Số điểm kỳ dị cô lập và số giá trị tới hạn của đa thức thực n biến

Trường đại học VinhCao Thị Lan Anh số điểm kỳ dị cô lập và số giá trị tới hạn Luận văn Thạc sĩ Toán học Vinh - 2006... Thực chất, bài toán về việc đánhgiá số các điểm cực trị, các điểm y

Trường đại học Vinh

Cao Thị Lan Anh

số điểm kỳ dị cô lập và số giá trị tới hạn

Luận văn Thạc sĩ Toán học

Vinh - 2006

Cao thÞ lan anh

sè ®iÓm kú dÞ c« lËp vµ sè gi¸ trÞ tíi h¹n

Mục lục

Mục lục 2

Lời mở đầu 3

Chương 1 : Những kiến thức cơ sở 6 1.1 Đường cong phẳng affine 6

1.2 Đường cong phẳng xạ ảnh 7

1.3 Chỉ số của trường vectơ 8

1.4 Điểm kỳ dị tại vô hạn 12

Chương 2 : Định lý Bezout 13 Chương 3 : Chỉ số của trường vectơ gradient của đa thức 2 biến thực 21 Chương 4 : Về một số vấn đề mở của LiQun Qi 31 4.1 Về số điểm kỳ dị cô lập của một đa thức 2 biến thực bậc d 31

4.2 Về số giá trị tới hạn của một đa thức bậc d, n biến thực 35

kết luận 36

Lời mở đầuMột đa thức n biến thực, bậc d có thể có nhiều nhất là bao nhiêu điểm kỳ

dị cô lập, bao nhiêu điểm cực trị địa phương, bao nhiêu điểm yên ngựa? Đâu

là chặn trên tốt nhất cho số các giá trị tới hạn của một đa thức n biến thực, bậc

lý Bezout Tuy vậy, Định lý Bezout thường chỉ áp dụng hiệu quả cho các hệphương trình đại số trên trường phức và trong không gian xạ ảnh CPn Trongkhi đó, vấn đề mà chúng ta quan tâm ở đây dẫn đến các phương trình đại sốtrên trường thực và trong không gian affine Rn

Các không điểm cô lập thực của một hệ phương trình đại số đặc trưng khôngnhững bằng bội mà còn bằng chỉ số của nó Thực chất, bài toán về việc đánhgiá số các điểm cực trị, các điểm yên ngựa của một đa thức nhiều biến thựcchính là bài toán đánh giá chỉ số của trường vectơ gradient của đa thức

Luận văn gồm 2 mục đích chính

Mục đích thứ nhất là giới thiệu các kết quả của nhóm nghiên cứu gồm AlanDurfee, Nathan Kronefeld, Heidi Munson, Jeff Roy và Ina Westby (Xem [5])

về bài toán "Đánh giá số điểm tới hạn cực đại, cực tiểu, yên ngựa địa phương

và các điểm tới hạn kiểu khác của f(x, y) thông qua bậc d của đa thức" ở đâyluôn có giả thiết là f(x, y) chỉ có các điểm tới hạn không suy biến

Mục đích thứ hai là đưa ra lời giải trong trường hợp 2 biến cho một câu hỏi

mở của Liqun Qi, nêu ra trong bài báo Extrema of a Real polynomial đăng ởtạp chí Journal of Global optimization, 2004, trang 4 Đồng thời đưa ra lời giảitrong trường hợp tổng quát cho một giả thuyết khác cũng của Liqun Qi nêu ratrong bài báo trên về số các giá trị tới hạn của một đa thức bậc d, n biến thực.Công cụ chủ yếu để thực hiện các kết quả trên vẫn là Định lý Bezout vớinhững lưu ý cần thiết khi áp dụng cho trường hợp thực và affine

Ngoài ra, luận văn còn trính bày khá chi tiết chứng minh của Định lý Bezout

cổ điển và định lý mở rộng của Định lý Bezout

Với nội dung trên, luận văn được chia làm 4 chương

Chương 1 Những kiến thức cơ sở Chương này trình bày sơ lược một số kháiniệm và kết quả sẽ được sử dụng trong các chương sau

Chương 2 Định lý Bezout Nội dung của chương này là phát biểu và trìnhbày những khâu chủ yếu trong chứng minh của Định lý Bezout cổ điển và định

lý mở rộng của Định lý Bezout, dựa theo phương pháp "đường đồng luân".Chương 3 Chỉ số của trường vectơ gradient Giới thiệu các kết quả củanhóm nghiên cứu gồm Alan Durfee, Nathan Kronefeld, Heidi Munson, JeffRoy và Ina Westby

Chương 4 Về một số vấn đề mở của Liqun Qi Trong chương này, chúng tôitrình bày lời giải của 2 vấn đề mở được Liqun Qi nêu ra trong bài báo "Extrema

of a Real polynomial", đăng ở Tạp chí Journal of Global optimization năm 2004.Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn củathầy giáo, PGS TSKH Hà Huy Vui Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnthầy Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Banchủ nhiệm khoa Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tôitrong suốt quá trình công tác và học tập tại trường Đặc biệt, tôi xin bày tỏ

lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình học, khoa Toán, trường

Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn Tôi xin cảm ơn các bạn học viên Cao học khoá 12, đặc biệt là Cao học 12Hình học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành nhiệm vụ trong suốtthời gian học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo,cô giáo và bạn đọc để luận văn ngày được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2006

Tác giả

1.1Đường cong phẳng affine

Định nghĩa 1.1.1 Một tập đại số trong không gian affine Kn là tập có dạng

VK(f1, f2, , fs) = {(x1, x2, , xn) ∈ Kn| fi(x1, x2, , xn) = 0, i = 1, s},với s ∈ N và f1, f2, , fs ∈ Kx

Nhận xét 1.1.2 (i) VK(f1, f2, , fs) = VK(f1) ∩ VK(f2) ∩ ∩ VK(fs);

(ii) VK(f1f2) = VK(f1) ∪ VK(f2)

Định nghĩa 1.1.3 Một tập đại số C trong Kn được gọi là bất khả quy, nếu Ckhông là hợp của hai tập đại số con của nó Nói cách khác, nếu C = C1∪ C2,với C1, C2 là hai tập đại số trong Kn thì C = C1 hoặc C = C2

Định nghĩa 1.1.4 Một đường cong phẳng affine trên K là tập không điểm trong

K2 của một đa thức f ∈ K[X, Y ], f khác đa thức hằng

VK(f ) = {(x, y) ∈ K2| f (x, y) = 0}

VK(f ) là một đường cong bất khả quy, nếu nó bất khả quy như một tập đại số

1.2Đường cong phẳng xạ ảnh

Không gian xạ ảnh n chiều 1.2.1 Trên Kn+1\ {0, , 0}, xét quan hệ tương

đương: X = (x0, , xn) ∼ X0 = (x00, , x0n) nếu và chỉ nếu tồn tại λ ∈ K,

λ 6= 0 sao cho X = λX0 Khi đó

KPn = Kn+1\ {0, , 0}/∼

là một không gian xạ ảnh n chiều trên trường K

Xét về mặt tập hợp, không gian xạ ảnh n chiều KPn là tập hợp tất cả cáckhông gian vectơ con một chiều của Kn+1

Đa thức f ∈ K[X1, X2, , Xn] được gọi là đa thức thuần nhất bậc d, nếuvới mọi t ∈ K∗, f(tx) = tdf (x) Nói cách khác, mọi đơn thức có mặt trongkhai triển của f đều có bậc d

Định nghĩa 1.2.2 Một tập đại số trong không gian xạ ảnh KPn là tập có dạng

VK(f1, f2, , fs) = {(x0 : x1 : : xn) ∈ KPn| fi(x0, , xn) = 0, i = 1, s},với s ∈ N và f1, f2, , fs là những đa thức thuần nhất

Định nghĩa 1.2.3 Một đường cong phẳng đại số xạ ảnh trên K là tập

VK(f ) = {(x : y : z) ∈ KPn| f (x, y, z) = 0},với f là đa thức thuần nhất, f ∈ K[X, Y, Z]

1.3Chỉ số của trường vectơ

Giả sử M là đa tạp con k chiều của Rn và a ∈ M

Các định nghĩa 1.3.1 (i) Một đường cong khả vi trên M, đi qua a là ánh xạ

α : (−ε; ε) → M

t 7→ α(t) = (α1(t), , αn(t))

sao cho α(0) = a, αi(t) là các hàm khả vi theo t, với mọi i = 1, n

(ii) Giả sử α là đường cong khả vi trên M, đi qua a Khi đó

α0(0) = d

dtα(t)

t=0 = (α01(0), , α0n(0))

được gọi là một vectơ tiếp xúc với M tại a

Ký hiệu TaM là tập tất cả các vectơ tiếp xúc với M tại a Khi đó, TaM làmột không gian con tuyến tính k chiều trong Rn và được gọi là không gian tiếpxúc với M tại a

(iii) Cho f là ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp con M và N của Rn Tại mỗi

điểm a ∈ M, ta có thể xác định một ánh xạ tuyến tính dfa: TaM → Tf (a)N là

vi phân của f tại a

Nếu F : Rn

→ Rm là ánh xạ khả vi thỏa mãn các điều kiện F (M) ⊆ N và

F |M = f, thì vi phân dfacủa f tại a chính là hạn chế của ánh xạ dFa: TaRn →

TF (a)Rm lên không gian con tuyến tính TaM

(iv) Cho f : M → N, dimN ≤ dimM Điểm a ∈ M được gọi là điểm kỳ dịcủa f nếu ánh xạ vi phân dfa: TaM → Tf (a)N không phải là ánh xạ lên Mộtcách tương đương, a là điểm kỳ dị của f, nếu tồn tại một bản đồ địa phươngcủa a và f(a) sao cho ma trận Jacobi của f trong bản đồ địa phương có hạng

< dimN

Nếu a không phải là điểm kỳ dị của f thì a được gọi là điểm chính quy của

f

Nếu a là điểm kỳ dị của f thì f(a) được gọi là giá trị tới hạn của f Nếu

y0 ∈ N không phải là giá trị tới hạn của f thì y0 được gọi là giá trị chính quycủa f

Điểm a được gọi là điểm kỳ dị cô lập của f, nếu tồn tại lân cận của a trong

M sao cho a là điểm tới hạn duy nhất của f

Định hướng trong Rn 1.3.2 Trên tập các cơ sở có thứ tự của Rn, ta đưa vàoquan hệ tương đương sau:

e = {e1, e2, , en} ∼ f = {f1, f2, , fn} nếu e = Af với detA > 0.Với quan hệ tương đương trên, tập các cơ sở có thứ tự của Rnđược chia làm hailớp tương đương Chọn một định hướng của Rn, tức là chọn một đại diện củamột trong hai lớp Không gian Rnđược coi là định hướng dương nếu cơ sở có thứ

tự được chọn tương đương với cơ sở chuẩn tắc {(1, 0, , 0), , (0, 0, , 1)}

Đa tạp con M được gọi là định hướng được, nếu tại mỗi a ∈ M, có thểchọn một định hướng của TaM thỏa mãn, với mọi a ∈ M, tồn tại bản đồ địaphương ϕ: U → Rk sao cho, tại mỗi x ∈ U, dϕx đưa cơ sở dương của TxM

vào cơ sở dương của Rk.

Định nghĩa bậc của ánh xạ 1.3.3 Cho f : M → N, M và N là hai đa tạp

định hướng và có chiều bằng nhau, trong đó, đa tạp M là compact, khôngbiên và đa tạp N là liên thông Giả sử y là một giá trị chính quy của f và

f−1(y) = {x1, , xk} Cho dfx i: TxiM → Tf (xi)N là vi phân của f tại xi

Đặt

sign(dfx i) =

(

1 nếu dfx i bảo toàn hướng

−1 nếu dfx i không bảo toàn hướngKhi đó, đại lượng

Ký hiệu là degf

Nhận xét 1.3.4 Nếu f, g : M → N thỏa mãn các điều kiện như ở Định nghĩa1.3.3 và f đồng luân với g thì degf = degg

Nhắc lại rằng, f được gọi là đồng luân với g, nếu tồn tại ánh xạ liên tục

F : M ì [0; 1] → N sao cho F (x, 0) = f(x) và F (x, 1) = g(x), với mọi

x ∈ M

Định nghĩa 1.3.5 (i) Giả sử U là tập mở trong Rn Một trường vectơ khả vitrên U là ánh xạ khả vi ν : U → Rn

(ii) Điểm a ∈ U được gọi là không điểm của ν nếu ν(a) = 0;

(iii) Không điểm a được gọi là cô lập, nếu tồn tại B(a, ε) sao cho ν(x) = 0khi và chỉ khi x = a, với mọi x ∈ B(a, ε)

Định nghĩa 1.3.6 Chỉ số của trường vectơ ν tại không điểm cô lập a là bậccủa ánh xạ h = ν

kνk: S

n−1

ε → S1n−1, với Sn−1

ε = ∂B(a, ε)

Chỉ số của trường vectơ gradient 1.3.7 Giả sử f : Rn

→ R là đa thức n biến.Khi đó, ánh xạ

gradf : Rn

→ Rn(x1, , xn) 7→  ∂f

∂x1, ,

∂f

∂xn



được gọi là trường vectơ gradient của f

Định nghĩa 1.3.8 Giả sử rằng đa thức f : Rn

→ R chỉ có các điểm kỳ dị côlập, và x0 là một điểm kỳ dị của f Khi đó, bậc của ánh xạ gradf tại x0 đượcgọi là chỉ số của trường vectơ gradf tại x0 hay chỉ số của f tại x0, ký hiệu lài(x0)

Định nghĩa 1.3.9 Chỉ số (toàn cục) của f, ký hiệu là i(f) được tính bằng tổngchỉ số của f tại tất cả các điểm kỳ dị của nó Chỉ số này chính là bậc của ánhxạ gradf

kgradfk: Srn−1 → S1n−1, với bán kính r đủ lớn sao cho quả cầu Br (có biên

là ∂Sn−1

r ) tâm tại 0 chứa tất cả các điểm kỳ dị của f

Nhận xét 1.3.10 Trong trường hợp 2 chiều (n = 2), chỉ số của f tại điểm kỳ dịcô lập x0 là số vòng quay của vectơ gradf(x, y) quanh đường tròn Sε khi điểm(x, y) chạy một vòng quanh Sε ngược chiều kim đồng hồ Số vòng quay đượctính dấu cộng hay dấu trừ tùy thuộc vào gradf(x, y) quay ngược hay thuậnchiều kim đồng hồ Ngoài ra, chỉ số của gradf(x, y) quanh Sε còn được xác

định một cách tương đương bởi số lần gradf(x, y) có một hướng xác định nào

đó khi điểm (x, y) chạy một vòng quanh Sε, được tính dấu cộng hay dấu trừ tùythuộc vào cách gradf(x, y) tiến về hướng xác định đó ngược hay thuận chiềukim đồng hồ

Chỉ số (toàn cục) của f là chỉ số của gradf quanh đường tròn đủ lớn Sr

chứa tất cả các điểm kỳ dị cô lập của f

(e

Chương 2

Định lý Bezout

2.1 Định lý Bezout Giả sử C và D là hai đường cong phẳng xạ ảnh phức

có bậc tương ứng là m, n và không có thành phần bất khả quy chung Khi đó,chúng giao nhau tại j điểm khác nhau thỏa mãn 0 < j ≤ m.n

2.2 Định lý Cho P (z) = {P1(z), P2(z), , Pn(z)} là hệ n đa thức n biếnphức và degPi(z) = di, với mọi i = 1, n Khi đó, số nghiệm cô lập của{P (z) = 0} nhiều nhất là d1 dn

Chứng minh Xét

H(z, λ) = λ0P (z) + λe 1R(z),evới λ = (λ0, λ1) ∈ CP1, z ∈ CPn Trong đó

(ii) Qua mỗi nghiệm của hệ {R(z) = 0}e có đúng một đường cong nghiệmcủa hệ H(z, λ) = 0

(iii) Mỗi nghiệm cô lập của H(z, (1; 0)) = P (z) = 0e có thể đạt được bởimột số đường cong nghiệm trên

X = {(z, λ) ∈ CPn+1| H(z, λ) = 0}

Xλ = {z ∈ CPn| (z, λ) ∈ X)}

Ta có X, Xλ là những tập đóng đại số nên X được phân tích thành những thànhphần bất khả quy

+) #{Xλ = 0} = D = d1 dn V× víi mäi λ /∈ E th× mäi kh«ng ®iÓm cñaH(z, λ) lµ kh«ng suy biÕn nªn #{H(z, λ) = 0} = degH(z, λ).

0} nên H(z, (1 + ε, ε)) có nghiệm trong Sδ Hay z(1 + ε, ε) là nghiệm củaH(z, (1 + ε, ε)) Do đó z(1 + ε, ε) ε→0

−−→ a Vậy, a ∈ lim

λ→(1,0)Xλ.Mặt khác, vì Xλ là tập đóng đại số nên

a ∈ lim

λ→(1,0)

Xλ ⊂ X(1,0)

Mà #{X(1,0)} ≤ D = d1 dn nên số nghiệm cô lập của {P (z) = 0}e khôngvượt quá d1 dn Hay số nghiệm cô lập của {P (z) = 0} ≤ d1 dn

2.3 Định lý Cho P (z) = {P1(z), P2(z), , Pn(z)} là hệ n đa thức n biếnphức và degPi(z) = di, với mọi i = 1, n Khi đó, số thành phần liên thông của{P (z) = 0} nhiều nhất là d1 dn

Ta có một số khái niệm và tính chất sau

Xét

Ha(z, t) = tP(z) + a(1 − t)R(z) (1)với (z, t) ∈ CPn ì [0, 1]; a ∈ C \ {0} và R(z) = {R1(z), R2(z), , Rn(z)}

là đa thức thỏa mãn điều kiện (A):

(i) degRi = di, với mọi i = 1, n;

(ii) R(z) có chính xác D = d1 dn nghiệm không suy biến trong CPn và

là 0-cycle dương Khi đó, các Qi được gọi là đỉnh của 0-cycle α, số mi đượcgọi là bội của điểm Qi của α, với mọi i = 1, r.

0(Pn), ta trang bị topo như sau:

Trong đó, Yi ∈ Y nếu π(Yi

) = CP1, Wi ∈ W nếu π(Wj) = { 1 điểm } Rõràng

(dimYi = 1, với mọi i = 1, pπ(W ) là tập hữu hạn

cận của Q trong Pn Gọi N0 là lân cận của Q0 ∈ Yt \ {Q}sao cho N ∩ N0 =.Khi đó, số các điểm khác nhau của Yt 0 chứa trong N là cố định và khác 0, với

H2 = tP(z) + a(1 − t)R2(z) (∗∗)trong đó, R1(z), R2(z) là các đa thức thỏa mãn điều kiện A Giả sử H1 = 0

(ii) Đỉnh αs ∈ Z = {P(z) = 0}, với mọi s ∈ [0, 1]

Bây giờ nhúng H1(z, t), H2(z, t) vào họ hai tham số H(z, t1, t2) Ta có

H(z, t1, t2) = P(z) + t1R1(z) + t2R2(z)

Trong đó, Yi là các đa tạp 2 chiều, π(Yi

) = C2, với mọi i = 1, p, Wj là đa tạpsao cho π(Ws

) C2, với mọi j = 1, q

Ta có

Yi(t1, t2) = {z ∈ Pn : (z, t1, t2) ∈ Yi}Khi đó

2.13 Định lý Với mọi R1, R2 thoả mãn điều kiện A ta có, nếu V là mộtthành phần liên thông của {P(z) = 0} thì luôn tồn tại thành phần nghiệm của{H(z) = 0} tiến đến V và số thành phần nghiệm này không phụ thuộc vào

R1, R2.Hơn nữa, tổng số thành phần nghiệm tiến đến V bằng D = d1 dn

ở đây luôn có giả thiết là f(x, y) chỉ có các điểm kỳ dị không suy biến.

Giả sử f(x, y) là một đa thức 2 biến, hệ số thực có bậc là d Ta nói f cómột điểm kỳ dị tại (x0, y0), nếu fx(x0, y0) = 0 và fy(x0, y0) = 0 ở đây: fx, fylần lượt là đạo hàm riêng của f theo biến x và biến y

Điểm kỳ dị (x0, y0) là điểm kỳ dị không suy biến (hay còn gọi là điểm kỳ

dị kiểu Morse), nếu định thức Hessian của f tại (x0, y0) là khác không

Nếu định thức Hessian của f tại (x0, y0) bằng 0 thì (x0, y0) được gọi là điểm

kỳ dị suy biến

Chỉ những điểm kỳ dị không suy biến là điểm cực đại, cực tiểu và yên ngựa

địa phương Tất cả các điểm kỳ dị không suy biến đều cô lập

3.1 Nhận xét Điểm kỳ dị không suy biến là điểm cực đại địa phương, nếucả hai giá trị riêng của ma trận Hessian đều âm, là điểm cực tiểu địa phương,nếu cả hai giá trị riêng đều dương, là điểm yên ngựa, nếu hai giá trị riêng một

là âm, một là dương

Đặt m là số điểm cực đại địa phương của f, n là số điểm cực tiểu địa phươngcủa f và s là số điểm yên ngựa địa phương của f

Ta có biểu thức dạng chuẩn các điểm cực đại, cực tiểu, yên ngựa địa phương

có dạng tương ứng là −x2 − y2, x2 + y2, x2 − y2 Do đó, chỉ số trường vectơcủa điểm cực đại, cực tiểu và yên ngựa địa phương lần lượt là +1, +1 và −1.Bởi vậy, nếu f(x, y) chỉ có các điểm kỳ dị không suy biến thì

i = m + n − s

3.2 Mệnh đề Chỉ số i của f(x, y) quanh đường tròn C thỏa mãn |i| ≤ d − 1.Chứng minh Luôn giả thiết được C là một đường tròn tâm tại (0, 0) saocho tất cả các điểm kỳ dị của f nằm trong hình tròn có biên là C Ta có quỹtích nơi trường vectơ gradient nằm ngang cho bởi đường cong D = {(x, y) ∈

R2| fy(x, y) = 0} Khi đó, những điểm trên C mà trường vectơ gradient nằmngang chính là giao điểm của D và C

Có hai trường hợp xảy ra:

•Nếu C là một thành phần của D thì các điểm trên C thỏa mãn gradf(x, y)luôn dương hoặc luôn âm Do đó, i = 0

Thật vậy, giả sử ngược lại, tức là tồn tại 2 điểm p1, p2 trên C mà gradf(p1) =λ(p1)(1, 0) với λ(p1) > 0 và gradf(p2) = λ(p2)(1, 0) với λ(p2) < 0 Vì λ

C làhàm liên tục một biến nên khi p chuyển động từ p1 đến p2 theo chiều dương thìtồn tại điểm p0 ∈ C sao cho λ(p0) = 0

Mặt khác, do p0 ∈ C ⊂ D nên fy(p0) = 0 và λ(p0) = fx(p0) = 0 Suy ra

p0 ∈ C là một điểm kỳ dị của f Điều này mâu thuẫn với giả thiết tất cả các

điểm kỳ dị của f nằm ở phần trong của đường tròn C

• Nếu C và D không có thành phần chung thì C và D giao nhau tại j điểmcô lập, theo Định lý Bezout, ta có j ≤ 2(d − 1)

địa phương Tất điểm kỳ dị không suy bi? ?n cô lập

3.1 Nh? ?n xét Điểm kỳ dị không suy bi? ?n điểm cực đại địa phương, n? ??ucả hai giá trị riêng ma tr? ?n Hessian âm, điểm cực... điểm kỳ dị f f(a) gọi giá trị tới h? ?n f N? ??u

y0 ∈ N giá trị tới h? ?n f y0 gọi giá trị quycủa f

Điểm a gọi điểm kỳ dị cô lập f, t? ?n l? ?n c? ?n a

M cho a điểm. .. {P(z) = 0} ln t? ?n thành ph? ?n nghiệm của{ H(z) = 0} ti? ?n đ? ?n V số thành ph? ?n nghiệm không phụ thuộc vào

R1, R2.H? ?n nữa, tổng số thành ph? ?n nghiệm ti? ?n đ? ?n V D = d1