.2 Đề xuất một số biện pháp s phạm để rèn luyện cho học sinh kỹ

năng GQVĐ trong khi dạy học bài tập toán

3.3 Tiến hành thực nghiệm s phạm để kiểm chứng tính hiệu quả của

các biện pháp đợc đề xuất trong đề tài

4 giả thuyết khoa học

Trên cơ sở chơng trình sách giáo khoa hiện hành, nếu xác định đợc kỹnăng GQVĐ và thực hiện những biện pháp s phạm thích hợp trong dạy học bàitập Toán thì sẽ rèn luyện đợc cho học sinh kỹ năng GQVĐ, góp phần đổi mớiPPDH và nâng cao chất lợng dạy học toán ở trờng trung học phổ thông

5 phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên

quan đến Luận văn

5.2 Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn s phạm, để xem xét ý

nghĩa thực tiễn của đề tài

5.3 Thực nghiệm s phạm: Tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính

khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

6 đóng góp của luận

a) Về mặt lý luận: Đã góp phần làm rõ kỹ năng GQVĐ và xây dựng một

số biện pháp s phạm để rèn luyện kỹ năng GQVĐ cho học sinh ở bậc THPT

b) Về mặt thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu thamkhảo cho giáo viên toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học toán ởbậc THPT

7 cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm có

Chơng 1

Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Hiện nay, đang tồn tại nhiều thuật ngữ khác nhau liên quan đến DHphát hiện và GQVĐ Ngời ta có thể sử dụng nhiều thuật ngữ khác nhau: DHnêu vấn đề, DH đặt VĐ, DH GQVĐ Trong luận văn này, chúng tôi sử dụngthuật ngữ dạy học PH và GQVĐ

1.1.1 Cơ sở khoa học của phơng pháp dạy học PH và GQVĐ

* Cơ sở triết học

Triết học duy vật biện chứng khẳng định: Mâu thuẫn là động lực thúc đẩyquá trình phát triển Một VĐ đặt ra cho HS học tập làm nảy sinh một mâu thuẫngiữa kiến thức và kinh nghiệm sẵn có của chủ thể với yêu cầu cần chiếm lĩnh trithức mới, cách thức hành động mới Từ đó bản thân chủ thể có sự phát triển mới

về chất

Nếu “quy luật mâu thuẫn” chỉ ra động lực của sự phát triển thì cơ chế của

sự phát triển, khi nào có phát triển thì phải tuân theo quy luật “từ những thay đổi

về chất sẽ dẫn đến những thay đổi về lợng và ngợc lại “Lợng” ở đây chính là sốlợng tri thức kỹ năng đợc lĩnh hội bằng PP DH phát hiện và GQVĐ, “chất” lànăng lực phát hiện và GQVĐ nảy sinh trong quá trình học tập và trong hoạt độngthực tiễn

* Cơ sở tâm lý học

T duy hay hoạt động nhận thức không thể chỉ là sự thu nhận các thaotác bằng lời hay xem các biểu diễn trực quan mà không có những hoạt độngxây dựng, tìm tòi, huy động những yếu tố sáng tạo của chủ thể nhận thức Quátrình nhận thức đợc hình thành và phát triển do nhu cầu cần khắc phục nhữngkhó khăn hoặc mâu thuẫn về nhận thức mà chủ thể ý thức đợc, thấy có hứngthú, có nhu cầu giải quyết sẽ tạo điều kiện cho chủ thể tìm tòi những phơngtiện giải quyết mới: tri thức mới, cách thức hành động mới Khi đó, khó khăn,

mâu thuẫn sẽ tạo ra một tình huống có VĐ Theo Rubinsteins: T “ duy sáng

tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống có VĐ” [25, tr 11].

Tâm lý học kiến tạo khẳng định: nhận thức không thể quan niệm là cáigì đợc hình thành sẵn trong cấu trúc nội tại của chủ thể, hay trong các tínhchất sẵn có của đối tợng nhận thức Mà là quan hệ qua lại giữa chủ thể nhậnthức và đối tợng Quá trình nhận thức chính là quá trình mà chủ thể xây dựng

cho mình những tri thức mới dựa trên những tri thức đã có và những cảmnghiệm mới DH phát hiện và GQVĐ phù hợp với quan điểm này.

* Cơ sở giáo dục học

Dạy học PH và GQVĐ phù hợp với nguyên tắc tự giác và tích cực vì nókhêu gợi đợc hoạt động học tập mà chủ thể đợc hớng đích, gợi động cơ trongquá trình PH và GQVĐ

Dạy học PH và GQVĐ cũng biểu hiện ở sự thống nhất giữa giáo dỡng

và giáo dục của kiểu dạy học này là ở chỗ nó dạy cho học sinh học cách khámphá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đềmột cách khoa học Đồng thời, nó góp phần bồi dỡng cho ngời học những đứctính cần thiết của ngời lao động sáng tạo nh tính chủ động, tích cực, tính kiêntrì, vợt khó, tính có kế hoạch, tính tự kiểm tra,

1.1.2 Những khái niệm cơ bản về dạy học PH và GQVĐ

a) Phát hiện

Phát hiện hiểu theo nghĩa là tìm thấy cái chính mình cha biết và có nhucầu muốn biết, đợc dùng để nói rõ vai trò của học sinh trong việc tự tìm tòi,tranh luận và thảo luận để tìm cách GQVĐ

b) Vấn đề

Để hiểu đúng khái niệm vấn đề, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống

Hệ thống đợc hiểu làmột tập hợp những phần tử cùng với những quan

hệ giữa những phần tử của tập hợp đó

Một tình huống đợc hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể vàkhách thể, trong đó chủ thể là ngời, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó

Nếu trong một tình huống,chủ thể còn cha biết ít nhất một phần tử củakhách thể thì tình huống này đợc gọi là một tình huống bài toán đối với chủthể

Trong một tình huống bài toán, nếu trớc chủ thể đặt ra mục tiêu tìmphần tử cha biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trớc ở trong kháchthể thì ta có một bài toán

Một bài toán đợc gọi là vấn đề nếu chủ thể cha biết một thuật giải nào

có thể áp dụng để tìm ra phần tử cha biết của bài toán

Nh vậy, vấn đề không đồng nghĩa với bài toán Những bài toán nếu chỉyêu cầu học sinh đơn thuần trực tiếp áp dụng một thuật giải, chẳng hạn giảimột phơng trình bậc hai dựa vào các công thức đã học, thì không phải lànhững vấn đề.

Khái niệm vấn đề nh trên thờng đợc dùng trong giáo dục Ta cần phânbiệt vấn đề trong giáo dục với vấn đề trong nghiên cứu khoa học Sự khácnhau là ở chỗ đối với vấn đề trong nghiên cứu khoa học, việc ch a biết một sốphần tử và cha biết một thuật giải nào có thể áp dụng để tìm một phần tử chabiết là mang tính khách quan chứ không phụ thuộc vào chủ thể, tức là nhânloại cha biết chứ không phải chỉ là một HS nào đó cha biết

Hiểu theo nghĩa đợc dùng trong giáo dục thì các khái niệm vấn đề mangtính tơng đối Bài toán yêu cầu giải phơng trình bậc hai không phải là một vấn

đề khi HS đã học các công thức tính nghiệm nhng lại là một vấn đề khi họ cha

động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Nh vậy, một tình huống gợi vấn đề phải thoả mãn ba điều kện sau:

- Thứ nhất: Phải tồn tại một vấn đề.

Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức,chủ thể phải ý thức đợc cái khó khăn trong t duy hoặc hành động mà vốn hiểubiết sẵn có cha đủ để vợt qua Nói cách khác phải tồn tại một vấn đề, tức làhọc sinh cha giải đáp đợc và cũng cha có một qui tắc có tính chất thuật giải đểgiải đáp câu hỏi nảy sinh trong tình huống đó

- Thứ hai: Gợi nhu cầu nhận thức

Nếu tình huống có một vấn đề nhng nếu học sinh thấy nó xa lạ khôngmuốn tìm hiểu thì đây cũng cha phải là một tình huống gợi vấn đề Trong tìnhhuống gợi vấn đề học sinh phải thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn

đề đó Tốt nhất là tình huống gây đợc "cảm xúc" làm cho học sinh ngạc nhiên,thấy hứng thú và mong muốn giải quyết vấn đề

- Thứ ba: Gây niềm tin ở khả năng.

Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhng nếu họcsinh cảm thấy nó vợt quá xa so với khả năng của mình thì họ cũng không sẵnsàng giải quyết vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ, tuy cha có ngay lời giảinhng đã có một số kiến thức kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họtích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết đợc vấn đề đó.

Ví dụ 1.1: Học sinh lớp 11 sau khi học nội dung đẳng thức lợng giác

"Tổng bình phơng côsin và sin của cùng một góc bằng 1" Giáo viên đa ra bàitoán:

Hãy xét xem cách viết sau đây cách nào đúng, cách nào sai?

1 2 2

2 2



 sin xx

cos

cos22x + sin22x = 1cos2x + sin2y = 1

Đây rõ ràng là một tình huống gợi vấn đề, trớc hết nó bao hàm một vấn

đề là tìm sai lầm (nói chung không có thuật toán để phát hiện sai lầm) Thứhai nó gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản thân họ cũng rất muốn tìm tòi chỗ saisót (vì không thể chấp nhận một cách viết sai) Thứ ba nó gây đợc niềm tin ởkhả năng học sinh vì họ cảm thấy vấn đề chỉ quanh quẩn ở những kiến thứcvừa học

d) DH phát hiện và GQVĐ

Có thể xác định một cách đúng đắn bản chất của DH phát hiện vàGQVĐ bằng cách xem xét trên quan điểm phát triển trí tuệ Đó là cách DHtrong đó HS thu nhận tri thức không phải dới dạng có sẵn mà bằng con đờng

độc lập nghiên cứu “Tạo ra một chuỗi tình huống có VĐ và điều khiển HĐ

của HS nhằm độc lập GQ các VĐ học tập ( ” Makhmutov), V.ÔKôn xác định rằng: DH nêu VĐ là DH dựa trên sự điều khiển quá trình HS độc lập GQ các“

bài toán thực hành hay lý thuyết” (dẫn theo [20, tr 26]) ở mức cao hơn, GV

tổ chức cho HS tự phát hiện và GQ thành công các VĐ Đó là thực chất củaquá trình DH phát hiện và GQVĐ

Nh vậy, DH phát hiện và GQVĐ là PP chứa đựng nhiều khả năng pháthuy tính sáng tạo và độc lập suy nghĩ của HS DH phát hiện và GQVĐ đòi hỏi

HS phải tích cực tham gia GQVĐ do một hoặc một số tình huống đặt ra HSvừa nắm đợc tri thức, vừa phát triển t duy sáng tạo, vừa hình thành và pháttriển ở HS cơ sở thế giới quan khoa học

Trong DH phát hiện và GQVĐ, thầy giáo tạo ra những THGVĐ, điềukhiển HS phát hiện VĐ, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo đểGQVĐ, thông qua đó kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt đợc các mụctiêu DH khác DH phát hiện và GQVĐ có những đặc điểm sau:

- HS đợc đặt vào một THGVĐ chứ không phải đợc thông báo tri thức

d-ới dạng cho sẵn

- HS HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo, tận lực huy động trithức và khả năng của mình để phát hiện và GQVĐ, không thụ động nghethầy giảng bài

- Mục tiêu DH không dừng lại ở chỗ cung cấp kiến thức, làm cho ngờihọc lĩnh hội kết quả của quá trình phát hiện và GQVĐ Mà làm cho họ pháttriển khả năng tiến hành những quá trình nh vậy- HS đợc học chính bản thânviệc học Dạy học PH và GQVĐ là kiểu dạy có nét đặc trng là giáo viên trựctiếp tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện ra vấn

đề, hoạt động tự giác và tích cực để GQVĐ Thông qua đó mà lĩnh hội trithức, rèn luyện kỹ năng và đạt đợc các mục đích học tập khác

1.1.3 Đặc trng của PP DH phát hiện và GQVĐ

a) Đặc trng cơ bản của PP DH phát hiện và GQVĐ là THGVĐ

V.ÔKôn khẳng định: nét bản chất của DH phát hiện và GQVĐ khôngphải là sự đặt câu hỏi mà là tạo THGVĐ THGVĐ là một hiện tợng chủ quan,một trạng thái tâm lý của chủ thể, trạng thái lúng túng xuất hiện trong quátrình nhận thức nh là một mâu thuẫn giữa chủ thể và khách thể nhận thứctrong HĐ của con ngời

- Điều kiện của THGVĐ

+ Tồn tại một VĐ: là tình huống có một yếu tố của khách thể mà HS

cha tìm ra và cũng cha có trong tay một thuật giải để tìm yếu tố đó

+ Gợi nhu cầu nhận thức: là tình huống tạo đợc hứng thú tìm kiếm lời

giải cho bài toán mà GV vừa nêu ra HS nhận thấy cần phải bổ sung tri thứcbằng cách tham gia GQVĐ vừa nảy sinh

+ Khơi dậy niềm tin ở khả năng: tình huống cần khơi dậy ở HS cảm

nghĩ có đủ khả năng để giải đợc bài toán đó tuy không phải là ngay lúc đó

nh-ng bằnh-ng quá trình tìm tòi tích cực HS sẽ tìm ra đợc lời giải

- Thủ thuật tạo THGVĐ

Vận dụng thành công DH phát hiện và GQVĐ một đòi hỏi tiên quyết làphải tạo đợc THGVĐ Trong quá trình DH có thể tạo ra các THGVĐ bằng

những yêu cầu khác nhau mà thực chất của chúng là các bài làm thực hành hay

lý thuyết làm nảy sinh nhu cầu nhận thức một tri thức mới, cách thức hành độngmới - tri thức cha biết, PP mới cha từng có từ trớc tới nay đợc sử dụng để hìnhthành đúng đắn hành động dẫn đến mục đích Các bài toán có VĐ có thể là:những bài tập học tập; những câu hỏi; những bài làm thực hành Kết quả nghiêncứu của nhiều nhà giáo dục học cho thấy, VĐ có thể nảy sinh ra do:

+ HS thiếu những tri thức cần thiết: những tri thức hiện có của các emkhông đủ để trả lời đợc câu hỏi hoặc những tri thức đó mâu thuẫn với những

điều mà các em cần tiếp thu - VĐ nhận thức

+ HS thiếu những kỹ năng cần thiết - VĐ kỹ năng

+ HS không có hứng thú với VĐ nhận thức

Chúng tôi dẫn ra một số thủ thuật xây dựng THGVĐ trong giờ học:

+Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, nhờ thực hành, hoặc hoạt động thực tiễn

Ví dụ 1.2: Khi dạy về công thức tính tổng vô hạn của một cấp số nhân

có công bội q < 1 Ta có thể tạo tình huống gợi vấn đề nh sau:

- Hãy dùng hình vẽ dự đoán kết quả của tổng vô hạn sau:

8

1 4

1 2

u 

1 công bội q

2 1/

4

1/

8 1/

"Điều ngợc lại có đúng không? Tại sao?"

+ Xem x ét tơng tự

Ví dụ 1.4: Sau khi dạy công thức cộng cos (a - b) = cosa.cosb +

sina.sinb Để dạy học sinh công thức cos (a + b) = cosa.cosb - sina.sinb ta cóthể tạo tình huống gợi vấn đề nh sau:

Giáo viên có thể nêu câu hỏi: Tơng tự công thức cos (a - b), em nào cóthể phát biểu đợc công thức cos (a + b)

Đây là một vấn đề của bài học, học sinh có thể đa ra các công thức nh:

cos (a + b) = cosa.cosb - sina.sinbcos (a + b) = sina.sinb - cosa.cosb

+ Khái quát hoá

Ví dụ 1.5: Sau khi học công thức biến đổi tổng thành tích, để dạy học

sinh giải bài tập

CMR: a.cosx + b.sinx = A.cos (x - ) (1) (a.b  0) và

2 2 2

2

b a

b sin

, b a A

Ta có thể tạo tình huống gợi vấn đề nh sau:

- Yêu cầu các em chứng minh bài toán 

sin x cos

- Từ đó tìm cách khái quát hoá để giải bài toán (1)

+ Tìm sai lầm trong lời giải

Ví dụ 1.6: Trớc khi làm bài tập “Chứng minh tam giác ABC là tam giác

cân hoặc vuông, biết rằng: tan sin

B A

cos

sin sin cos

sin sin

 A = B  tam giác ABC là tam giác vuông cân tại C

+ Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

Ví dụ 1.7: Sau khi học bài " Phơng trình lợng giác cơ bản" Để củng cố

việc lấy nghiệm của các phơng trình đó ta có thể ra bài tập theo dạng sau đểtạo tình huống gợi vấn đề:

(1) cos cos cos cos 2

        

 Hãy phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm trong lời giải trênLời giải trên đã phạm phải sai lầm là cho rằng " Hai cung đối nhau thìcosin của chúng cũng đối nhau" Chúng tôi nhận thấy đây là một sai lầm th-ờng gặp ở học sinh

+ Giải bài tập mới mà cha biết thuật giải trực tiếp, qua đó hình thành nên kiến thức mới

Ví dụ 1.8: Giải bài tập “không giải phơng trình: x2 +3x-14 = 0 hãy tính

tổng và tích các nghiệm của phơng trình đó” để đặt vấn đề cho hệ thức Viét

+Tìm thêm cách giải khác trong mỗi bài tập

Ví dụ 1.9: Khi dạy học sinh giải bài tập

Cho dãy số (un) xác định bởi u u (n 1)

u n n

Tìm limun

Ta có thể tạo tình huống gợi vấn đề nh sau:

Khi gặp bài toán này học sinh "thờng" sẽ giải theo cách: Bằng dự đoán

và dùng phơng pháp qui nạp Toán học, học sinh có thể tìm và chứng minh đợc

số hạng tổng quát của dãy số trên là 1

+Khai thác kiến thức cũ, đặt vấn đề dẫn tới kiến thức mới

Ví dụ 1.10: Hình thành phơng pháp giải toán bằng cách lập phơng trình.

Giải bài toán: “Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mơi sáu con Một trăm chân chẵn”.

Hỏi có mấy con gà, mấy con chó?

Sau khi học sinh giải xong bằng phơng pháp giả thiết tạm đã biết, giáoviên đặt vấn đề phiên dịch ngôn ngữ thông thờng sang ngôn ngữ đại số, từ đódẫn đến kiến thức mới giải toán bằng cách lập phơng trình

+ Nêu thêm câu hỏi sau mỗi bài tập

Ví dụ 1.11: Sau khi dạy học sinh giải bài tập tìm

x

x lim

x

1 3 1

3 0







Ta có thể nêu thêm câu hỏi sau để tạo tình huống gợi vấn đề: Nếu thay

x trong căn bậc 3 bởi sinx thì kết quả sẽ nh thế nào?

b) Quá trình DH theo PPDH phát hiện và GQVĐ đợc chia thành những bớc, những giai đoạn có tính mục đích chuyên biệt

Giá trị to lớn về mặt giáo dục trong DH phát hiện và GQVĐ là đảm bảocho HS nắm các tri thức mới, cách thức hành động mới một cách có ý thức vàvững chắc Để thực hiện đợc điều này đòi hỏi phải tổ chức quá trình GQVĐ

nh là quá trình thực hiện các hành động kế tiếp nhau, mỗi hành động, mỗithao tác tơng ứng với một giai đoạn của quá trình GQVĐ

- Jonh Dewey chia thành 5 bớc và ngời học phải tự lực thực hiện dới sự hớng dẫn của thầy: Bớc 1: Tìm hiểu VĐ Bớc 2: Xác định VĐ Bớc 3: Đa ra những giả thuyết khác nhau để GQVĐ Bớc 4: Xem xét hệ quả của từng giả thuyết dới ánh sáng của những kinh nghiệm trớc đây Bớc 5: Thử nghiệm giải

pháp thích hợp nhất [46, tr 239]

- Kuasiasev cho rằng quá trình GQVĐ có 4 giai đoạn: Bớc 1: Xuất hiện VĐ và những kiến thức thúc đẩy chủ thể GQVĐ Bớc 2: Chủ thể nhận thức sâu sắc và chấp nhận VĐ cần GQ Bớc 3: Tìm kiếm lời giải cho VĐ đó, chứng minh, kiểm tra Bớc 4: Tìm ra kết quả và đánh giá kết quả tìm đợc [46, tr.

239]

- Rohn P De Cecco chia làm 5 bớc: Bớc 1: Mô tả cho ngời học yêu cầu bài toán và yêu cầu lời giải Bớc 2: Đánh giá khả năng ngời học về những quan điểm, nguyên tắc cần thiết cho việc GQVĐ Bớc 3: Hội tụ tất cả những nguyên tắc và những học thuyết cần thiết cho việc GQVĐ Bớc 4: Đa ra định hớng bằng lời giúp ngời học suy nghĩ Bớc5: Yêu cầu ngời học trình bày lại

quá trình tìm ra lời giải (dẫn theo [20, tr 26])

- Thậm chí, GS Meier đa ra 8 bớc để GQVĐ: Bớc 1: Giải thích các thuật ngữ và nêu VĐ cần GQ Bớc 2: Thu thập các VĐ thành phần Bớc 3: Tập hợp các giả thuyết và các phơng án GQ Bớc 4: Hệ thống hoá các giả thuyết và ý tởng B-

ớc 5: Xác định VĐ nhận thức Bớc 6: Tổ chức nghiên cứu nội dung học tập theo

các hình thức khác nhau Bớc 7: Thảo lụân các nội dung học tập vừa nghiên cứu.

Bớc 8: Nhận xét, rút kinh nghiệm về quá trình tìm kiếm lời giải (dẫn theo [20,

tr 26])

Nh vậy, tuy mỗi ngời có cách chia khác nhau nhng nó không hề làm thay

đổi bản chất cốt lõi của DH phát hiện và GQVĐ - là PP DH mà GV tổ chức cácTHGVĐ, giúp ngời học nhận thức nó, chấp nhận GQ và tìm kiếm lời giải trongquá trình HĐ hợp tác giữa thầy với trò, trò với trò Trong từng bớc tiến hành đó,

GV phải tổ chức thành chuỗi thao tác, chuỗi hành động để ngời học độc lập thựchiện Sau khi thực hiện xong chuỗi thao tác, chuỗi hành động đó thì VĐ đã đợclàm sáng tỏ

c) Quá trình DH theo PP DH phát hiện và GQVĐ bao gồm nhiều hình thức tổ chức đa dạng

Quá trình học tập của HS có thể diễn ra với những cách tổ chức đa dạng

lôi cuốn ngời học tham gia cùng GQVĐ Làm việc theo nhóm nhỏ: thảo luận, trao đổi ý kiến cùng tìm kiếm lời giải Tấn công não (Brain storming): yêu cầu

ngời học tự suy nghĩ, đa ra những ý kiến hoặc giải đáp ở mức độ tối đa có thể

có Xếp hạng (Ranking): chia cắt VĐ thành những VĐ có mức độ quan trọng khác nhau nhằm kích thích suy nghĩ sâu hơn về một VĐ cần u tiên Sắm vai

(Role play): luyện tập cho ngời học phát triển năng lực chuyển hớng t duy, tăng

thêm khả năng nghĩ ra những hớng khác và phát triển kỹ năng GQVĐ và các

GQ các mâu thuẫn Mô phỏng (Sumulation): thu hút tập thể lớp cùng tham gia

nhằm đa ra những phơng án GQ các VĐ phức tạp liên quan đến ngời học

Những chiến lợc ra quyết định (Decision making strategies): đào tạo những kỹ năng cần thiết cho cá nhân trong sự tham gia vào xã hội sau này Báo cáo và

trình bày: thực hiện nhiều cách làm, cá nhân, nhóm viết và trình bày trớc tập

thể [46, tr 241] Ngoài ra dạy học PH và GQVĐ còn có thể tổ chức thông qua

các hoạt động ngoại khoá: bằng các cuộc thi trí tuệ

1.1.4 Những hình thức và các cấp độ của dạy học PH và GQVĐ

Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề

mà ngời ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thứckhác nhau của dạy học PH và GQVĐ Có nhiều cách phân chia nhng theoNguyễn Bá Kim, Bùi Huy Ngọc [26, tr 149] dạy học PH và GQVĐ có thể đợcthực hiện dới những hình thức sau đây:

a) Ngời học độc lập phát hiện và GQVĐ

Đây là một hình thức dạy học mà tính độc lập của ngời học đợc pháthuy cao độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, ngời học tự phát hiện

và GQVĐ đó Nh vậy, trong hình thức này, ngời học độc lập nghiên cứu vấn

đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này

b) Ngời học hợp tác phát hiện và GQVĐ: Hình thức này chỉ khác hình

thức thứ nhất ở chỗ quá trình PH và GQVĐ không diễn ra một cách đơn lẻ ởmột ngời học, mà là có sự hợp tác giữa những ngời học với nhau, chẳng hạn d-

ới hình thức học nhóm, học tổ, làm dự án,

c) Thầy trò vấn đáp phát hiện và GQVĐ: Trong vấn đáp phát hiện và

giải quyết vấn đề, học sinh giải quyết vấn đề không hoàn toàn độc lập mà có

sự gợi ý, dẫn dắt của thầy khi cần thiết Phơng tiện để thực hiện hình thức này

là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò

Nh vậy có sự đan kết, thay đổi hoạt động của thầy và trò dới hình thức vấn

đáp

d) GV thuyết trình phát hiện và GQVĐ: Thầy giáo tạo ra tình huống

có vấn đề, sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và trình bày quá trình suynghĩ giải quyết.Trong quá trình này có tìm kiếm dự đoán, có thể sẽ thất bạiphải điều chỉnh mới đi đến kết quả, kiến thức đợc trình bày không phải dớidạng có sẵn mà là trong quá trình khám phá ra chúng ở hình thức này, mức

độ độc lập của học sinh thấp hơn các hình thức khác

Những hình thức nêu trên đã đợc sắp xếp theo mức độ độc lập của HStrong quá trình phát hiện và GQVĐ Vì vậy, đó đồng thời là những cấp độ DHphát hiện và GQVĐ về phơng diện này Khi sử dụng GV cần lu ý:

- Các mức độ phân chia ở trên đợc sắp thứ tự về mức độ độc lập của HStrong quá trình phát hiện và GQVĐ

Mức độ Đặt VĐ Nêu giảthuyết Lập kếhoạch GQVĐ Kết luận

- Tuỳ từng VĐ cụ thể mà sử dụng các mức độ khác nhau, không nhấtthiết phải yêu cầu HS luôn phải tự lực phát hiện và GQVĐ trong toàn bộ nộidung kiến thức.

1.1.5 Thực hiện dạy học giải quyết vấn đề

Trong dạy học, giáo viên thờng đặt ra vấn đề thông qua THGVĐ, họcsinh tham gia phát hiện vấn đề và tìm cách GQVĐ đó Vì vậy có thể chia quátrình dạy học PH và GQVĐ thành 4 bớc nh sau [26, tr.203]:

ớc 4 : Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những VĐ mới có liên quan nhờ xét tơng tự, lật ngợcVĐ, khái quát hoá và GQVĐ nếu có thể

Tiến trình GQVĐ

Bắt đầu Phân tích VĐ

Đề xuất và thực hiện cách GQ

Hình thành giải pháp

Lựa chọn giải pháp đúng

Kết thúc

1.2 dạy học giải bài tập toán

1.2.1 Vị trí và chức năng của bài tập Toán học

Trong các tình huống dạy học điển hình ta có thể minh hoạ:

Khái niệm: hình thành  củng cố  bài tập

Ví dụ 1.12: Cho tam giác ABC với trọng tâm G Hãy dựng véctơ tổng

GA GB                            

Từ đó suy ra GA GB GC   0

   

.Bài tập này trớc hết nhằm củng cố kỹ năng dựng véctơ tổng theo quytắc hình bình hành, củng cố các tri thức về tính chất trung tuyến tam giác, tínhchất tâm của hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng Điều đó thểhiện chức năng dạy học của bài tập này

Khi dạy giải bài tập này, GV hớng dẫn HS liên tởng đến kết quả mộtbài tập đã giải trớc đó về tích chất trung điểm của đoạn thẳng (nếu O là trung

điểm của đoạn thẳng AB thì OA OB                                            0

), biết thay thế tổng GA GB                            

ở đẳngthức phải chứng minh bằng GD để đa về đẳng thức mới phải chứng minh là

Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất trung điểm đoạnthẳng với tính chất trọng tâm tam giác gợi lên một ý tởng khái quát đối với tứgiác, ngũ giác hay một đa giác nói chung: có hay không một điểm O sao cho

0

OA OB OC OD   

    

Rõ ràng nếu ABCD là hình bình hành thì O chính là tâm của nó, Nhthế chức năng phát triển của bài toán đã đợc thể hiện rõ ràng: luyện tập cho

HS kỹ năng vận dụng tơng tự hoá, khái quát hoá, phát triển ở HS t duy biệnchứng, khả năng dự đoán

Qua việc giải bài toán trên có thể đánh giá đợc mức độ, kết quả dạyhọc, đánh giá đợc khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.Vậy bài toán có chức năng kiểm tra

Các chức năng trên không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau.Hiệu quả của việc dạy học bài tập toán phần lớn phụ thuộc vào sự khai thác

đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập mà tác giả sách giáo khoa có dụng

ý chuẩn bị Ngời GV có thể khám phá và thực hiện dụng ý đó bằng năng lực sphạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình

1.2.2 Dạy học sinh phơng pháp giải bài tập toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹnăng quan trọng nhất Trong tác phẩm của G Pôlya ông đã đa ra 4 bớc để đi

đến lời giải bài toán

1) Hiểu rõ bài toán

Để giải một bài toán, trớc hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải cóhứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên ngời giáo viên cần chú ý hớngdẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toán của các

em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tích giả thiết

và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện Điềukiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dới một hìnhthức khác đợc không?

2) Xây dựng chơng trình giải

Trong bớc thứ 2 này, phải chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiềubài toán đơn giản hơn, phải huy động những kiến thức có liên quan đến nhữngkhái niệm, những quan hệ trong đề toán, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và

dự đoán thông qua xét các trờng hợp đặc biệt, xét các bài toán tơng tự haykhái quát của bài toán đã cho vv bằng cách đặt các câu hỏi:

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào cha Em

có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng đợc không?

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tơng tự?

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một

bài toán tổng quát hơn? Một trờng hợp riêng? Một bài toán tơng tự? Em có thể giải một phần của bài toán?

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện cha? Đã sử dụng hết điều kiện cha? Đã

để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn đợc xác

định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đợc những gợi

ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho cácbài toán Tuy nhiên để đạt đợc điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tấtcả các giờ dạy toán, đồng thời học sinh phải đợc tự mình áp dụng vào hoạt

động giải toán của mình

3) Thực hiện chơng trình giải

Khi thực hiện chơng trình giải hãy kiểm tra lại từng bớc Em đã thấy rõ

ràng là mỗi bớc đều đúng cha? Em có thể chứng minh là nó đúng không?

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm đợc

Học sinh phổ thông thờng có thói quen khi đã tìm đợc lời giải của bàitoán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gìkhông, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vìvậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thờng xuyênthực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trờng hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thờng có nhiều cáchgiải, học sinh thờng có những suy nghĩ khác nhau trớc một bài toán nhiềukhi độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần l u ý để phát huy tính sáng tạocủa học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiêncũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình vàkém chán nản

Tìm cách sử dụng kết quả hay phơng pháp giải bài toán này cho một bàitoán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với họcsinh yếu kém, nhng có thể coi là một phơng hớng bồi dỡng học sinh giỏi Tuy

nhiên, trong một số trờng hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể cho học sinhtoàn lớp thấy đợc việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp dụng vào bàitoán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới.

1.3 Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng GQVĐ trong dạy học bài tập Toán ở trờng THPT

Về thực trạng dạy học, thì qua trực tiếp giảng dạy cũng nh qua dự giờ,quan sát, trao đổi việc dạy và học của GV và HS, chúng tôi thấy rằng:

Phơng pháp dạy học của GV vẫn đang nặng theo kiểu thuyết trình, vẫndiễn ra theo phơng pháp GV làm trung tâm Phần lớn thời gian trong một tiếthọc GV dùng để giảng bài và ghi bảng chứ cha tổ chức đợc các hoạt độngkhám phá để học sinh tìm kiếm tri thức mới Đa phần các lớp học đang duy trìkiểu dạy học “thông báo - đồng loạt”., thông tin đợc truyền theo một chiều từthầy đến trò, quan hệ giao tiếp chủ yếu là thầy và trò

Thực tế dạy học bài tập toán hiện nay trong nhiều trờng THPT có thểmô tả nh sau: Học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp, giáo viêngọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải,giáo viên sửa hoặc đa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức cho họcsinh Một số bài toán sẽ đợc phát triển theo hớng khái quát hóa, đặc biệt hóa,tơng tự hóa cho đối tợng học sinh khá giỏi Thực tế đó cho thấy học sinh thụ

động nhiều trong giải toán, thờng phụ thuộc vào thầy hoặc các lời giải có sẵn,cha phát huy đợc tính độc lập, sáng tạo, ngời thầy còn hạn chế trong việc dẫndắt học sinh tìm ra lời giải

Việc rèn luyện t duy lôgic cho học sinh không đầy đủ, thờng chú ý đếnviệc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp Giáo viên ít khichú ý đến việc dạy toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi

dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngợc hay các tìnhhuống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất cácgiải pháp

Với một khối lợng kiến thức tơng đối nhiều mà GV phải dạy theo đúngphân phối chơng trình quy định nên việc mở rộng khai thác các khái niệm,tính chất, định lí, bài tập cha đợc triệt để, sâu sắc Nhiều giáo viên muốn tiếpcận với phơng pháp dạy học tích cực nhng cha biết phải bắt đầu từ đâu, và nếutiếp cận đợc thì cũng gặp phải khó khăn: trình độ chung học sinh còn yếu,

giáo viên sẽ bị cháy giáo án Điều này góp phần làm hạn chế tính tích cực, tựgiác, chủ động, độc lập của học sinh

Về phía học sinh, một phần các em học sinh khá, giỏi ở trờng chuyênlớp chọn đã có phơng pháp tự học còn phần lớn HS học tập thụ động, chất l-ợng đại trà của học sinh còn yếu Số học sinh tự mình tiếp thu và giải đợc cácbài toán không nhiều Hầu hết thờng gặp khó khăn khi cần huy động kiến thức

để giải quyết vấn đề Chẳng hạn:

* Yếu về định hớng biến đổi các bài toán:

Ví dụ 1.13: Khi chứng minh đẳng thức:

sinA + sinB + sinC = 4cos

2

A

cos2

B

cos2

A B = 2cos

2

C

cos2

A B,

sinC = 2sin

2

C

cos2

* Yếu về kỹ năng chuyển đổi bài toán:

Từ thực tiễn s phạm cho thấy: học sinh gặp phải nhiều khó khăn và sailầm khi chuyển một bài toán thành bài toán tơng đơng Chẳng hạn:

+ Khi đặt ẩn phụ thờng quên mất việc đặt điều kiện cho ẩn phụ, và chorằng, phơng trình f (x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình g (t) = 0 cónghiệm, trong đó g (t) là biểu thức thu đợc từ f (x) thông qua phép đặt ẩn phụ t

=  ( )x nào đó

Ví dụ 1.14: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình sau có nghiệm

x4 - 2 (m + 1)x2 - 2m + 1 = 0 (1) có nghiệmMột sai lầm thờng thấy của HS đó là: khi đặt x2 = t, chuyển phơng trình

đã cho về dạng t2 - 2 (m + 1)t - 2m + 1 = 0 (2), và trả lời ngay phơng trình (1)

có nghiệm khi phơng trình (2) có nghiệm, tơng đơng với t  0 Mà quên mất

điều kiện t  0, dẫn đến lời giải sai Mà điều kiện đúng phải là:

0 0 0

t

S P

l-Ví dụ 1.15: Khi giải bài toán, tìm m để phơng trình cos2x + cosx + m = 0

có đúng 2 nghiệm x  [0; ], nhiều học sinh lập luận rằng: “Đặt t = cosx,

điều kiện của t là 0 t 1, để phơng trình đã cho có đúng hai nghiệm 0,

thì phơng trình t2 + t + m = 0 có đúng hai nghiệm t trong 0,1

1.4 Khả năng rèn luyện kỹ năng GQVĐ cho học sinh thông qua dạy học bài tập toán

Trong xã hội đang phát triển nhanh theo cơ chế thị trờng,cạnh tranh gaygắt, thì sớm phát hiện và giải quyết hợp lý những vấn đề nảy sinh trong thựctiễn là một năng lực đảm bảo sự thành đạt trong cuộc sống Vì vậy tập dợt cho

HS biết PH, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong học tập, trongcuộc sống của cá nhân, gia đình và cộng đồng không chỉ có ý nghĩa ở tầmPPDH mà đợc đặt ra nh một mục tiêu giáo dục [5, tr 35]

Theo yêu cầu của việc đổi mới phơng pháp dạy học và đổi mới sáchgiáo khoa hiện nay thì việc dạy học phải lấy hoạt động của học sinh làmtrung tâm, Đòi hỏi này xuất phát từ những yêu cầu của xã hội đối với sự pháttriển nhân cách của thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bảnchất của quá trình học tập Để đáp ứng đòi hỏi đó, chúng ta không chỉ dừng ởviệc nêu định hớng đổi mới phơng pháp dạy học, mà phải đi sâu vào nhữngphơng pháp dạy học cụ thể nh những biện pháp để thực hiện định hớng nóitrên Trong số đó, phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là mộttrong những phơng pháp đáp ứng tốt định hớng trên

Chẳng hạn, ta có thể rèn luyện cho học sinh cách tiếp cận vấn đề, kỹnăng định hớng GQVĐ thông qua việc hớng dẫn học sinh tìm nhiều lời giải chomột bài toán, hay nhìn nhận một vấn đề dới nhiều góc độ khác nhau.

Tính sáng tạo và tính giải quyết vấn đề xuyên suốt trong tiến trình giảitoán Thực tiễn trong dạy học giải toán là một hoạt động đầy tiềm năng đểhình thành và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh

Rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học nói chung

và tiến trình giải toán nói riêng là một tất yếu hợp với quy luật nhận thức của

học sinh, trong đó nhấn mạnh: Thái độ tìm tòi, phát hiện và giải quyết các vấn

đề nảy sinh và thái độ sáng tạo.

Tính phổ biến của tình huống vấn đề trong toàn bộ quá trình dạy học làmột lý do để khẳng đinh sự hình thành và phát triển kỹ năng GQVĐ, ngoàimột số tình huống cơ bản hay gặp, học sinh còn đợc đặt vào các tình huốngvấn đề trong khi giao các nhiệm vụ sau: Dự đoán, lật ngợc vấn đề, xem xét t-

ơng tự, khái quát, giải bài toán song cha biết thuật giải trực tiếp, tìm sai lầmtrong lời giải, phát hiện nguyên nhân và sửa chữa sai lầm

Quá trình rèn luyện kỹ năng GQVĐ cho học sinh đợc tóm tắt nh sau:Bớc 1: Giáo viên tạo ra môi trờng để học sinh hoạt động Trong giảitoán, môi trờng có dụng ý s phạm thực chất là tạo tình huống nhằm nối kinhnghiệm của học sinh với nhiệm vụ giải bài toán, trong đó có tối thiểu 3 mốiliên hệ:

- Môi trờng và kinh nghiệm, kiến thức của học sinh

- Các yếu tố của môi trờng (bầu không khí của lớp học, sự ham mêhứng thú để giải toán, phong cách năng lực của giáo viên, trang thiết bị )

- Mối liên quan giữa các yếu tố của môi trờng với nhiệm vụ nhận thức(giải bài toán)

Bớc 2: Các mối liên hệ trên cùng với động cơ giải đợc bài Toán là điềukiện cần thiết tạo thành các mối liên hệ tạm thời (biểu tợng) tác động đến họcsinh, tạo môi trờng có dụng ý s phạm và các tình huống vấn đề trực tiếp tác

động đến t duy của học sinh đòi hỏi cách giải quyết

Bớc 3: Học sinh hình thành, phát triển các chức năng phản ánh nhằmphát hiện đợc bản chất của đối tợng; huy động các thông tin, kiến thức, kỹnăng và kinh nghiệm hữu ích có liên quan bài toán cần giải (Tìm hiểu, phântích bài toán )

Bớc 4: Nảy sinh các vấn đề và tình huống vấn đề Tình huống vấn đề

đ-ợc học sinh tiếp nhận và đòi hỏi cách giải quyết Nhiệm vụ nhận thức đđ-ợc tiếptục duy trì và kích thích một cách trực tiếp và gián tiếp nhờ quá trình tìm tòisáng tạo của học sinh và các tác động s phạm của giáo viên Đề ra chiến lợcgiải theo nhiều hớng khác nhau, từ đó xây dựng kế hoạch giải bài toán Đây làbớc nhảy vọt về chất trong tiến trình giải toán, là giai đoạn quyết định của quátrình giải quyết vấn đề

Bớc 5: Giáo viên định hớng cho học sinh làm quen các hình thức giảiquyết vấn đề Từ đó thực hiện kế hoạch giải bài Toán bằng cách phát hiện vàgiải quyết vấn đề Các vấn đề và tình huống vấn đề đợc giải quyết, tiếp tục lạinâng cao hơn tính sẵn sàng học tập của học sinh với nhiệm vụ mới tiếp theo ởbớc này t duy lôgic đóng vai trò chủ đạo

Bớc 6: Xác minh kiểm tra lại tiến trình giải toán, kiểm chứng và kết luậngiá trị chân lý của quá trình sáng tạo Vai trò của t duy lôgic, t duy sáng tạo rấtquan trọng: "Bởi vì những tia sáng lóe ra từ ý thức và để giải quyết vấn đề phảiqua sự kiểm nghiệm, tính đúng đắn hay sai lầm thông qua không chỉ là thuậttoán mà phần lớn đều thông qua lôgic (hình thức, biện chứng)"

Bớc 7: Nhiệm vụ nhận thức mới lại nảy sinh ra môi trờng mới để tạo racác tình huống vấn đề mới Quá trình giải toán không chỉ dừng ở kết quả lờigiải của bài toán mà điều quan trọng hơn là trang bị cho học sinh những kiếnthức mới, những phơng pháp giải mới cũng nh cách GQVĐ

1.5 Kết luận Chơng 1

Trong Chơng 1, Luận văn đã trình bày khá cụ thể lý luận về dạy học PH

và GQVĐ, và nhận thấy việc áp dụng phơng pháp dạy học này là xu hớng tấtyếu phù hợp với những định hớng và các giải pháp đổi mới PPDH hiện nay

Luận văn cũng đã đề cập đến thực trạng rèn luyện kỹ năng GQVĐthông qua dạy học bài tập Toán của học sinh và giáo viên học sinh, khảnăng rèn luyện kỹ năng GQVĐ cho HS trong dạy học bài tập toán

Kỹ năng là một khái niệm khá phức tạp Xung quanh định nghĩa này đã

có nhiều định nghĩa khác nhau

Theo G.Polia: “Trong Toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán,

thực hiện các chứng minh cũng nh phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận đợc” (dẫn theo [19, tr.11]).

Theo M.Alexeep: “kỹ năng sự vận dụng tri thức vào thực tiễn” “Việc

hình thành tri thức tạo điều kiện thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ năng” (dẫn

theo [19, tr.11])

Theo giáo trình Tâm lý học đại cơng thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng

các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [11, tr 149].

Theo Từ điển Hán Việt của Phan Văn Các thì “kỹ năng là khả năng vận

dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong đó khả năng đợc hiểu là “sức đã

có (về mặt nào đó) để có thể làm tốt một việc gì” (dẫn theo [19, tr.11])/

Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kỹ năng, chẳng hạn: “Kỹ

năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [56, tr 462] hoặc “Kỹ năng là sự lựa chọn trong tình huống cụ thể các phơng thức đúng đắn của hành động để đạt đợc mục đích”.

[52, tr.15], “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức,

phơng pháp) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [18, tr.131].

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhng tựu trunglại thì đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức đã tiếp thu đợc đểgiải quyết một nhiệm vụ mới

Giữa việc tiếp thu kiến thức và việc hình thành kỹ năng có mối quan hệchặt chẽ với nhau Việc tiếp thu kiến thức sẽ tạo nên cơ sở, nền tảng cho việchình thành kỹ năng Cho nên kỹ năng cũng có thể đợc hiểu là sự thể hiện của

kiến thức trong hành động Ngợc lại khi kỹ năng đợc hình thành và phát triển

sẽ làm sâu sắc hơn sự hiểu biết về kiến thức

Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết Cơ sở lý thuyết

đó là kiến thức Sở dĩ nh vậy là vì xuất phát từ cấu trúc kỹ năng (phải hiểumục đích, biết cách thức đi đến két quả và hiểu đợc những điều kiện cần thiết

để triển khai các cách thức đó)

Muốn kiến thức là cơ sở của kỹ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy

đủ thuộc tính của bản chất, đợc thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ýthức với t cách là công cụ của hành động (kỹ năng) Nói cách khác, cần làmsao cho các sự vật quả thực là có những thuộc tính đợc phản ánh trong tri thức

đã cho, làm sao cho các dấu hiệu là bản chất đối với những mục tiêu đặt ra

tr-ớc hành động, làm sao cho những hành động này đảm bảo biến đổi đối tợng,một sự biến đổi cần thiết để đạt mục tiêu Chẳng hạn, xét ví dụ:

Ví dụ 2.1: Tìm m để phơng trình:

2x4 + (m+2)x2 + m2 - 1 = 0 (1) có nghiệm

Những thuộc tính đợc phản ánh trong tri thức là: có chứa tham số,

ph-ơng trình trùng phph-ơng Để giải bài toán này ta phải nhớ lại cách giải phph-ơngtrình trùng phơng, xác định những phép biến đổi cần thiết thích hợp với mụctiêu: Tìm m để phơng trình có nghiệm Do phơng trình trên có dạng trùng ph-

ơng nên có thể chuyển đợc về dạng phơng trình bậc 2 và mục tiêu đặt ra đợcgiải quyết nhờ phép biến đổi t = x2 (t0) phơng trình chuyển về phơng trình:

2t2 + (m+2)t +m2 - 1 = 0 (2)Mục tiêu của bài toán là tìm m để pt (2) có nghiệm không âm

Các yếu tố ảnh hởng đến sự hình thành kỹ năng: Sự dễ dàng hay khókhăn trong sự vận dụng kiến thức là tuỳ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểunhiệm vụ, bài tập tức là tìm kiếm và phát hiện những thuộc tính và quan hệvốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đích nhất định

Ví dụ 2.2: Tìm a để hàm số sau đồng biến trên (0; 1)

f (x) = x3 + ax2 + 1Thực chất của mỗi quan hệ đó là: Tìm a sao cho (0; 1) là tập con của tậpnghiệm bất phơng trình 3x2 + 2a x  0

Vì thế, sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hởng của các yếu tố sau đây:

* Nội dung của nhiệm vụ, bài tập đợc đặt ra trừu tợng hoá sẵn sàng bịche phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hớng t duy

Ví dụ 2.3: Tìm m để phơng trình cos3x - 2cos2x + 4cosx - m = 0 có

nghiệm

Bản chất bài toán này nằm ở chỗ mối liên hệ giữa giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn và những giá trị trung gian giữachúng, tuy nhiên sự che phủ bởi cos3x, cos2x, cosx và tham số m gây cho họcsinh không thấy đợc mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán

* Tâm thế và thói quen cũng ảnh hởng đến sự hình thành kỹ năng.Chẳng hạn, ở ví dụ trên phơng trình có chứa cos3x, cos2x, cosx, và tham số mnên nhiều học sinh rất ngại và có xu hớng đa về phơng trình bậc 3 đối vớicosx để biện luận, không ít học sinh không tìm đợc m

2.1.2 Quá trình giải quyết vấn đề

GQVĐ vừa là quá trình, vừa là quy trình, vừa là phơng tiện để cá nhân

sử dụng kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm có đợc trớc đó để giải quyết một tìnhhuống mới mà cá nhân đó có nhu cầu giải quyết GQVĐ không chỉ dừng lại ở

ý thức mà yêu cầu chủ thể phải hành động

Có thể hiểu giải quyết vấn đề trong giải toán theo 3 phơng diện sau:-Khi giải quyết vấn đề đợc xem nh là một mục đích, thì nó độc lập với cácbài toán cụ thể, với quy trình và phơng pháp cũng nh đối với nội dung Toán học cụthể

- Khi giải quyết vấn đề đợc xem nh một quá trình thì chiến lợc, các

ph-ơng pháp, quy trình thủ thuật mà học sinh sử dụng để giải toán sẽ là những

điều quan trọng Chúng là những bộ phận cơ bản của quá trình giải toán, đợc

đặc biệt chú ý trong chơng trình môn toán

- Khi giải quyết vấn đề đợc xem nh một kĩ năng cơ bản thì khả năng lựachọn các phơng pháp giải và các kỹ thuật giải là những vấn đề then chốt màhọc sinh phải học khi giải quyết vấn đề

Theo Stephen Krulik and Jesse A.Rudnick:

Giải quyết vấn đề chỉ quá trình mà một cá nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng và hiểu biết đã đợc học trớc đó để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống không quen thuộc đang gặp phải (dẫn theo [57, tr 53])

Giải quyết vấn đề trong giải toán thờng gồm một số bớc nh sau:

B ớc 3

Tìm và trình bày cách GQVĐ

B ớc 4

Kiểm tra

và giải thich

Bớc 1: Tiếp cận và phát hiện vấn đề

Trong bớc này nên cho học sinh làm các việc: Xác định nhiệm vụ, xác

định những dự kiện, câu hỏi; quan sát những yếu tố đã cho, sàng lọc nhữngthuộc tính, tính chất; Tởng tợng tình huống và mờng tợng hành động; Nêu lạivấn đề bằng chỉnh ngôn ngữ của mình

Bớc 2: Định hớng giải quyết vấn đề

Trong bớc này nên cho học sinh tiến hành các việc: Tổ chức, sắp xếp dữkiện theo các thuộc tính, nhớ lại những thông tin phù hợp; “mô hình hóa” tìnhhuống bằng hình vẽ hoặc bảng, biểu bởi những ký hiệu phù hợp; phỏng đoán.Lúc này, các giải pháp khả thi đợc mờng tợng và đợc xem xét trong đầu

Bớc 3: Tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề

Từ những kết quả của những bớc trớc phải cần chọn ra những giải pháphợp lý nhất, rút ra kết luận và xác định câu trả lời Để làm đợc việc này, đốivới mỗi vấn đề cần phải sử dụng một vài hoặc nhiều cách sau: Nhận thức đ ợckiểu vấn đề, suy luận ngợc lại; phán đoán và kiểm tra, thử sai; lập bảng biểu; -

ớc tính; sử dụng kỹ năng đại số, kỹ năng hình học

Bớc 4: Kiểm tra và đánh giá

Trong bớc này nên thực hiện các việc: Kiểm tra và xác định kết luận;giải thích vì sao kết luận đó đúng; phát biểu thành lời cách làm để có đợc kếtluận, có những vấn đề có thể mở rộng để học sinh phát triển t duy, đặc biệt là

t duy sáng tạo

2.1.3 Kỹ năng GQVĐ

Từ định nghĩa kỹ năng và quá trình giải quyết vấn đề, ta có thể suy ra:

Kỹ năng giải quyết vấn đề là khả năng vận dụng những kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm có đợc trớc đó để thực hiện quá trình giải quyết một tình huống mới, theo một quy trình.

Để giải quyết vấn đề cần đến một hệ thống các kỹ năng Nhng không cónghĩa là, cứ áp dụng các kỹ năng vào GQVĐ là sẽ thành công GQVĐ thànhcông phụ thuộc vào khả năng nắm vững và sử dụng các kỹ năng sau:

a) Kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề

Để có kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề học sinh cần đợc rèn luyện các

kỹ năng:

- Kỹ năng so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá,

t-ơng tự hoá

- Kỹ năng xem xét các đối tợng Toán học, các quan hệ Toán học trongmối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, trong mối quan hệ nhân quả; pháthiện những bớc chuyển hóa về lợng sẽ dẫn đến sự thay đổi về chất; Xem xét

đối tợng Toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất giữa các mặt đối lập;xem xét một đối tợng Toán học đồng thời xem xét phủ định của đối tợng đó

Dự đoán trong giải bài tập toán có thể hiểu: từ dữ kiện của bài toán ban

đầu, hoặc các kiến thức đã có bằng một số hoạt động Toán học có thể dự kiến,

định lợng đợc kết quả bài toán

Khi xét về nguồn gốc và sự phát triển của Toán học tác giả Nguyễn Bá

Kim đã phát biểu: “Nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và phát

triển, trong quá trình tìm tòi, dự đoán, vẫn có "thực nghiệm" và "quy nạp" ”.

(dẫn theo [29, tr 24])

Còn nhà Toán học và là nhà s phạm nổi tiếng ngời Mỹ - G.Pôlya chorằng: “Kết quả công tác sáng tạo của nhà Toán học là suy luận, là chứngminh Nhng ngời ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự đoán.Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó thì việc hình thành Toán học nhthế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận

có lý’’ [33, tr.173]

Thế nhng trong dạy toán ở trờng hiện nay, việc tạo ra các tình huống đểhọc sinh dự đoán dờng nh không có Điều này đợc thể hiện: Nhiều giáo viênluôn luôn bằng cách nào đó để đợc bài giảng sinh động, truyền kiến thức càngnhiều cho học sinh càng tốt

Phơng pháp dạy học này làm cho học sinh gặp phải một số sai lầm, khókhăn trớc những bài toán có dạng tìm tòi (tìm quỹ tích, tìm giá trị nhỏ nhất,lớn nhất, )

Ví dụ 2.4: Trong tam giác ABC, ta luôn có:

sinA + sinB + sinC 3 3

2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

sin sin sin sin sin sin

Nếu học sinh có thói quen mò mẫm, dự đoán, thì họ sẽ biết thử một sốtrờng hợp, từ đó hình thành nên một điều dự đoán - mà điều dự đoán ấy sẽ làmcơ sở cho việc tìm ra lời giải của bài toán

Ta cho Aˆ 30 ,0 Bˆ 30 ,0 Cˆ 1200, ta có:

2 2  2    3  2 3 .Tiếp theo cho Aˆ 90 ,0 Bˆ 45 ,0 Cˆ 450, ta có:

dấu “=” Vậy liệu biểu thức T có đạt giá trị nhỏ nhất khi Aˆ Bˆ Cˆ 600

không? ở bài này ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy nh thế nào?

Ta viết:

Để ý: sin sin sin 1 1 1 2

Tại sao có nhiều cách biểu diễn:

sin sin sin

sin sin sin

b) Kỹ năng định hớng giải quyết vấn đề

Các thành tố của kỹ năng này chủ yếu là:

- Kỹ năng nhận dạng các đối tợng và các phơng pháp

- Kỹ năng phát hiện các đối tợng trong mối liên hệ tơng tự

- Kỹ năng nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau

Ví dụ 2.5: Để chứng minh hệ thức liên quan đến độ dài, tích các độ dài

thì ngời ta dùng tích vô hớng hoặc hình học đồng dạng; HS có thể xem tíchcác độ dài a.b là tích vô hớng của hai véctơ cùng chiều m n  ,

và và m

 = a; n

 = b, xem cos là tích vô hớng của hai véctơ đơn vị mà góc giũa chúng bằng

; Trong trờng hợp riêng ta có a2 là bình phơng vô hớng của véctơ m có độdài bằng a

Nhờ xem xét các quy tắc, các khái niệm, các định lý qua nhiều thể hiệnkhác nhau sẽ giúp học sinh định hớng tốt tìm tòi lời giải các bài toán Chẳng

hạn, ta có thể giải bài toán sau nhờ sử dụng nhận xét trên: “Với mọi tam giác

ABC, luôn có cosA + cosB + cosC ≤ 3

2’’

Trên cạnh BC lấy e1

 sao cho e = 11

, trên cạnh AB lấy véctơ e2

sao cho

2

e = 1

, trên cạnh AC lấy véctơ e3

sao cho e = 13

 Khi đó:

cụ đạo hàm hoặc dựa vào các bất đẳng thức hình học; Giải phơng trình lợnggiác có thể dùng các phơng pháp: biến đổi tơng đơng, đặt ẩn phụ, đánh giá,

c) Kỹ năng tìm và trình bày cách GQVĐ

Các thành tố của kỹ năng này chủ yếu là:

- Kỹ năng lựa chọn các công cụ thích hợp để GQVĐ

- Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi vấn đề

- Kỹ năng lập luận logic, lập luận có căn cứ

Kỹ năng tìm phơng pháp GQVĐ đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn sovới kỹ năng định hớng HS cần lựa chọn công cụ thích hợp để GQVĐ; Chẳnghạn: Đối với những dạng phơng trình không mẫu mực (hai vế là hai loại hàm

số có bản chất khác nhau; hoặc phơng trình có bậc quá cao không thể nghĩtới hạ bậc, hoặc phơng trình nhiều ẩn số, ) thì nên nghĩ tới phơng pháp đánhgiá bằng bất đẳng thức để ớc lợng hai vế hoặc tìm min, max của mỗi vế

Học sinh tìm đợc phơng pháp GQVĐ còn tùy thuộc vào khả năngchuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại một nội dung Toán học và chuyển đổi từngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác để diễn đạt cùng một nội dung Toán học.Nhờ việc chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi vấn đề HS có thể đa vấn đề mới, cácbài toán lạ về dạng quen thuộc, các bài toán tơng tự đã giải

Để khai thác tốt các chức năng của bài tập toán, cần nắm vững các yêucầu của lời giải bài toán và một trong những yêu cầu đó là lập luận phải có căn

cứ chính xác Yêu cầu này đòi hỏi từng bớc biến đổi trong lời giải phải có cơ

sở lý luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lý, công thức đã học, đặc biệtphải chú ý đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết.

Quá trình giải một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc thiết lập mốiliên hệ giữa bài đó với kiến thức thích hợp tích luỹ đợc từ trớc Lúc chúng ta

cố gắng tìm cách diễn đạt lại bài toán, dới một hình thức nhiều triển vọng hơn,thực chất là đi tìm mối liên hệ ấy

Khi giải một bài toán, việc chúng ta liên tởng, và gọi ra (huy động) đợcnhững kiến thức cần thiết đẻ phục vụ cho việc giải quyết vấn đề đã là đángquý nhng trong những kiến thức mà chúng ta liên tởng đến trong thời điểm đóthì cũng có khi không thể dùng đợc liên tởng nào cả vì những liên tởng đó quaquá trình thử đều thất bại Lúc này đòi hỏi ngời làm toán phải có năng lực lậpluận có căn cứ chính xác, giả thiết của bài toán là gì? kết luận của bài toán làgì? Những định lý nào có liên quan, những công thức nào đúng? Sự xem xétlại vấn đề, các bớc biến đổi một cách tỉ mỉ cũng là một yếu tố cần có trongviệc rèn luyện năng lực lập luận có căn cứ

Ví dụ 2.6: Khi khai thác phơng pháp véctơ trong việc phát hiện và

chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác ta có bài toán sau:

Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng:

cos2A + cos2B + cos2C

(

Thay vào (1) ta có: 3 2 2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) 0

Dấu bằng xảy ra khi A trùng G hoặc tam giác ABC đều

Vấn đề đặt ra là các em đã biết cách giải bài toán (*) Hãy thử lập luậnxem nếu bình phơng tổng OAOBOC thì ta sẽ đợc các giá trị lợng giác của

B

CA

O

2A, 2B, 2C và cùng dấu nhng ở bài toán (2*) này các giá trị lợng giác xuấthiện ở vế trái lại đan dấu.

Nếu thế hãy thử bình phơng hiệu ( OA OB OC)? Vẫn không có gì làthay đổi cả

Nhìn lại cách giải bài toán (*) ta thấy OA.OC R2 cos 2B

Vậy nếu muốn có (-cos2B) thì sẽ phải là:  OA.OC R2 (  cos 2B)

Chính sự lập luận này đã gợi ý cho ta sẽ không bình phơng tổng mà sẽlà: OA OBOC Thử xem: Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua AC, khi đó:

' BO OB -





 OB OC O OA

0 ' )

( 2

2 2

cos 2

(cos 2

cos 2

cos 2

d) Kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá

Tự kiểm tra, đánh giá là hành động tự mình rèn luyện phẩm chất đạo

đức, mức độ lĩnh hội và nắm vững các tri thức, kỹ,năng, kỹ xảo so với cácchuẩn mực, những yêu cầu của nhà trờng trong từng giai đoạn giáo dục đào tạo

Tự kiểm tra, đánh giá là hành động không thể tách rời quá trình tự học

và tự giáo dục vì nó đảm bảo cho các quá trình này tiến triển đúng hớng vàvững chắc theo mục tiêu đã định Mặt khác, kết luận và áp dụng kết quả của