Tiếp cận giải một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên luận văn thạc sĩ toán học

Một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên và thuật toán giải.. Các công trình nghiên cứu đang có kết quả cũng chỉ có tính địnhhướng tiếp cận theo các giả thiết khác nhau, theo các

Mở đầu .3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến 5

1.1.1 Bài toán 5

1.1.2 Hàm Lagrange và tiêu chuẩn tối ưu 8

1.2 Các phương pháp tiếp cận giải bài toán quy hoạch phi tuyến 9

1.2.1 Phương pháp Gradien 10

1.2.2 Phương pháp nhân tử Lagrange 10

1.3 Một số khái niệm cơ sở của lý thuyết xác suất 11

1.3.1 Các khái niệm 11

1.3.2 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 13

1.4 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn 15

1.4.1 Bài toán 15

1.4.2 Giai đoạn thứ nhất 16

1.4.3 Giai đoạn thứ hai 16

Chương 2 Một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên và thuật toán giải 18

2.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên 18

2.1.1 Bài toán thực tế 18

2.1.2 Mô hình tổng quát bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn (2SSN LP ) 19

2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi 21

2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi 21 2.2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự

2.3 Một lớp bài toán với hàm mục tiêu bậc hai từng phần, ràng buộc tuyến

tính 29

2.3.1 Bài toán 30

2.3.2 Các giả thiết và định nghĩa 31

2.4 Thuật toán và ví dụ 33

2.4.1 Thuật toán 33

2.4.2 Ví dụ 37

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

Việc nghiên cứu bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên gặp nhiều khókhăn Các công trình nghiên cứu đang có kết quả cũng chỉ có tính địnhhướng tiếp cận theo các giả thiết khác nhau, theo các lớp bài toán khácnhau.

Trong cuốn sách Quy hoạch toán học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội,

2005, của tác giả Bùi Minh Trí đã trình bày một cách tổng quan bài toánquy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên cùng một số hướng tiếp cận giải Khitiếp cận với cuốn sách Optimization Theory II, Spring, 2007, Chapter 1[4], chúng tôi nhận được những kết quả nghiên cứu chi tiết hơn Vì lẽ đó,trong phạm vi luận văn tốt nghiệp cao học, tôi đã cố gắng nghiên cứu vềthuật toán giải cho một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên Đó

là lý do chúng tôi lựa chọn đề tài "Tiếp cận giải một lớp bài toánquy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên"

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là: Trình bày một cách hệthống những khái niệm và kiến thức cơ sở nhằm phục vụ cho việc nghiên

cứu các nội dung có liên quan trong luận văn Trên cơ sở đó nghiên cứumột lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên tổng quát Từ đó xét bàitoán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên bậc hai và nêu thuật toán giải nó.Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trìnhbày các nội dung: Bài toán quy hoạch phi tuyến; các phương pháp tiếp cậngiải bài toán quy hoạch phi tuyến; một số khái niệm cơ sở của lý thuyếtxác suất

Chương 2 Một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên

và thuật toán giải Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dungchính của luận văn Để có được mô hình bài toán quy hoạch phi tuyến,trước hết chúng tôi nghiên cứu một mô hình thực tế Từ đó nghiên cứubài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi.Cuối cùng, chúng tôi xét một lớp bài toán đặc biệt để tìm ra cách giải.Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm đối với tác giả trongsuốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộmôn Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng, Khoa Toán, Phòng Sau Đạihọc, Trường Đại học Vinh Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đốivới Trường THPT Phan Đăng Lưu (Nghệ An) và Trường Phổ thông Dântộc Nội trú - THPT số 2 Nghệ An về sự giúp đỡ, tạo điều kiện cho chúngtôi học tập, công tác trong thời gian qua

Cũng nhân dịp này, cho phép tôi nói lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè,

đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này

Vinh, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến

1.1.1 Bài toán

1.1.1.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến tổng quát

Bài toán quy hoạch phi tuyến có dạng

1, n), đơn trị, khả vi và ít nhất một trong các hàm đó là phi tuyến

Hàm f0(x) gọi là hàm mục tiêu, các điều kiện (1.1.2), (1.1.3) gọi là điềukiện buộc Điểm x = (x1, x2, , xn) thoả mãn các điều kiện buộc (1.1.2),(1.1.3) gọi là phương án, ký hiệu tập phương án là M Phương án x∗ làmcực tiểu hàm mục tiêu f0(x) gọi là phương án tối ưu (hoặc nghiệm) của bàitoán Điều đó có nghĩa rằng x∗ là phương án tối ưu của bài toán (1.1.1)-(1.1.3) khi và chỉ khi f0(x∗) = minx∈M f0(x), hay là

f0(x∗) ≤ f0(x), ∀x ∈ M

Điểm x(0) được gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm f0(x) nếu tồntại lân cận W0 sao cho

f0(x(0)) ≤ f0(x), ∀x ∈ M ∩ W0

1.1.1.2 Bài toán quy hoạch lồi từng phần

Bây giờ chúng ta xét bài quy hoạch phi tuyến đặc biệt, đó là bài toánquy hoạch lồi từng phần

Cho K là phức hợp hữu hạn các tập lồi đóng Một phức hợp lồi đónghữu hạn các phần tử của K, được gọi là tế bào của K, nếu giao của hai tếbào là rỗng

Xét bài toán quy hoạch lồi từng phần (P.C.P ) (Piecewise Convex gram)

trong đó f là hàm lồi trên Rn, M là tập con lồi đóng của miền xác địnhcủa f , có tập các điểm trong khác rỗng Cụ thể M được xác định bởi cácđiều kiện

M := x ∈ Rn : fi(x) ≤ 0, i = 1, m (1.1.5)trong đó các hàm f0(x), fi(x) đơn trị, khả vi, liên tục và lồi

Các điều kiện trong (1.1.5) được gọi là thoả mãn điều kiện chính quynếu tồn tại điểm x ∈ M thoả mãn

fi(x) < 0, i = 1, , m

Giả sử K là phức hợp lồi đóng hữu hạn sao cho:

(a) Các tế bào con Ck, n-chiều của K phủ M ,

(b) Hoặc là f đồng nhất −∞, hoặc là đối với mỗi tế bào Ck của phứchợp tồn tại một hàm lồi fk(x), xác định trên M và liên tục, khả vi trênmột tập mở chứa Ck thỏa mãn:

(i) f (x) = fk(x), ∀x ∈ Ck,

(ii) ∇fk(x) ∈ ∂f (x), ∀x ∈ Ck,

ở đây ∂f (x) là vi phân của f theo x và ∇fk(x) là vectơ đạo hàm riêng của

fk(x) theo x

Chúng ta giả thiết rằng f không đồng nhất −∞ Chúng ta có thể thấyrằng f (x) không phải luôn có max

k fk(x) trên M , chẳng hạn như hàm sốsau đây:

1.1.1.3 Thuật toán giải bài toán (P.C.P )

Từ việc nghiên cứu bài toán quy hoạch lồi từng phần, tác giả F V.Louveaux [5] đã đưa ra thuật toán giải bài toán (P.C.P ) như sau:

Thuật toán (P.C.P )

Bước chuẩn bị Chọn x0 ∈ M Đặt M1 := M, k := 1, chuyển sangbước 1

Bước 1 Xác định Ck sao cho xk−1 ∈ Ck ∩ intMk 6= ∅

Bước 2 Xác định xk ∈ arg min{fk(x) : x ∈ Mk},

wk ∈ arg min{fk(x) : x ∈ Ck}

Nếu wt là điểm tới hạn của một tia là hướng giảm của fk(.) tới −∞ thìbài toán (P.C.P ) ban đầu bị chặn, chuyển tới bước 4

Ngược lại, chuyển sang bước 3

Bước 3 Nếu ∇fk(wk).(xk − wk) = 0, chuyển sang bước 4

Ngược lại, gán

Mk+1 := Mk ∩ {x : ∇fk(wk).(x − wk) ≤ 0}, k := k + 1,

trở lại bước 1

Bước 4 Thuật toán kết thúc: wk là phương án tối ưu

1.1.1.4 Định lý [5] Thuật toán 1.1.1.3 sẽ nhận được phương án tối ưusau nhiều nhất m bước, trong đó m là số hữu hạn các tế bào của phức hợpK

1.1.2 Hàm Lagrange và tiêu chuẩn tối ưu

Để tiếp cận nghiên cứu quy hoạch phi tuyến, trong mục này, chúng tôitrình bày khái niệm hàm Lagrange của bài toán quy hoạch phi tuyến vàtiêu chuẩn tối ưu của phương án

Các khái niệm cơ bản

Xét bài toán quy hoạch phi tuyến

Hàm L(x, y) được gọi là hàm Lagrange của bài toán đã cho

Các giá trị yi, i = 1, 2, , m gọi là nhân tử Lagrange

Ký hiệu ∇f là vectơ đạo hàm riêng của hàm f (x), nghĩa là

được gọi là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L(x, y).

Một số tính chất của bài toán

1.1.2.1 Định lý Nếu các hàm số f0, fi, i = 1, 2, , m là các hàm lồi,

X là tập lồi thì bài toán (1.1.6) − (1.1.8) luôn tồn tại điểm yên ngựa.1.1.2.2 Định lý (về sự tồn tại nhân tử Lagrange) Cho phương án x∗.Nếu tập Rn2 = ∅ thì tồn tại vectơ y∗ ≥ 0 thoả mãn điều kiện

fi(x∗) ≥ 0; yi∗fi(x∗) = 0, i = 1, m; ∇L(x∗, y∗) = 0 (1.1.9)Bây giờ ta xét dạng đặc biệt của bài toán (1.1.6)-(1.1.8)

1.1.2.3 Định lý Nếu tại phương án x∗ tồn tại y∗ ≥ 0 sao cho

∇xL(x∗, y∗) = 0,

∇fi(x∗)T∇2xxL(x∗, y∗)∇fi(x∗) > 0thì x∗ là phương án tối ưu địa phương của bài toán (1.1.10) − (1.1.12).1.2 Các phương pháp tiếp cận giải bài toán quy hoạch

phi tuyến

Việc tiếp cận giải bài toán quy hoạch phi tuyến đang có nhiều phươngpháp khác nhau Trong mục này, chúng tôi chỉ kể đến một số phương phápđiển hình phục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài

1.2.1 Phương pháp Gradien

Ta đã biết vectơ Gradien (đạo hàm riêng) tại điểm x(0) chỉ hướng tăng

và đối Gradien là hướng giảm của hàm mục tiêu từ điểm đó Từ đó ta cóthuật toán như sau:

Thuật toán

Bước xuất phát Chọn một phương án x(0)

Bước k, k = 1, Ta đã có x(k), (k ≥ 0)

k.1 Dịch chuyển từ x(k)theo hướng −∇f0(x(k)) tới điểm x(k)+λ[−∇f (x(k))]

sẽ làm biến đổi hàm f0 một số gia

Nếu không, thì giảm bớt λ để được điểm thuộc M

Nếu ngược lại, sang bước k.3

k.3 Kiểm tra ∇f0(x(k+1)) = 0?

Nếu có thì dừng Điểm x(k+1) là phương án tối ưu

Ngược lại, gán k := k + 1, trở lại bước k

1.2.2 Phương pháp nhân tử Lagrange

Sử dụng các tính chất của hàm Lagrange, người ta đã nêu ra thuật toánsau đây giải bài toán quy hoạch lồi

Bước 2 Giải hệ trên, được các điểm dừng (x, y) Chọn các điểm dừng

là phương án Lấy một điểm dừng (x∗, y∗)

Bước 3 Kiểm tra điều kiện

∇fi(x∗)T∇2xxL(x∗, y∗)∇fi(x∗) > 0?

Nếu có thì x∗ là điểm cực tiểu địa phương So sánh các điểm cực tiểuđịa phương và các điểm biên để tìm phương án tối ưu

Ngược lại, trở lại bước 2 với điểm dừng khác

1.3 Một số khái niệm cơ sở của lý thuyết xác suất

A2) Nếu A ∈ A thì A = Ω\A ∈ A,

A3) Nếu A, B ∈ A thì A ∪ B ∈ A, (hoặc A ∩ B ∈ A)

• Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là σ-đại số nếu nó là đại số và ngoài ra

1.3.1.3 Độ đo xác suất Hàm P xác định trên đại số A được gọi là độ

đo xác suất σ-cộng tính nếu

P1) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ A,

P2) P(Ω) = 1,

P3) Nếu Ai, Aj ∈ A, i, j = 1, 2, , Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j,P∞

i=1Ai ∈ A thìP

Giả sử Ω là tập bất kỳ khác rỗng, F là một σ-đại số các tập con của

Ω, P là độ đo xác suất trên F Khi đó, bộ ba (Ω, F, P) được gọi là khônggian xác suất

1.3.1.4 Đại lượng ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất;

G là σ-đại số con của σ-đại số F ; B là σ-đại số Borel trên R Khi đó ánhxạ

X : Ω → Rđược gọi là biến ngẫu nhiên G-đo được, nếu nó là ánh xạ G/B(R)-đo được.Lúc này, biến ngẫu nhiên còn được gọi là đại lượng ngẫu nhiên Trongtrường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F -đo được thì X gọi mộtcách đơn giản là biến ngẫu nhiên

1.3.1.5 Hàm Borel Hàm ϕ : (Rn, B(Rn)) → (R, B(R)) được gọi làhàm Borel nếu nó là B(Rn) - đo được, nghĩa là ϕ−1(B) ∈ B(Rn) với mỗi

B ∈ B(R)

1.3.1.6 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Giả sử X là biếnngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P) nhận giá trị trên R Hàm số FX(x) =P[X < x], (x ∈ R) được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.1.3.2 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

1.3.2.1 Khái niệm

Kỳ vọng Giả sử X : (Ω, F , P) → (R, B) là đại lượng ngẫu nhiên Khi

đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳvọng X và ký hiệu là EX

Lược đồ xây dựng kỳ vọng Lược đồ xây dựng kỳ vọng chính là lược

đồ xây dựng tích phân Lebesgue

Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản X = Pn

EX := lim

n→∞EXn.Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thì X = X+− X−, trong đó

X+ = max(X, 0) ≥ 0; X− = max(−X, 0) ≥ 0

Khi đó EX := EX+− EX−(nếu có nghĩa)

Phương sai Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên Khi đó số DX =E(X − EX)2 (nếu tồn tại) gọi là phương sai của X

Như vậy, phương sai có thể tồn tại hoặc không tồn tại Nếu tồn tại thìđược tính theo công thức

(x − EX)2p(x)dx nếu X liên tục và có hàm mật độ là p(x)

Từ định nghĩa cho ta biết |X − EX| là độ lệch giữa các giá trị của đạilượng ngẫu nhiên X với EX, vì vậy phương sai DX = E(X − EX)2 chính

là trung bình của bình phương độ lệch giữa X và EX Trong ứng dụng,người ta thường dùng giá trị σX = √

DX để nghiên cứu mức độ phân táncủa đại lượng ngẫu nhiên X quanh EX Giá trị σX gọi là độ lệch chuẩncủa X

c) Tồn tại E(X ± Y ) và E(X ± Y ) = EX ± EY

d) Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = EX.EY

Một số tính chất của phương sai

Giả sử X, Y là đại lượng ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất(Ω, F , P); a ∈ R Khi đó ta có

1.4 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạnBài toán quy hoạch ngẫu nhiên, thông thường có thể xẩy ra một giaiđoạn, hai giai đoạn hoặc nhiều giai đoạn Về mặt hình thức có thể thấyquá trình tối ưu phụ thuộc biến ngẫu nhiên thì sẽ xuất hiện theo lược đồ:Phương án ⇒ điều chỉnh ⇒ ⇒ điều chỉnh ⇒ phương án.

+ Nếu quá trình đó chỉ xảy ra một lần xét phương án mà không cầnđiều chỉnh thì bài toán đó được gọi là bài toán một giai đoạn

+ Nếu quá trình đó xảy ra hai lần xét tới phương án thì bài toán đóđược gọi là bài toán hai giai đoạn

+ Nếu quá trình đó chỉ xảy ra hơn hai lần xét phương án thì bài toán

đó được gọi là bài toán nhiều giai đoạn

Thật ra, nhìn nhận một cách tương đối nếu lấy một thời điểm nào đólàm phương án xuất phát và coi đó là giai đạn thứ nhất thì giai đoạn tiếptheo là giai đoạn thứ hai Cứ như vậy cho thấy bài toán quy hoạch nhiềugiai đoạn được thực hiện nhờ vào bài toán quy hoạch hai giai đoạn bằngcông thức đệ quy

Vì lẽ đó, để ngắn gọn, trong mục này, chúng tôi chỉ trình bày lược đồphân chia theo hai giai đoạn của bài toán quy hoạch tuyến tính

Giả sử các phần tử của các ma trận h và T phụ thuộc biến ngẫu nhiên

ω có phân phối xác suất và kỳ vọng hữu hạn đã biết Rõ ràng không thểxác định x từ các phương trình T (ω)x = h(ω) Sự khác nhau giữa T (ω)x

và h(ω) cũng chính là một biến ngẫu nhiên có hàm phân phối phụ thuộcvào x Ta phải "trả giá" cho sự phụ thuộc này

Chi tiết về mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giaiđoạn(Two-Stage Stochastic Linear Progamming - (2SSLP )) được xét tớinhư sau:

1.4.2 Giai đoạn thứ nhất

Trong trường hợp các dữ liệu của A, b, c, T, h ổn định, ta có bài toán quyhoạch tuyến tính dạng ổn định, có thể giải bằng các thuật toán quen thuộc

đã biết để tìm ra phương án tối ưu

Trong trường hợp các dữ liệu của T, h phụ thuộc các biến ngẫu nhiên, ta

có bài toán quy hoạch ngẫu nhiên Lúc này bài toán (1.2.1) được gọi là bàitoán giai đoạn một (giai đoạn thứ nhất ) Biến x trong bài toán giai đoạnmột gọi là biến giai đoạn một Phương án tối ưu tìm được của bài toán ởgiai đoạn một còn gọi là nghiệm sơ bộ của bài toán quy hoạch ngẫu nhiên.Chú ý rằng nghiệm sơ bộ không làm mất khả năng của sự điều chỉnh vàphải cùng phối hợp với nghiệm điều chỉnh sao cho chi phí trung bình phảitối thiểu cho cả hai giai đoạn

1.4.3 Giai đoạn thứ hai

Lần thứ hai, khi chịu ảnh hưởng của biến ngẫu nhiên ω, điều kiện buộc

T x = h không còn cân bằng Để giải quyết hiện tượng mất cân bằng ấy(vi phạm sự cân bằng), người ta đưa vào biến phạt y = (yi) ≥ 0 với hệ sốphạt tương ứng q = (qi) và ma trận điều chỉnh W cỡ m × m (thông thường

có thể lấy W là ma trận đơn vị) Khi đó ta cần tìm y để cực tiểu tổng sốlượng phạt qTy với những điều kiện đặt ra dưới sự tác động của ω, tạo nên

sự cân bằng mới Do vậy ta có bài toán ở giai đoạn hai (thứ hai) với biến

Chương 2

Một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên

và thuật toán giải

2.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên

là 3 triệu

Bảng 1 Bảng năng suất và chi phí theo công thức trồng

Khoai Ngô Đậu K-N Đ-N N-Đ

Khi đó ta có bài toán

max

n4x1 + 5x2 + 3x3 + 6x1x2 + 4x2x3 + 4x3x1

o

với điều kiện

3

!, C =







, x =

Khi đó bài toán viết dưới dạng ma trận

với điều kiện

i : Rn1 → R, 1 ≤ i ≤ m1 liên tục trên

Rn1

Giả sử rằng bài toán đã cho, với dữ liệu đầy đủ, chúng ta đã tìm đượcphương án tối ưu trong tập các phương án x đã xác định Các phương án

x như vậy được coi là biến ở giai đoạn thứ nhất và bài toán nêu trên gọi

là bài toán giai đoạn thứ nhất

Khi thông tin về dữ liệu trong điều kiện buộc phụ thuộc vào biến ngẫunhiên ω thì tập phương án sẽ thay đổi Sự thay đổi này là do dưới sự tácđộng của biến ngẫu nhiên ω làm thay đổi giá trị của vế trái điều kiện buộc

Để thiết lập bài toán giai đoạn thứ hai, ta ký hiệu:

f2(., ω) : Rn2 → R là hàm số biểu diễn tổng số giá trị "phạt"

gi2 y(ω), ω)
: Rn 2 → R, 1 ≤ i ≤ m2, là hàm số tạo ra từ hàm g1i ởnhững điều kiện có ảnh hưởng từ ω

t2i(x, ω) : Rn1 → R, 1 ≤ i ≤ m2, là hàm số tạo ra sự cân bằng trong cácđiều biện buộc của bài toán mà gi1 có ảnh hưởng từ ω

Giả sử các hàm số đã cho là liên tục, đo được theo x, ω

Để xác lập tập phương án mới người ta đưa vào "biến phạt" y(ω) với hệ

số phạt phi tuyến liên tục nào đó

Tương tự như bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn,

ta có mô hình tổng quát của bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên giaiđoạn thứ hai là:

2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn

Ký hiệu N := n2 + m2 + (m2 × n1) Đặt

ξT(ω) := q(ω)T, h(ω)T, T1(ω), , Tm2(ω)
∈ RN,trong đó Ti(ω), 1 ≤ i ≤ m2, là các hàng của ma trận T (ω)

Như đã nêu trong mục 1.4 chương 1, ta có bài toán